UBNN thị x Uông bíã Đề thi chọn Học sinh giỏi cấp thị x ã Phòng GD&ĐT Uông Bí năm học 2007 - 2008. Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 29 / 01/ 2008 Bài 1: a) Tìm số tự nhiên a sao cho 20078 2 ++ aa là số chính phơng. b) Cuối học kì, một học sinh có hơn 11 bài kiểm tra đạt các điểm 8, 9, 10. Biết tổng số điểm các bài kiểm tra đó là 100. Hỏi học sinh đó có bao nhiêu bài kiểm tra đạt điểm 8, điểm 9, điểm 10? Bài 2: a) Cho x = 3 3 1 2 1 2 1 . Tính giá trị của biểu thức P = x 3 + 3x + 2008. b) Cho 111 22 =+ xyyx . Chứng minh rằng: 1 22 =+ yx . Bài 3: a) Cho x, y là hai số dơng. Chứng minh rằng: yxyx + + 411 . b) Cho ba số dơng a, b, c thoả mãn: 4=++ cba . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: cba P 411 ++= . Bài 4: Cho tam giác đều ABC, đờng cao AH. M là điểm bất kì trên đáy BC. P, Q lần lợt là hình chiếu của M trên AB, AC. Gọi O là trung điểm của AM. a) Chứng minh 5 điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đờng tròn. b) Tứ giác OPHQ là hình gì? Chứng minh. c) Tìm vị trí của M trên BC sao cho PQ có độ dài nhỏ nhất. Hết hớng dẫn chấm thi hsg thị xã uông bí năm học 2007 -2008 môn toán Lời giải sơ lợc Biểu điểm Bài 1.a Biến đổi: ( ) ( ) Nb 1991420078 2 2 2 =++=++ baaa ( )( ) 441991 ++= abab (1) 0,25 ( ) 4++ ab là ớc của 1991 (2) 0,25 có 484442007 2 ++ abbb (3) 0,25 Từ (1), (2), (3) ( ) ( ) = =++ = =++ II 14 19914 I 114 1814 ab ab ab ab 0,25 Giải (I) đợc: = = 96 81 b a , Giải (II) đợc: = = 966 991 b a 0,25 Vậy 991 ;81 21 == aa thì 20078 2 ++ aa là số chính phơng 0,25 Bài 1.b Gọi số bài kiểm tra đạt điểm 8, 9, 10 lần lợt là x, y, z Ta có ( ) ( ) ( ) =++ >++ 3 1001098 2 11 1 ,, * zyx zyx Nzyx 0,25 Từ (2) và (3) ( ) zyxzyxzyx ++=++>++= 88881098100 hay 5,12<++ zyx kết hợp với (1), (2) zyxzyx ==++ 1212 thay vào (3) ta có ( ) 2y 4y 2z-22y 42 = < = =+ zy 0,5 Từ đó tính đợc 1,2,9 === zyx Vậy học sinh đó đạt chín điểm 8, hai điểm 9 và một điểm 10. 0,25 Bài 2.a Đặt vu = = 3 3 12 1 ;12 . ta có: ( ) ( ) = = 2 1 1. xvu vu 0,25 ( ) ( ) ( ) 200620083 323 12 1 12.3 3 33 3 3 =++ = === xx xxvuuvvuvux 0,5 Vậy giá trị cần tìm của P là 2006 0,25 Bài 2.b ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1112 111211111 2222 22222222 =+ =++=+ xyxyxyyx xyxyxyyxxyyx 0,5 Lại có: ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 222222 2 22 1121111 xyxyxyyxxyxy += ( )( ) ( )( ) 011122 1121 222222 22222222 =++= ++= xyxyyxyx xyxyyxyxyx 0,5 Vậy 1 22 =+ yx 0,25 Bài 3.a ( ) 4 4411 2 xyyx yxxy yx yxyx + + + + + do x, y, x+y dơng ( ) 0 2 yx BĐT cuối cùng đúng. Do đó: yxyx + + 411 1,0 Bài 3.b Theo câu a: yxyx + + 411 dấu bằng khi ( ) yxyx == 0 2 . ta có cba cbacbacbacba ba baba =+= ++ + + =+ + ++ = + + khibằng dấu 4 4 .4 11 4 44411 khibằng dấu 411 0,25 0,5 Vậy 4 min =P khi 2;1 === cba 0,25 Bài 4 a có vAQMvAHMvAPM 1 ,1 , 1 === => P, H, Q thuộc đờng tròn đờng kính AM. Vậy 5 điểm A, P, H, M, Q cùng thuộc đờng tròn đờng kính AM . 1,25 b xét đờng tròn đờng kính AM tâm O bán kính R. có OQOPRHQPHQAHPAH ====== 0 30 nên POQH là hình thoi 1,0 c Tính đợc 3RPQ = vậy minmin RPQ lại có AHAMR = 2 vậy PQ min khi và chỉ khi HM 1,0 O Q P H C A B M . thị x Uông bíã Đề thi chọn Học sinh giỏi cấp thị x ã Phòng GD&ĐT Uông Bí năm học 2007 - 2008. Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 29 / 01/ 2008 Bài. 20078 2 ++ aa là số chính phơng. b) Cuối học kì, một học sinh có hơn 11 bài kiểm tra đạt các điểm 8, 9, 10. Biết tổng số điểm các bài kiểm tra đó là 100. Hỏi học sinh đó có bao nhiêu bài kiểm tra. vị trí của M trên BC sao cho PQ có độ dài nhỏ nhất. Hết hớng dẫn chấm thi hsg thị xã uông bí năm học 2007 -2008 môn toán Lời giải sơ lợc Biểu điểm Bài 1.a Biến đổi: ( ) ( ) Nb 1991420078 2 2 2 =++=++