Kẻ hai đường cao BI và CK I thuộc AC và K thuộc AB của tam giác ABC 1/ Chứng minh tứ giác BKIC nội tiếp 2/ Gọi M và N lần lượt là giao điểm của BI và CK với O M khác B và N khác C.. Chứn
Trang 1BÀI 1: 3,5đ
1/ Giải HPT
= +
=
− 9 3
4 2
y x
y x
2/ Giải các PT
a/ x2 – 5 = 0 b/ 3x2 – 7x + 2 = 0 c/ x+ x− 2 = 0
BÀI 2: 2đ
1/ Vẽ đồ thị của hàm số ( )
2
1 2
P x
y=
2/ Bằng phép tính hãy tìm tọa độ giao điểm của (P) với đường thẳng (D):
1
2
1 +
= x
y
BÀI 3: 1, 5đ Cho PT (ẩn x) x2 – 2(m +1)x +m2 = 0 (1) (m là hằng số)
1/ Tìm các giá trị m để PT(1) có nghiệm
2/ Với giá trị tìm được của m ở câu 1/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm của PT (1)
a/ Dùng định lí Vi- ét tính x1+ x2 ; x1.x2 theo m
b/ Không giải PT Chứng minh rằng ta luôn có : x1.x2 – (x1+ x2) +3 ≥ 0
BÀI 4 : 3đ Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Kẻ hai đường cao BI và CK (I thuộc
AC và K thuộc AB) của tam giác ABC
1/ Chứng minh tứ giác BKIC nội tiếp
2/ Gọi M và N lần lượt là giao điểm của BI và CK với (O) (M khác B và N khác C) Chứng minh MN song song với IK
3/ Chứng minh OA vuông góc với IK
4/ Trong trường hợp tam giác nhọn ABC có AB < BC < AC Gọi H là giao điểm của BI và CK Tính số đo của góc BAC khi tứ giác BHOC nội tiếp
Đáp án
Bài 1:
1/ Hệ phương có nghiệm (x, y) = (3; 2)
2/ a/ x = ± 5
b/ x1 = 2; x2 =
3 1
c/ đặt t = x,t≥ 0 ta có t2 + t – 2= 0
t1 =1 (nhận) ; t2 = - 2 (loại) suy ra x= 1 ⇔x= 1
Bài 2
1/ bảng giá trị
2
2
1
x
2
2
y
x
Trang 22/ Hoành độ giao điểm của (P) và (D) là nghiện của PT
2
1
x2 =
2
1
x + 1 Suy ra x2 – x – 2 = 0 ; tính được x1 = -1’ ; x2 = 2
Giao điểm của (P) và (D) là ( -1 ;
2
1
) ; ( 2 ; 2) Bài 3 :
1/ ∆ '= 2m + 1 ; Phương trình (1) có nghiệm
2
1 0
' ≥ ⇔ ≥ −
∆
2/ a/ Theo định lí Vi- ét x1+ x2 = 2(m +1) ; x1.x2 = m2
b/ x1.x2 – (x1+ x2)+ 3 = m2 – 2m +1 = (m -1)2 ≥m với mọi m
2
1
−
≥
Bài 4: ( 3 điểm)
H
M
C
I
K
O N
B A
1/ Tứ giác BKIC nội tiếp
∠BKC = 900 ( do CK⊥AB tại K)
∠BIC = 900 ( do BI⊥AC tại I)
Tứ giác BKIC có 2 đỉnh K và I kề nhau cùng nhìn cạnh BC dứoi một góc vuông nên nội tiếp
2/ MN song song với IK
∠BIK=∠BCK ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BK của đuờng tròn ngoại tiếp
tứ giác BKIC)
Hay ∠BIK =∠BCN ( Do C,K,N thẳng hàng)
Mà ∠BCN=∠BMN ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BN của đường tròn (0))
⇒ ∠BIK=∠BMN ( Cùng bằng BCN )
⇒ MN song son g với IK
3/ OA vuông góc với IK
Ta có ∠ABM = ∠ACN ( cùng phụ góc BAC)
Nên AM = AN ( hệ quả góc nội tiếp)
Suy ra A là điểm chính giữa cung MN
MN
OA⊥
⇒
Mà MN // IK (cmt)
IK
OA⊥
⇒
4/ Tính số đo của góc BAC khi tứ giác BHOC nội tiếp
∠BHC = ∠BOC ( tứ giác BHOC nội tiếp)
∠BHC = ∠IHK ( đối đỉnh)
∠BOC =∠ IHK
Mà ∠BAC + ∠IHK = 1800 ( tứ giác AKHI nội tiếp)
Suy ra ∠BAC + ∠BOC = 1800
Trang 3Ta lại có B A C B O C hay B OˆC 2 B AˆC
2
ˆ
ˆ = = ( góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung
BC )
3.BÂC = 1800 suy ra BÂC = 600