Các phương pháp rút gọn hệ động lực rời rạc tuyến tính

Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Hệ tuyến tính điều khiển rời rạc . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Hệ tuyến tính rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Khái niệm về hàm truyền . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Tính điều khiển được, quan sát được, biểu diễn tối thiểu 3 1.2.1 Tính điều khiển được . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Tính quan sát được . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Biểu diễn tối thiểu của hệ . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Tính ổn định của hệ rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Định nghĩa tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 Phương trình Lyapunov rời rạc . . . . . . . . . 11 Chương 2: Các phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc 13 2.1 Bài toán rút gọn mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Phương pháp chặt cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Các phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc dựa vào Impluse Response Gramian . . . . . . . . . 19 2.3.1 Impluse Response Gramian (IRG) . . . . . . . . 19 2.3.2 Phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc dựa vào IRG . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.3 Cải tiến phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc dựa vào IRG . . . . . . . . . . . . . 29 2.4 Thực hiện các thuật toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab39 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Lời nói đầu 1. Lý do chọn đề tài Công việc thiết kế các bộ điều khiển cho một hệ thống kỹ thuật có sẵn đòi hỏi nhiều hiểu biế t về hệ thống đó. Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng mô hình toán học để mô tả hệ thống. Tuy nhiên, trong nhiều hệ thống kỹ thuật, như trong công nghệ robot, công nghệ hàng không, các mô hình toán học mô tả các hệ thống này thường phức tạp và có bậc cao. Do vậy mà việc thiết kế b ộ điều khiển cho mô hình bậc cao như thế đòi hỏi một khối lượng lớn các tính toán và đôi khi không thực tế. Để giải quyết điều này, các kỹ sư thường xấp xỉ các mô hình bậc cao bằng các mô hình bậc thấp, đơn giản hơn. Điều quan trọng là các mô hình bậc thấp này không làm mất đi đặc điểm vật lý quan trọng của hệ thống, chẳng hạn như tính ổn định, tính quan sát được, điều khiển được,. . . Trong những năm gần đây, đã có rất nhiều phương pháp xây dựng mô hình rút gọn như các phương pháp balacing, POD, Krylov subspace, Moment maching, . . . , được đưa ra với mục tiêu rút gọn mô hình gốc. Để hiểu sâu sắc hơn về vấn đề này, em xin chọn đề tài cho luận văn là “Các phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc”. 2. Khái quát về nội dung nghiên cứu và cấu trúc của luận văn Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc có dạng: x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) (1) y(k) = Cx(k) + Du(k), k ∈ N (2) trong đó A,B,C,D là các ma trận bất biến thực có kích thước tương ứng là: n ×n , n ×m, r ×n, r ×m . Số n, kích thước của A, được gọi là bậc của mô hình. Mục tiê u của đề tài là trình bày các phương pháp xây dựng mô hình rút gọn bậc r, với r << n , sao cho mô hình rút gọn của hệ (1) là: iii Lời nói đầu x r (k + 1) = A r x r (k) + B r u (k) y r (k) = C r x r (k) + D r u(k), k ∈ N (3) trong đó A r , B r , C r , D r là các ma trận thực c ó kích thướ c tương ứng là r ×r , r ×m, p×r, p×m . Khi đó hàm truyền của hệ gốc và hệ rút gọn tương ứng là G(z) = C(zI − A) −1 B + D, G r (z) = C r (zI − A r ) −1 B r +D r . Các phương pháp được xây dựng sao cho hệ rút gọn được thỏa mãn các tính chất sau: 1. Sai số y − y r  nhỏ và bị chặn. 2. Các tính chất của hệ như tính điều khiển được, tính quan s á t được và tính ổn định, vẫn đượ c bảo toàn. 3. Quá trình tính toán hiệu quả. Luận văn bao gồm 2 chương: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày các vấn đề sau: 1.1. Khái niệm hệ động lực tuyến tính rời rạc, xây dựng ma trận hàm truyền và các phép toán đối với ma trận hàm truyền. 1.2. Khái niệm tính điều khiển được, quan sát được c ủa hệ động lưc tuyến tính rời rạc, phát biểu và chứng minh các định l ý về các tiêu chuẩn tương đương với các tính chất này. Từ đó đưa ra khái niệm biểu diễn tối thiểu của một hệ động lực tuyến tính rời rạc và nêu phương pháp đưa một biểu diễn bất kỳ về biểu diễn tối thiểu (định lý Kalman) và định lý về điều kiện cần và đủ để một biểu diễn là biểu diễn tối thiể u. 1.3. Khái niệm tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời rạc, các tính chất của phương trình Lyapunov rời rạc, từ đó chứng minh định lý về sự l iên hệ giữa hai khái niệm này. Chương 2: Các phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc dựa vào IRG Chương này trình bày các vấn đề sau: 2.1. Phát biểu bài toán rút gọn mô hình. 2.2. Trình bày phương pháp trặt cân bằng cho bài toán rút gọn mô hình 2.3. Trình bày các phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính dựa vào IRG, trong đó: 2.3.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của IRG. 2.3.2 Phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tí nh rời rạc dựa vào IRG. 2.3.3 Phương pháp cải tiến rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc dựa vào IRG. 2.4. Lập trình các thuật toán bằng Matlab. iv Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ tuyến tính điều kh iển rời rạc 1.1.1 Hệ tuyến tính rời rạc Định nghĩa 1.1.1. Hệ tuyến tính rời rạc là hệ có dạng sau: x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), x(0) = x 0 , (1.1) y(k) = Cx(k) + Du(k), (1.2) trong đó: • x(k) là một vectơ n chiều được gọi là vectơ trạng thái của hệ, • x(0) là vectơ trạng thái ban đầu của hệ, • u(k) là một vectơ m chiều được gọi l à vectơ đầu vào, • y(k) là một vectơ r chiều được gọi là vectơ đầu ra, • các ma trận A, B, C, D là ma trận thực, bất biến, và có kích thước tương ứng là: n × n, n × m, r × n, r × m. Định lý sau đây sẽ cho công thức nghiệm của hệ (1.1)-(1.2). Định lý 1.1.2. Nghiệm của hệ rời rạc (1.1)-(1.2) có dạng như sau: x(k) = A k x 0 + k−1  i=0 A k−i−1 Bu(k), x(0) = x 0 . y(k) = CA k x 0 +  k−1  i=0 CA k−i−1 Bu(i)  + Du(k) (1.3) Chứng minh. Từ x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) 1 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ta có x(k) = A[Ax(k −2) + Bu(k − 2)] + Bu(k − 1) = A 2 x(k − 2) + ABu(k − 2) + Bu(k −1) = A 2 [Ax(k − 3) + Bu(k − 3)] + ABu(k −2) + Bu(k − 1) . . . = A k x 0 + k−1  i=0 A k−1−i Bu(i). Thay x(k) = A k x 0 + k−1  i=0 A k−1−i Bu(i) vào (1.2) ta c ó điều phải chứng minh. 1.1.2 Khái niệm về hàm truyền Định nghĩa 1.1.3. Biến đổi z hai phía của một dãy x(n) được định nghĩa như sau: X(z) = Z[x(k)] := ∞  k=−∞ x(k)z −k . Sau đây, ta sẽ xây dựng công thức hàm truyền cho hệ rời rạc. Gọi X(z), Y (z), U(z) lần lượt là biến đổi z c ủa các dãy x(k), y(k), u(k). Áp dụng biến đổi z vào phương trình x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) ta có: Z[x(k + 1)] = Z[Ax (k) + Bu(k)] (1.4) = AZ[x(k)] + BZ[u(k)] (1.5) = AX(z) + BU (z). (1.6) Mặt khác Z[x(k + 1)] = Z[x(k)]z = zX(z). (1.7) Suy ra zX(z) = AX(z) + BU (z). Chuyển AX(z) sang vế trái và đặt X(z) làm nhân tử chung ta được: (zI − A)X(z) = BU(z). 2 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Do đó, X(z) = (zI − A) −1 BU(z). Tương tự ta áp dụng tính chất của biến đổi z vào phương trình y(k) = Cx(k) + Du(k) ta có: Y (z) = CX(z) + DU(z). (1.8) Thay X(z) = (zI − A) −1 BU(z) vào (1.8) ta có: Y (z) = C(zI −A) −1 BU(z) + DU(z) = (C(zI −A ) −1 B + D)    =:G(z) U(z). Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.4. Ma trận G(z) = C(zI −A) −1 B +D có kích thước r ×m được gọi là ma trận hàm truyền. Để thuận tiện cho tính toán, ma trận hàm truyền G(s) đôi khi sẽ được viết theo cách sau: G(z) =  A B C D  = C(zI −A) −1 B + D. Cặp các ma trận (A, B, C, D) được gọi là một biểu diễn không gian trạng thái của hàm truyền G(z). Cặp các ma trận này không phải là duy nhất, có thể tồn tại nhiều cặp các ma trận (A, B, C, D) cùng biểu diễn một hàm truyền. 1.2 Tính điều khiển được, quan sát được, biểu diễn tối thiểu 1.2.1 Tính điều khiển được Định nghĩa 1.2.1. Hệ tuyến tính rời rạc x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) y(k) = Cx(k) + Du(k), được gọi là điều khiển được nếu cho hai trạng thái x 0 , x 1 bất kỳ thì luôn tồn tại một dãy các vectơ đầu vào {u 0 , u 1 , , u N−1 } chuyển từ trạng thái x 0 tại thời điểm k = 0 đến trạng thái x 1 tại thời điểm k = N, tức là: x(0) = x 0 và x(N) = x 1 . 3 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chú ý 1.2.2. Để tránh nhầm lẫn và không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng x 0 = 0. Định lý sau đây sẽ cho ta các tiêu chuẩn tương đương về tính điều khiển được của hệ rời rạc. Định lý 1.2.3. Cho A ∈ R n×n và B ∈ R n×m (m ≤ n). Khi đó các mệnh đề sau đây là tương đương: (i) Hệ (1.1)-(1.2) là điều khiển được. (ii) (Tiêu chuẩn Kalman) Ma trận kích thước n × nm: C M = (B, AB, A 2 B, , A n−1 B) có hạng bằng n, rank(C M ) = n. (iii) Ma trận W C = N  k=1 A k BB T (A T ) k là không suy biến với mọi N. (iv) Nếu (λ, x) là một cặp giá trị riêng, véctơ riêng trái của A, tức là x T A = λx T , thì x T B = 0. (v) (Tiêu chuẩn Hautus) rank(A −λI, B) = n với mọi giá trị riêng λ của A. Các giá trị riêng của A −BK có thể được gán một cách tùy ý bằng cách chọn ma trận K thích hợp. Chứng minh. Ta sẽ lần lượt chứng minh theo các sơ đồ sau. • (i) → (ii). Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử rằng rank (C M ) = n. Ta có x(k) = A k x 0 + k−1  i=0 A k−1−i Bu(i). Chuyển A k x 0 sang vế trái ta được: x(k) − A k x 0 = k−1  i=0 A k−1−i Bu(i) Từ đó suy ra x(k) = (A k−1 Bu(0) + A k−2 Bu(2) + + A 0 Bu(k − 1)) = Bu(k −1) + ABu(k −2) + + A k−1 Bu(0) Như vậy véc tơ x(k) là một tổ hợp tuyến tính của các cột B, AB, , A n−1 B. Khi rank (C M ) = n các véc tơ cột không 4 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ thể tạo thành một cơ sở của không gian trạng thái. Bằng cách chọn x 1 không nằm trong không gian vectơ sinh bởi các cột của B, AB, , A n−1 B, ta sẽ không thể tìm được k sao cho x(k) = x 1 . Như vậy là hệ không điề u khiển được. Vậy điều giả sử là sai ta có điều phải chứng minh. • (ii) → (iii). Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử ranh (C M ) = n, nhưng ma trận W C = N  k=1 A k BB T (A T ) k (1.9) là suy biến với N > 1. Khi đó tồn tại vectơ v khác 0 là vectơ riêng trái ứng với giá trị riêng 0 của W C , sao cho vW C = 0. Nhân hai vế của phương trình với v T ta được vW C v T = 0, hay: v  N  k=1 A k BB T (A T ) k  v T = 0. Do đó, N  k=1 vA k BB T (A T ) k v T = 0, hay, N  k=1 c(k)c(k) T = 0. với c(k) = vA k B. Ta thấy c(k)c(k) T > 0, ∀k nên để  N k=1 c T (t)c(t) = 0 thì c(k) = 0, tức là vA k B = 0, k = 1, 2 , , n − 1. Khi đó v vuông góc với tất cả các cột của ma trận C M . Mà ta giả sử rank( C M ) = n nên v = 0. Điều này là vô lý vì v = 0 nên điề u giả s ử là sai. Ta có điều phải chứng minh. • (ii) → (i). Do rank(C M ) = n nên không gian sinh bởi các vectơ cột của B, AB, , A n−1 B sinh ra R n . Với x 0 , x 1 cho trước, luôn tồn tại dãy {u 0 , u 1 , , u n } sao cho: x 1 − A n x 0 = Bu n−1 + ABu n−2 + + A k−1 Bu 0 . Suy ra x 1 = A n x 0 + Bu n−1 + ABu n−2 + + A k−1 Bu 0 = x(n). 5 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ • (ii) → (iv). Cho x = 0 là một véc tơ riêng của A T tương ứng với một giá trị riêng λ nào đó. Khi đó x T A = λx T . Giả sử rằng x T B = 0. Ta c ó x T C M = (x T B, λx T B, λ 2 x T B, . . . , λ n−1 x T B) = 0 . Do rank(C M ) = n nên x = 0. Vậy điều giả sử là sa i. Ta có điều phải chứng minh. • (iv) → (ii). Giả sử không có véc tơ riêng nào của A T là vuông góc với các cột của ma trận B, nhưng rank (C M ) = k < n. Trong trường hợp này tồn tại một ma trận không suy biến T sao cho: A = T AT −1 =  A 11 A 12 0 A 22  , B = T B =  B 1 0  , trong đó A 22 có kích thước n − k và k = rank(C M ). Lấy v 2 là véc tơ riêng của ( A 22 ) T ứng với một giá trị riêng λ. Khi đó: (A) T  0 v 2  =  A −T 11 0 A −T 12 A −T 22   0 v 2  =  0 A −T 22 v 2  = λ  0 v 2  . Do đó véc tơ  0 v 2  cũng là véc tơ riêng của ( A) T ứng với giá trị riêng λ. Hơn nữa (0, v T 2 ) B = (0, v 2 ) T  B 1 0  = 0. Như vậy véc tơ riêng  0 v 2  của ( A) T vuông góc với cá c vectơ cột của B. Điều này là vô lý với giả thiết. • (iv) ↔ (v). Ta có rank(λI −A, B) < n khi và chỉ khi tồn tại một vectơ v = 0 sao cho v T (λI −A, B) = 0. Điều này tương đương với: A T v = λv và v T B = 0, tức là v là một véc tơ riêng của A T ứng với giá trị riêng λ và nó vuông góc với véc tơ cột B. Vậy ta có điều phải chứng minh. 6 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Ví dụ 1.2.4. Xét hệ được mô tả bởi phương trình sau: x(k + 1) =     1 2 0 1 3 0 −1 2 2 5 3 1 1 2 1 3     x(k) +     1 2 3 4     u(k). Các ma trận tương ứng của hệ là A =     1 2 0 1 3 0 −1 2 2 5 3 1 1 2 1 3     , B =     1 2 3 4     . Khi đó ta có: AB =     9 8 25 20     , A 2 B =     45 42 153 110     , A 3 B =     239 202 869 612     . Suy ra: C M =     1 9 45 239 2 8 42 202 3 25 153 869 4 20 110 612     . Hạng của ma trận C M , rank (C M ) = 4, do đó hệ đã cho là điều khiể n được. 1.2.2 Tính quan sát được Định nghĩa 1.2.5. Hệ tuyến tính rời rạc x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) y(k) = Cx(k) + Du(k), được gọi là quan sát được nếu tồn tại một chỉ số N mà trạng thái ban đầu x 0 có thể xác định hoàn toàn từ dãy các vectơ đầu vào {u 0 , u 1 , , u N−1 } và dãy các vectơ đầu ra {y 0 , y 1 , , y N }. Định lý sau đây sẽ cho ta các tiê u chuẩn tương đương về tính quan sát được của hệ rời rạc. 7 [...]... tiên cho hệ động lực tuyến tính trong [7] và cho hệ động lực tuyến tính rời rạc trong [8] Trong [7], mô hình rút gọn thu được bằng cách rút gọn bậc của IRG và các tham số Markov của hệ tuyến tính liên tục gốc Trong khi đó, phương pháp được sử dụng trong [8] là bảo toàn các trạng thái tương ứng với các trị riêng của IRG trong mô hình rút gọn Phương pháp rút gọn cho hệ động lực tuyến tính rời rạc tiếp... 2 Các phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc 2.1 Bài toán rút gọn mô hình Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc với phương trình trạng thái x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), y(k) = Cx(k) + Du(k) Ta cần tìm hệ rút gọn có bậc r . Trình bày các phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính dựa vào IRG, trong đó: 2.3.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của IRG. 2.3.2 Phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tí nh rời rạc dựa vào IRG. 2.3.3. điều phải chứng minh. 12 Chương 2 Các phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc 2.1 Bài toán rút gọn mô hình Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc vớ i phương trình trạng thái x(k + 1) =. niệm tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời rạc, các tính chất của phương trình Lyapunov rời rạc, từ đó chứng minh định lý về sự l iên hệ giữa hai khái niệm này. Chương 2: Các phương pháp rút