Đề + Đáp án Toán hk2 khối 11

Đề thi học kỳ 2 khối 11 (90 phút) Câu 1: (2đ) Cho hàm số 2 2 2 4 2 ( ) 2 2 x x khi x f x x a khi x  − + + ≠  = −   =  a) Tính giới hạn hàm số đã cho khi 2x → b) Xác định a để hàm số đã cho liên tục tại 0 2x = Câu 2: (2đ) Tính đạo hàm các hàm số sau: a) 2 3 1 1 x y x − = − b) ( ) 3 cos 2010y x= − Câu 3: (2đ) Cho hàm số 2 2 3 1y x x= − − a) Viết phương trình tiếp tuyến của parabol 2 2 3 1y x x= − − tại điểm có tung độ 0 1y = b) Giải bất phương trình 1 0 y g − ≥ với 1g x= − Câu 4: (4đ) Cho tứ diện ABCD. Biết rằng AB, AC, AD đôi một vuông góc và có độ dài bằng a. Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AD, AC. a) Chứng minh rằng ( )AD ABC⊥ b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC c) Tính · ( ) ,AB CD ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm 1a) 1điểm 2 2 2 2 2 2 2 4 lim ( ) lim 2 2( 2)( 1) lim 2 lim( 2)( 1) ( 2)(2 1) 6 x x x x x x f x x x x x x → → → → − + + = − − − + = − = − + = − + = − 0.25 0.25 0.25 0.25 1b) 1điểm Ta có: (2)f a= 2 lim ( ) 6 x f x → = − Để hàm số đã cho liên tục tại 0 2x = thì 2 (2) lim ( ) 6 x f f x a → = ⇔ = − Vậy 6a = − thì hàm số đã cho liên tục tại 0 2x = 0.25 0.5 0.25 2a) 1điểm 2 2 2 2 2 2 2 2 (3 1)'.(1 ) (3 1).(1 )' ' (1 ) (3 )'.(1 ) (3 1)( )' (1 ) 6 .(1 ) (3 1) (1 ) x x x x y x x x x x x x x x x − − − − − = − − − − − = − − + − = − Vậy 2 2 6 .(1 ) (3 1) ' (1 ) x x x y x − + − = − 0.25 0.25 0.25 0.25 2b) 1điểm 2 2 2 ' 3.cos ( 2010 ). cos( 2010 ) ' 3.cos ( 2010 ).sin( 2010 ).( 2010 )' 3.cos ( 2010 ).sin( 2010 ) 2 2010 y x x x x x x x x   = − −   = − − − − − − = − Vậy 2 3.cos ( 2010 ).sin( 2010 ) ' 2 2010 x x y x − − = − 0.25 0.25 0.25 0.25 3a) 1điểm Ta có: 2 ' (2 3 1)' 4 3y x x x= − − = − Mặt khác: 0 0 0 0 1 2 3 1 2 3 2 0 2 1 2 x x x x x x = − − ⇔ − − = =   ⇔  = −  • Tại 0 2x = '(2) 4.2 3 5y⇒ = − = Vậy phương trình tiếp tuyến là: 1 5( 2)y x− = − • Tại 0 1 2 x = − 1 1 ' 4 3 5 2 2 y     ⇒ − = − − = −  ÷  ÷     Vậy phương trình tiếp tuyến là: 1 1 5 2 y x   − = − +  ÷   0.25 0.25 0.25 0.25 3b) 1điểm Đặt 2 1 2 3 2 ( ) 1 y x x h x g x − − − = = − Ta có: 2 2 2 3 2 0 1 2 x x x x =   − − = ⇔  = −  1 0 1x x− = ⇔ = Lập bảng xét dấu ( )h x x −∞ 1 2 − 1 2 +∞ 2 2 3 2x x− − + 0 − − 0 + 1 x− + + 0 − − ( )h x + 0 − + 0 − Dựa vào bảng xét dấu: ] ( 1 ( ) 0 ; 1;2 2 h x x   ≥ ⇔ ∈ −∞ −     U 0.25 0.5 0.25 4) Hình vé 0.5điểm 0.5 4a) 1điểm Ta có: AD AB AD AC ⊥   ⊥  (giả thiết) Suy ra ( )AD ABC⊥ (đpcm) 0.5 0.5 4b) 1.5điểm • Xác định đoạn vuông góc chung của AD và BC: Ta có: ( ) ( ) AD ABC AD AM AM ABC ⊥  ⇒ ⊥  ⊂  (1) Mặt khác do M là trung điểm của cạnh BC và ABC ∆ cân tại A Nên AM BC⊥ (2) Từ (1) và (2) suy ra AM là đoạn vuông góc chung của AD và BC • Tính độ dài đoạn vuông góc chung AM: Trong tam giác vuông ABC, có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 BC AB AC a a a BC a a BM = + = + = ⇒ = ⇒ = Trong tam giác vuông AMB, có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a AM AB BM a a AM = − = − = ⇒ = 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 4c) 1điểm Ta có: · · / / ( , ) ( ) / / OM AB AB CD MON ON CD  ⇒ ≡   Trong tam giác MON, ta có: 0.25 · · · 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. . .cos( ) cos( ) 2. . cos( ) (1) 2. . MN OM ON OM ON MON OM ON MN MON OM ON OM ON MN MON OM ON = + − + − ⇔ = + − ⇔ = Tính độ dài OM, ON, MN: • 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 2 AD a a a MN AN AM AM   = + = + = + =  ÷   • 2 2 AB a OM = = • 2 2 2 2 2 2 2 2 2 CD AD AC a a a ON + + = = = = Thay các giá trị vừa tìm được vào (1): · · · 2 2 2 0 2 3 2 2 2 cos( ) 0 2 2. . 2 2 90 ( , ) a a a MON a a MON AB CD       + −  ÷  ÷  ÷       = = ⇒ = = Vậy · 0 ( , ) 90AB CD = 0.25 0.25 0.25 * Cách 2: Ta có: · · / / ( , ) ( ) / / OM AB AB CD MON ON CD  ⇒ ≡   Vì O, M lần lượt là trung điểm của AC, BC nên OM là đường trung bình của tam giác CAB Suy ra / /OM AB (1) Mặt khác: ( ) (2) AB AD AB ACD AB AC ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  Từ (1), (2) suy ra: ( )OM ACD⊥ (3) Ta lại có: ( )ON ACD⊂ (4) Từ (3) và (4) suy ra OM ON ⊥ Hay · 0 90MON = Vậy · 0 ( , ) 90AB CD = 0.25 0.25 0.25 0.25 . ) ,AB CD ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm 1a) 1điểm 2 2 2 2 2 2 2 4 lim ( ) lim 2 2( 2)( 1) lim 2 lim( 2)( 1) ( 2)(2 1) 6 x x x x x x f x x x x x x → → → → − + + = − − − + = − = − + = − + =. MN MON OM ON = + − + − ⇔ = + − ⇔ = Tính độ dài OM, ON, MN: • 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 2 AD a a a MN AN AM AM   = + = + = + =  ÷   • 2 2 AB a OM = = • 2 2 2 2 2 2 2 2 2 CD AD AC a a a ON + + = = =. 1 0 1x x− = ⇔ = Lập bảng xét dấu ( )h x x −∞ 1 2 − 1 2 + 2 2 3 2x x− − + 0 − − 0 + 1 x− + + 0 − − ( )h x + 0 − + 0 − Dựa vào bảng xét dấu: ] ( 1 ( ) 0 ; 1;2 2 h x x   ≥