Phương pháp tìm GTLN GTNN dành cho học sinh THCS. ................................................................ ......................................................................................................................................................................................
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
1 Kiến thức cơ bản:
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x)
Kí hiệu tập xác định của hàm số f(x) là D
Giá trị lớn nhất:
m được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) nếu:
x D
m max f x
hoặc giá trị lớn nhất của y = m
Giá trị nhỏ nhất:
M được gọi là giá trị nhỏ nhất nếu:
x D
M min f x
hoặc giá trị nhỏ nhất của y = M
2 Bài tập áp dụng theo dạng toán:
Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai
Cho biểu thức: f(x) = ax2
+ bx + c, (a ≠ 0)
Ta có:
Giá trị lớn nhất của f(x):
GTLN f(x) = m, đạt được khi cx + d = 0 x d
c
Giá trị nhỏ nhất của f(x):
GTNN f(x) = M, đạt được khi ex + f = 0 x f
e
Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = 2x2 + 6x + 10
Giải
Ta có: y = 2x2 + 8x + 15
y = 2(x2 + 4x + 4) + 7
y = 2(x + 2)2 + 7 ≥ 7
Vậy giá trị nhỏ nhất của y = 7, đạt được khi x + 2 = 0 x = -2
Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = 5 + 4x - 4x2
Giải
Ta có: y = 5 + 4x - 4x2
y = 6 -(1 - 4x + 4x2)
y = 6 - (1 - 2x)2 ≤ 6
Vậy giá trị lớn nhất của y = 6, đạt được khi 1 - 2x = 0
2
1
x
Bài tập 3: Tìm giá trị của m, p sao cho: P = m2
– 4mp + 5p2 + 10m – 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Giải
Ta có: P = m2 – 4mp + 5p2 + 10m – 22p + 28
= ( m – 2p)2 + ( p – 1)2+27 + 10(m – 2p)
Đặt: X = m - 2p
Ta có: P = X2 + 10 X + (p - 1)2 + 27
= (X + 5) 2 + (p - 1)2 + 2
f(x) m, với mọi xD
f(x) M, với mọi x0D
f(x) = m - (cx + d)2 hoặc f(x) = M + (ex + f)2, với m, M là hai số thực
Trang 2Ta thấy (X + 5)2 0; (p - 1)2 0, với mọi m, p
Do đó: P ≥ 2
P đạt giá trị nhỏ nhất khi X + 5 = 0 và p - 1 = 0
Giải hệ điều kiện trên ta được: p = 1, m = -3
Suy ra: Giá trị nhỏ nhất của P = 2, với p = 1, m = -3
Vậy p = 1 và m = -3 là hai giá trị cần tìm
Bài tập 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
x
16 x 15
x2
Giải
Ta có P =
x
16 x 15
x2
=
3
23 x
4
, với mọi x > 0
Vì x > 0 nên 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của P=
3
23
, đạt được khi x = 4
Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =
3 x x
10 x 6 x
2
2
Giải
Tập xác định: D = R
Ta có: P =
3 x x
10 x x
2
2
= 3 +
x 1 2
1
2
Vì
1 2
1
x
1
nên ta có: P = 3 + x 1 2
1
2
3 + 2
1
= 3,5
Vậy giá trị lớn nhất của P = 3,5, đạt được khi (x + 1)2
= 0 x = -1
Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =
2 x y 2 y x
1 x y y xy
2 4 4 2
2 2 2
Giải
2 x y 2 y x
1 x y y xy
2 4 4 2
2 2 2
1 2 x
1 2
x 1 y
1 y
2 2
4
4
, vì x2 + 2 ≥ 2
Vậy giá trị lớn nhất của P =
2
1 , đạt được khi x = 0 và yR
Bất đẳng thức Cô si (Cauchy):
Với hai số thực không âm x, y, z, t, ta có:
xy
2
3
x y z
xyz 3
Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng
P x
0
Q x
hoặc
P x
0
Q x , với P(x) và Q(x) là các đa thức có bậc lớn hơn 0
Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi
Trang 3x y z t
xyz
4
4
Với mọi số thức không âm x1, x2, , xn, ta có:
n
x x x
x x x n
1 2
Đẳng thức chỉ xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = = xn
Đại lượng x x xn
n
được gọi là trung bình cộng của các số x1, x2, , xn Đại lượng x x x được gọi là trung bình nhân của các số x1 2 n 1, x2, , xn
Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
x
2
x2 , với x > 0
Giải
Ta có: P =
x
2 x
8 2
= 8x +
x
2
Ta thấy 8x và
x
2
là hai đại lượng lấy giá trị dương
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương là 8x và
x
2
ta có:
8x +
x
2
8 16 2 x
2 x
Dấu bằng xảy ra khi: 8x =
x
2
x =
2
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 8, đạt được khi x =
2
1
Bài tập 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2x +
x
1 , với x > 0
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương: 2x và
x 8
1 , ta có:
4
1 2 x 8
1 x 2 2 x
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 1, đạt được khi 2x =
x 8
1
x =
4
1
Bất đẳng thức Buanhiakovski:
Cho hai dãy số thực a1, a2, , an và b1, b2, , bn Khi đó ta có bất đẳng thức sau:
(a1b1 + a2b2 + +anbn)2 (a12 + a22 + +an2)(b12 + b22 + bn2) Dấu bằng xảy ra khi 1 2 n
= = =
Bài tập 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x2
+ y2 + z2 Biết: x + y + z = 1995
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovski cho bộ ba số: (1, 1, 1) và (x, y, z) ta có:
(x.1 + y.1 + z.1)2 ≤ (1 + 1+ 1)(x2 + y2 + z2)
Dạng 4: Tìm GTLN,GTNN bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki (Bouniakovski ) hay còn gọi là bất đẳng thức Cauchy - Schwarz (C - S)
Trang 4 ( x + y + z )2 ≤ 3(x2 + y2 + z2)
19952 ≤ 3(x2 + y2 + z2), vì x + y + x = 1995
Từ đó, ta có: P = x2 + y2 + z2
3
19952
Vậy giá trị nhỏ nhất của P =
3
19952
1995 z
y x
z y x
Bài tập 10: Cho biểu thức: P 2x4y 5z
Trong đó x, y, z là các đại lượng thoả mãn điều kiện: x2
+ y2 + z2 = 169 Tìm giá trị lớn nhất của P
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovski cho bộ ba số:(2, 4, 5 ) và (x, y, z), ta có:
2 2 2 2 2 2 2
z y x 5 4 2 z
5
y
4
Hay P2 2 2 2 2 2 2
z y x 5 4
vì x2 + y2 + z2 = 169 nên P2 25.169
Vậy giá trị lớn nhất của P = 65, đạt được khi
169 z
y x
5
z 4
y 2 x
2 2 2
Từ đó tìm được: x =
5
26
; 5
26
5
52
; 5
52
z =
5
5 13
; 5
5 13
* Lưu ý:
- Giá trị lớn nhất của A =
a
f x (với a là số dương) là GTNN acña f x
- Giá trị nhỏ nhất của B =
b
f x (với b là số dương) là GTLN cñab f x
3 Bài tập áp dụng chung:
Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A = x2 - 4x + 7
b) B = 4x2 + 5x - 1
c) C = 25x - 20x + 4 + 25x - 30x + 92 2
Giải
a) Ta có: A = x2 - 4x + 7 = (x - 2)2 + 3 3
Vậy GTNN của A là 3, đạt được khi x - 2 = 0 x = 2
b) Ta có: B = 4x2 + 5x - 1 = x
2
2
Vậy GTNN của B là 21
4 , đạt được x2 5 0 x 5
c) Ta có:
2 2
C = 25x - 20x + 4 + 25x - 30x + 9 = 5x - 2 + 5x - 3
x 2 ;
5 2 0 đạt được khi x = 5
2
Trang 5Và
x 2 ;
5 3 0 đạt được khi x = 5
3 Với x = 5
2 hoặc
5
x =
3 thì GTNN của C = 0
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của P = x 1 - x
Giải
P = x x x x x
2
1
Đẳng thức xảy ra khi x 1 x 1
Do đó giá trị lớn nhất của P là 1
4 đạt khi
1
x =
4
Bài tập 3: Tìm giá trị của x để biểu thức
2
1
x - 2 2x + 5 có giá trị lớn nhất
Giải
Ta có:
2 2
2
3
Khi x = 2 thì biểu thức
2
1
x - 2 2x + 5 đạt giá trị lớn nhất là
1
3
Bài tập 4: Với hai số không âm x và y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
4009
P = x - 2 xy + 3y - 2 x +
2
Giải
Đặt: x = a, y = b , với a, b 0, ta có:
P = a2 - 2ab + 3b2 - 2a + 2004,5
= a2 - 2(b+ 1)a + 3b2 + 2004,5
= a2 - 2(b + 1)a + (b + 1)2 + 2b2 - 2b + 2003,5
2 2
1
2
Vì a b 2
1 0 và b , a, b
2 1 0
P = 2003 khi
b
b
3 1
2 1
1 0
2
2
Trang 6Vậy GTNN của P = 2003 đạt được khi
Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
x2 x
6
2 4
Giải
Ta có: x2 - 2x + 4 = (x -1)2 + 3 3
2
Dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 x = 1
Vậy GTLN của
x2 x
6
2 4 là 3
Bài tập 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
10
4 9
Giải
Ta có: -x2 + 4x - 9 = -5 - (x - 2)2 - 5
Do đó:
2
2
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x - 2 = 0 x = 2
Vậy GTNN của biểu thức
2
10
4 9 là -2
Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
8x - 50x + 79
x - 6x + 9
Giải
Ta có:
2 2
2 2
2
8 x - 6x + 9 - 2 x - 3 +1 8x - 50x + 79
x - 3 x - 3 x - 3 x - 3
1
= -1 + 7 ³ 7
x - 3
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x x
x
1
3 Vậy GTNN của biểu thức
2 2
8x - 50x + 79
x - 6x + 9 là 7
Bài tập 8: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức A x
x
2
4 1
Giải
A x
x
2
A(4x2 + 1) = 8x + 3
4Ax2 - 8x + A - 3 = 0
Ta có: = 82 - 4.4A.(A - 3) = 0
Trang 7 A2 - 3A - 4 = 0
A = -1, A = 4
Giá trị nhỏ nhất là của A là -1 đạt được khi x = -1 và giá trị lớn nhất của A là 4 đạt được khi x = 1
4
Bài tập 9: Cho hai số thực x, y thoả mãn điều kiện: x2
+ y2 = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = x + y
Giải
Ta có: (x + y)2 2(x2 + y2) = 2 M2 2 2M 2
Suy ra Min M = - 2 , đạt được khi x = y = - 2
2
Bài tập 10: Cho x, y, z là ba số không âm thoả mãn: xy + yz + zx = 100
Tìm giá trị lớn nhất của P = xyz
Giải
Ta có: P 0 Xét 100 = xy + yz + zx 3 xy.yz.zx3
3
3
100 100 P
Suy ra: maxP = 100 100
3 3 , đạt được xy = yz = zx
Bài tập 11: Cho biểu thức y = x - x -1993 (với x > 1993) Tìm giá trị nhỏ nhất của y
Giải
Ta có: y = (x - 1993) - x -1993 + 1993 =
2
x 1993
Suy ra: min y = 7971
4
Bài tập 12: Cho a và b thoả mãn a + b = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = a3
+ b3 + ab
Giải
Ta có: E = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab = a2 - ab + b2 + ab = a2+ b2
Ta lại có: 2(a2 + b2) ( a+ b)2 = 1 a2 + b2 1
2 Suy ra: MinE = 1
2, đạt được khi a = b =
1
2
Bài tập 13: Cho biểu thức: P = a + 3- 4 a -1 + a +15-8 a -1 , (với a > 1)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
Giải
Ta có:
4 a -1 = a -1 - 2
8 a -1 = a -1 - 4
Suy ra: minP = 2 đạt được khi a= 1
Bài tập 14: Cho biểu thức: Q = (x - ay)2
+ 6(x - ay) + x2 + 16y2 - 8xy + 2x - 8y + 10
Với x, y, a là các số nguyên Tìm giá trị nhỏ nhất của Q
Trang 8Giải
Ta có: Q = (x - ay + 3)2 + (x - 4y)2 + 2(x - 4y) + 1 = (x- ay + 3)2 + (x - 4y + 1)2 0
Suy ra: minQ = 0, đạt được khi x - ay + 3 = 0 và x - 4y + 1 = 0
Bài tập 15: Cho hai số dương x và y có tổng bằng 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = 1- 12 1- 12
Giải
Biến đổi: T = 1 + 2
xy
Mà: 1 = (x + y)2 4xy 2 8 T 9
xy
Suy ra: Giá trị nhỏ nhất của T = 9, đạt được khi x = y = 1
2
Bài tập 16: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y = 2x
x +1
Giải
Tập xác đinh D = R y0 là một giá trị của hàm số
Phương trình y =0 2x
x +1 có 1 nghiệm x R
Phương trình x y + y = x có 1 nghiệm x 2 0 0 R
Phương trình x y - x + y = 02 0 0 có 1 nghiệm x R
0
1 - 4y2 0
y2 4
1 y 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của y = 1
2, giá trị lớn nhất của y =
1
2
Bài tập 17: Xác định các tham số a, b sao cho hàm số y = ax + b2
x +1 đạt giá trị lớn nhất bằng 4, giá trị nhỏ nhất bằng -1
Giải
Tập xác định D = R
y0 là một giá trị của hàm số phương trình y =0 ax + b2
x +1 có nghiệm x R
Phương trình y0x2 - ax + y0 - b = 0 có nghiệm x R (1)
Nếu y0 = 0 thì (1) ax = - b có nghiệm
a
0
0
Nếu y0 0 thì (1) có nghiệm
0
a2 - 4(y0 - b)y0 0
y2 by a2
Trang 9Theo đề bài y0 đạt giá trị lớn nhất là 4, giá trị nhỏ nhất là -1 nên phương trình 2 2
4y 4by a phải
có nghiệm là -1 và 4 (Do -1.4 = - 4 < 0)
Theo định lý Viét, ta có:
a
a b b
2
4 4
4
3 3
Vậy với a = 4; b = 3 hoặc a = -4, b = 3 thì min y = -1, max y = 4
Bài tập 18: Cho a1 a2 n
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = |x - a1| + |x - a2| + + |x - an|
(Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK TP HCM)
Giải
Ta xét 2 trường hợp, n chẵn và n lẻ
Với n chẵn, đặt n = 2k Ta có:
A = |x - a1| + |x - a2| + + |x - ak| + |ak+1 - x| + |ak+2 - x| + + |a2k - x|
x - a1 + x - a2 + + x - ak + ak+1 - x + ak+2 - x + + a2k - x
= -a1 - a2 - - ak + ak+1 + + a2k
Dấu bằng có thể xảy ra, chẳng hạn như x = ak
Với n chẵn, đặt n = 2k Ta có:
A = |x - a1| + |x - a2| + + |x - ak| + |ak+1 - x| + |ak+2 - x| + |ak+3 - x| + + |a2k+1 - x|
x - a1 + x - a2 + + x - ak + ak+1 - x + ak+2 - x + ak+3 - x + a2k+1 - x
= -a1 - a2 - - ak + ak+1 + ak+3 + a2k+1
Dấu bằng có thể xảy ra, chẳng hạn như x = ak+1
Bài tập 19: Cho a, b là các số thực thỏa mãn a2
+ b2 = 1
Tìm giá trị lớn nhất của: P = (|a + 1| + |b + 1|) + (|a - 1| + |b + 1|)
Giải
Theo bất đẳng thức Bouniakovski Ta có:
1.|a + 1| + 1.|a - 1| a a a
1.|b + 1| + 1.|b - 1| b b b
a2 b2 a2b2
Cộng các vế bất đẳng thức, ta được:
(|a + 1| + |b + 1|) + (|a - 1| + |b + 1|) a2 b2
Vậy giá trị lớn nhất của P là 2 6
Bài tập 20: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = |2x - 3| + |2x - 1|
Giải
Áp dụng BĐT: |x| + |y| |x + y|
Dấu "=" xảy ra khi xy 0
Suy ra: A = |2x - 3| + |2x - 1| |2x - 3 +1 - 2x| = |-2| = 2
Dấu "=" xảy ra khi (2x - 3)(1 - 2x) 0 1 x 3
Vậy Min A = 2 khi 1 x 3
Bài tập 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = |x2
+ x + 3| + |x2 + x - 6|
Giải
Tương tự (Bài tập 3): Min B = 9 khi -3 x 2
Bài tập 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = |x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + |x - 4|
Giải
Trang 10Tương tự (Bài tập 4): Min B = 4 khi 2 x 3
Bài tập 23: Cho a < b < c < d Tìm: Min f(x) = |x - a| + |x - b| + |x - c| + |x - d|
HD: Tương tự (Bài tập 5), ta có: Min f(x) = d + c - b - a đạt được khi b x c
Bài tập 24: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nếu có của các biểu thức sau:
a) E =|x - 1| + |x - 3| b) F = |2x - 1|2 - 3|2x - 1| + 2
Giải
a)
x 1 3
x – 1 - 0 + +
x - 3 - - 0 +
Khi x < 1: E = 1 – x + 3 – x = 4 – 2x > 4 – 2.1 = 2
Khi 1 x 3: E = x – 1 + 3 – x = 2
Khi x > 3: E = x – 1 + x – 3 = 2x – 4 > 2.3 – 4 = 2
Vậy minE = 2 khi 1 x 3
b) Đặt t 2x 1 0 khi đó
2
Dấu “=” xảy ra khi
5 x
1
x 4
Vậy minF = -1
4 khi
5
x =
4 hoặc
1
x =
-4
Bài tập 25: (Áp dụng bất đẳng thức Cauchy)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: Z = x2
y(4 - x - y) Trong đó x, y 0
(Đề thi vào lớp 10 Chuyên Toán ĐHTH Hà Nội năm 1993)
Giải
Ta tìm GTLN
Ta có: x2y(4 - x - y) = x x
4 .y 4 - x - y
Nhận thấy bộ 4 số x x; ; y; 4 - x - y
2 2 có tổng là 4 Nhưng 4 - x - y nhận giá trị không âm, do đó ta xét 2 trường hợp:
Xét 0 x + y 4, ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
Z = x2y(4 - x - y) =
x x
4
4
Dấu "=" xảy ra khi x = 2; y = 1
Xét 4 x + y, ta có: Z 0 < 4
Như vậy trong mọi trường hợp ta đều có Z 4
Vậy Zmax = 4 Đẳng thức xảy khi x = 2, y = 1
Ta tìm GTNN
Trang 11Xét 4 x + y 6
Áp dụng bất đẳng thức cho 3 số không âm x; x; 2y ta có:
x y
x.x y
x y
3 3
3 2
2 2
3
32
Suy ra: - x2y - 32
Nhân các vế của bất đẳng thức trên với nhau ta được:
x2y(4 - x - y) x2y.2 - 32.2 = - 64
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 4, y = 2
Xét 0 x + y 4, ta có: Z 0 > - 64
Vậy trong mọi trường hợp Z - 64 Suy ra Zmin = - 64
Bài tập 26: (Áp dụng bất đẳng thức Bouniakovski)
a) Cho x, y thỏa: x y2 y x2
Chứng minh x2
b) Từ (2) có thể suy ra (1) được hay không?
(Đề thi vào lớp 10 PT Năng Khiếu TP.HCM năm 1999(
Giải
a) Áp dụng bất đẳng thức Bouniakovski cho hai bộ 2
x, 1 x và 2
1 y , y ta được:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
2 2
1 y
x
0 y
1 x
1
x2 = 1 - y2
x2 + y2 = 1
b) Từ việc xét dấu bằng, chúng ta thấy ngay nếu x, y, 0 thì (1) (2) Tuy nhiên ở đây do đề bài không cho x, y là các số thực dương nên ta dễ dàng chỉ ra trường hợp (2) 1 Chẳng hạn như x =
0, y = -1
Bài tập 27: Cho a, b, c [0; 1]
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: f(a, b, c) = a + b + c - ab - ac - bc
(Chuyên đề Toán học số 7 - PTNK TP.HCM)
Giải
Ta sẽ chứng minh f(a, b, c) max{f(a,b,0), f(a, b, 1)}
Thật vậy:
Nếu 1 - a - b 0 thì
f(a, b, c) = a + b - ab + c(1 - a - b) a + b - ab + (1 - a - b) = f(a, b, 1)
Nếu 1 - a - b 0 thì f(a, b, c) = a + b - ab + c(1 - a - b) a + b - ab = f(a, b, 0)
Như vậy f(a, b, c) max{f(a, b, 1), f(a, b, 0)}
Ở đây ta có thể lý luận một cách tương tự như trên, để suy ra rằng: