Định lí TOÁN HỌC

Định lí Bayes là một kết quả của lí thuyết xác suất. Nó đề cập đến phân bố xác suất có điều kiện của biến ngẫu nhiên A, với giả thiết là biết được: • thông tin về một biến khác B: phân bố xác suất có điều kiện của B khi biết A, và • phân bố xác suất của một mình A. Phát biểu định lý[sửa] Định lý Bayes cho phép tính xác suất xảy ra của một sự kiện ngẫu nhiên A khi biết sự kiện liên quan B đã xảy ra. Xác suất này được ký hiệu là P(A|B), và đọc là "xác suất của A nếu có B". Đại lượng này được gọi xác suất có điều kiện hay xác suất hậu nghiệm vì nó được rút ra từ giá trị được cho của B hoặc phụ thuộc vào giá trị đó. Theo định lí Bayes, xác suất xảy ra A khi biết B sẽ phụ thuộc vào 3 yếu tố: • Xác suất xảy ra A của riêng nó, không quan tâm đến B. Kí hiệu là P(A) và đọc là xác suất của A. Đây được gọi là xác suất biên duyên hay xác suất tiên nghiệm, nó là "tiên nghiệm" theo nghĩa rằng nó không quan tâm đến bất kỳ thông tin nào về B. • Xác suất xảy ra B của riêng nó, không quan tâm đến A. Kí hiệu là P(B) và đọc là "xác suất của B". Đại lượng này còn gọi là hằng số chuẩn hóa (normalising constant), vì nó luôn giống nhau, không phụ thuộc vào sự kiện A đang muốn biết. • Xác suất xảy ra B khi biết A xảy ra. Kí hiệu là P(B|A) và đọc là "xác suất của B nếu có A". Đại lượng này gọi là khả năng (likelihood) xảy ra B khi biết A đã xảy ra. Chú ý không nhầm lẫn giữa khả năng xảy ra B khi biết A và xác suất xảy ra A khi biết B. Khi biết ba đại lượng này, xác suất của A khi biết B cho bởi công thức: Từ đó dẫn tới Các dạng khác của định lý Bayes[sửa] Định lý Bayes thường cũng thường được viết dưới dạng hay trong đó A C là biến cố bù của biến cố A (thường được gọi là "không A"). Tổng quát hơn, với {A i } tạo thành một phân hoạch của không gian các biến cố, với mọi A i trong phân hoạch. Công thức này còn được biết dưới tên công thức xác suất đầy đủ. Định lý Bayes với hàm mật độ xác suất[sửa] Cũng có một dạng của định lý Bayes cho các phân bố liên tục. Đối vơi chúng, thay cho các xác suất trong định lý Bayes ta dùng mật độ xác suất. Như vậy ta có các công thức tương tự định nghĩa xác suất điều kiện và công thức tương tự công thức xác suất đầy đủ: Ý nghĩa của các thành phần trong các công thức trên là f(x, y) là mật độ phân phối của phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên X và Y, f(x|y) là mật độ phân phối xác suất hậu nghiệm của Xvới điều kiện Y=y, f(y|x) = L(x|y) là (một hàm của x) hàm khả năng của X với điều kiện Y=y, và f(x) và f(y) là các mật độ phân phối của X và Y tách biệt nhau, với f(x) là mật độ phân phối tiền nghiệm của X. Điều kiện mặc định trong các công thức là hàm f khả vi và các tích phân công thức tồn tại. Định lí Ceva Bách khoa toàn thư mở Wikipedia Định lí Ceva (trường hợp 1: ba đường thẳng đồng qui tại điểm O bên trong đường tròn Định lí Ceva (trường hợp 1: ba đường thẳng đồng qui tại điểm O bên ngoài đường tròn Định lí Ceva là một định lí phổ biến trong hình học cơ bản. Cho một tam giác ABC, các điểm D, E, và F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, và AB. Định lí phát biểu rằng các đường thẳng AD, BE và CF là những đường thẳng đồng qui khi và chỉ khi: Ngoài ra, định lí Ceva còn được phát biểu một cách tương đương trong lượng giác rằng: AD,BE,CF đồng qui khi và chỉ khi . Định lí được chứng minh lần đầu tiên bởi Giovanni Ceva trong tác phẩm De lineis rectis viết năm 1678 của Ông. Một Cevian là một đoạn thẳng nối một đỉnh tam giác với một điểm nằm ở phía đối diện. Chứng minh định lí[sửa] Giả sử , và đồng qui tại một điểm nào đó (trong hay ngoài tam giác). Do và có chung chiều cao (độ dài của đường cao), ta có Tương tự, Ta suy ra Tương tự, và Nhân ba đẳng thức trên cho ta: (điều phải chứng minh). Ngược lại, giả sử rằng ta đã có những điểm , và thỏa mãn đẳng thức. Gọi giao điểm của và là , và gọi giao điểm của và là . Theo chứng minh trên, Kết hợp với đẳng thức trên, ta nhận được: Thêm 1 vào mỗi vế và chú ý rằng , ta có Do đó , vậy và trùng nhau. Vì vậy , và = đồng qui tại , và định lí đã được chứng minh (là đúng theo cả hai chiều). ịnh lý Menelaus là một định lý về các tam giác trong hình học phẳng. Cho tam giác ABC. D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó định lý phát biểu rằng D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi Chứng minh định lý: Phần thuận: Giả sử D, E, F thẳng hàng. Vẽ đường thẳng qua C và song song với AB cắt đường thẳng DE tại G. Theo định lý talet ta có (1) và (2) Nhân (1) và (2) vế theo vế Từ đó suy ra Phần đảo: Giả sử . Khi đó gọi F' là giao của đường thẳng ED với đường thẳng AB. Theo chứng minh ở trên ta có Kết hợp giả thuyết suy ra Hay Nên F'A = FA và F'B = FB Do đó F' trùng với F. Vậy định lý đã được chứng minh. Định lý lớn Fermat Định lý cuối của Fermat (hay còn gọi là Định lý lớn Fermat) là một trong những định lý nổi tiếng trong lịch sử toán học. Định lý này phát biểu như sau: Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả x n + y n = z n trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2. Giả thuyết tổng quát[sửa] Phương trình: • với , . hoặc tổng quát hơn: • với , , . không có nghiệm nguyên khác không. Giả thuyết tổng quát này hiện vẫn chưa được chứng minh, kiểm chứng Định lý bánh mì dăm bông Bách khoa toàn thư mở Wikipedia Trong lý thuyết độ đo, định lý bánh mì dăm bông, còn gọi là định lý Stone– Tukey theo Arthur H. Stone và John Tukey, phát biểu rằng với mọi n "đối tượng" đo được trong không gian nchiều, có thể chia tất cả chúng thành hai nửa có cùng độ đo (hay thể tích) bằng một siêu phẳng (n − 1) chiều. Ở đây mỗi đối tượng là một tập hợp có độ đo hữu hạn để khái niệm chia thành hai nửa có cùng thể tích là có nghĩa. Tên gọi[sửa] Tên gọi định lý bánh mì dăm bông xuất phát từ trường hợp n = 3 và ba đối tượng bao gồm một lát dăm bông và hai lát bánh mì tạo thành một bánh mì kẹp. Có thể cắt cả ba lát làm hai nửa bằng nhau bằng một nhát cắt (nghĩa là một mặt phẳng). Trong không gian hai chiều, định lý này được gọi là định lý bánh kếp do phải cắt hai bánh kếp mỏng trên đĩa bằng một nhát cắt thẳng (nghĩa là một đường thẳng). Định lý bánh mì dăm bông đôi khi còn được gọi là "định lý bánh mì dăm bông và pho mát", theo trường hợp đặc biệt n = 3 và ba đối tượng là 1. một miếng dăm bông, 2. một lát pho mát, và 3. hai lát bánh mì (coi là một đối tượng không liên thông). Định lý khẳng định rằng có thể cắt dăm bông và pho mát thành hai nửa sao cho mỗi nửa có cùng một lượng dăm bông, pho mát, và bánh mì. Có thể coi hai lát bánh mì là một đối tượng do định lý chỉ yêu cầu thể tích của đối tượng trên mỗi nửa biến thiên liên tục khi mặt phẳng cắt di chuyển trong không gian. Định lý bánh mì dăm bông không liên quan đến định lý kẹp. Quy về định lý Borsuk–Ulam[sửa] Định lý bánh mì dăm bông có thể được chứng minh bằng cách quy về định lý Borsuk– Ulam. Chứng minh dưới đây là của Steinhaus (1938) và một số người khác, trong đó trường hợp đặc biệtn = 3 đã được chứng minh bởi Stefan Banach. Đặt A 1 , A 2 , …, A n là n đối tượng ta muốn chia đôi. Đặt S là mặt cầu đơn vị n chiều trong không gian Euclid , có tâm ở gốc tọa độ. Với mỗi điểm p trên mặt của S, ta xác định một lớp cácsiêu phẳng afin vuông góc với vectơ từ gốc tọa độ đến p. "Nửa dương" của mỗi siêu phẳng là nửa được vectơ đó chỉ tới. Theo định lý giá trị trung gian, mọi lớp các siêu phẳng xác định như trên đều chứa một siêu phẳng chia đôi đối tượng A n : nếu tịnh tiến siêu phẳng vô hạn về một hướng, toàn bộ A n nằm ở nửa dương, mặt khác nếu tịnh tiến siêu phẳng vô hạn về phía kia thì toàn bộ A n nằm ở nửa âm, nên tồn tại một phép tịnh tiến sao cho độ đo của A n ở nửa dương là đúng một nửa. Nếu có nhiều hơn một siêu phẳng thỏa mãn tính chất trên thì ta chọn điểm chính giữa của khoảng tịnh tiến trong đó A n được chia đôi. Như vậy với mỗi điểm p trên mặt cầu S, ta chọn được một siêu phẳng π(p) vuông góc với vectơ từ gốc tọa độ tới p và chia đôi A n . Định nghĩa hàm f từ mặt cầu (n − 1) chiều S tới không gian Euclid (n − 1) chiều như sau: f(p) = (độ đo của A 1 trên nửa dương của π(p), độ đo của A 2 trên nửa dương của π(p), , độ đo của A n−1 trên nửa dương của π(p)). Hàm f là liên tục. Theo định lý Borsuk–Ulam, tồn tại hai điểm đối cực p và q trên mặt cầu S sao cho f(p) = f(q). Hai điểm đối cực p và q tương ứng với hai siêu phẳng π(p) và π(q) bằng nhau nhưng có nửa dương ngược nhau. Do đó, f(p) = f(q) nghĩa là A i có cùng độ đo trên nửa dương và nửa âm của π(p) (hay π(q)), với mọi i = 1, 2, , n − 1. Vì vậy π(p) (hay π(q)) là lát cắt cần tìm để chia đôi A 1 , A 2 , …, A n . Phiên bản rời rạc và trong hình học tính toán[sửa] Trong hình học rời rạc và hình học tính toán, định lý bánh mì dăm bông thường được dùng để chỉ trường hợp đặc biệt khi mỗi đối tượng là một tập hợp hữu hạn các điểm. Độ đo được dùng ở đây là độ đo đếm: đếm số lượng điểm nằm ở mỗi phía của siêu phẳng. Trong trường hợp hai chiều, định lý có thể phát biểu như sau: Với một tập hợp hữu hạn bất kì các điểm trên mặt phẳng tô màu xanh và đỏ, tồn tại một đường thẳng đồng thời chia đôi tập các điểm đỏ và tập các điểm xanh, nghĩa là số điểm đỏ nằm ở hai phía của đường thẳng là như nhau và tương tự với các điểm xanh. Trong trường hợp đặc biệt khi có các điểm nằm trên đường thẳng được chọn, "chia đôi" được hiểu là ở mỗi phía của đường thẳng có không quá một nửa số điểm. Trường hợp đặc biệt này là cần thiết chẳng hạn khi tất cả các điểm thẳng hàng và tất cả các điểm đỏ nằm ở một phía của đường thẳng và các điểm xanh nằm ở phía kia. Có thể xây dựng ví dụ sao cho số điểm ở hai phía không bằng nhau bằng cách thêm một điểm không nằm trên đường thẳng trong ví dụ trên. Trong hình học tính toán, định lý bánh mì dăm bông dẫn tới bài toán bánh mì dăm bông. Trong không gian hai chiều, bài toán phát biểu như sau: cho n điểm trên mặt phẳng, mỗi điểm tô màu xanh hoặc đỏ, tìm một lát cắt bánh mì dăm bông. Đầu tiên, Megiddo (1985) mô tả thuật toán cho một trường hợp đặc biệt khi các điểm được tách rời, nghĩa là, có một đường thẳng sao cho mọi điểm đỏ nằm ở một phía và mọi điểm xanh nằm ở phía kia. Thuật toán của Megiddo giải quyết trường hợp này trong thời gian tuyến tính. Sau đó, Edelsbrunner & Waupotitsch (1986) đưa ra một thuật toán cho trường hợp tổng quát trong hai chiều chạy trong thời gian O(n log n), trong đó O là Kí hiệu O lớn. Cuối cùng, Lo & Steiger (1990) tìm ra một thuật toán tối ưu chạy trong thời gianO(n). Thuật toán này được mở rộng ra không gian nhiều chiều bởi Lo, Matoušek & Steiger (1994). Cho d tập hợp điểm ở vị trí tổng quát trong không gian d chiều, thuật toán tìm ra một siêu phẳng (d−1) chiều sao cho số lượng điểm của mỗi tập hợp ở hai phía của siêu phẳng là như nhau Đặc trưng Euler Bách khoa toàn thư mở Wikipedia Trong toán học, và đặc biệt hơn trong tôpô đại số và tổ hợp đa diện, đặc trưng Euler (hoặc đặc trưng Euler-Poincaré) là một topo bất biến, một số mà nó mô tả hình dạng hoặc cấu trúc của một không gian tôpô không phụ thuộc vào cách nó được uốn cong. Nó thường được ký hiệu là . Đặc trưng Euler (S) của một mặt phẳng S được chia làm các tam giác là số đỉnh trừ đi số cạnh cộng với số mặt của tam giác Định lý: Đặc trưng Euler theo 2 phép phân chia tam giac của cùng 1 mặt phẳng là bằng nhau Các đặc trưng Euler đã được xác định cho các khối đa diện và được sử dụng để chứng minh định lý khác nhau về chúng, bao gồm cả việc phân loại các khối Platon. Leonhard Euler, tên của ông đặt cho khái niệm này, đã có các công trình nghiên cứu đầu tiên về đặc trưng này. Trong toán học hiện đại, đặc trưng Euler xuất hiện từ phép đồng đều và liên hệ với nhiều bất biến khác. Khối da diện[sửa] Đặc trưng Euler được định nghĩa cổ điển cho các khối đa diện lồi, theo công thức Kết quả này được gọi là công thức đa diện Euler hoặc định lý đa diện Euler. Đặc trưng Euler cho hình cầu (tức χ = 2), và áp dụng giống với khối đa diện hình cầu. Minh họa cho công thức trên một số khối đa diện được đưa ra dưới đây. Trong đó V, E và F tương ứng là số đỉnh (góc), các cạnh và mặt trong đa diện nhất định. Bất kỳ bề mặt đa diện lồi của Euler có đặc trưng Tên Hình ảnh Đỉnh V Cạnh E Mặt F Đặc trưng Euler: V − E + F Tứ diện 4 6 4 2 Lục diện hoặc hình lập phương 8 12 6 2 Bát diện 6 12 8 2 Thập nhị diện 20 30 12 2 Nhị thập diện 12 30 20 2 Bề mặt của khối đa diện không lồi có thể có những đặc trưng Euler khác nhau ; [...]... bộ bộ ba Pitago nguyên thủy khác Định lí Taylor Bách khoa toàn thư mở Wikipedia Trong giải tích, định lí Taylor cho ta một đa thức xấp xỉ một hàm khả vi tại một điểm cho trước (gọi là đa thức Taylor của hàm đó) có hệ số chỉ phụ thuộc vào các giá trị của đạo hàm tại điểm đó Định lí còn cho ta một đánh giá chính xác sai số của xấp xỉ Định lí đặt theo tên của nhà toán học Brook Taylor, người đã tìm ra... công thức trên là vớ • i là số nằm giữa a và x Công thức được chứng minh định lí này nhờ định lí Lagrange Ngoài ra còn có dạng tích phân của phần dư: • • • • • với là hàm liên tục tuyệt đối trên [a,x] Kết quả được chứng minh nhờ định lí cơ bản của giải tích Chứng minh[sửa] Ta sẽ chứng minh định lí với phần dư dạng tích phân Định lí cơ bản của giải tích cho ta: hay • • • Ta áp dụng tích phân từng phần:... khi x tiến dần về 0, và khi x càng xa điểm 0 thì xấp xỉ càng kém chính xác Sai số của xấp xỉ (R) phụ thuộc vào phần dư bậc n: Tổng quát, định lí Taylor áp dụng cho mọi hàm khả vi f cho ta một xấp xỉ khi x ở lân cận điểm a: • • với sai số: • • • Định lí[ sửa] Định lí đầy đủ được phát biểu như sau: Cho n là số nguyên dương và f là hàm khả vi liên tục đến cấp n trên khoảng đóng [a,x] và khả vi cấp n+1... có thể đươc tìm bởi bằng cách lấy tích phân đường cong; xem Định lý Gauss– Bonnet trong trường hợp 2 chiều và Định lý tổng quát Gauss–Bonnet trường hợp tổng quát Một dạng rời rac tương tự của Định lý Gauss– Bonnet là định lý Descartes': "tổng góc khuyết" của một đa diện, được đo trong vòng tròn đầy đủ, là đặc trưng Euler của khối đa diện Định lý Hadwiger's biểu thị đặc trưng Euler là duy nhất (lên... có thể được định nghĩa là tổng luân phiên với kn là số ô của n chiều trong Tương tự, đối với một đơn hình phức, đặc trưng Euler bằng tổng luân phiên với kn là số n-đơn trong phức Hơn nữa nói chung, với bất kỳ không gian topo, chúng ta có thể xác định số Betti thứ n bn như cấp bậc của các nhóm đồng điều đơn lẻ thứ n Các đặc trưng Euler có thể được định nghĩa là tổng luân phiên Số này được định nghĩa... nghĩa là tổng luân phiên Số này được định nghĩa tốt nếu các con số Betti là tất cả hữu hạn và nếu chúng không vượt quá một chỉ số nhất định index n0 Với đơn hình phức, đây không phải là định nghĩa giống như ở đoạn trên nhưng là một tính toán tương đồng cho thấy rằng hai định nghĩa sẽ cho cùng giá trị Nguyên tắc hợp và loại trừ[sửa] Nếu M và N là 2 không gian topo bất kì, Ta có đặc trưngn Euler của hội... lần nữa ta được: • • • Tính tương tự ta có điều phải chứng minh Ngoài ra còn có thể dùng quy nạp để chứng minh: Giả sử định lí đúng ở một giá trị n nào đó tức: • • Ta tính tích phân cuối cùng bằng tích phân từng phần với chú ý rằng nguyên hàm của là của hàm biến t , có: • • • Do đó định lí cũng đúng với n+1 do đó đúng với mọi n nguyên dương Mô tả[sửa] Các dòng ngang của ma trận gọi là hàng và các cột... trận A vuông cấp n khả nghịch là định thức của A là phần tử khả nghịch trong vành V 2 3 4 Nếu A là ma trận trên một trường F thì A là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0 Ma trận đơn vị là ma trận khả nghịch Nếu A, B là các ma trận khả nghịch thì AB khả nghịch và 5 Tập hợp tất cả các ma trận vuông khả nghịch cấp n tạo thành một nhóm với [[Ma trận (toán học) #phép nhân ma trận|phép nhân... [[Ma trận (toán học) #phép nhân ma trận|phép nhân ma trận Tìm ma trận nghịch đảo[sửa] Định thức con và phần bù đại số[sửa] • Cho ma trận vuông A cấp n và phần tử aij Định thức của ma trận cấp n-1 suy ra từ A bằng cách xóa đi dòng thứ i, cột thứ j được gọi là định thức con của A ứng với phần tử aij, ký hiệu là Mij i+j • Định thức con Mij với dấu bằng (-1) được gọi là phần bù đại số của phần tử aij, kí... có các yếu tố nhỏ nhất và lớn nhất, gọi chúng là 0 và 1 Đặc trưng Euler của một poset như được định nghĩa là số nguyên μ(0,1), trong đó μ là hàm Mobius về tỷ lệ đại số đó là poset Điều này có thể được tiếp tục tổng quát bằng cách định nghĩa một Q-giá trị đặc trưng Euler cho các loại(categories) hữu hạn nhất định, một khái niệm tương thích với của đồ thị của các đặc trưng Euler, quỹ đạo đa tạp và posets . với F. Vậy định lý đã được chứng minh. Định lý lớn Fermat Định lý cuối của Fermat (hay còn gọi là Định lý lớn Fermat) là một trong những định lý nổi tiếng trong lịch sử toán học. Định lý này. tại điểm O bên trong đường tròn Định lí Ceva (trường hợp 1: ba đường thẳng đồng qui tại điểm O bên ngoài đường tròn Định lí Ceva là một định lí phổ biến trong hình học cơ bản. Cho một tam giác ABC,. chia đôi A 1 , A 2 , …, A n . Phiên bản rời rạc và trong hình học tính toán[ sửa] Trong hình học rời rạc và hình học tính toán, định lý bánh mì dăm bông thường được dùng để chỉ trường hợp đặc