Định lí TOÁN HỌC

Trong trường hợp hai chiều, định lý có thể phát biểu như sau: Với một tập hợp hữu hạn bất kì các điểm trên mặt phẳng tô màu xanh và đỏ, tồn tại một đường thẳng đồng thời chia đôi tập các

Định lí Bayes là một kết quả của lí thuyết xác suất Nó đề cập đến phân bố xác suất có

điều kiện của biến ngẫu nhiên A, với giả thiết là biết được:

• thông tin về một biến khác B: phân bố xác suất có điều kiện của B khi biết A, và

• phân bố xác suất của một mình A.

Phát biểu định lý[sửa]

Định lý Bayes cho phép tính xác suất xảy ra của một sự kiện ngẫu nhiên A khi biết sự kiện liên quan B đã xảy ra Xác suất này được ký hiệu là P(A|B), và đọc là "xác suất của A nếu có B" Đại lượng này được gọi xác suất có điều kiện hay xác suất hậu

nghiệm vì nó được rút ra từ giá trị được cho của B hoặc phụ thuộc vào giá trị đó

Theo định lí Bayes, xác suất xảy ra A khi biết B sẽ phụ thuộc vào 3 yếu tố:

• Xác suất xảy ra A của riêng nó, không quan tâm đến B Kí hiệu là P(A) và đọc là

xác suất của A Đây được gọi là xác suất biên duyên hay xác suất tiên nghiệm, nó là

"tiên nghiệm" theo nghĩa rằng nó không quan tâm đến bất kỳ thông tin nào về B

• Xác suất xảy ra B của riêng nó, không quan tâm đến A Kí hiệu là P(B) và đọc là

"xác suất của B" Đại lượng này còn gọi là hằng số chuẩn hóa (normalising constant),

vì nó luôn giống nhau, không phụ thuộc vào sự kiện A đang muốn biết.

• Xác suất xảy ra B khi biết A xảy ra Kí hiệu là P(B|A) và đọc là "xác suất của B

nếu có A" Đại lượng này gọi là khả năng (likelihood) xảy ra B khi biết A đã xảy ra Chú ý không nhầm lẫn giữa khả năng xảy ra B khi biết A và xác suất xảy ra A khi biết B.

Khi biết ba đại lượng này, xác suất của A khi biết B cho bởi công thức:

Từ đó dẫn tới

Các dạng khác của định lý Bayes[sửa]

Định lý Bayes thường cũng thường được viết dưới dạng

hay

trong đó A C là biến cố bù của biến cố A (thường được gọi là "không A") Tổng quát hơn, với {Ai} tạo thành một phân hoạch của không gian các biến cố,

với mọi Ai trong phân hoạch.

Công thức này còn được biết dưới tên công thức xác suất đầy đủ

Định lý Bayes với hàm mật độ xác suất[sửa]

Cũng có một dạng của định lý Bayes cho các phân bố liên tục Đối vơi chúng, thay cho các xác suất trong định lý Bayes ta dùng mật độ xác suất Như vậy ta có các công thức tương tự định nghĩa xác suất điều kiện

và công thức tương tự công thức xác suất đầy đủ:

Ý nghĩa của các thành phần trong các công thức trên là f(x, y) là mật độ phân phối của phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên X và Y, f(x|y) là mật độ phân phối xác suất hậu nghiệm của Xvới điều kiện Y=y, f(y|x) = L(x|y) là (một hàm của x) hàm khả năng của X với điều kiện Y=y, và f(x) và f(y) là các mật độ phân phối của X và Y tách biệt nhau, với f(x) là mật độ phân phối tiền nghiệm của X Điều kiện mặc định trong các công thức là hàm f khả vi và các tích phân công

thức tồn tại

Định lí Ceva

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Định lí Ceva (trường hợp 1: ba đường thẳng đồng qui tại điểm O bên trong đường tròn

Định lí Ceva (trường hợp 1: ba đường thẳngđồng qui tại điểm O bên ngoài đường tròn

Định lí Ceva là một định lí phổ biến trong hình học cơ bản Cho một tam giác ABC,

các điểm D, E, và F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, và AB Định lí phát biểu rằng các đường thẳng AD, BE và CF là những đường thẳng đồng qui khi và chỉ khi:

Ngoài ra, định lí Ceva còn được phát biểu một cách tương đương trong lượng

giác rằng: AD,BE,CF đồng qui khi và chỉ khi

Chứng minh định lí[sửa]

đồng qui tại một điểm nào đó (trong hay ngoài tam giác)

(độ dài của đường cao), ta có

Tương tự,

Ta suy ra

Tương tự,

và

Nhân ba đẳng thức trên cho ta:

(điều phải chứng minh)

Ngược lại, giả sử rằng ta đã có những điểm

Kết hợp với đẳng thức trên, ta nhận được:

Thêm 1 vào mỗi vế và chú ý

qui tại , và định lí đã được chứng minh (là đúng theo cả hai chiều)

ịnh lý Menelaus là một định lý về các tam giác trong hình học phẳng Cho tam giác

ABC D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB Khi đó định lý phát biểu

Phần đảo: Giả sử Khi đó gọi F' là giao của đường thẳng ED với đường thẳng AB.

Theo chứng minh ở trên ta có

Kết hợp giả thuyết suy ra

Định lý cuối của Fermat (hay còn gọi là Định lý lớn Fermat) là một trong những định

lý nổi tiếng trong lịch sử toán học Định lý này phát biểu như sau:

Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả x n + y n = z n trong

• với

không có nghiệm nguyên khác không

Giả thuyết tổng quát này hiện vẫn chưa được chứng minh, kiểm chứng

Định lý bánh mì dăm bông

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Trong lý thuyết độ đo, định lý bánh mì dăm bông, còn gọi là định lý Stone–

Tukey theo Arthur H Stone và John Tukey, phát biểu rằng với mọi n "đối tượng" đo được trong không gian nchiều, có thể chia tất cả chúng thành hai nửa có cùng độ đo (hay

thể tích) bằng một siêu phẳng (n − 1) chiều Ở đây mỗi đối tượng là một tập hợp có độ

đo hữu hạn để khái niệm chia thành hai nửa có cùng thể tích là có nghĩa

Tên gọi[sửa]

Tên gọi định lý bánh mì dăm bông xuất phát từ trường hợp n = 3 và ba đối tượng bao

gồm một lát dăm bông và hai lát bánh mì tạo thành một bánh mì kẹp Có thể cắt cả ba lát làm hai nửa bằng nhau bằng một nhát cắt (nghĩa là một mặt phẳng) Trong không gian hai

chiều, định lý này được gọi là định lý bánh kếp do phải cắt hai bánh kếp mỏng trên đĩa

bằng một nhát cắt thẳng (nghĩa là một đường thẳng)

Định lý bánh mì dăm bông đôi khi còn được gọi là "định lý bánh mì dăm bông và pho

mát", theo trường hợp đặc biệt n = 3 và ba đối tượng là

1. một miếng dăm bông,

2. một lát pho mát, và

3. hai lát bánh mì (coi là một đối tượng không liên thông)

Định lý khẳng định rằng có thể cắt dăm bông và pho mát thành hai nửa sao cho mỗi nửa

có cùng một lượng dăm bông, pho mát, và bánh mì Có thể coi hai lát bánh mì là một đối tượng do định lý chỉ yêu cầu thể tích của đối tượng trên mỗi nửa biến thiên liên tục khi mặt phẳng cắt di chuyển trong không gian

Định lý bánh mì dăm bông không liên quan đến định lý kẹp

Quy về định lý Borsuk–Ulam[sửa]

Định lý bánh mì dăm bông có thể được chứng minh bằng cách quy về định lý Borsuk–Ulam Chứng minh dưới đây là của Steinhaus (1938) và một số người khác, trong đó

trường hợp đặc biệtn = 3 đã được chứng minh bởi Stefan Banach.

Đặt A1, A2, …, An là n đối tượng ta muốn chia đôi Đặt S là mặt cầu đơn vị n chiều trong

không gian Euclid , có tâm ở gốc tọa độ Với mỗi điểm p trên mặt của S, ta xác định một lớp cácsiêu phẳng afin vuông góc với vectơ từ gốc tọa độ đến p

"Nửa dương" của mỗi siêu phẳng là nửa được vectơ đó chỉ tới Theo định lý giá trị trung gian, mọi lớp các siêu phẳng xác định như trên đều chứa một siêu phẳng chia đôi đối

tượng An: nếu tịnh tiến siêu phẳng vô hạn về một hướng, toàn bộ An nằm ở nửa dương, mặt khác nếu tịnh tiến siêu phẳng vô hạn về phía kia thì toàn bộ Annằm ở nửa âm, nên tồn tại một phép tịnh tiến sao cho độ đo của An ở nửa dương là đúng một nửa Nếu có nhiều

hơn một siêu phẳng thỏa mãn tính chất trên thì ta chọn điểm chính giữa của khoảng tịnh

tiến trong đó An được chia đôi Như vậy với mỗi điểm p trên mặt cầu S, ta chọn được một siêu phẳng π(p) vuông góc với vectơ từ gốc tọa độ tới p và chia đôi An.

Định nghĩa hàm f từ mặt cầu (n − 1) chiều S tới không gian Euclid (n −

f(p) = (độ đo của A1 trên nửa dương của π(p), độ đo của A2 trên nửa dương

của π(p), , độ đo của An−1 trên nửa dương của π(p)).

Hàm f là liên tục Theo định lý Borsuk–Ulam, tồn tại hai điểm đối cực p và q trên mặt cầu S sao cho f(p) = f(q) Hai điểm đối cực p và q tương ứng với hai siêu

phẳng π(p) và π(q) bằng nhau nhưng có nửa dương ngược nhau Do đó, f(p)

= f(q) nghĩa là Ai có cùng độ đo trên nửa dương và nửa âm của π(p) (hay π(q)), với mọi i = 1, 2, , n − 1 Vì vậy π(p) (hay π(q)) là lát cắt cần tìm để chia đôi A1, A2,

…, An.

Phiên bản rời rạc và trong hình học tính toán[sửa]

Trong hình học rời rạc và hình học tính toán, định lý bánh mì dăm bông thường được dùng để chỉ trường hợp đặc biệt khi mỗi đối tượng là một tập hợp hữu hạn các điểm Độ

đo được dùng ở đây là độ đo đếm: đếm số lượng điểm nằm ở mỗi phía của siêu phẳng Trong trường hợp hai chiều, định lý có thể phát biểu như sau:

Với một tập hợp hữu hạn bất kì các điểm trên mặt phẳng tô màu xanh và đỏ, tồn tại một đường thẳng đồng thời chia đôi tập các điểm đỏ và tập các điểm xanh, nghĩa là số điểm đỏ nằm ở hai phía của đường thẳng là như nhau và tương tự với các điểm xanh

Trong trường hợp đặc biệt khi có các điểm nằm trên đường thẳng được chọn, "chia đôi" được hiểu là ở mỗi phía của đường thẳng có không quá một nửa số điểm Trường

hợp đặc biệt này là cần thiết chẳng hạn khi tất cả các điểm thẳng hàng và tất cả các điểm đỏ nằm ở một phía của đường thẳng và các điểm xanh nằm ở phía kia Có thể xây dựng ví dụ sao cho số điểm ở hai phía không bằng nhau bằng cách thêm một điểm không nằm trên đường thẳng trong ví dụ trên.

Trong hình học tính toán, định lý bánh mì dăm bông dẫn tới bài toán bánh mì dăm

bông Trong không gian hai chiều, bài toán phát biểu như sau: cho n điểm trên mặt

phẳng, mỗi điểm tô màu xanh hoặc đỏ, tìm một lát cắt bánh mì dăm bông Đầu

tiên, Megiddo (1985) mô tả thuật toán cho một trường hợp đặc biệt khi các điểm được tách rời, nghĩa là, có một đường thẳng sao cho mọi điểm đỏ nằm ở một phía và mọi điểm xanh nằm ở phía kia Thuật toán của Megiddo giải quyết trường hợp này trong thời gian tuyến tính Sau đó, Edelsbrunner & Waupotitsch (1986) đưa ra một thuật

toán cho trường hợp tổng quát trong hai chiều chạy trong thời gian O(n log n), trong

đó O là Kí hiệu O lớn Cuối cùng, Lo & Steiger (1990) tìm ra một thuật toán tối ưu chạy trong thời gianO(n) Thuật toán này được mở rộng ra không gian nhiều chiều

bởi Lo, Matoušek & Steiger (1994) Cho d tập hợp điểm ở vị trí tổng quát trong

không gian d chiều, thuật toán tìm ra một siêu phẳng (d−1) chiều sao cho số lượng

điểm của mỗi tập hợp ở hai phía của siêu phẳng là như nhau

Đặc trưng Euler

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Trong toán học, và đặc biệt hơn trong tôpô đại số và tổ hợp đa diện, đặc trưng

Euler (hoặc đặc trưng Euler-Poincaré) là một topo bất biến, một số mà nó mô tả hình

dạng hoặc cấu trúc của một không gian tôpô không phụ thuộc vào cách nó được uốn cong Nó thường được ký hiệu là

Đặc trưng Euler (S) của một mặt phẳng S được chia làm các tam giác là số đỉnh trừ đi số cạnh cộng với số mặt của tam giác

Định lý: Đặc trưng Euler theo 2 phép phân chia tam giac của cùng 1 mặt phẳng là

Khối da diện[sửa]

Đặc trưng Euler được định nghĩa cổ điển cho các khối đa diện lồi, theo công thức

Kết quả này được gọi là công thức đa diện Euler hoặc định lý đa diện Euler Đặc

trưng Euler cho hình cầu (tức χ = 2), và áp dụng giống với khối đa diện hình cầu Minh họa cho công thức trên một số khối đa diện được đưa ra dưới đây

Trong đó V, E và F tương ứng là số đỉnh (góc), các cạnh và mặt trong đa diện nhất định Bất kỳ bề mặt đa diện lồi của Euler có đặc trưng

Tên Hình ảnh ĐỉnhV CạnhE MặtF Đặc trưng Euler:V − E + F

Tất cả các Đa diện xạ ảnh đều có đặc trưng Euler bằng 1, tương ứng với mặt phẳng xạ ảnh thực, trong khi khối đa diện hình xuyến đều có đặc trưng Euler bằng 0, tương ứng với hình xuyến.

Đồ thị phẳng[sửa]

Xem thêm: Đồ thị phẳng#Công thức Euler cho đồ thị phẳng

Các đặc trưng Euler có thể được xác định cho đồ thị phẳng liên thông bằng cách cùng công thức như cho các bề mặt đa diện, nơi F là số

lượng mặt trong đồ thị, bao gồm cả các mặt bên ngoài

Đặc trưng Euler của bất kỳ đồ thị phẳng liên thông G là 2 Điều này có thể dễ dàng chứng minh bằng trực quan về số lượng k mặt được xác định bởi G, bắt đầu với một cây như trường hợp cơ sở Đối với cây, E = V-1 và F = 1 Nếu G có thành phần bù C, cùng tranh luận bằng trực quan trên F cho thấy

của Cauchy cũng chứng minh kết quả này

Chứng minh công thức Euler[sửa]

Các bước chứng minh cho hình lập phương

Có nhiều cách chứng minh cho công thức Euler Trong số đó do Cauchy đưa ra vào năm

1811, như sau: Chúng minh áp dụng cho bất kỳ đa diện lồi, và nói chung cho bất kỳ đa diện có biên tương đương hình học với một mặt cầu và các mặt đa diện có tương đương

tô pô với đĩa phẳng

Xóa một mặt của bề mặt đa diện Bằng cách kéo các cạnh của mặt mất tích xa nhau, biến dạng tất cả các phần còn lại thành một đồ thị phẳng của các điểm và các đường cong, được minh họa bằng hình đầu tiên của ba đồ thị cho các trường hợp đặc biệt của khối lập phương (Giả sử rằng bề mặt đa diện đồng phôi với mặt cầu ngay từ đầu.Sau khi biến dạng này, những mặt chính tắc nói chung là không chính tắc nữa Số đỉnh và cạnh vẫn như cũ, nhưng số lượng các mặt đã được giảm 1 Do đó, chứng minh công thức Euler cho

dạng, đối tượng phẳng

Nếu có một mặt với hơn ba bên, vẽ một đường chéo-có nghĩa là, một đường cong qua mặt kết nối hai đỉnh mà chưa được kết nối Này cho biết thêm một cạnh và một mặt và không thay đổi số đỉnh, do đó, nó không thay đổi số

lượng (Giả định rằng tất cả các mặt đĩa cần thiết ở đây, để hiển thị thông qua định lý đường cong Jordan rằng hoạt động này làm tăng số lượng mặt lên một.) Tiếp tục bổ sung các cạnh theo cách này cho đến khi tất cả các mặt

có hình tam giác

Áp dụng nhiều lần một trong hai biến đổi sau đây, duy trì bất biến mà ranh giới bên ngoài luôn luôn là một chu kỳ đơn giản:

1. Xóa một hình tam giác với một cạnh tiếp giáp với bên ngoài, được minh họa bằng

đồ thị thứ hai Điều này làm giảm số cạnh và mặt của mỗi khối và không làm thay

2. Xóa một hình tam giác với hai cạnh chia bởi các bên ngoài của mạng, được minh họa bằng đồ thị thứ ba Mỗi tam giác bị xoá tức là bỏ đi một đỉnh, hai cạnh và một

Những biến đổi cuối cùng giảm đồ thị hai chiều để một hình tam giác đơn (Nếu không

có sự đơn giản chu kỳ bất biến, loại bỏ một hình tam giác có thể ngắt kết nối hình tam giác còn lại, vô hiệu các phần còn lại của các đối số một để loại bỏ hợp lệ là một ví dụ cơ bản của một bắn phá )

Tại thời điểm này hình tam giác đơn độc có V = 3, E = 3, và F = 1, do

đa diện Điều này chứng minh định lý

Để chứng minh thêm, xem Twenty Proofs of Euler's Formula của David Eppstein Nhiều bằng chứng, trong đó có sai sót và hạn chế của họ, được sử dụng như ví dụ trong Proofs and Refutations của Imre Lakatos.[1]

Định nghĩa tô pô học[sửa]

Các bề mặt đa diện được thảo luận ở trên, trong ngôn ngữ hiện đại, hai chiều hữu

hạn CW-phức (Chỉ khi những mặt tam giác được sử dụng, chúng là đơn hình phức hữu

hạn hai chiều phức.) Nói chung, đối với bất kỳ CW-phức hữu hạn, đặc trưng Euler có

thể được định nghĩa là tổng luân phiên

với kn là số ô của n chiều trong

Tương tự, đối với một đơn hình phức, đặc trưng Euler bằng tổng luân phiên

với kn là số n-đơn trong phức.

Hơn nữa nói chung, với bất kỳ không gian topo, chúng ta có thể xác định số

Betti thứ n bn như cấp bậc của các nhóm đồng điều đơn lẻ thứ n Các đặc trưng

Euler có thể được định nghĩa là tổng luân phiên.

Số này được định nghĩa tốt nếu các con số Betti là tất cả hữu hạn và nếu chúng

không vượt quá một chỉ số nhất định index n0 Với đơn hình phức, đây không phải là định nghĩa giống như ở đoạn trên nhưng là một tính toán tương đồng cho thấy rằng hai định nghĩa sẽ cho cùng giá trị

Nguyên tắc hợp và loại trừ[sửa]

Nếu M và N là 2 không gian topo bất kì, Ta có đặc trưngn Euler của hội rời là tổng của các đặc trưng Euler của chúng, do đó tính tương đồng là cộng dưới 2 hội rời:

Nói một cách tổng quát hơn, nếu M và N là không gian con của X, thì ta có hội và

giao của chúng Trong một vài trường hợp, Đặc trưng Euler tuân theo một nguyên tắc hợp và loại trừ:

Điều này đúng trong các trường hợp dưới đây:

• Nếu M và N là một cặp loại trừ Đặc biệt, nếu phần trong của M và N ở trong

hội vẫn phủ các hội.[3]

• Nếu X là một không gian compắc địa phương, và nó dùng đặc trưng Euler

với những hỗ trợcompắc, không có giả thuyết nào trên M hoặc N là cần thiết.

• Nếu X là một không gian phân tầng tất cả các tầng của X đều là không gian, Nguyên tắc hợp và loại trừ dùng nếu M và N là hội của các phân tầng Điều này áp dung trong trường hợp cụ thể nếu M và N là 1 dạng đại số phức.[4]

Nói chung, nguyên tắc hợp và loại trừ là sai Một phản ví dụ được đưa ra bằng

cách cho X là đường thẳng thực, M a tập con bao gồm 1 điểm và N là phần

bù của M.

ính chất tích[sửa]

Như vậy, đặc trưng Euler của bất kỳ không gian tích M × N là

Những tính chât cộng và nhân được cảm sinh bởi lực lượngcủa các tập hợp Bằng cách này, đặc trưng Euler co thể được xem như 1 sự khái quát hóa (của) lực lượng; tham khảo [1]

Không gian phủ

Tương tự, Cho một không gian phủ có k-phủ có

Tổng quát hơn, cho một không gian phủ bị rẽ nhánh, đặc trưng Euler của phủ có thể được tính toán như trên, với một hệ số hiệu chính cho những điểm rẽ nhánh, nó sinh

ra công thức Riemann–Hurwitz

Tương tự, Cho một không gian phủ có k-phủ có

Tổng quát hơn, cho một không gian phủ bị rẽ nhánh, đặc trưng Euler của phủ có thể được tính toán như trên, với một hệ số hiệu chính cho những điểm rẽ nhánh, nó sinh

ra công thức Riemann–Hurwitz

Tính chất sự phân thớ[sửa]

(Bản mẫu:Fibration property)

Tính chất tích dùng rộng hơn, cho sự phân thớ với điều kiện nhất định

Nếu là một sự phân thớ (fibration) với sợi(fiber) F, với

cơ sở B liên thông đường, và sự phân thớ là định hướng trong một trường K, ta có các đặc trưng Euler với các hệ số trong trường K đáp ứng các tính chất tích:[5]

Điều này bao gồm những không gian tích và những không gian phủ như các trường hợp đặc biệt, và có thể được chứng minh bằng dãy phổ Serre trên sự tương hợp (của) một sự phân thớ

Đối với các chùm sợi(fiber bundles), tnó co thể được hiểu dưới dạng của một ánh xạ

lên và đi "the wrong way" – thành phần của nó với các phép

chiếu là phép nhân bởi các lớp Euler của sợi:[6]

Quan hệ với các bất biến[sửa]

Đặc trưng Euler của một mặt định hướng đóng có thể được tính theo giống g (số hình mặt xuyến trong 1 tổng liên thông phân tích của một bề mặt; bằng trực quan)

Đặc trưng Euler của một mặt không được định hướng đóng có thể được tính theo

giống không định hướng k (số mặt phẳng chiếu thực trong 1 tổng liên thông phân tích của một bề mặt)

Với các đa tạp trơn kín, Đặc trưng Euler trùng với số Euler, nghĩa là.,lớp

Euler của họ tiếp tuyến được đánh giá trên các lớp cơ bản của một đa tạp Lớp Euler, lần lượt, liên quan đến tất cả các lớp đặc trưng khác của họ vector

Với các đa tạp Riemannian, Đặc trưng Euler cũng có thể đươc tìm bởi bằng cách lấy tích phân đường cong; xem Định lý Gauss– Bonnet trong trường hợp 2 chiều

và Định lý tổng quát Gauss–Bonnet trường hợp tổng quát

Một dạng rời rac tương tự của Định lý Gauss– Bonnet là định lý Descartes': "tổng góc khuyết" của một đa diện, được đo trong vòng tròn đầy đủ, là đặc trưng Euler của khối đa diện

Định lý Hadwiger's biểu thị đặc trưng Euler là duy nhất (lên đến tích vô

hướng phép tịnh tiến-bất biến, phép cộng hữu hạn, tập hàm không cần thiết-không

âm được xác định dựa vào hội hữu hạncủa các tập không

gian compact lồi trong Rn đó là "bậc thuần nhất 0"

Ba quả cầu (không liên

thông)

Bất kỳ không gian co (tức là, nó tương đương đồng luân với 1 điểm) có tương đồng tầm thường, nghĩa là số Betti thứ 0 là 1 và những số khác là 0 Tóm lại, Đặc trưng Euler của nó là 1 Trường hợp này bao gồm không gian

Euclid của bất kỳ chiều nào, cũng như quả cầu đơn vị đặc trong bất kì không gian Euclide — 1 chiều - khoảng, 2 chiều - đĩa, 3 chiều - quả cầu,

Quả cầu n chiều có số Betti là 1 trong chiều 0 và n, và tất cả các số Betti khác là 0

Suy ra Đặc trưng Euler của nó là — tức là,hoặc

0 hoặc 2

Không gian chiếu thực n chiều là thương của n quả cầu bởi ánh xạ ngược Suy ra

rằng đặc trưng Euler của nó chính xác một nửa đã tương ứng của các quả cầu - Hoặc là 0 hoặc 1

Hình xuyến n chiều là tích 2 không gian của n vòng tròn đặc trưng Euler của nó

là 2 bởi tính chất tích

í dụ quả banh[sửa]

Có bao nhiêu ngũ giác và hình lục giác tạo nên một quả bóng đá? Giả sử chúng ta sử

có mặt mỗi hình ngũ giác (hình lục giác) có 5 đỉnh (6

đỉnh), và mổi đỉnh có 3 mặt chung, suy ra ta

5 cạnh (6 cạnh), và mổi cạnh có 2 mặt chung, suy ra ta

là

Bởi vì quả cầu có đặc trưng Euler 2, nen ta có Kết quả là chúng tôi luôn luôn cần 12 ngũ giác trên một quả banh / bóng đá, số lượng hình lục giác

về nguyên tắc không bị giới hạn (nhưng đối với một quả banh / bóng đá thực sự rõ ràng

là một lựa chọn một số để làm cho bóng càng tròn càng tốt) Kết quả này cũng được áp dụng cho fullerenes

Khái quát hóa[sửa]

Với mỗi tổ hợp ô phức, nó định nghĩa đặc trưng Euler là số ô-0, trừ đi số ô-1, cộng với số lượng ô-2, , nếu tổng xen kẽ này là hữu hạn Cụ thể là, các đặc trưng Euler của một tập hợp hữu hạn chỉ đơn giản là số lượng của nó, và các đặc trưng Euler của một đồ thị là số lượng các các đỉnh trừ đi số của các cạnh.[7]

Tổng quát hơn, nó có thể định nghĩa đặc trưng Euler của bất kỳ chuỗi phức là tổng luân phiên các bậc của các nhóm tương đồng của các chuỗi phức

1 phien bản được sử dụng trong hình hoc đại số là như sau với bất

kì họ trên sơ đồ chiếu xuống X, định nghĩa là đặc trưng Euler của

có một đặc trưng Euler phân đoạn Ví dụ, giọt nước mắt quỹ đạo đa tạp có đặc trưng

Euler 1 + 1/p, với p là một số nguyên tố tương ứng với các góc hình nón 2π / p.

Khái niệm Đặc trưng Euler của một poset hữu hạn bị chặn là một sự tổng quát, quan trọng trong tổ hợp Một poset được "bao bọc" nếu nó có các yếu tố nhỏ nhất và lớn nhất, gọi chúng là 0 và 1 Đặc trưng Euler của một poset như được định nghĩa là số nguyên μ(0,1), trong đó μ là hàm Mobius về tỷ lệ đại số đó là poset

Điều này có thể được tiếp tục tổng quát bằng cách định nghĩa một Q-giá trị đặc trưng Euler cho các loại(categories) hữu hạn nhất định, một khái niệm tương thích với của

đồ thị của các đặc trưng Euler, quỹ đạo đa tạp và posets đề cập ở trên Trónghoan2 cảnh này, các đặc trưng Euler của một nhóm hữu hạn hoặc nửa nhóm G là 1/|G|, và các đặc trưng Euler của một phỏng nhóm(groupoid) hữu hạn là tổng của 1/|Gi|, nơi mà chúng tôi đã chọn một nhóm đại diện Gi cho mỗi thành phần liên thông của phỏng

nhóm.[8]

Bộ ba số Pythagore

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

(đổi hướng từ Bộ ba Pytago)

Định lý Pythagore: a2 + b2 = c2

Một bộ ba số Pythagore gồm ba số nguyên dương a, b, và c, sao cho a2 + b2 = c2 Khi đó

ta viết bộ ba đó là (a, b, c), và bộ ba ai cũng biết là (3, 4, 5) Nếu (a, b, c) là bộ ba số Pythagore, thì cả bộ ba (ka, kb, kc) với số nguyên dương k bất kỳ cũng là Pythagor Một

bộ ba số Pythagore được gọi là bộ ba số Pythagor nguyên tố nếu a, b và c là các số

nguyên tố cùng nhau

Tên gọi của các bộ ba số này xuất phát từ định lý Pythagore Các bộ ba số Pythagore có

thể lấy làm độ dài các cạnh của tam giác vuông với độ dài cạnh huyền là c Tuy nhiên, độ

dài các cạnh của một tam giác vuông không tạo thành bộ ba số Pythagor nếu chúng

không là các số nguyên Chẳng hạn, tam giác với các cạnh a = b = 1 và c = √2 là tam giác vuông, nhưng (1, 1, √2) không là bộ ba số Pythagore vì √2 không là số nguyên

Không có bộ ba số Pythagore nào có 2 số chẵn và có 3 số liền nhau (trừ 3,4 và 5)

Có 16 bộ ba số Pythagor nguyên tố với c ≤ 100:

trong đó m và n là hai số nguyên dương với m > n và k là số nguyên dương

tùy ý Đặc biệt với k = 1 nó dẫn tới công thức cổ điển cho bởi Euclid (kh 300

TCN) trong cuốn sách Elements của ông, thường được gọi là công thức

Euclid:

a = 2mn

b = m2 - n2

c = m2 + n2

Bộ ba số sinh bởi công thức Euclid là nguyên tố chỉ nếu m và n là

các số nguyên tố cùng nhau và đúng một trong chúng là số chẵn

Nếu cả n và m là chẵn, thì a, b, và c sẽ là chẵn, và bộ ba số đó

không nguyên tố cùng nhau Mọi bộ ba nguyên tố (có thể đổi vai

trò giữa a và b) sinh ra từ một cặp duy nhất các số nguyên tố cùng nhau m, n, mà một trong chúng là lẻ.

• Mối liên hệ khác giữa ba số trong bộ ba Pitago,

• (c − a)(c − b)/2 là số chính phương Điều này rất có ích khi kiểm tra xem một

bộ ba số có phải là bộ ba Pitago hay không, tuy vậy đây chỉ là điều kiện cần,

chưa đủ Ví dụ, bộ ba {6, 12, 8} thỏa mãn (c − a)(c − b)/2 là số chính phương,

nhưng lại không phải là bộ ba Pitago Điều kiện (nếu a là cạnh góc vuông

chẵn) " (c − a) và (c − b)/2 đồng thời là số chính phương" chính là điều kiện

cần và đủ để (a,b,c) lập thành bộ ba Pitago; bộ ba Pitago này có thể không nguyên thủy

• Nếu hai số bất kì trong bộ ba Pitago nguyên tố cùng nhau thì đó là bộ ba Pitago nguyên thủy

• Trong 3 số a, b, c có nhiều nhất một số chính phương.

• Tồn tại vô số bộ ba Pitago nguyên thủy có cạnh huyền là số chính phương

• Tồn tại vô số bộ ba Pitago nguyên thủy có một cạnh góc vuông là số chính phương

• Tổng của cạnh huyền và cạnh góc vuông chẵn của một bộ ba Pitago nguyên thủy là một số chính phương lẻ; và trung bình cộng của cạnh huyền và cạnh góc vuông lẻ là một số chính phương

• Diện tích (A = ab/2) là số đồng dư (tiếng Anh: congruent number) chẵn

• Trong hai số a, b có đúng một số lẻ; và c là số lẻ.

• Trong hai số a, b có đúng một số chia hết cho 3

• Trong hai số a, b có đúng một số chia hết cho 4

• Trong ba số a, b, c có đúng một số chia hết cho 5

• Trong bốn số a, b, (a + b), (b − a) có đúng một số chia hết cho 7

• Trong bốn số (a + c), (b + c), (c − a), (c − b) có đúng một số chia hết cho

• Tất cả các số tự nhiên "lớn hơn 2 và không phải số có dạng 4k + 2" luôn

thuộc một bộ ba Pitago nguyên thủy nào đó

• Tất cả các số tự nhiên lớn hơn 2 đều thuộc một bộ Pitago nào đó (nguyên thủy hoặc không), ví dụ các số 6,10,14 và 18 không thuộc một bộ ba Pitago nguyên thủy nào, nhưng lại thuộc một bộ ba Pitago không nguyên thủy 6, 8, 10; 14, 48, 50 và 18, 80, 82

• Tồn tại vô số các bộ ba nguyên Pitago nguyên thủy mà hiệu giữa cạnh

huyền và cạnh góc vuông lớn bằng 1 ("cạnh góc vuông lớn" là cạnh có độ

dài lớn hơn trong hai cạnh góc vuông) Tổng quát: Với số nguyên j lẻ bất

kì, tồn tại vô số bộ ba Pitago nguyên thủy mà hiệu giữa cạnh huyền và

cạnh góc vuông chẵn bằng j 2

• Tồn tại vô số các bộ ba nguyên Pitago nguyên thủy mà hiệu giữa cạnh

huyền và cạnh góc vuông lớn bằng 2 ("cạnh góc vuông lớn" là cạnh có độ dài lớn hơn trong hai cạnh góc vuông) Tổng quát: Với số nguyên k > 0 bất

kì, tồn tại vô số bộ ba Pitago nguyên thủy mà hiệu giữa cạnh huyền và

cạnh góc vuông lẻ bằng 2k 2

• Nếu j và k là các số nguyên dương lẻ, không nhất thiết phân biệt, thì đúng

một bộ ba Pitago nguyên thủy sao

cho

• Cạnh huyền của tất cả các bộ ba nguyên thủy đều có hiệu với cạnh góc vuông chẵn là một số chính phương, và có hiệu với cạnh góc vuông lẻ bằng hai lần một số chính phương:

• Không có một bộ ba Pitago nguyên thủy nào mà hiệu giữa cạnh huyền

và một cạnh góc vuông bằng một số nguyên tố lẻ

• Với mỗi số tự nhiên n, tồn tại n bộ ba Pitago có cùng diện tích, nhưng

khác nhau ở độ dài cạnh huyền

• Với mỗi số tự nhiên n, có ít nhất n bộ ba Pitago khác nhau có cùng cạnh góc vuông a, với a là một số tự nhiên nào đó.

• Với mỗi số tự nhiên n, có ít nhất n bộ ba Pitago khác nhau có cùng

• Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

• Trong giải tích, định lí Taylor cho ta một đa thức xấp xỉ một hàm khả vi tại một điểm cho trước (gọi là đa thức Taylor của hàm đó) có hệ số chỉ phụ thuộc vào các giá trị của đạo hàm tại điểm đó Định lí còn cho ta một đánh giá chính xác sai số của xấp xỉ Định lí đặt theo tên của nhà toán học Brook Taylor, người đã tìm ra nó

vào năm 1712 mặc dù kết quả được tìm ra lần đầu tiên 41 năm trước vào năm

1671 bởi James Gregory

• Giới thiệu[sửa]

• Khai triển khẳng định rằng mọi hàm có đạo hàm hữu hạn đến cấp n đều có thể xấp

xỉ bởi một đa thức bậc n Một ứng đụng đơn giản của định lí là xấp xỉ hàm lũy

• Định lí đầy đủ được phát biểu như sau: Cho n là số nguyên dương và f là hàm khả

vi liên tục đến cấp n trên khoảng đóng [a,x] và khả vi cấp n+1 trên khoảng mở (a,x) thì

•

• với R_n(x) là phần dư bậc n

• Dạng Lagrange của phần dư trong công thức trên

i là số nằm giữa a và x Công thức được chứng minh định lí này nhờ định lí Lagrange.

• Ngoài ra còn có dạng tích phân của phần dư:

•

• với là hàm liên tục tuyệt đối trên [a,x] Kết quả được chứng minh nhờ định lí cơ bản của giải tích

• Chứng minh[sửa]

• Ta sẽ chứng minh định lí với phần dư dạng tích phân

• Định lí cơ bản của giải tích cho ta:

• Tính tương tự ta có điều phải chứng minh.

• Ngoài ra còn có thể dùng quy nạp để chứng minh:

• Giả sử định lí đúng ở một giá trị n nào đó tức:

•

• Ta tính tích phân cuối cùng bằng tích phân từng phần với chú ý rằng nguyên

"(" và ")") Thí dụ:

Ma trận thường được dùng để mô ta không gian trạng thái trong điều khiển tự động.Các loại ma trận đặc biệt[sửa]

Ma trận tam giác[sửa]

Ma trận tam giác là ma trận vuông được chia thành hai loại là ma trận tam giác trên và

ma trận tam giác dưới

Ma trận tam giác trên khi các phần tử nằm phía dưới hạng tử có giá trị = 0, aij=0 với mọi i>j.

Ma trận tam giác dưới khi các phần tử nằm phía trên hạng tử có giá trị bằng không, aij=0 với mọi i<j

Ma trận chéo[sửa]

Ma trận chéo là ma trận vuông trong đó tất cả các phần tử không nằm trên đường chéo

chính thì đều bằng 0, nghĩa là =0 với mọi i ≠ j

Ma trận đơn vị[sửa]

Ma trận đơn vị trên một vành nào đó, là ma trận vuông, có các phần tử nằm trên một

đường chéo mang giá trị là đơn vị nhân của vành đó (nếu là vành số thông thường thì là

số 1), tất cả các phần tử còn lại mang giá trị trung hòa (nếu là vành số thông thường thì là

Tức là::

Ma trận ba đường chéo[sửa]

Là ma trận mà các phần tử nằm ngoài ba đường chéo đều bằng 0

Ma trận sơ cấp[sửa]

Một ma trận sơ cấp hàng nhận được khi ta thực hiện một phép biến đổi

sơ cấp đối với hàng (cột) của một ma trận đơn vị I Kí hiệu là: E

• Ma trận sơ cấp E 1 nhận được khi ta nhân một số α khác 0 vào một hàng của ma trận đơn vị I.

E 1 =

• Ma trận sơ cấp E 2 nhận được khi ta nhân cộng vào hàng j với

hàng i đã được nhân với một số β khác 0 đối với ma trận đơn

Các phép toán đại số trên ma trận[sửa]

Phép nhân hai ma trận chỉ thực hiện được khi số cột

của ma trận bên trái bằng số dòng của ma trận bên

x

và ma

("phân phối bên trái")

Cần chú ý rằng phép nhân ma trận không giao hoán

Một số tính chất[sửa]

1.Phân phối với phép cộng ma trận:

Với các ma trận cùng kích thước và mọi

2.Phân phối với phép cộng các số

3.Nhân với số không:

Mọi ma trận nhân với số không cho ma trận không cùng cấp

4.Nhân với đơn vịMọi ma trận nhân với đơn vị cho kết quả là chính nó

5.Nhân với ma trận không:

Mọi số nhân với ma trận không cho kết quả là chính ma trận không đó

6.Kết hợp với phép nhân các số

7.Tập các ma trận cùng kích

một không gian vectơ với phép cộng ma trận

và phép nhân vô hướng

Ma trận chuyển vị

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Ma trận chuyển vị là một ma trận ở đó các hàng được thay thế bằng các cột, và ngược

lại

Ma trận chuyển vị của ma trận A được ký hiệu là AT

• Ma trân đơn vị cấp n trên vành có đơn vị V là ma trận vuông cấp n trong đó tất cả

các phần tử trên đường chéo chính bằng đơn vị, tất cả các phần tử khác bằng không

• Tính chất của ma trận đơn vị: với mọi ma trân vuông cùng cấp AE=EA=A

Ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo của nó[sửa]

• Ma trận A vuông cấp n được gọi là khả nghịch trên vành V nếu tồn tại ma trận A'

cùng cấp n sao cho A A' = A' A = E Khi đó A' được gọi là ma trận nghịch đảo của

ma trận A, kí hiệu là A−1

Các tính chất[sửa]

1. Điều kiện cần và đủ để ma trận A vuông cấp n khả nghịch là định thức của A

là phần tử khả nghịch trong vành V.

2. Nếu A là ma trận trên một trường F thì A là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0.

3. Ma trận đơn vị là ma trận khả nghịch

4. Nếu A, B là các ma trận khả nghịch thì AB khả nghịch

và

5. Tập hợp tất cả các ma trận vuông khả nghịch cấp n tạo thành một nhóm với

[[Ma trận (toán học)#phép nhân ma trận|phép nhân ma trận

Tìm ma trận nghịch đảo[sửa]

Định thức con và phần bù đại số[sửa]

• Cho ma trận vuông A cấp n và phần tử aij Định thức của ma trận cấp n-1 suy ra từ

A bằng cách xóa đi dòng thứ i, cột thứ j được gọi là định thức con của A ứng với phần tử aij, ký hiệu là Mij

• Định thức con Mij với dấu bằng (-1)i+j được gọi là phần bù đại số của phần tử aij, kí hiệu là Aij

Ví dụ: Cho ma trận

.Khi đó

Tương tự A12=0; A13=0; A21=-3 ;A22=3 ;A23=0;A31=-1 ;A32=-1;A33=2;

Nếu det(A)≠0 thì A có ma trận nghịch đảo , chuyển sang bước 2

• Bước 2: Lập ma trận chuyển vị A' của A

• Bước 3: Lập ma trận phụ hợp của A được định nghĩa như sau

với là phần bù đại số của phần tử ở hàng i, cột j trong ma trận A'

Định thức

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia