CHUYÊN Đề: các dạng tính nhanh phân số I.Dạng 1: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp 2 lần mẫu số của phân số liền trước... Dạng 3: Tính tổn
Trang 1CHUYÊN Đề: các dạng tính nhanh phân số
I.Dạng 1: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp 2 lần mẫu số của phân số liền trước
Ví dụ:
64
1 32
1 16
1 8
1 4
1
2
1
Cách giải:
Cách 1:
Bước 1: Đặt A =
64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
Bước 2: Ta thấy:
2
1 1 2
1
;
4
1 2
1 4
1
;
8
1 4
1 8
1
;……
64
1 32
1
8
1 4
1 4
1 2
1 2
1 1
A =
64
1 32
1
8
1 4
1 4
1 2
1 2
1
1
A = 1 -
64
1
=
64
63 64
1 64
64
Cách 2:
Bước 1: Đặt A =
64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
Bước 2: Ta thấy:
2
1
1
2
1
;
4
1 1 4
3 4
1 2
1
8
1 1 8
7 8
1 4
1 2
1
Bước 3: Vậy A =
64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
64
1
=
64
63 64
1 64
64
II.Dạng 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp n lần mẫu số của phân số liền trước (n > 1)
Ví dụ: A =
64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
Cách giải:
Bước 1: Tính A x n (n = 2)
Ta có: A x 2 = 2 x
64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2 1
Trang 2=
64
2 32
2 16
2 8
2 4
2 2
2
32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
1
Bước 2: Tính A x n - A = A x (n - 1)
32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2 1
A x (2 - 1) =
32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
1 -
64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
= 1 -
64
1
=
64
63 64
1 64
64
Ví dụ 2: B =
486
5 162
5 54
5 18
5 6
5 2
5
Cách giải:
Bước 1: Tính B x n (n =3)
486
5 162
5 54
5 18
5 6
5 2
5
=
162
5 54
5 18
5 6
5 2
5 2
15
Bước 2: Tính B x n - B
162
5 54
5 18
5 6
5 2
5 2
15
486
5 162
5 54
5 18
5 6
5 2 5
B x (3 - 1) =
162
5 54
5 18
5 6
5 2
5 2
15
486
5 162
5 54
5 18
5 6
5 2
5
B x 2 =
486
5 2
15
=
486
5
3645
486
3640
B = :2
486
3640
486
1820
243
910
Bài tập
Bài 1: Tính nhanh
a)
192
2 96
2 48
2 24
2 12
2
6
2
3
2
256
1 128
1 64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
729
1 243
1 81
1 27
1
9
1
3
1
512
3 128
3 32
3 8
3 2
3
e) 3 +
625
3 125
3 25
3
5
3
g)
1280
1
40
1 20
1 10
1 5
1
h)
59049
1
81
1 27
1
9
1
3
1
III Dạng 3: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2 thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trước là thừa số thứ nhất của mẫu phân số liền sau:
Trang 3Ví dụ: A =
6 5
1 5 4
1 4 3
1 3 2
1
x x
x
A =
6 5
5 6 5 4
4 5 4 3
3 4 3 2
2 3
x x
x x
=
6 5
5 6 5
6 5 4
4 5 4
5 4 3
3 4 3
4 3 2
2 3 2
3
x x
x x
x x
x
=
6
1 5
1 5
1 4
1 4
1 3
1 3
1 2
1
=
3
1 6
2 6
1 6
3 6
1 2
1
Ví dụ: B =
14 11
3 11 8
3 8 5
3 5 2
3
x x
x
14 11
11 14 11 8
8 11 8 5
5 8
5
2
2
5
x x
x x
B =
14 11
11 14
11
14 11
8
8 11 8
11 8
5
5 8 5
8 5 2
2 5
2
5
x x
x x
x x
x
=
14
1 11
1 11
1 8
1 8
1 5
1 5
1
2
1
7
3 14
6 14
1 14
7 14
1 2
1
Bài tập
Bài 1: Tính nhanh:
a
27 23
4 23 19
4 19
15
4 15 11
4 11 7
4
7
3
4
x x
x x
x
b.
10 9
2 9 8
2
4 3
2 3 2
2 2 1
2 15 13
2 13 11
2 11 9
2 9 7
2 7
5
2
5
3
2
x x x
x x x
x x
x x
c.
100 93
77
23 16
77 16 9
77 9 2
77 10 9
3
6 5
3 5 4
3 4 3
3 3
2
3
2
1
3
x x
x x x
x x x x
d
15 12
4 12 9
4 9 6
4
6
3
4
x x
x
x
đ
21 17
7 17 13
7 13 9
7 9
5
7
5
1
7
x x
x x
e
110
1
42
1 30
1 20
1 12
1
6
1
2
1
g
340
1 138
1 154
1 88
1
40
1
10
1
Bài 2: Cho tổng:
1995
664
15 11
4 11
7
4
7
3
4
S
a) Tìm số hạng cuối cùng của dãy S b) Tổng S có bao nhiêu số hạng?
Trang 4Bài 3: Tính nhanh:
a)
90
89 72
71 56
55 42
41 30
29 20
19
12
11
6
5
b) Tính tổng của 10 phân số trong phép cộng sau:
110
109 90
89 72
71 56
55 42
41 30
29 20
19
12
11
6
5
2
1
42
1 , 30
1 , 20
1 , 12
1 , 6
1 , 2 1
a) Hãy tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số trên
b) Số
10200
1
có phải là một số hạng của dãy số trên không? Vì sao?
Bài 5: Tính nhanh: A =
50
4 3 2 1
1
4 3 2 1
1 3
2 1
1 2 1
1
Bài 6: So sánh S với 2, biết rằng:
45
1
10
1 6
1 3
1
1
S
91
1 73
1 57
1 43
1 31
1 21
1 13
1 7
1 3
1
Bài 8: Điền dấu >,< hoặc = vào ô trống:
1000
1
25
1 16
1 9
1 4
1
IV.Dạng 4: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n, có mẫu số là tích của 3 thừa
số trong đó thừa số thứ 3 hơn thừa số thứ nhất n đơn vị và hai thừa số cuối của mẫu phân số liền trước là 2 thừa số đầu của mẫu phân số liền sau
Ví dụ: Tính: A =
13 11 9
4 11
9 7
4 9
7 5
4 7
5 3
4 5
3 1
4
x x x
x x x x x x
=
13 11 9
9 13 11 9 7
7 11 9 7 5
5 9 7 5 3
3 7 5
3
1
1
5
x x x
x x x x x x
x
=
13 11 9
9 13 11 9 7
7 11 9 7 5
5 9 7 5 3
3 7 5
3
1
1
5
x x x
x x x x x x
x
13 11 9
9 13
11 9
13 11
9 7
7 11 9 7 11
9 7 5
5 9 7 5
9 7
5 3
3 7 5 3
7 5
3 1
1 5
3
1
5
x x x
x x
x x
x
x x x x x x x x x
x x
x
=
13 11
1 11 9
1 11 9
1 9 7
1 9 7
1 7 5
1 7 5
1 5 3
1 5
3
1
3
1
1
x x
x x x
x x x x
=
13
11
1
3
1
1
x
429
140 429
3 143 13 11 3
3 13 11
x x x
Trang 5
Bài tập
Bài 1: Tính nhanh:
19 15 13
6 15
13 9
6 13
9 7
6 9
7 3
6 7
3
1
6
)
a
19 15 13
1 15
13 9
1 13
9 7
1 9
7 3
1 7
3
1
1
)
b
100 98 96
1
14 12 10
1 12
10 8
1 10
8 6
1 8
6 4
1 6
4
2
1
)
40 36 33
5
15 12 8
5 12
8 5
5 8
5
1
5
)
d
V.Dạng 5: Tính tích của nhiều phân số trong đó tử số của phân số này có quan hệ
về tỉ số với mẫu số của phân số kia
Ví dụ:
997
995 1993
1994 1992
1993 1991
1992 1990
1991
= 1991 1992 1993 1994 995 1992 1994 995
1990 1991 1992 1993 997 1990 1992 997
997
995 1990
1994
=
997
995 995
997
= 1
Bài tập
Bài 1: Tính nhanh:
a)
468
164 984
432 164
435 432
468
435
328
b)
2000
2006 2004
2003 2002
2001 2003
2002
2001
2000
Bài 2: Tính nhanh:
a)
151515
424242 143143
165165
2121
1313
b)
95 1995199519
93 1993199319 19931993
19961996
1995
1995
Bài 3: Tính nhanh:
5
1 1 4
1 1 3
1 1
2
1
1
100
3 1 97
3 1
13
1 1 10
3 1 7
3 1 4
3
99
2 1 97
2 1
11
2 1 9
2 1 7
2 1
5
2
1
Bài 4: Cho:
M =
39
37
15
13 11
9 7
5
3
1
37
39
13
15 9
11 5
7
Hãy tính M N
Bài 5: Tính tích của 10 hỗn số đầu tiên trong dãy các hỗn số sau:
Trang 61
1
8
1
35
1 1 24
1 1 15
1
1
VI.Dạng 6: Vận dụng 4 phép tính để tách, ghép ở tử số hoặc mẫu số nhằm tạo ra thừa số giống nhau ở cả tử số và mẫu số rồi thực hiện rút gọn biểu thức
Ví dụ 1:
1004 999
2004
999 2003 1999
2003
2003 (1999 999) 2003 1000
2003 1 999 1004 2003 999 (999 1004)
2003 1000 2003 1000
1
2003 999 2003 2003 1000
Ví dụ 2:
1994 1996
1000
996 1995 1996
1996 1994 1 996 1996 1994 (1996 996)
1000 1996 1994 1000 1996 1994
1000 1994
1996
Ví dụ 3:
232323
242424 373737
535353 48
23 53
37
37 23 53 10101 24 10101 37 23 53 24
53 48 37 10101 23 10101 53 48 37 23
37 53 23 24 24 24 1
1
53 37 48 23 48 48 2
Bài tập
Bài 1: Tính nhanh:
a)
1996 1997
1995
1 1996 1997
b) 254 399 145
254 399 253
c) 1997 1996 995
1995 1997 1002
d) 5392 6001 5931
5392 6001 69
e)
1994 1995
1996
1 1997 1995
Bài 2: Tính nhanh:
a)
1996 1995
1996 1997
1985 1997
1996 1988
b)
1996 7
1994 1993
1992
1993 1992
1993 1994
c)
1995 1991 1996
1995
399 55 45 399
d)
2006 2005
) 5 , 7 : 3 4 , 0 ( 2006
e)
1979 1978 1979
1980
1985 21 1980 1979
1978
g)
37 , 5 55 3 , 3 5 , 4 9 , 28 55 1 , 20 45
1230 3 , 24 12300 43
, 2
h)
1997 1997
1999 1997
3 1998 1997 1996
i)
2002 504
503 2002 2002
2002 2001 1988
14 2003
Trang 7Bài 3: Tính nhanh:
4 , 10 5 , 11 6 , 12 4 , 13 3 , 12
2
,
11
8 , 7 6 , 4 8 , 4 8 , 7 2 , 16 7 , 5 7
,
3
2
,
16
)
334 18 102 334 334 201 321
334
2004 59
2004 2
2004 37
2004
)
60 155 46 215 48
215
35 , 352 18 , 453 65
, 432
82
,
546
)
c
b
a
Bài 4: Tính nhanh:
151515
424242 143143
165165 2121
1313
)
95 1995199519
31 1931193119 19311931
19961996 1996
1995
)
b
a
2525 2424
2323 2222
2121 2020
1919 1818
1717 1616
1515 1414
)
127
3 17
3 7 3
127
2 17
2 7 2
124
3 24
3 4 3
124
1 24
1 4
1 )
d c
Bài 5: Tính nhanh
5 125 , 0 : 6 , 6 5 , 0 : 88 , 88 3 , 3
23 , 0 : 2 , 13 2 44 , 44 2 , 0 : 8 , 19 ) 10
25 , 0 : 25 ,
1
12
,
3
2
2 4 25 , 6 5
,
0
:
48
,
12
)
b a
Bài 6: Tính nhanh:
15151515
31313131
454545
989898
40404
5 30303
5 20202
5 10101 5
Bài 8: Tính nhanh:
156 129
8 2 1
25 , 0 20 2 , 0 5 40 5 , 0 4 ,
25
)
6 5 125 , 0 : 7 , 7 5 , 0 : 8 , 30
25 , 0 : 4 , 15 2 4 , 15 2 , 0 6
,
9
)
25 8 4 25 , 1
275 , 0 725 , 0 25 25 , 1 4 , 0 8
,
0
)
c
b
a
125 25 , 0 8 1 , 0 4
8 4 , 0 125 3478 , 0 6524 , 10 )
4 8 5 , 2 25 , 1
8003 , 0 08 , 0 5 , 0 5 , 12 5 , 2 1997 , 0 )
) 4 : 52 4 ( 16 8 : 128
10 25 , 0 1 , 0 8 20 5 , 0 40 5 , 0 )
g e d
* Một số bài tính nhanh luyện tập Bài 1: Tính nhanh:
a)
1 10 2 9 3 8
8 3 9 2 10
1
55 45
10 6 3 1
b)
) 20 19
4 3 3 2 2 1 ( ) 20 19
4 3 2 1 ( 20
1 20 2 19 3 18
17 4 18 3 19 2 20 1
Trang 8Bài 2: Tính nhanh:
1000
99 1000
87
1000
49 1000
37 1000
25 1000
13 1000
1
Bài 3: Tính nhanh:
3
2 :
7
5
7
5
:
3
2
3
:
1
5
:
1
3
1
:
5
1
c) (30 : 7
2
1
+ 0,5 x 3 - 1,5) x
2
9 2
1
4 : (14,5 x 100)
8
7 5 8
7
5
8
7
e) (1999 x 1998 + 1998 x 1997) x
3
1 1 2
1 1 : 2
1 1
2009
1 1 2008
1 1 2007
1 1 2006
1 1 2005
1 1
Bài 5: Tính nhanh:
2001
1001 2006
2004 2002
2008 2004
2001
2008
2006
)
5
7 2000 1999
1998
1 2001
1999
)
b
a
Bài 6: Tính nhanh:
A =
100
3 2 1
3
4 3 2 1
3 3
2 1
3 2 1
3 1
3
Bài 7: Tính nhanh:
S =
33
1 28
1 24
1 22
1 18
1 15
1 14
1 12
1 11
1 10
1 9
1 8
1 7
1
Bài 8: Nếu phép cộng của tổng sau cứ kéo dài mãi mãi: ;
64
1
; 32
1
; 16
1
; 8
1
; 4
1
; 2 1
thì giá trị của tổng bằng bao nhiêu?
Bài 9: Nếu phép cộng của tổng sau cứ kéo dài mãi mãi: ;
729
1
; 243
1
; 81
1
; 27
1
; 9
1
; 3
1
Thì giá trị của tổng bằng bao nhiêu?
Bài 10: Hãy chứng tỏ rằng:
100
99
4
3 3
2 2
1 100
1
3
1 2
1 1