Phương pháp tìm GTLN GTNN dành cho học sinh THCS. ................................................................ ......................................................................................................................................................................................
.:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 1 CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 1. Kiến thức cơ bản: Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x). Kí hiệu tập xác định của hàm số f(x) là D. Giá trị lớn nhất: m được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) nếu: Kí hiệu: xD m max f x hoặc giá trị lớn nhất của y = m. Giá trị nhỏ nhất: M được gọi là giá trị nhỏ nhất nếu: Kí hiệu: xD M min f x hoặc giá trị nhỏ nhất của y = M. 2. Bài tập áp dụng theo dạng toán: Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai. Cho biểu thức: f(x) = ax 2 + bx + c, (a ≠ 0). Ta có: Giá trị lớn nhất của f(x): GTLN f(x) = m, đạt được khi cx + d = 0 d x c . Giá trị nhỏ nhất của f(x): GTNN f(x) = M, đạt được khi ex + f = 0 f x e Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = 2x 2 + 6x + 10. Giải Ta có: y = 2x 2 + 8x + 15 y = 2(x 2 + 4x + 4) + 7 y = 2(x + 2) 2 + 7 ≥ 7. Vậy giá trị nhỏ nhất của y = 7, đạt được khi x + 2 = 0 x = -2. Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = 5 + 4x - 4x 2 . Giải Ta có: y = 5 + 4x - 4x 2 y = 6 -(1 - 4x + 4x 2 ) y = 6 - (1 - 2x) 2 ≤ 6 Vậy giá trị lớn nhất của y = 6, đạt được khi 1 - 2x = 0 2 1 x . Bài tập 3: Tìm giá trị của m, p sao cho: P = m 2 – 4mp + 5p 2 + 10m – 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Giải Ta có: P = m 2 – 4mp + 5p 2 + 10m – 22p + 28 = ( m – 2p) 2 + ( p – 1) 2 +27 + 10(m – 2p) Đặt: X = m - 2p. Ta có: P = X 2 + 10 X + (p - 1) 2 + 27 = (X + 5) 2 + (p - 1) 2 + 2. f(x) m, với mọi xD f(x) M, với mọi x 0 D f(x) = m - (cx + d) 2 hoặc f(x) = M + (ex + f) 2 , với m, M là hai số thực. .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 2 Ta thấy (X + 5) 2 0; (p - 1) 2 0, với mọi m, p. Do đó: P ≥ 2. P đạt giá trị nhỏ nhất khi X + 5 = 0 và p - 1 = 0. Giải hệ điều kiện trên ta được: p = 1, m = -3. Suy ra: Giá trị nhỏ nhất của P = 2, với p = 1, m = -3 Vậy p = 1 và m = -3 là hai giá trị cần tìm. Bài tập 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x3 16x15x 2 . Giải Ta có P = x3 16x15x 2 = 3 23 x3 4x 2 , với mọi x > 0 Vì x > 0 nên 2 x4 23 23 3x 3 3 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 3 23 , đạt được khi x = 4. Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 3x2x 10x6x3 2 2 . Giải Tập xác định: D = R. Ta có: P = 3x2x 10x6x3 2 2 = 3 + 21x 1 2 . Vì 2 1 21x 1 2 nên ta có: P = 3 + 21x 1 2 3 + 2 1 = 3,5. Vậy giá trị lớn nhất của P = 3,5, đạt được khi (x + 1) 2 = 0 x = -1 Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 2xy2yx 1xyyxy 2442 222 . Giải Ta có: P = 2xy2yx 1xyyxy 2442 222 = 2 1 2x 1 2x1y 1y 224 4 , vì x 2 + 2 ≥ 2. Vậy giá trị lớn nhất của P = 2 1 , đạt được khi x = 0 và yR. Bất đẳng thức Cô si (Cauchy): Với hai số thực không âm x, y, z, t, ta có: xy xy 2 3 x y z xyz 3 Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng Px 0 Qx hoặc Px 0 Qx , với P(x) và Q(x) là các đa thức có bậc lớn hơn 0. Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi. .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 3 x y z t xyz 4 4 Với mọi số thức không âm x 1 , x 2 , , x n , ta có: n n n x x x x x x n 12 12 Đẳng thức chỉ xảy ra khi và chỉ khi x 1 = x 2 = = x n . Đại lượng n x x x n 12 được gọi là trung bình cộng của các số x 1 , x 2 , , x n . Đại lượng 1 2 n x x x được gọi là trung bình nhân của các số x 1 , x 2 , , x n . Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x 2x8 2 , với x > 0. Giải Ta có: P = x 2x8 2 = 8x + x 2 . Ta thấy 8x và x 2 là hai đại lượng lấy giá trị dương. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương là 8x và x 2 ta có: 8x + x 2 .8162 x 2 .x82 Dấu bằng xảy ra khi: 8x = x 2 x = 2 1 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 8, đạt được khi x = 2 1 . Bài tập 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2x + x8 1 , với x > 0. Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương: 2x và x8 1 , ta có: P = 2x + 1 4 1 2 x8 1 .x22 x8 1 hay P ≥ 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 1, đạt được khi 2x = x8 1 x = 4 1 . Bất đẳng thức Buanhiakovski: Cho hai dãy số thực a 1 , a 2 , , a n và b 1 , b 2 , , b n . Khi đó ta có bất đẳng thức sau: (a 1 b 1 + a 2 b 2 + +a n b n ) 2 (a 1 2 + a 2 2 + +a n 2 )(b 1 2 + b 2 2 + b n 2 ) Dấu bằng xảy ra khi 1 2 n 1 2 n a a a = = = b b b Bài tập 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x 2 + y 2 + z 2 . Biết: x + y + z = 1995. Giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovski cho bộ ba số: (1, 1, 1) và (x, y, z) ta có: (x.1 + y.1 + z.1) 2 ≤ (1 + 1+ 1)(x 2 + y 2 + z 2 ) Dạng 4: Tìm GTLN,GTNN bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki (Bouniakovski ) hay còn gọi là bất đẳng thức Cauchy - Schwarz (C - S). .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 4 ( x + y + z ) 2 ≤ 3(x 2 + y 2 + z 2 ) 1995 2 ≤ 3(x 2 + y 2 + z 2 ), vì x + y + x = 1995. Từ đó, ta có: P = x 2 + y 2 + z 2 3 1995 2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 3 1995 2 , đạt được khi 665zyx 1995zyx zyx . Bài tập 10: Cho biểu thức: z5y4x2P . Trong đó x, y, z là các đại lượng thoả mãn điều kiện: x 2 + y 2 + z 2 = 169. Tìm giá trị lớn nhất của P. Giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovski cho bộ ba số:(2, 4, 5 ) và (x, y, z), ta có: 222 2 22 2 zyx542z5y4x2 Hay P 2 222 2 22 zyx542 , vì x 2 + y 2 + z 2 = 169 nên P 2 25.169. Vậy giá trị lớn nhất của P = 65, đạt được khi 169zyx 5 z 4 y 2 x 222 . Từ đó tìm được: x = 5 26 ; 5 26 . y = . 5 52 ; 5 52 z = 5 513 ; 5 513 . * Lưu ý: - Giá trị lớn nhất của A = a fx (với a là số dương) là a GTNN f xcña . - Giá trị nhỏ nhất của B = b fx (với b là số dương) là b GTLN f xcña . 3. Bài tập áp dụng chung: Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A = x 2 - 4x + 7 b) B = 4x 2 + 5x - 1 c) C = 22 25x -20x+4 + 25x -30x+9 Giải a) Ta có: A = x 2 - 4x + 7 = (x - 2) 2 + 3 3. Vậy GTNN của A là 3, đạt được khi x - 2 = 0 x = 2. b) Ta có: B = 4x 2 + 5x - 1 = x 2 5 21 21 2 2 4 4 . Vậy GTNN của B là 21 4 , đạt được xx 55 20 24 . c) Ta có: 22 22 C = 25x -20x +4 + 25x -30x+9 = 5x-2 + 5x -3 x ; 2 5 2 0 đạt được khi 5 x= 2 . .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 5 Và x ; 2 5 3 0 đạt được khi 5 x= 3 Với 5 x= 2 hoặc 5 x= 3 thì GTNN của C = 0. Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của P = x 1- x Giải P = x x x x x 2 1 1 1 1 4 2 4 Đẳng thức xảy ra khi xx 11 24 Do đó giá trị lớn nhất của P là 1 4 đạt khi 1 x= 4 . Bài tập 3: Tìm giá trị của x để biểu thức 2 1 x -2 2x +5 có giá trị lớn nhất. Giải Ta có: x x x xx 2 2 2 2 2 5 2 3 3 11 3 2 2 5 Khi x = 2 thì biểu thức 2 1 x -2 2x +5 đạt giá trị lớn nhất là 1 3 . Bài tập 4: Với hai số không âm x và y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 4009 P = x - 2 xy +3y - 2 x + 2 Giải Đặt: x = a, y = b , với a, b 0, ta có: P = a 2 - 2ab + 3b 2 - 2a + 2004,5 = a 2 - 2(b+ 1)a + 3b 2 + 2004,5 = a 2 - 2(b + 1)a + (b + 1) 2 + 2b 2 - 2b + 2003,5 a b b b , a b b 2 2 2 2 11 1 2 2003 5 42 1 1 2 2003 2003 2 Vì ab 2 10 và b , a, b 2 1 0 2 . P = 2003 khi ab a b b 3 1 2 1 1 0 2 2 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 6 Vậy GTNN của P = 2003 đạt được khi xx yy 39 24 11 24 . Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: xx 2 6 24 . Giải Ta có: x 2 - 2x + 4 = (x -1) 2 + 3 3. Do đó: . xx 2 61 62 2 4 3 Dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 x = 1. Vậy GTLN của xx 2 6 24 là 3. Bài tập 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức xx 2 10 49 . Giải Ta có: -x 2 + 4x - 9 = -5 - (x - 2) 2 - 5. Do đó: xx 2 10 10 2 4 9 5 . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x - 2 = 0 x = 2. Vậy GTNN của biểu thức xx 2 10 49 là -2. Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 8x -50x +79 x -6x +9 . Giải Ta có: 2 2 2 2 22 2 8 x -6x +9 -2 x-3 +1 8x -50x +79 = x -6x +9 x -3 1 1 1 1 = 8-2. + = -2. +1+7 x -3 x -3 x -3 x -3 1 = -1 + 7 ³ 7 x -3 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x x . x 1 1 0 3 1 4 3 Vậy GTNN của biểu thức 2 2 8x -50x +79 x -6x +9 là 7. Bài tập 8: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức x A x 2 83 41 . Giải x A x 2 83 41 A(4x 2 + 1) = 8x + 3 4Ax 2 - 8x + A - 3 = 0. Ta có: = 8 2 - 4.4A.(A - 3) = 0. .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 7 A 2 - 3A - 4 = 0 A = -1, A = 4. Giá trị nhỏ nhất là của A là -1 đạt được khi x = -1 và giá trị lớn nhất của A là 4 đạt được khi x = 1 4 . Bài tập 9: Cho hai số thực x, y thoả mãn điều kiện: x 2 + y 2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = x + y. Giải Ta có: (x + y) 2 2(x 2 + y 2 ) = 2 M 2 2 2 M 2 Suy ra Min M = - 2 , đạt được khi 2 x = y = - 2 Bài tập 10: Cho x, y, z là ba số không âm thoả mãn: xy + yz + zx = 100. Tìm giá trị lớn nhất của P = xyz. Giải Ta có: P 0. Xét 100 = xy + yz + zx 3 3 xy.yz.zx 3 3 22 100 100 3 P P 3 100 100 P 33 Suy ra: maxP = 100 100 33 , đạt được xy = yz = zx. Bài tập 11: Cho biểu thức y = x - x -1993 (với x > 1993). Tìm giá trị nhỏ nhất của y. Giải Ta có: y = (x - 1993) - x -1993 + 1993 = 2 1 7971 7971 x 1993 2 4 4 Suy ra: min y = 7971 4 . Bài tập 12: Cho a và b thoả mãn a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = a 3 + b 3 + ab. Giải Ta có: E = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) + ab = a 2 - ab + b 2 + ab = a 2 + b 2 Ta lại có: 2(a 2 + b 2 ) ( a+ b) 2 = 1 a 2 + b 2 1 2 Suy ra: MinE = 1 2 , đạt được khi a = b = 1 2 . Bài tập 13: Cho biểu thức: P = a +3-4 a-1 + a +15-8 a -1 , (với a > 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. Giải Ta có: a + 3 - 2 4 a -1 = a -1-2 a + 15 - 2 8 a -1 = a -1-4 P a 1 2 a 1 4 a 1 2 4 a 1 2 Suy ra: minP = 2 đạt được khi a= 1. Bài tập 14: Cho biểu thức: Q = (x - ay) 2 + 6(x - ay) + x 2 + 16y 2 - 8xy + 2x - 8y + 10. Với x, y, a là các số nguyên. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q. .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 8 Giải Ta có: Q = (x - ay + 3) 2 + (x - 4y) 2 + 2(x - 4y) + 1 = (x- ay + 3) 2 + (x - 4y + 1) 2 0. Suy ra: minQ = 0, đạt được khi x - ay + 3 = 0 và x - 4y + 1 = 0. Bài tập 15: Cho hai số dương x và y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 11 T = 1- 1- xy . Giải Biến đổi: T = 1 + 2 xy Mà: 1 = (x + y)2 2 4xy 8 T 9 xy Suy ra: Giá trị nhỏ nhất của T = 9, đạt được khi x = y = 1 2 Bài tập 16: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2 x y= x +1 Giải Tập xác đinh D = R y 0 là một giá trị của hàm số Phương trình 0 2 x y= x +1 có 1 nghiệm x R. Phương trình 2 00 x y +y = x có 1 nghiệm x R. Phương trình 2 00 x y -x + y = 0 có 1 nghiệm x R. 0 1 - 4y 2 0 y 2 4 y 11 22 Vậy giá trị nhỏ nhất của y = 1 2 , giá trị lớn nhất của y = 1 2 . Bài tập 17: Xác định các tham số a, b sao cho hàm số y = 2 ax + b x +1 đạt giá trị lớn nhất bằng 4, giá trị nhỏ nhất bằng -1. Giải Tập xác định D = R. y 0 là một giá trị của hàm số phương trình 0 2 ax +b y= x +1 có nghiệm x R. Phương trình y 0 x 2 - ax + y 0 - b = 0 có nghiệm x R (1) Nếu y 0 = 0 thì (1) ax = - b có nghiệm. ab a 0 0 Nếu y 0 0 thì (1) có nghiệm 0 a 2 - 4(y 0 - b)y 0 0. y by a 22 00 4 4 0 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 9 Theo đề bài y 0 đạt giá trị lớn nhất là 4, giá trị nhỏ nhất là -1 nên phương trình 22 00 4y 4by a phải có nghiệm là -1 và 4 (Do -1.4 = - 4 < 0). Theo định lý Viét, ta có: a a b b 2 4 4 4 3 3 Vậy với a = 4; b = 3 hoặc a = -4, b = 3 thì min y = -1, max y = 4. Bài tập 18: Cho a 1 a 2 n . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = |x - a 1 | + |x - a 2 | + + |x - a n |. (Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK TP. HCM) Giải Ta xét 2 trường hợp, n chẵn và n lẻ. Với n chẵn, đặt n = 2k. Ta có: A = |x - a 1 | + |x - a 2 | + + |x - a k | + |a k+1 - x| + |a k+2 - x| + + |a 2k - x| x - a 1 + x - a 2 + + x - a k + a k+1 - x + a k+2 - x + + a 2k - x = -a 1 - a 2 - - a k + a k+1 + + a 2k . Dấu bằng có thể xảy ra, chẳng hạn như x = a k . Với n chẵn, đặt n = 2k. Ta có: A = |x - a 1 | + |x - a 2 | + + |x - a k | + |a k+1 - x| + |a k+2 - x| + |a k+3 - x| + + |a 2k+1 - x| x - a 1 + x - a 2 + + x - a k + a k+1 - x + a k+2 - x + a k+3 - x + a 2k+1 - x = -a 1 - a 2 - - a k + a k+1 + a k+3 + a 2k+1 . Dấu bằng có thể xảy ra, chẳng hạn như x = a k+1 . Bài tập 19: Cho a, b là các số thực thỏa mãn a 2 + b 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của: P = (|a + 1| + |b + 1|) + (|a - 1| + |b + 1|) Giải Theo bất đẳng thức Bouniakovski. Ta có: 1.|a + 1| + 1.|a - 1| a a a 22 2 2 1 1 2 1 1.|b + 1| + 1.|b - 1| b b b 22 2 2 1 1 2 1 . a . b a b 2 2 2 2 2 1 2 1 8 2 2 6 Cộng các vế bất đẳng thức, ta được: (|a + 1| + |b + 1|) + (|a - 1| + |b + 1|) ab 22 2 1 2 1 2 6 Vậy giá trị lớn nhất của P là 26 . Bài tập 20: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = |2x - 3| + |2x - 1| Giải Áp dụng BĐT: |x| + |y| |x + y| Dấu "=" xảy ra khi xy 0. Suy ra: A = |2x - 3| + |2x - 1| |2x - 3 +1 - 2x| = |-2| = 2. Dấu "=" xảy ra khi (2x - 3)(1 - 2x) 0 x 13 22 Vậy Min A = 2 khi x 13 22 . Bài tập 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = |x 2 + x + 3| + |x 2 + x - 6| Giải Tương tự (Bài tập 3): Min B = 9 khi -3 x 2. Bài tập 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = |x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + |x - 4| Giải .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Biên soạn: Trần Trung Chính 10 Tương tự (Bài tập 4): Min B = 4 khi 2 x 3. Bài tập 23: Cho a < b < c < d. Tìm: Min f(x) = |x - a| + |x - b| + |x - c| + |x - d| HD: Tương tự (Bài tập 5), ta có: Min f(x) = d + c - b - a đạt được khi b x c. Bài tập 24: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nếu có của các biểu thức sau: a) E =|x - 1| + |x - 3| b) F = |2x - 1| 2 - 3|2x - 1| + 2 Giải a) x 1 3 x – 1 - 0 + + x - 3 - - 0 + Khi x < 1: E = 1 – x + 3 – x = 4 – 2x > 4 – 2.1 = 2. Khi 1 x 3 : E = x – 1 + 3 – x = 2. Khi x > 3: E = x – 1 + x – 3 = 2x – 4 > 2.3 – 4 = 2. Vậy minE = 2 khi 1 x 3 . b) Đặt t 2x 1 0 khi đó 2 2 3 1 1 F t 3t 2 t , t 2 4 4 Dấu “=” xảy ra khi 5 x 3 3 3 4 t 2x 1 2x 1 1 2 2 2 x 4 Vậy minF = 1 - 4 khi 5 x= 4 hoặc 1 x = - 4 . Bài tập 25: (Áp dụng bất đẳng thức Cauchy) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: Z = x 2 y(4 - x - y) Trong đó x, y 0 xy 6 (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Toán ĐHTH Hà Nội năm 1993) Giải Ta tìm GTLN. Ta có: x 2 y(4 - x - y) = xx 4. . .y 4 - x - y . 22 Nhận thấy bộ 4 số xx ; ; y; 4 - x - y 22 có tổng là 4. Nhưng 4 - x - y nhận giá trị không âm, do đó ta xét 2 trường hợp: Xét 0 x + y 4, ta có: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: Z = x 2 y(4 - x - y) = xx y x y xx . . .y x y 4 4 22 4 4 4 4 2 2 4 Dấu "=" xảy ra khi x = 2; y = 1. Xét 4 x + y, ta có: Z 0 < 4. Như vậy trong mọi trường hợp ta đều có Z 4. Vậy Z max = 4. Đẳng thức xảy khi x = 2, y = 1. Ta tìm GTNN. [...]... + c(1 - d) + d(1 - a) Bài tập 84: Tìm GTNN, GTLN của A = x3 + y3, biết x, y 0; x2 + y2 = 1 Bài tập 85: Tìm GTNN, GTLN của A = x x + y y , biết x + y = 1 Bài tập 86: (Áp dụng phương pháp tiếp cận dấu bằng của bất đẳng thức) Cho x, y, z [1, 2] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: xy xz yz C= + + xz + yz xy + yz xy + xz Bài tập 87: Cho x + y = 15 Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: B = x - 4 + y -... Bài tập 10: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của A = 2 x 1 4x 3 Bài tập 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức B = 2 x x 1 Bài tập 12: Tìm cực trị các đa thức sau: a) Tìm Min A = 4x2 - 4x + 6 b) Tìm Max B = - x + 3 x - 7 2 c) Tìm Min và Max của f(x) = x - 4x + 6 khi x 3; 4 Bài tập 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: f(x) = x -1 12x x - a Bài tập 14: Tìm giá trị lớn... 0 và a + b + c + d = 1 Bài tập 81: (Áp dụng phương pháp tiếp cận dấu bằng của bất đẳng thức) Cho a, b, c [1, 2] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: a 3 + b3 + c3 A= 3abc b c + Bài tập 82: Tìm GTNN của: A = , với b + c a + d; b, c > 0; a, d 0 c+d a+b Bài tập 83: (Áp dụng phương pháp tiếp cận dấu bằng của bất đẳng thức) Cho a, b, c, d, e [0, 1] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B =... 3y2 5 a b Bài tập 76: Tìm GTNN của A = x + y, biết x, y > 0 thỏa mãn + = 1 (a và b là hai số dương) x y Bài tập 77: Tìm GTNN của A = (x + y)(y + z), với x, y, z > 0, xyz(x + y + z) = 1 xy yz zx Bài tập 78: Tìm GTNN của A = A = với x, y, z > 0 và x + y + z = 1 + + z x y Bài tập 79: Tìm GTNN của A = x2 y2 z2 + + , biết x, y, z > 0, x+y y+z z+x xy + yz + zx = 1 Bài tập 80: Tìm GTLN của: a) A = ... nhất của A = |x - y|, biết x2 + 4y2 = 1 Bài tập 51: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của A = x - 2 + y -1 với |x| + |y| = 5 Bài tập 52: Tìm GTLN của: A = |x - y|, biết x2 + 4y2 = 1 Bài tập 53: Cho a, b, c là các số thực phân biệt Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a b c A= + + b-c c-a a-b ĐS: Min A = 2 Bài tập 54: Cho các số thực x, y, z khác nhau đôi một Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x 3 - y3 y3... = 5 Bài tập 71: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4, biết rằng: xy + yz + zx = 1 Bài tập 72: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của: A = Bài tập 73: Tìm giá trị lớn nhất của: M = Bài tập 74: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = Biên soạn: Trần Trung Chính 1- x + 1+ x 2 a + b , với a, b > 0 và a + b 1 x + a x + b x 17 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: Bài tập 75: Tìm giá trị nhỏ... VÀO LỚP 10 :: Bài tập 18: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức A = 1 2 3 x2 2 1 , với 0 < x < 1 1 x x Bài tập 20: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của: Bài tập 19: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = a) A = 2x + 5 x2 b) B = x 99 + 101- x 2 Bài tập 21: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 3x 2 +14x +15 x 2 + 4x + 4 ĐS: Max A = 4, đạt được khi x = - 4 Bài tập 22: Tìm giá trị lớn nhất của... 3 3x 2 -8x + 6 Bài tập 42: Tìm giá trị nhỏ nhất A = 2 x - 2x +1 x Bài tập 43: Tìm GTNN của: A = 3 + 3y với x + y = 4 Bài tập 44: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: x 2 - x +1 x +1 a) a = 2 b) B = 2 x + x +1 x +1 Đáp số: maxA = Biên soạn: Trần Trung Chính 15 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: Bài tập 45: Cho các số thực x, y, z [1; 2] 2 - xy 2 - yz 2 - zx Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:... Bài tập 46: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu thức sau, biết x [-2; 3] a) A = |2x + 1| + 3 b) B = |x + 1| + |2x - 1| c) C = |x2 - 2x| Bài tập 47: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = |x - 1| + |x - 3| ĐS: Min A = 3 Bài tập 48: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x + y 1- xy 1+ x 1+ y 2 2 2 2x 2 + x -1 Bài tập 49: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2 x - x +1 Bài tập 50: Tìm giá trị... y = z = b) Min A = 3 3 Bài tập 93: Tìm GTLN của biểu thức A = 1 1 1 + 3 3 + 3 3 3 a + b +1 b + c +1 c + a +1 3 Với a, b, c là các số dương và abc = 1 ĐS: Max A = 1, khi a = b = c = 1 Bài tập 94: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: A = x + y + z + xy + yz + zx, biết rằng x2 + y2 + z2 = 3 ĐS: Min A = -2, khi x = y = -1, z = 1 a + 3c c + 3b 4b Bài tập 95: Cho a, b, c Tìm min P = + + a +b b+c c+a ĐS: Min . y . Giải Vì x > 0; y > 0 nên 11 0; 0; x 0; y 0, xy theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 1 1 1 1 1 . x y 2 x y 11 xy 4 4 xy Vận dụng bất đẳng thức Cauchy. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) 2 2 x -x +1 A= x -2x +1 với 1x b) 2 2 11x -70x +112 B= x +9-6x , với 3x . Bài tập 25: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a) 2 2 x. 2b + 2003,5 a b b b , a b b 2 2 2 2 11 1 2 2003 5 42 1 1 2 2003 2003 2 Vì ab 2 10 và b , a, b 2 1 0 2 .