Trường THPT Nguyễn Quang Diêu ĐỂ KIỂM TRA HỌC KÌ II MÔN: TOÁN LỚP: 11 NĂM HỌC: 2009 – 2010 Thời gian: 90 phút Câu 1 (2đ): Tính các giới hạn sau: a) 3 23 32 42 lim n nn − ++ b) 4 23 lim 2 2 − −− → x xx x Câu 2 (2đ):Tính các đạo hàm của các hàm số sau: a) 5 23 23 −+−= x xx y b) ( ) 12 2 +−= xxy Câu 3 (1đ): Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số 1 1 − + = x x y biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 2 2− = x y Câu 4 (1đ): Cho hàm số: xxy sin.= . CMR: ( ) 0'')sin'2 =+−− xyxyxy Câu 5 (4đ): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông ở A và B. Có AD = 2BC = 2BD = 2a, SA ( ) ABCD⊥ . a) CMR: BC ( ) SAB⊥ ; (SCD) ⊥ (SAC) b) Tính góc giữa SC và (ABCD) c) Tính khoảng cách giữa SD và AB d) ( ) α là mp chứa SB và ⊥ (SAC). Xác định ( ) α và tính diện tích thiết diện của S.ABCD với ( ) α . THANG ĐIỂM VÀ ĐÁP ÁN Câu Đáp án Thang điểm 1a) 1đ 3 2 3 2 41 2 lim 3 3 −= − ++ = n n n 0.5 0.5 1b) 1đ = ( ) ( ) 234 23 lim 2 2 2 −+− +− → xxx xx x = ( )( ) ( )( ) ( ) 2322 12 lim 2 −++− −− → xxxx xx x = ( ) ( ) ( ) 232 1 lim 2 −++ − → xxx x x = 16 1 0.25 0.25 0.25 0.25 2a) 1đ 1 01 2 2 3 3 ' 2 2 +−= −+−= xx xx y 0.5 0.5 2b) 1đ ( ) ( ) ( ) '1.21'.2' 22 +−++−= xxxxy ( ) ( ) '1 1.2 1 .21' 2 2 2 + + −++= x x xxy ( ) 1.2 2 .21' 2 2 + −++= x x xxy ( ) 1 .21' 2 2 + −++= x x xxy 0.25 0.25 0.25 0.25 3) 1đ Tiếp tuyến có hệ số góc là 2 1 suy ra: ( ) 2 1 1 2 ' 2 = + = x y ( ) =⇒−= =⇒= −≠ ⇔ =+ −≠ ⇔ 23 01 1 41 1 2 yx yx x x x 0.25 0.25 0.25 0.25 Có 2 tiếp tuyến: ( ) 2 7 2 1 2 2 1 += −= xy xy 4) 1đ Ta có xxxy cos.sin' += xxxy sin.cos2'' −= ( ) ( ) VPxxxxxxxx xxxxxxxxxxVT ==−+−= −+−+−= 0sin.cos2cos.2sin sin.cos2.sincos.sin.2sin 22 2 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 5 H I A B D C S 0.25 5a) 1.5đ a) Ta có: ( ) SABBC SABC ABBC ⊥⇒ ⊥ ⊥ Ta có: Gọi I là trung điểm AD ACDADCI ∆⇒⊥⇒ là tam giác vuông cân tại C CDAC ⊥⇒ Mặt khác CDSA ⊥ ( ) SACCD ⊥⇒ Mà ( ) SCDCD ⊂ ( ) ( ) SACSCD ⊥⇒ 0.5 0.25 0.25 0.25 5b) 1.0đ b) Ta có ( ) ABCDSA ⊥ nên AC là hình chiếu của SC lên (ABCD) ⇒ góc giữa SC và (ABCD) là góc SCA SAC∆ là tam giác vuông cân nên góc SCA = 45 0 0.5 0.5 5c) 1.0đ c) Kẻ AH ⊥ SD Mặt khác AB ⊥ (SAD) ⇒ AB ⊥ AH ⇒ AH là khoảng cách giữa AB và SD Ta có: ( ) 222222 4 5 2 11111 a a aADSAAH =+=+= 0.5 5 2 a AH =⇒ 0.5 5d) 1.0đ d) Do ( ) SACBI SABI ACBI ⊥⇒ ⊥ ⊥ ( ) α là mặt phẳng chứa SB và ( ) SAC⊥ chính là (SBI). Do đó thiết diện ( ) α và S.ABCD là SBI ∆ đều có cạnh bằng 2a 2 3 2 a S SBI =⇒ ∆ 0.5 0.5 . ) '1 1.2 1 .21' 2 2 2 + + ++ = x x xxy ( ) 1.2 2 .21' 2 2 + ++ = x x xxy ( ) 1 .21' 2 2 + ++ = x x xxy 0.25 0.25 0.25 0.25 3) 1đ Tiếp tuyến có hệ số góc là 2 1 suy ra: ( ) 2 1 1 2 ' 2 = + = x y (. ) α . THANG ĐIỂM VÀ ĐÁP ÁN Câu Đáp án Thang điểm 1a) 1đ 3 2 3 2 41 2 lim 3 3 −= − ++ = n n n 0.5 0.5 1b) 1đ = ( ) ( ) 234 23 lim 2 2 2 + + → xxx xx x = ( )( ) ( )( ) ( ) 2322 12 lim 2 ++ − −− → xxxx xx x = (. ) ( ) ( ) 232 1 lim 2 ++ − → xxx x x = 16 1 0.25 0.25 0.25 0.25 2a) 1đ 1 01 2 2 3 3 ' 2 2 + = + = xx xx y 0.5 0.5 2b) 1đ ( ) ( ) ( ) '1.21'.2' 22 + ++ −= xxxxy ( ) ( ) '1 1.2 1 .21' 2 2 2 + + ++ =