CÁC CÁCH GIẢI KHÁC NHAU HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (QUÁ HAY)

Tài liệu về các cách nhìn nhận khác nhau trong một bài hình học không gian đề thi THPT Quốc Gia 2015 và đề thi Đại học trước đó. Qua đây, tôi tin chắc rằng các bạn đọc sẽ thấy hình học không gian không khó, mà hình học không gian là một môn học rất hay, rất đẹp, rất phong phú. Tôi rất vui khi bạn đọc chia sẻ thêm các cách suy nghĩ khác về các bài toán này. Mong sẽ nhận được nhiều sự trao đổi của bạn đọc.

THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999 F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h Page 1 MỘT SỐ CÁCH GIẢI KHÁC NHAU BÀI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Để giúp các bạn học sinh giải quyết tốt kiến thức hình học không gian qua đề thi THPT Quốc gia, đề thi đại học, tôi xin đưa ra một số cách giải khác nhau qua 3 ví dụ đề thi Bộ giáo dục đã tổ chức, qua đó hy vọng sẽ giúp ích được cho các em trong quá trình ôn tập và sẽ đạt kết quả cao trong các kì thi THPT Quốc gia. Câu 7 (THPT QG 2015). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng o 45 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC. Bài giải: Cách 1 (hình học thuần túy) *) Tính thể tích khối chóp S.ABCD Từ giả thiết, ta có: o SCA 45 và AC SA a 2 . Suy ra thể tích của khối chóp S.ABCD là: 3 2 S.ABCD ABCD 1 1 a 2 V .S .SA .a .a 2 3 3 3    . *) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC Kẻ BE/ /AC và BE AC       AC/ /(SBE) d AC,SB d AC,(SBE) d A,(SBE)    . Kẻ AM BE BE (SAM) gt SA BE       (1) Kẻ AH SM kết hợp với (1) BE AH . Suy ra   AH (SBE) d A,(SBE) AH   . Từ cách kẻ, ta có EAB cân tại A 2 2 2 2 a 2 a 2 AM AB BM a 22           . SAM vuông tại A, ta có: THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999 F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h Page 2   2 2 2 2 2 2 2 a2 a 2. 1 1 1 SA.AM a 10 2 AH AH SA AM 5 SA AM a2 a2 2            . Suy ra:   a 10 d AC,SB 5  . Vậy 3 S.ABCD a2 V 3  và   a 10 d AC,SB 5  . Cách 2 (ứng dụng thể tích tính khoảng cách) *) Tính thể tích khối chóp S.ABCD như cách 1. *) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC Kẻ BE/ /AC và BE AC 22 AE AB a SE SB SA AB a 3        Kẻ 22 SM BE SM SB MB      2 2 a 2 a 10 a3 22        . Suy ra 2 SBE 1 1 a 10 a 5 S SM.BE . .a 2 2 2 2 2     . Ta có 3 S.ABE S.ABCD 1 a 2 VV 26    3 S.ABE 2 SBE a2 3. 3.V a 10 6 d A,(SBE) S5 a5 2      . Vậy 3 S.ABCD a2 V 3  và   a 10 d AC,SB 5  . THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999 F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h Page 3 Cách 3 (giải tích không gian) Từ giả thiết ta có: o SCA 45 SA AC a 2    . Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, ta có:         A 0;0;0 ,S 0;0;a 2 ,C a;a;0 ,B a;0;0       AS 0;0;a 2 ,AC a;a;0 ,AB a;0;0 . 3 S.ABCD S.ABC 1 a 2 V 2V 2. AB,AC .AS 63      . Ta có:   BS a;0;a 2   BS,AC .AB a 10 d SB,AC 5 BS,AC        . Vậy 3 S.ABCD a2 V 3  và   a 10 d AC,SB 5  . Cách 4 (dùng bài toàn cơ bản tính khoảng cách) Bài toán cơ bản: Cho tứ diện vuông S.ABC tại A,   AH SBC , ta có: 2 2 2 2 1 1 1 1 AH AS AB AC    . Áp dụng: Kẻ BE/ /AC và BE AC ABE   vuông cân tại A. y z x O D C B A S H C B A S THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999 F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h Page 4 Từ giả thiết ta có:     2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 d A,(SBE) AS AB AE a a a2       .     a 10 d A,(SBE) d AC,SB 5    . Cách 5 (Tính khoảng cách từ thể tích, tỉ số thể tích, công thức heron) Gọi O AC BD và N là trung điểm của SD. SB/ /ON SB/ /(ANC) .       d SB,AC d SB,(ANC) d S,(ANC)   . Ta có: 33 S.ANC S.ADC S.ABCD SN SN 1 1 1 a 2 a 2 V .V . V . . SD SD 2 2 2 3 12     . Ta lại có: 22 1 a 3 AN SD 22 a 7 AN CN AC 3 7 2 2 CN ND DC p a 2 2 4 AC a 2                        .     2 ACN a5 S p p AN p AC p CN 4        . Suy ra:     3 S.ANC 2 ANC a2 3. 3V a 10 12 d S,(ANC) d SB,AC S5 a5 4      . N O D C B A S THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999 F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h Page 5 Cách 6 (Mở rộng: khi bài toán yêu cầu xác định và tính độ đoạn vuông góc chung) Sau khi ta dựng AH. Chúng ta sẽ đi dựng đoạn PQ vuông góc chung của SB và AC như sau: Từ H, kẻ   //HQ BM Q SB . Từ Q, kẻ   //QP HA P AC . Từ các cách trên, ta có: // AH SB AH AC PQ PQ AH        chính là đoạn vuông góc chung của SB và AC. Để tính độ dài PQ, thì với bài này chúng ta sẽ đi tính AH, từ đó   10 , 5 a d SB AC PQ   . H M Q P D C B A S NHẬN XÉT: VỚI TƢ DUY HÌNH HỌC KHÔNG GIAN NHƢ TRÊN, CÁC BẠN CÓ THỂ NGHĨ THÊM NHIỀU CÁCH GIẢI KHÁC (VÍ DỤ BẠN CÓ THỂ GẮN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ CÁC VỊ TRÍ KHÁC, NHƢ LÀ GỐC O TRÙNG VỚI ĐIỂM A, CÁC BẠN SẼ CÓ HƢỚNG ĐI KHÁC). HY VỌNG ĐÂY LÀ MỘT VÍ DỤ GIÚP CÁC BẠN NÂNG CAO TƢ DUY VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. CHÚC CÁC BẠN NGÀY MỘT CỐ GẮNG+NGÀY MỘT TỐT HƠN! THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999 F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h Page 6 Câu 5 (A-2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ˆ 30 o ABC  , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB). Bài giải: Cách 1: (Dùng hình học không gian thuần túy) Ta kẻ SH BC (SH chính là chiều cao của khối chóp S.ABC). +) Ta có: . 1 . 3 S ABC ABC V S SH   11 .( . ). 32 AB AC SH 3 1 1 3 3 ( . . ). 3 2 2 2 2 16 a a a a (đvtt). +) Mặt khác: . 1 . ( ;( )) 3 S ABC SAB V S d C SAB   Suy ra: 33 . 3. 3. 3 39 16 16 ( ;( )) 1 13 1 13 3 . . 2 2 4 2 S ABC SAB aa Va d C SAB S aa SJ AB      Cách 2: (Dùng giải tích không gian) Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, với I, J lần lượt là trung điểm của AC và AB. Ta dễ dàng có: 3 3 3 3 (0;0; ), ( ; ;0), ( ; ;0), ( ; ;0) 2 4 4 4 4 4 4 a a a a a a a S A B C . - Thể tích khối chóp S.ABC là: 3 . 1 ,. 6 16 S ABC a V SB SA SC    (đvtt). - Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) là: 3 . 3 3 39 16 ( ;( )) 1 13 , 2 S ABC SAB a Va d C SAB S SB SA       . THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999 F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h Page 7 Cách 3: (Các bạn có thể kết hợp giữa hình học không gian với giải tích không gian) - Ta có: . 1 . 3 S ABC ABC V S SH   11 .( . ). 32 AB AC SH 3 1 1 3 3 ( . . ). 3 2 2 2 2 16 a a a a (đvtt). (Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) bằng công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong giải tích không gian) Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ (ta xác định tọa độ các điểm như cách 2): -Phương trình mặt phẳng (SAB) đi qua điểm 3 (0;0; ) 2 a S và có véctơ pháp tuyến 22 33 , ;0; 48 aa n SB SA       là: 12 2 3 3 0x z a   . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB): 22 12( ) 2 3.0 3 39 4 ( ;( )) 13 12 (2 3) a a a d C SAB      . Cách 4: (Sử dụng tính chất tỷ lệ để tìm khoảng cách) - Ta có: . 1 . 3 S ABC ABC V S SH   11 .( . ). 32 AB AC SH 3 1 1 3 3 ( . . ). 3 2 2 2 2 16 a a a a (đvtt). -Kẻ HK SI , ta có HK chính là khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SAB), do đó: ( ;( )) 2 ( ;( )) 2d C SAB d H SAB HK 2 2 2 2 3 . . 39 24 2 2. 13 3 24 aa SH HI a SH HI aa            . N.Xét: Với suy nghĩ tương tự trên các bạn có thể tìm khoảng cách từ điểm H đến THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999 F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h Page 8 mặt phẳng (SAB) bằng nhiều cách khác nữa (ví dụ có thể dùng giải tích không gian,…), hy vọng các bạn sẽ tự suy nghĩ để nâng cao kiến thức về câu hình học không gian. Cách 5: (Tính khoảng cách bằng đoạn thẳng vuông góc) - Ta có: . 1 . 3 S ABC ABC V S SH   11 .( . ). 32 AB AC SH 3 1 1 3 3 ( . . ). 3 2 2 2 2 16 a a a a (đvtt). -Kẻ CT CB ()T BS và CJ AT , khi đó CJ chính là khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB): 22 . 39 ( ;( )) 13 CT CA a d C SAB CJ CT CA     N.Xét: Để tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB), ta tính khoảng cách từ C đến đường thẳng AT, khi đó ta có thể dùng giải tích không gian để tính, cụ thể: , ( ; ) CA AT d C AT AT    . Cách 6: (dùng bài toán cơ bản để tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB)) THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999 F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h Page 9 . 1 . 3 S ABC ABC V S SH   11 .( . ). 32 AB AC SH 3 1 1 3 3 ( . . ). 3 2 2 2 2 16 a a a a (đvtt). - Kẻ ( ), ( )CT AC T BS CM CB M BA    . Áp dụng bài toán cơ bản ta có: 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ;( ))d C SAB CT CM CB    . Với 3, , 3 a CT a CB a CM   Nên ta có: 39 ( ;( )) 13 a d C SAB  . Cách 7: (dùng tỉ số để tính thể tích và dùng giải tích không gian để tính thể tích và khoảng cách) Kiến thức: (chỉ áp dụng cho tứ diện) Cho tứ diện S.ABC. Với mọi A’,B’,C’ lần lượt nằm trên cạnh SA, SB, SC ta có: . ' ' ' . ' ' ' S A B C S ABC V SA SB SC V SA SB SC  THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999 F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h Page 10 Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: (0;0;0),C (0;0; 3)Ta , (0; ;0), ( ;0;0) 3 a B a M (0;0; 3)CT a , ( ;0;0), (0; ;0) 3 a CM CB a , ta có: 3 1 ,. 66 B TCM C TBM a V V CM CB CT      . Mặt khác: . . . B SCA B TCM V BS BA V BT BM  3 . 16 B SCA a V (đvtt). N.xét: tiếp tục ta tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) bằng cách lập phương trình mặt phẳng (BTM), rồi áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng. Ta có: 2 2 , ( 3; ; ) 3 a BM BT a a       chính là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (BTM). Suy ra phương trình mặt phẳng (BTM): 2 2 2 3 30 3 a a x a y z a     . Vậy ta có:     2 2 2 3 2 2 2 2 22 3.0 .0 .0 39 3 ( ;( )) ( ;( )) 13 3 3 a a a a a d C SAB d C BTM a aa                [...]... SAOP OD  Vậy: d  A, (SBD)   2a 3 N.xét: Đến đây chắc các bạn đã cảm nhận được những điều thú vị qua một bài hình học không gian trong đề thi đại học, làm được như vậy, sẽ giúp các bạn rất nhiều trong tư duy toán học Các bạn có thể vận dụng điều đó để đưa ra các cách giải khác nhau với các đề thi đại học trong quá trình luyện tập CHÚC CÁC BẠN THÀNH CÔNG! Facebook: hocmainguyenchithanh Page 15... N.Xét: Các bạn cũng có thể áp dụng công thức Herong để tính diện tích tam giác SBD: SSBD  p  p  SB  p  SD  p  BD  với p  SB  SD  BD Áp dụng cách ưu 2 điểm là các bạn không cần phải tìm đường cao SI, nhưng cách này đòi hỏi kỹ Facebook: hocmainguyenchithanh Page 13 THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999 năng tính toán hết sức cẩn thận Cách 4: (Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBD) bằng cách. ..   2  HK   2 2 HK SH HI SH 2  HI 2 a a 2 4 a 2 a2     4  2 Suy ra khoảng cách cần tìm là: d  A, (SBD)   2 HK   a 3 2a 3 N.Xét: Các bạn có thể tìm HI bằng cách gắn vào HBI vuông tại I có: HI  HB.sin 45o  a 2 4 Cách 2: (Dùng giải tích không gian) Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ Ta có tọa độ các điểm: a   a  a  A  ;0;0  , B   ;0;0  , D  ; a;0  , 2   2  2  S... 2 3VS ABD 2a   1 SSBD 3 SB, SD   2 N.xét: Các bạn có thể tính khoảng cách từ A đến mp(SBD) bằng cách lập phương trình mặt phẳng (SBD) rồi áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt Facebook: hocmainguyenchithanh Page 12 THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999 phẳng ta cũng có kết quả như trên Cách 3: (Ứng dụng của thể tích để tìm khoảng cách)  Gọi H là trung điểm của AB, từ giả thiết ta...THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999 Câu 6(A-2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD  3a , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung 2 điểm của cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) Bài giải: Cách 1: (Dùng hình học thuần túy)  Gọi H là trung điểm của AB, từ giả thiết ta có: SH  ( ABCD)... THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999 năng tính toán hết sức cẩn thận Cách 4: (Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBD) bằng cách trực tiếp) * Ý tính thể tích các bạn tính như một trong các cách trên * Bây giờ chúng ta chỉ quan tâm đến yêu cầu tính khoảng cách từ A đến mp(SBD): yêu cầu đặt ra ở đây là phải xác đinh được độ dài trực tiếp kẻ từ A đến (SBD) Chúng ta sẽ làm như sau: Gọi H là trung điểm của AB... ra: BD  ( AOP) Kẻ AQ  OP  Q  OP  BD ( AOP )  BD  AQ Suy ra: AQ  (SBD)  d  A,(SBD)   AQ Xét SID theo talet ta có: OP OD 2 2 2 a 2    OP  SI  HI 2  SH 2  SI ID 3 3 3 2 2  SOPD Mặt khác: 1 1 a 2 a2  OP.OD     2 2  2  4   d  P,  ABCD   d  S , ( ABCD)   PD 2 2 2a   d  P,  ABCD    SH  SD 3 3 3 Facebook: hocmainguyenchithanh Page 14 THẦY NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999... 5a SH  SD  HD     a 4  2  2 2 Suy ra thể tích khối chóp S.ABCD là: 1 1 a3 VS ABCD  S ABCD SH  a 2 a  3 3 3  Kẻ HI  BD,  I  BD  , kết hợp với giả thiết ta có: BD   SHI  Từ ABCD là hình vuông  AC  BD  HI / / AO, O  AC  BD  1 2 Suy ra: HI là đường trung bình trong ABO  HI  AO  Kẻ HK  SI ,  K  SI  và từ BD   SHI   BD  HK a 2 4 hay HK   SBD   d  H ,(SBD)  . GIẢI KHÁC NHAU BÀI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Để giúp các bạn học sinh giải quyết tốt kiến thức hình học không gian qua đề thi THPT Quốc gia, đề thi đại học, tôi xin đưa. g u y e n c h i t h a n h Page 7 Cách 3: (Các bạn có thể kết hợp giữa hình học không gian với giải tích không gian) - Ta có: . 1 . 3 S ABC ABC V S SH   11 .( . ). 32 AB AC SH 3 1 1. nhiều cách khác nữa (ví dụ có thể dùng giải tích không gian, …), hy vọng các bạn sẽ tự suy nghĩ để nâng cao kiến thức về câu hình học không gian. Cách 5: (Tính khoảng cách bằng đoạn thẳng vuông