Thông tin tài liệu
ĐỀ KIỂM TRA 2 (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: a) Giải phương trình căn thức: b) Chứng minh đẳng thức: Bài 2: a) Khai triển biểu thức thành dạng 2k + 1 và phân tích k thành các thừa số. b) Cho số nguyên A là tổng binh phương của hai số nguyên dương liên tiếp. Hãy chứng minh rằng A không thể la tổng lũy thừa bậc 4 của hai số nguyên dương liên tiếp. Bài 3: Cho a, b, c là 3 số không âm thỏa mãn điều kiện: (1) a) Chứng minh bất đẳng thức : (2) Hỏi từ (2) có thể suy ra (1) được không? Vì sao? b)Cho p, q, r là 3 số thực thỏa mãn điều kiện . Chứng minh bất đẳng thức: Bài 4: Gọi a,b là là hai nghiệm của phương trình ; c,d là hai nghiệm của phương trình h . Chứng minh hệ thức : Bài 5: Cho hai đường tròn (O, R) , (I, r) (R>r) tiếp xúc ngoài với nhau với A là tiếp điểm. Gọi B, C là hai điểm di động lần lượt trên (O), (I) sao cho a) Chứng minh trung điểm M của BC nằm trên 1 đường tròn cố định khi B, C thay đổi. b) Kẻ AH vuông góc với BC. Chứng minh H cũng nằm trên một đường tròn cố định khi B, C thay đổi. c) Chứng minh rằng: Bài 1: a) Giải phương trình căn thức: b) Chứng minh đẳng thức: Lời giải: a) Ta có: Kết luận, nghiệm của phương trình đã cho là hoặc b) Ta có: Suy ra: Tương tự như vậy, ta có: Từ đó, ta có: Và ta có đpcm. Bài 2: a) Khai triển biểu thức thành dạng 2k + 1 và phân tích k thành các thừa số. b) Cho số nguyên A là tổng binh phương của hai số nguyên dương liên tiếp. Hãy chứng minh rằng A không thể la tổng lũy thừa bậc 4 của hai số nguyên dương liên tiếp. Lời giải: a) Ta có: b) Giả sử tồn tại số nguyên A thỏa mãn điều bài toán, khi đó tồn tại 2 số nguyên dương p và q sao cho: Khi đó: (1) Vì phương trình (1) có nghiệm nguyên p nên: là số chính phương. Mặt khác: Hay là: (2) Lại có: Hay là (3) Từ (2) và (3) suy ra: Do đó không thể là số chính phương. Điều này cho thấy giả sử ban đầu về sự tồn tại A là sai. Từ đó ta có ĐPCM. Bài 3: Cho a, b, c là 3 số không âm thỏa mãn điều kiện: (1) a) Chứng minh bất đẳng thức : (2) Hỏi từ (2) có thể suy ra (1) được không? Vì sao? b)Cho p, q, r là 3 số thực thỏa mãn điều kiện . Chứng minh bất đẳng thức: Lời giải: a) Ta có: Vì Nên (*) Bây giờ, không mất tính tổng quát, ta giả sử a=max{a, b, c}. Khi đó: (*) Như vậy: Ngoài ra: và Suy ra: Hay là: .(đpcm.) b) Không thể được, chẳng hạn, với . Ta có (2) nhưng không có (1) c) Thay ta được: (**) Với (**) hiển nhiên đúng, và ta có (đpcm.) Với , ta có: (**) (***) (***) đúng theo như điều kiện ban đầu, suy ra (**) đúng, và ta cũng có (đpcm.) Bài 4: Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình ; c,d là hai nghiệm của phương trình . Chứng minh hệ thức : Lời giải: Vì c, d là hai nghiệm của phương trình Nên: Suy ra: (a là nghiệm của phương trình nên ) Tương tự như vậy, ta có: Suy ra: Mặt khác, vì a, b là hai nghiệm của phương trình nên , từ đó ta có: . (đpcm) Bài 5: Cho hai đường tròn (O, R) , (I, r) (R>r) tiếp xúc ngoài với nhau với A là tiếp điểm. Gọi B, C là hai điểm di động lần lượt trên (O), (I) sao cho a) Chứng minh trung điểm M của BC nằm trên 1 đường tròn cố định khi B, C thay đổi. b)Kẻ AH vuông góc với BC. Chứng minh H cũng nằm trên một đường tròn cố định khi B, C thay đổi. c) Chứng minh rằng: Lời giải: a) Vì tam giác ABC vuông tại A và M là trung điểm của BC nên: MA=MB=MC Suy ra M nằm trên trung trực của các đoạn thẳng AB, AC Mặt khác, vì (O) qua A, B nên O nằm trên trung trực của AB. Suy ra MO AB Tương tự, vì (I) qua A, C nên I nằm trên trung trực của AC. Suy ra MI AC Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của MO với AB, MI với AC. Dễ dàng nhận thấy tứ giác MPAQ là hình vuông, suy ra . Từ đó suy ra M nằm trên đường tròn đường kính OI là đường tròn cố định. ĐPCM. b) Nối OB, IC. Gọi J là giao điểm của BC với OI. Ta có: BOA=2 MOA=2(90 0 – BAO)=2 CAJ= CIJ Từ đó suy ra OB || IC (Đồng vị) Suy ra: Suy ra J là điểm cố định. Ta có: AH BC nên AHJ=90 0 . Suy ra H nằm trên đường tròn đường kính AJ là đường tròn cố định. ĐPCM c) Kẻ IK BC . Dễ thấy AH || IK (Vì cùng vuông góc với BC) Ta có: Suy ra (Vì ) Ta có (đpcm.) . ĐỀ KIỂM TRA 2 (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: a) Giải phương trình căn thức: b) Chứng minh đẳng thức: Bài 2: a) Khai triển biểu thức thành dạng 2k + 1 và phân tích k thành các thừa. ta có: Và ta có đpcm. Bài 2: a) Khai triển biểu thức thành dạng 2k + 1 và phân tích k thành các thừa số. b) Cho số nguyên A là tổng binh phương của hai số nguyên dương liên tiếp. Hãy chứng. dương liên tiếp. Lời giải: a) Ta có: b) Giả sử tồn tại số nguyên A thỏa mãn điều bài toán, khi đó tồn tại 2 số nguyên dương p và q sao cho: Khi đó: (1) Vì phương trình (1) có nghiệm
Ngày đăng: 12/07/2015, 09:34
Xem thêm: Đề thi học sinh giỏi môn toán tham khảo bồi dưỡng học sinh các tỉnh (33), Đề thi học sinh giỏi môn toán tham khảo bồi dưỡng học sinh các tỉnh (33)