ĐẠI SỐ CHƯƠNG 3 (BDHS GIỎI)

Chuên đề:dãy số hàm số cấp số cộng cấp số nhân Bài1 : Cho dãy số (U n ) xác định bởi = = + n n n U U U U 1 2 1 1 a) C/m U n <0 với mọi n thuộc N b) Đặt n n n U U V 1+ = C/m V n là một cấp số cộng.Suy ra biểu thức của V n và U n Bài2 : Cho (U n ) xác định bởi Nn U U U n n + = = + 5 8 1 1 1 Dãy số (V n ) xác định V n =U n -2. C/m V n là cấp số nhân.Suy ra biểu thức của V n ,U n Bài 3: Cho (U n ) Nn UU U nn += = + 1 3 1 1 1 1 Xác định công thức tính U n theo n Hớng dẫn Vì 3U n+1 -U n =3 nên 3U 2 -U 1 =3 3U 3 -U 2 =3 => 9U 3 -3U 2 =9 3U 4 -U 3 =3 => 27U 4 -9U 3 =27 3U n -U n-1 =3 => 3 n-1 U n -3 n-2 U n-1 =3 n-1 Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta đợc 3 n-1 U n -U 1 =3+9+ .+3 n-1 =3. )13( 2 3 13 13 1 1 = n n Từ đó suy ra đợc U n = ) 3 1 1( 2 3 n . C/m công thức này bằng quy nạp Bài 4: Cho U n += = + n nn UU U ) 2 1 ( 1 1 1 .Tìm U n ,suy ra LimU n Hớng dẫn: Ta có U 1 =1 Cộng vế với vế từ đó suy ra U n = n 2 1 22 U 2 =U 1 + 2 1 U 3 =U 2 + 2 ) 2 1 ( U 4 =U 3 + 3 ) 2 1 ( . U n =U n-1 + 1 ) 2 1 ( n Bài 5 Cho (U n ) + = == + + 2 1;0 1 2 21 nn n UU U UU a) C/m U n+1 = 1 2 1 + n U b) XĐ U n , suy ra LimU n Hớng dẫn a) C/m bằng quy nạp b) Tơng tự Bài 3 Bài 6 Cho U n Nnn UUU UU nnn += == ;3 2 1;2 21 21 C/m 2U n +U n-1 =4 (1) ; U n -U n-1 =- 2 ) 2 1 ( n (2) . Suy ra LimU n Hớng dẫn C/m bằng quy nạp. Từ (1) và (2) suy ra U n Bài 7 Cho 2 222 ++++= n U (n dấu căn). Hãy tìm LimU n Hớng dẫn C/m U n <2 với mọi n bằng quy nạp C/m U n <U n+1 với mọi n Vậy (U n ) là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi 2. Do đó tồn tại giới hạn LimU n =x Ta có U n+1 = n U+2 U n+1 2 =2+U n =>LimU n+1 2 =Lim(2+U n )=> x 2 =2+xx=2 .Vậy LimU n =2 Bài 8 Cho + > << Nn UU U nn n 4 1 )1( 10 1 Tìm LimU n Hớng dẫn C/m U n là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên => tồn tại giới hạn LimU n =x Từ 2 1 4 1 4 1 )1( 4 1 )1( 2 11 ==>=>> ++ xxxULimUUU nnnn Bài 9 Tính các tổng sau 1) S=5+55+555+ +555555 5 (n số 5) 2) S=1+11+111+ +111 111 3) S=1+2.2+3.2 2 +4.2 3 + +100.2 99 4) S=1+4.2+7.2 2 +10.2 3 + +(3n-2).2 n-1 Bài 10 Tìm giới hạn của các dãy số a) Lim nn nn 75.2 73.4 1 + + + b) Lim ) )1( 1 4.3 1 3.2 1 2.1 1 ( + ++++ nn c) Lim ) )2)(1( 1 4.3.2 1 3.2.1 1 ( ++ +++ nnn d) Lim 3 2222 321 n n++++ e) Lim ) 1 1) ( 4 1 1)( 3 1 1)( 2 1 1( 2222 n Bài 11 Tìm giới hạn các hàm số 1) x xx Lim x 3 0 11 ++ 2) 32 372 1 + + x x Lim x 3) x xx Lim x 2 3 0 sin coscos 4) 4 5 4 3 1 )1( )1)(1)(1)(1( x xxxx Lim x Bài 12 Sử dụng x x Lim x sin 0 =1 Tính 1) 3 0 sintan x xx Lim x 2) 4 cos 4 2 2 x x Lim x 3) 2 tan)1( 1 x xLim x 4) 2 0 cos1 x ax Lim x 5) 2 0 3cos.2cos.cos1 x xxx Lim x 6) x x Lim x cos21 3sin 3 7) x x Lim x 2 0 tan cos12 + 8) xxx x Lim x cossin1 2 0 + 9) x xx Lim x 2sin12sin1 0 + 10) )sin(tan )cos 2 cos( 0 x x Lim x 11) )sin( )sin( 1 n m x x x Lim 12) 2 cos 2 x x Lim x 13) x x x cot1 tan1 lim 4 14) xxLim x tan)2cos1( 2 + 15) x xx Lim x tan1 cossin 4 16) 2 0 2coscos1 x xx Lim x 17) ) 6 cos( tan3tan 3 3 + x xx Lim x 18) x x Lim x cos21 ) 3 sin( 3 19) 3 0 sin1tan1 x xx Lim x ++ Bµi 13 Sö dông giíi h¹n d¹ng 1 1 0 = − → x e Lim x x ; 1 )1ln( lim 0 = + → x x x ; e x xLim x x =+ +∞→ ) 1 ( : exLim x x =+ → 1 0 )1( 1) )ln(cos )ln(cos 0 bx ax Lim x→ 2) 2 0 )ln(cos x x Lim x→ 3) ex x ex − − → 1ln lim 4) )21ln( )31ln( x x x Lim + + −∞→ 5) )21ln( 2 3 43 0 x xx Lim x + + → 6) )1ln( )1ln( 10 2 ++ +− +∞→ xx xx Lim x 7) )3ln( )2ln( 2 3 x x x e e Lim + + +∞→ 8) )1ln( )1ln( 4 3 3 xx xx Lim x ++ ++ +∞→ 9) bx ax x sin ) 4 tan(ln lim 0 + → π 10) x x x x Lim ) 1 1 ( − + +∞→ 11) x x xLim π π cot 1 )sin1( + → 12) x x x x Lim sin 1 0 ) sin1 tan1 ( + + → 13) ax ax a x − → 1 ) sin sin (lim 14) 2 1 0 ) 2cos cos ( x x x x Lim → 15) x x xLim 2tan 4 )(tan π → 16) x x xLim tan 2 )(sin π → 17) x x xx Lim ) 1 cos 1 (sin + +∞→ . V n ,U n Bài 3: Cho (U n ) Nn UU U nn += = + 1 3 1 1 1 1 Xác định công thức tính U n theo n Hớng dẫn Vì 3U n+1 -U n =3 nên 3U 2 -U 1 =3 3U 3 -U 2 =3 => 9U 3 -3U 2 =9 3U 4 -U 3 =3 =>. 3U 4 -U 3 =3 => 27U 4 -9U 3 =27 3U n -U n-1 =3 => 3 n-1 U n -3 n-2 U n-1 =3 n-1 Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta đợc 3 n-1 U n -U 1 =3+ 9+ . +3 n-1 =3. ) 13( 2 3 13 13 1 1 = n n Từ đó. +555555 5 (n số 5) 2) S=1+11+111+ +111 111 3) S=1+2.2 +3. 2 2 +4.2 3 + +100.2 99 4) S=1+4.2+7.2 2 +10.2 3 + +(3n-2).2 n-1 Bài 10 Tìm giới hạn của các dãy số a) Lim nn nn 75.2 73. 4 1 + + + b)