đánh giá quyền chọn bằng mô hình nhị phân

Mô hình nhị phân một thời kỳKhi quyền chọn hết hiệu lực thì cổ phiếu có thể nhận một trong hai giá trị sau: Nó có thể tăng lên theo một tham số u hoặc giảm xuống theo một tham số d.. Mô

Bài 4: Định giá quyền chọn bằng mô hình nhị phân

QUẢN TRỊ RỦI RO TÀI CHÍNH

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Mô hình nhị phân nghĩa là tính đến trường hợp giá cổ

phiếu hoặc tăng lên hoặc giảm xuống với những khả năng xảy ra khác nhau

Một phân phối xác suất nhị phân là một phân phối xác suất có tất cả hai kết quả hoặc hai trạng thái Xác suất của một biến động tăng hoặc giảm được chi phối bởi phân phối xác suất nhị phân Vì lý do này mà mô hình còn được

gọi là mô hình hai trạng thái.

Một thời kỳ nghĩa là dựa trên giả định đời sống quyền chọn chỉ còn 1 đơn vị thời gian

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Khi quyền chọn hết hiệu lực thì cổ phiếu có thể nhận một

trong hai giá trị sau: Nó có thể tăng lên theo một tham số u hoặc giảm xuống theo một tham số d Nếu nó tăng lên thì giá cổ phiếu sẽ là Su Nếu giá cổ phiếu giảm xuống thì nó

sẽ là Sd.

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Xem xét một quyền chọn mua cổ phiếu với giá thực hiện

là X và giá hiện tại là C Khi quyền chọn hết hiệu lực, giá của nó sẽ là Cu hoặc Cd Bởi vì tại ngày hiệu lực, giá của quyền chọn là giá trị nội tại của nó nên:

Cu = Max[0,Su – X]

Cd = Max[0,Sd – X]

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Mục tiêu của mô hình này là xây dựng một công thức để

tính toán giá trị lý thuyết của quyền chọn, biến số C.

Công thức tìm C được phát triển bằng cách xây dựng một danh mục phi rủi ro của cổ phiếu và quyền chọn

Danh mục phi rủi ro này được gọi là một danh mục đã

được phòng ngừa rủi ro (hedge portfolio), từ đây

chúng tôi sẽ gọi tắt là danh mục phòng ngừa, nó bao gồm h cổ phần và một vị thế bán quyền chọn mua

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Giá trị hiện tại của danh mục được ký hiệu là V, với

V = hS – C

là khoản tiền mà bạn cần để xây dựng danh mục này

Tại ngày đáo hạn, giá trị của danh mục hoặc là Vu nếu cổ phiếu tăng giá hoặc là Vd nếu cổ phiếu giảm giá Sử dụng các ký hiệu đã định nghĩa ở trên chúng ta được:

Vu = hSu – Cu

Vd = hSd – Cd

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Nếu kết quả của danh mục là không đổi bất chấp giá cổ phiếu biến động như thế nào thì danh mục được gọi là phi rủi ro Khi đó, Vu = Vd

Sd Su

Mô hình nhị phân một thời kỳ

r 1

C ) p 1

d r

1 p









Chúng ta được công thức định giá quyền chọn

với p được tính bởi

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Những biến số tác động đến giá quyền chọn mua là:

• Giá cổ phiếu ở thời điểm hiện tại: S

• Giá thực hiện: X

• Lãi suất phi rủi ro: r

• Hai tham số u và u d, giải thích cho các khả d năng

về giá trong tương lai của cổ phiếu tại ngày đáo hạn của quyền chọn

Tại sao không có yếu tố thời gian đáo hạn?

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Ví dụ minh họa

Xem xét một cổ phiếu hiện tại đang có giá là $100 Một

kỳ sau nó có thể tăng lên $125, một sự gia tăng 25% hoặc giảm xuống $80, một sự sụt giảm 20% Giả sử một quyền chọn mua với giá thực hiện là $100 Lãi suất phi rủi ro là 7%

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Ví dụ minh họa

556 ,

0 80

0 80

, 0 25 , 1

80 , 0 07

,

1 d

u

d r

14 07

, 1

0 ) 4 , 0 ( 25 ) 6 , 0

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Danh mục phòng ngừa

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Quyền chọn bị đánh giá cao

Giả sử giá thị trường của quyền chọn mua là $15

0

1 600

40

$

500

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Nếu giá cổ phiếu giảm xuống $80, nhà đầu tư sẽ mua lại

và phải trả 556($80) = $44.480 trong khi quyền chọn hết hiệu lực mà không được thực hiện

Mô hình nhị phân một thời kỳ

Quyền chọn bị đánh giá thấp

Nhìn toàn thể giao dịch này giống một khoản nợ, trong đó nhà đầu tư nhận trước $42.600 và sau đó trả lại $44.500 Điều này tương đương với một mức lãi suất bằng ($44.500/$42.600 – 1) = 0,0446

Bởi vì giao dịch này tương đương với việc đi vay với lãi suất 4,46% và lãi suất phi rủi ro là 7% nên nó là một cơ hội đi vay hấp dẫn

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Mô hình của chúng ta sẽ có ba thời điểm:

• Ngày hôm nay là thời điểm 0,

• Thời điểm 1

• Thời điểm 2

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Các giá quyền chọn tại ngày đáo hạn là:

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

u u

pC (1 p)C C

C ) p 1

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Để tính được giá quyền chọn mua vào thời điểm đầu

kỳ, chúng ta chiết khấu bình quân có trọng số của hai mức giá khả thi trong tương lai của quyền chọn mua

theo lãi suất phi rủi ro cho một thời kỳ Do đó, mô hình nhị phân một thời kỳ là một công thức tổng quát

có thể sử dụng cho mô hình đa thời kỳ khi chỉ còn lại một thời kỳ.

r 1

C ) p 1

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Thay công thức tính Cu và Cd trên vào ta có công thức tổng quát của mô hình nhị phân 2 thời kỳ:

2

d

2 ud

u

2

) r 1

(

C )

p 1

( C

) p 1

( p 2 C

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Chúng ta cần phải điểu chỉnh tỷ số phòng ngừa Nếu giá cổ phiếu là Su thì chúng ta gọi tỷ số phòng ngừa mới là hu; nếu giá cổ phiếu là Sd thì tỷ số này sẽ là hd

Sd Su

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Ví dụ minh họa

Chúng ta mở rộng ví dụ trên trong trường hợp quyền chọn còn hiệu lực trong 2 thời kỳ nữa

Xem xét một cổ phiếu hiện tại đang có giá là $100 Một

kỳ sau nó có thể tăng lên $125, một sự gia tăng 25% hoặc giảm xuống $80, một sự sụt giảm 20% Giả sử một quyền chọn mua với giá thực hiện là $100 Lãi suất phi rủi ro là 7%

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Su2 = 100(1,25)2

= 156,25Sud = 100(1,25)(0,80)

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Giá trị của quyền chọn mua tại ngày đáo hạn là:

2

u C

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Trước hết chúng ta tính giá trị của Cu và Cd:

54 ,

31 07

, 1

0 ) 4 , 0 ( 25 , 56 ) 6 , 0

(

00,

007

,1

0)4,0(0)6,0

(

69,

1707

,1

0)4,0(54,31)6,0(

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Danh mục phòng ngừa

701,

080

125

00,054

Mua 701 cổ phần với giá $100 = $70.100 (tài sản)

Bán 1.000 quyền chọn mua với

Đầu tư thuần = $52.410 (giá trị thuần)

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Quyền chọn mua bị định giá sai trong mô hình hai thời kỳ

Nếu quyền chọn mua bị định giá thấp, chúng ta nên mua

Mô hình nhị phân hai thời kỳ

Quyền chọn mua bị định giá sai trong mô hình hai thời kỳ

Mở rộng mô hình nhị phân

Định giá quyền chọn bán

Tại thời điểm 1, sử dụng cùng công thức mà chúng ta đã

áp dụng cho quyền chọn mua:

00,

007

,1

0)4,0(0

)6,0

(

46,

1307

,1

36)4,0(0)6,0(

5 07

, 1

46 , 13 ) 4 , 0 ( 0 ) 6 , 0 (

Mở rộng mô hình nhị phân

Định giá quyền chọn bán

Tại thời điểm 0 tỷ số phòng ngừa là:

299 ,

0 80

125

46 , 13

299($100) = $29.900 (bằng cổ phần)

1.000($5,03) = $5.030 (bằng các quyền chọn bán)

Tổng cộng = $34.930

Mở rộng mô hình nhị phân

Quyền chọn bán kiểu Mỹ được thực hiện sớm

Trả lời cho câu hỏi

Khi quyền chọn bán ở trạng thái cao giá ITM thì chúng ta có đáng để thực hiện sớm

quyền chọn hay không?

Mở rộng mô hình nhị phân

Quyền chọn bán kiểu Mỹ được thực hiện sớm

Trở lại với giá trị quyền chọn bán kiểu châu Âu đã được

tính tại thời điểm 1 Giá trị của chúng là:

00 ,

0 07

, 1

0 ) 4 , 0 ( 0 ) 6 , 0

(

46 ,

13 07

, 1

36 ) 4 , 0 ( 0 ) 6 , 0

(

khi giá cổ phiếu là $125

khi giá cổ phiếu là $80

Mở rộng mô hình nhị phân

Quyền chọn bán kiểu Mỹ được thực hiện sớm

Quyền chọn bán cao giá ITM một khoản $20 Vì vậy, chúng ta thực hiện quyền chọn, nghĩa là chúng ta thay thế giá trị Pd đã tính toán 13,46 bằng 20

Do đó, chúng ta bây giờ có Pu = 0 và Pd = 20 Khi đó giá trị tại thời điểm 0 là:

48,

707

,1

20)4,0(0)6,0(

Mở rộng mô hình nhị phân

Mở rộng mô hình nhị phân

Cổ tức, quyền chọn mua kiểu châu Âu và quyền chọn mua kiểu Mỹ được thực hiện sớm

• Giả định là giá cổ phiếu tăng lên 125

• Chúng ta có quyền thực hiện trước khi cổ phiếu được chia cổ tức, trả 100 và nhận được một cổ phiếu trị giá

125

• Do đó, giá trị quyền chọn tại thời điểm này là 25

0 ) 4 , 0 ( 25 ) 6 , 0 (

Mở rộng mô hình nhị phân

Mở rộng hô hình nhị phân ra n thời kỳ

• Khi tăng số thời kỳ trong đời sống của một quyền chọn thì giá trị của nó sẽ hội tụ về một con số

• Nếu chúng ta thu được một số lượng n cần thiết để đạt được sự miêu tả một cách chính xác những gì diễn ra cho cho giá cổ phiếu trong suốt đời sống quyền chọn

• Chúng ta có thể tự tin rằng giá trị quyền chọn mà chúng

ta tính được sẽ phản ánh gần như chính xác giá trị trong thực tế của quyền chọn

Giá trị của quyền chọn khi n tiến tới vô cực sẽ có một tên gọi rất đặc biệt, được gọi là giá trị BLACK - SCHOLE