Chứng minh rằng góc BAx = góc ACB b Chứng minh rằng BC // DE Bài 4: Cho nửa đường tròn đường kính AB, các điểm C và D thuộc nửa đường tròn C thuộc cung AD.. a Chứng minh rằng EH vuông gó
Trang 1
MÔN HÌNH HỌC Bài 1: Cho đường tròn (O), các dây AC và BD vuông góc với nhau (A thuộc cung nhỏ BD) Vẽ đường kính DE.
a) Chứng minh tứ giác ABEC là hình thang cân
b) Gọi OH là khoảng cách từ O đến CD Tính độ dài OH biết rằng AB = a
Bài 2: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, đường thẳng OO’cắt các đường tròn(O) và(O’) theo thứ tự tại
B và C (khác A)
Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (D thuộc (O), E thuộc (O’)) Gọi M là giao điểm của các đường
thẳng BD , CE Chứng minh rằng
a) Góc DME = 900
b) MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
c) MD MB = ME MC
Bài 3: Cho đường tròn (O’) tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại A vẽ các tiếp tuyến chung ABD, ACE (B,C thuộc
(O’) D,E thuộc đường tròn (O)) nằm khác phía đối với AO)
a) Vẽ tiếp tuyến chung Ax (Ax và ABD nằm cùng phía đối với AO) Chứng minh rằng góc BAx = góc ACB b) Chứng minh rằng BC // DE
Bài 4: Cho nửa đường tròn đường kính AB, các điểm C và D thuộc nửa đường tròn (C thuộc cung AD) Gọi H là giao
điểm của AD và BC, E là giao điểm củaAC và BD
a) Chứng minh rằng EH vuông góc với AB
b) Vẽ tiếp tuyến với đường tròn tại D, cắt EH tại I Chứng minh rằng I là trung điểm của EH
Bài 5: Cho đường tròn (O), dây AB Điểm I thuộc dây AB (IA > IB) D là điểm chính giữa cung AB Vẽ dây DC đi qua
I Tiếp tuyến với đường tròn tại C cắt đường thẳng ABtại K
a) Chứng minh tam giác KCI cân
b) Gọi E là điểm đối xứng với I qua K CE cắt đường tròn(O) ở M
Chứng minh M, O, D là 3 điểm thẳng hàng
c) Chứng minh CA CB = CI CD
Bài 6:
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác, AK là đường kính của đường tròn
a) Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành
b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh OM = 1/2 AH
c) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì thì BHCK là hình thoi?
Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), tia phân giác góc A cắt BC ở D và cắt đường tròn ở M.
a) Chứng minh rằng OM vuông góc với BC
b) Đường phân giác góc ngoài đỉnh A của tam giác ABC cắt đường tròn ở N Chứng minh M, O, N thẳng hàng c) Gọi K là giao điểm của NA và BC, gọi I là trung điểm của KD, chứng minh IA là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Bài 8: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm(O), các đương cao BD, CE cắt đường tròn (O) theo
thứ tự tại M, N
a) Chứng minh cung AM bằng cung AN
b) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng M đối xứng với H qua AC, N đối xứng với H qua AB c) Chứng minh OA vuông góc với DE
Bài 9: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BD, CE.
a) Chứng minh rằng tam giác ADE và tam giác ABC đồng dạng
b) Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) Chứng minh Ax // DE
c) Vẽ đường kính BOK Gọi là hình chiếu của C trên BK
Chứng minh DE = CH
d) Chứng minh rằng nếu góc BAC = 600 thì tam giác DME đều (M là trung điểm của BC)
Bài 10: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I Gọi M là trung
điểm của BC
a) Chứng minh rằng MI vuông góc với AD
b) Gọi N là trung điểm của AD Chứng minh OMIN là hình bình hành
Bài 11: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có đường kính AC(AB > BC, AD > CD) Gọi E là giao điểm của AB và CD,
gọi F là giao điểm của AD và BC
a) Chứng minh FE vuông góc với AC
b) Chứng minh DA DF = DC DE
Trang 2
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt AC ở M ( M khác A) Gọi I là giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng DIMF là tứ giác nội tiếp
d) Chứng minh AI AM = AC AH ( H là giao điểm của AC và FE)
Bài 12: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn đường cao AH Gọi K là điểm đối xứng với H qua AB, I là điểm đối xứng
với H qua AC, E là giao điểm của KI và AB Chứng minh rằng :
a) AICH là tứ giác nội tiếp
b) AI = AK
c) Các điểm A, E, C, H, I cùng thuộc một đường tròn
d) CE vuông góc với AE
Bài 13: Cho đường tròn (O) Điểm A nằm bên ngoài đường tròn Vẽ các tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE Gọi H là
trung điểm của DE
a) Chứng minh các điểm A, B, H, O, C cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHC
c) Gọi I là giao điểm của BC và DE Chứng minh AB2 = AI AH
d) BH cắt đường tròn (O) ở K Chứng minh rằng AE // CK
Bài 14: Cho tam giác ABC Ở phía ngoài tam giác, vẽ các hình vuông ABEG, ACFH Gọi K là giao điểm của BH và
CG
a) Chứng minh BH vuông góc với CG
b) Tính góc BKE
c) Tính góc CKF
d) Chứng minh rằng các đường thẳng CG, BH, EF đồng qui
Bài 15: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB Vẽ về một phía của AB các hình vuông ACDE, BCHF Gọi K là giao điểm
của AH và BD
a) Chứng minh rằng AK vuông góc với BD
b) Tính góc AKE
c) Tính góc BKF
d) Chứng minh rằng các đường thẳng AH, BD, EF đồng qui
Bài 16: Tứ giác ABCD có bốn cạnh tiếp xúc với đường tròn (O) gọi là tứ giác ngoại tiếp đường tròn (O) Chứng minh
rằng:
a) Tổng các cạnh đối của tứ giác bằng nhau (AB + CD = AD + BC)
Bài 17(1): Cho đường tròn (O) đường kính AB Vẽ tiếp tuyến xBx’,gọi C, D là hai điểm nằm trên đường tròn và ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là AB, tia AC cắt Bx tại M, tia AD cắt Bx’ tại N
a) Chứng minh tam giác ADC đồng dạng với tam giác AMN
b) Chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp
c) Chứng minh tích AC AM không đổi khi C, D di động trên đường tròn
Bài 18:(2) Cho tam giác ABC cân (AB = AC), một cung tròn BC nằm bên trong tam giác và tiếp xúc với AB, AC tại B
và C sao cho A và tâm của cung tròn BC nằm khác phía đối với BC Trên cung BC lấy một điểm M, kẻ MI, MH, MK lần lượt vuông góc với BC, CA, AB Gọi P là giao điểm của BM và IK, Q là giao điểm của CM và HI
a) Chứng minh các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp
b) Chứng minh MI2 = MH.MK
c) Chứng minh tứ giác IPMQ nội tiếp suy ra PQ vuông góc với MI
Bài 19(3): Cho đường tròn (O) và dây BC cố định, một điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho AC > BC, AC > AB;
Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC, các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C và D cắt nhau ở E Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của AB với CD; AD với CE
a) Chứng minh DE // BC
b) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp
c) Tứ giác PBCQ là hình gì? Tại sao?
d) Gọi R là giao điểm của AD và BC Chứng minh 1 1 1
Bài 20(4) :
Cho đường tròn (O), vẽ dây AB Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau ở P
24
Trang 3
a) Chứng minh tứ giác AOPB nội tiếp
b) Kẻ hai dây AC // BD và nằm cùng phía đối với AB Gọi Q là giao điểm của AD và BC Chứng minh tứ giác AQBP nội tiếp
c) Chứng minh PQ // AC
Bài 21(5):
Cho hai đường tròn (O,R) và (O’, R’) cắt nhau (R > R’) Các tiếp tuyến chung MN và PQ (M, P nằm trên (O) ) a) Chứng minh ba đường thẳng MN, PQ, OO’ đồng qui tại một điểm
b) Chứng minh tứ giác MNPQ nội tiếp
c) Xác định vị trí của (O) và (O’) sao cho đường tròn đường kính OO’ tiếp xúc với MN và PQ
d) MQ cắt (O) và (O’) lần lượt tại S và T Chứng minh MS = QT
Bài 22(6): Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại A và B.Đường thẳng vuôg góc với AB kẻ qua B cắt (O) và (O’) lần lượt tại các điểm C và D Lấy điểm M trên cung nhỏ BC Đường thẳng MB cắt (O’) tại N, CM cắt DN tại P
a) AMN là tam giác gì ? tại sao ?
b) Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp
c) Gọi Q là giao điểm của AP với (O’) Tứ giác BCPQ là hình gì? Tại sao?
d) Gọi E là điểm đối xứng với D qua N Chứng minh khi M di động trên cung nhỏ BC thì diểm E luôn nằm trên một đường tròn cố định
Bài 23(7): Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB , một điểm M nằ trên cung AB, gọi H là điểm chính giữa cung AM
Tia BH cắt AM tại I và cắt tiếp tuyến tại A ở K AH cắt BM tại S
a) Tam giác BAS là tam giác gì? Tại sao? Suy ra S nằm trên một đường tròn cố định
b) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng KS với (B, BA)
c) Đường tròn đi qua B, I, S cắt đường tròn (B,BA) tại N Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di động
d) Xác định vị trí của M sao cho góc MKA = 900
Bài 24(8): Cho tam giác ABC vuông góc tại A, một điểm M thay đổi trên cạnh AC Đường tròn đường kính MC cắt
BM tại N và cắt NA tại P
a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, N cùng nằm trên một đường tròn
b) Chứng minh CA là phân giác góc BCP
c) Gọi D, E là các điểm đối xứng với M qua BA và BC chứng minh tứ giác BDCE nội tiếp
d) Xác định vị trí của M để đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDCE có đường kính nhỏ nhất
Bài 25(9): Cho đường tròn (O) đường kính AB, một điểm M trên đường tròn sao cho MA > MB, các tiếp tuyến của
đường tròn tại M và B cắt nhau ở P, các đường thẳng AB, MP cắt nhau ở Q; các đường thẳng AM, OM cắt BP lần lượt tại R, S
a) Chứng minh tứ giác AMPO là hình thang
b) Chứng minh MB // SQ
c) Gọi C là điểm đối xứng với R qua AB Chứng minh tứ giác ACQS nội tiếp
d) Gọi D là giao điểm của AM và QS, cho biết OMDP là hình bình hành Tính SO theo R (đs:SO = (1 + 2)R)
Bài 26(10): cho đường tròn (O) đường kính AB, các điểm C, D nằm trên đường tròn sao cho C, D không cùng nằm trên
cùng nửa mặt phẳng bờ AB, đồng thời
AD > AC Gọi M, N lần lượt là các điểm chính giữa của các cung AC, AD MN cắt AC,AD thứ tự tại H, I; MD cắt CN tại K
a) Chứng minh tam giác NKD, MCK cân
b) Chứng minh tứ giác MCKH nội tiếp suy ra KH // AD
c) So sánh góc CAK và góc DAK
d) Tìm hệ thức giữa số đo cung AC và AD là điều kiện cần đủ để
AK // ND
Bài 27(11): Cho đường tròn (O) trên đó có cung cố định AB bằng 900 và một điểm C thay đổi trên cung lớn AB Gọi H
là trực tâm của tam giấcBC AH, BH cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, AH cắt BM tại P
a) Chứng minh M, O, N thẳng hàng
b) Tứ giác ACPB là hình gì? Tại sao?
c) Chứng minh CO // PH
Trang 4
d) Chứng minh · AOM CHP − · không phụ thuộc vào vị trí điểm C
Bài 28(12): Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn (M khác A, B)
Đường thẳng d tiếp xúc với AB và cắt d tại C, D (D nằm trong góc BOM)
a) Chứng minh OC, OD lần lượt là tia phân giác của góc AOM, BOM
b) Chứng minh CA và DB vuông góc với AB
c) Chúng minh AC BD = R2
d) Xác định vị trí điểm M sao cho SABCD nhỏ nhất
Bài 29(13): Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, M là một điểm trên cung AB, và điểm C nằm giữa A và B sao cho
CA < CB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M kẻ các Ax, By vuông góc với AB Đường thẳng đi qua M vuông góc với MC cắt Ax, By theo thứ tự tại P, Q gọi giao điểm của AM với CP; BM với CQ lần lượt là R, S
a) Chứng minh các tứ giác APMC, BQMC, RMSC nội tiếp
b) Chứng minh RS // AB
c) Tứ giác ARSC có thể là hình bình hành không? Tại sao?
d) Chứng minh nếu RC RP = SC SQ thì RC = SQ, RP = SC
Bài 30(14): Cho tam giác ABC (góc ACB > 900), nội tiếp đường tròn (O), một điểm M di động trên cung lớn AB Gọi I
là giao điểm của MC với AB và D là giao điểm của các tiếp tuyến tại B, C Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của MI, IA a) Chứng minh tứ giác BCQP nội tiếp
b) Xác định vị trí của M để tứ giác BICD nội tiếp
c) Xác định vị trí của M để tứ giác AMPQ nội tiếp
d) Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để khi tứ giác BICD nội tiếp thì hai đường tròn (B, C, I) và (B, C, Q) bằng nhau
Bài 31(15):Cho góc xAy, một dường tròn (O)cắt Ax, Ay tại M, N, P, Q sao cho N nằm trên tia Mx, Q nằm trên tia Py,
kẻ dây MR // PQ
a) So sánh góc PMR với góc MNQ
b) Chứng minh tam giác ANQ đồng dạng với tam giác PNR
c) Chứng minh đường tròn (A, N, P) tiếp xúc với PR
d) Cho MR = PQ, chứng minh đường tròn (A, N, P) và đường tròn
(I, N, R) tiếp xúc với nhau tại N
Bài 32(16): Từ một điểm A ở ngoài (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và một cát tuyến AKD với đường tròn sao cho BD
// AC Nối BK cắt AC tại I
a) Chứng minh IC2 = IK IB
b) Chứng minh tam giác BAI đồng dạng với tam giác AKI và tính AI nếu KI = 16 cm, BI = 49 cm
c) Chứng minh AI = IC
d) Tìm điều kiện để CK vuông góc với AB
Bài 33(17): Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B.
Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại F, G
a) Chứng minh BE BC = BD BA
b) Chứng ming góc AED = góc ABF
c) Chứng minh tứ giác AFGC là hình thang
d) Chứng minh ba đường thẳng AC, DE, BF đồng qui
Bài 34(18):Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O) Gọi D là trung điểm của AC, tia BD cắt tiếp
tuyến Ax của đường tròn ở E, gọi F là giao điểm của EC với (O)
a) Chứng minhBC // Ax
b) Tứ giác ABCE là hình gì? Tại sao?
c) Gọi I là trung điểm của CF; BC cắt OI tại G so sánh góc BGO và gócBAC
d) Cho biết DF = 1/2 BC Tính góc ABC
Bài 35(19): Cho đường tròn (O) đường kính BC và điểm A nằm trên cung BC sao cho AB > AC Lấy điểm D trên tia
AC sao cho AD = AB, kẻ hình vuông BADE, tia AE cắt đường tròn (O) tại F
a) Chứng minh tam giác FBC vuông cân
b) Tam giác FCD là tam giác gì? Tại sao?
c) Tiếp tuyến của đường tròn (O)tại B cắt CF tại G Chứng minh D, E, G thẳng hàng
d) Tìm tập hợp điểm E
26
Trang 5
Bài 36(20): Cho đường trũn đường kớnh AB và CD vuụng gúc với nhau Một điểm I nằm giữa O và C Cỏc tia AI, BI
lần lượ cắt đường trũn (O) tại điểm M và N tia OM cắt dõy BN tại P và cắt đường trũn (O) tại Q AM cắt NQ tại R a) Chứng minh N, Q đối xứng nhau qua AB
b) Chứng minh IPO ã = 3 IAO ã
c) Chứng minh nếu tứ giỏc IPQR nội tiếp thỡ tam giỏc OIP cõn
d) Nếu tam giỏc OIP cõn thỡ tứ giỏc IPQR cú nội tiếp được hay khụng? Tại sao?
Bài 37(21): Cho hai đường trũn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Cỏc đường thẳng AO và AO’ cắt (O) lần lượt tại C, D
và cắt (O’) lần lượt tại E và F
a) Chứng minh C, B, F thẳng hàng
b) Chứng minh tứ giỏc CDEF nội tiếp
c) Chứng minh A là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc BDE
d) Tỡm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của đường trũn (O) và (O’)
Bài 38(22): Cho đường trũn (O) đường kớnh AC, trờn đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường trũn (O’) đường kớnh BC Gọi
M là trung điểm của AB, qua M kẻ dõy cung vuụng gúc với AB cắt (O) tại D, E Nối DC cắt(O’) tại I
a) Tứ giỏc DABE là hỡnh gỡ? Tại sao ?
b) Chứng minh BI // AD
c) Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng và MD = MI
d) Xỏc định vị trớ tương đối của đường thẳng MI với (O’)
Bài 39(23): Cho đường trũn đường kớnh AB và tiếp tuyến Bx ở cựng phớa với nửa đường trũ đối với AB Nối A và hai
điểm C và D trờn nửa đường trũn chỳng lần lượt cắt Bx tại E và F
a) Chứng minh gúc ABD = gúc AFB; gúc ABC = gúc AEB
b) Chứng minh tứ giỏc CDFE nội tiếp
c) Gọi I là trung điểm của FB, chứng minh DI là tiếp tuyến của nửa đường trũn
d) CD cắt Bx tại G, tia phõn giỏc gúc CGE cắt AE, AF lần lượt tại M, N chứng minh tam giỏc AMN cõn
Bài 40(24):Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AB > AC) với dường cao AH Trờn nửa mặt phẳng bờ AB chứa đỉnh A vẽ
đường trũn đường kớnh BH cắt AB tại E và đường trũn đường kớnh HC cắt cạnh AC tại F
a) Chứng minh tứ giỏc AFHE là hỡnh chữ nhật
b) Chứng minh tứ giỏc BEFC nội tiếp
c) Chứng minh EF là tiếp tuyến của hai nửa đường trũn
Bài 41(25):Cho đờng tròn (O;R) và dờng thẳng d cố định không cắt nhau Điểm M thuộc d kẻ hai tiếp tuyến MA, MB
với đờng tròn (O;R)
a) MO cắt cung nhỏ AB ở I chứng minh I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MAB
b) Chứng minh khi M chuyển động trên d thì AB luôn đi qua một điểm cố định
Bài 42:Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R Lấy điểm M và N thuộc cung AB cung AB nhỏ hơn cung AN
Đoạn AM cắt BN tại D; đoạn AN cắt BM tại H, DH giao với AB tại K
a) Chứng minh các tứ giác DMHN; DMKB là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh BN BD + AM AD không đổi
c) Nếu tam giác ABD đều, hãy tính chu vi của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác DMHN theo R
Bài tập chương II Làm trong thời gian nghỉ tết
Bài 43:Từ điểm P nằm ngoài đường trũn(O;R).Vẽ tiếp tuyến PA (A là tiếp điểm).Lấy điểm B đối xứng với A Qua OP.
a) Chứng minh PB là tiếp tuyến của đường trũn (O)
b) Tớnh độ dài PA, biết PO = 2R Lỳc đú chứng minh tam giỏc PAB đều
Bài 44: Từ một điểm M ở ngoài đường trũn (O; 15) kẻ tiếp tuyến MA Qua A kẻ đường thẳng vuụng gúc với OM tại
H và cắt đường trũn tại B
a) Chứng minh: B là tiếp tuyến của đường trũn (O)
b) Cho OM = 25 Tớnh độ dài dõy AB
Bài 45: Cho đường trũn (O ; R) đường kớnh AB.Qua trung điểm I của OA ta kẻ dõy DE vuụng gúc với AB Tiếp tuyến
của (O) tại D cắt tia OA tại P
a) Tứ giỏc ADOE là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
b) Gọi K là trung điểm của BD Chứng minh E, O, K thẳng hàng
Bài 46: Cho nửa đường trũn đường kớnh AB Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By Qua điểm M thuộc nửa đường trũn
này, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax tại c và cắt By tại D
a) Chứng minh: tứ giỏc ACBD là hỡnh thang vuụng
b) Chứng minh: CD = CA + DB
Trang 6
c) Chứng minh góc COD = 900 và tích AC BD = R2
d) Gọi n là giao điểm của AD và BC Chứng minh MN // AC và BD
Bài 47: Cho đường tròn (O) đường kính AB Lấy điểm C thuộc (O), tiếp tuyến tại A của dường tròn (O)cắt BC tại D
Gọi M là trung điểm của AD
a) Chứng minh∆ ABC : ∆ ACD
b) Chứng minh: MA = MC, suy ra MC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
c) Chứng minh: OM ⊥ AC tại trung điểm I của AC
d) Chứng minh rằng khi C chuyển động trên đường tròn (O) thì điểm I thuộc đường tròn cố định
Bài 48: Cho đường tròn (O;R) và một điểm A ở ngoài đường tròn sao cho OA = 2R Từ điểm A vẽ tiếp tuyến AB với
đường tròn (O) (B là tiếp điểm)
a) Tính các góc của tam giác AOB và độ dài AB theo R
b) Kẻ đường cao BH của tam giác AOB cắt đường tròn tại C Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) c) Chứng minh tam giác ABC đều rồi tính diện tích của nó theo R
d) Đường thẳng vuông góc với OB kẻ từ O cắt AC tại I Chứng minh IA = IO
e) OA cắt đường tròn (O) tại K Chứng minh IK là tiếp tuyến của đường tròn (O)
f) Chứng tỏ : bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn
Bài 49: Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A (R>R’) Tiếp tuyến chung ngoài TT’ cắt tiếp tuyến
chung trong tại M (T, T’ là hai tiếp điểm và
T ∈(O);T’∈ (O’)
a) Chứng minh : M là trung điểm của TT’ và tam giác ATT’ vuông tại A
b) Chứng mimh : tam giác OMO’ vuông tại M
c) Chứng mimh : Đường kính TT’ tiếp xúc với OO’
d) Chứng mimh : Đường kính OO’ tiếp xúc vớiTT’
e) Tính độ dài đoạn thẳng TT’ theo R
Bài 50: Cho nửa đường tròn đường kính AB Vẽ nửa đường tròn tâm O’ đường kính OA trong cùng nửa mặt phẳng bờ
AB với nửa đường tròn O Vẽ cát tuyến AC của (O) cắt (O’) tại điểm thứ hai D
a) Chứng minh: DA = DC
b) Vẽ Dx tiếp xúc với (O’) và Cy với (O) Chứng minh Dx// Cy
Bài 51: Cho nửa đường tròn đường kính AB và M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) Đường thẳng d tiếp xúc với
nửa đường tròn tại M cắt đường trung trực của AB tại I Đường tròn tâm I tiếp xúc với AB cắt đường thẳng d tại C và D (C nằm trong góc AOM và O là trung điểm của AB)
a) Chứng minh các tia OC; OD thứ tự là phân giác của góc AOM và góc BOM
b) Chứng minh CA; DB là hai tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB
c) Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác COD
d) Chứng minh
2
4
AB
AC BD
=
Bài 52(1): Cho (O;R) và A là một điểm ở ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB,AC với đường tròn OB kéo dài cắt AC
ở D và cắt đường tròn ở E
28
Trang 7
1/ Chứng tỏ EC//OA
2/CMR: 2.AB.R=AO.CB
3/ Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC, qua M dựng tiếp tuyến với đường tròn tiếp tuyến này cắt AB và AC lần lượt ở I,J Chứng tỏ chu vi tam giác AIJ không đổi khi M di động trên cung nhỏ BC
4/ Xác dịnh vị trí của M trên cung nhỏ BC để 4 điểm J,I,B,C cùng thuộc một đường tròn
Bài 53(2): Cho (O), từ điểm P nằm ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến PA,PB với đường tròn Trên đoạn thẳng AB
lấy điểm M, qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM, đường thẳng này cát PA,PB lần lượt tại C và D
1/ Chứng minh A,C,M,O cùng nằm trên một đường tròn
2/ Chứng minh góc COD = góc AOB
3/ Chứng minh tam giác COD cân
4/ Vẽ đường kính BK của đường tròn, hạ AH vuông góc với BK Gọi I là giao điểm của AH với PK Chứng minh AI=AH
Bài 54(3): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong dường tròn (O) Ba đường caoAK,BE,CD cắt nhau ở H.
1/ Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp
2/Chứng minh : AD.AB=AE.AC
3/ Chứng tỏ AK là phân giác của góc DKE
4/Gọi I,J là trung điểm BC và DE Chứng minh rằng OA//JI
Bài 5 5 ( 4 ): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau tại D.
Từ D kẻ đường thẳng song song với AB đường này cắt đường tròn ở E và F, cắt AC tại I (E nằm trên cung nhỏ BC) 1/ Chứng minh tứ giác BDCO nội tiếp
2/Chứng minh : DC2=DE.DF
3/Chứng minh tứ DOCI nội tiếp
4/ Chứng tỏ I là trung điểm EF
Bài 5 6 ( 5 ): Cho đường tròn tâm O đường kính AB và dây CD vuông góc với AB tại F Trên cung BC lấy điểm M AM
cắt CD tại E
1/Chứng minh AM là phân giác gócCMD
2/Chứng minh tứ giác EFBM nội tiếp
3/Chứng tỏ AC2= AE.AM
4/Gọi giao điểm của CB với AM là N; MD với AB là I Chứng minh NI//CD
Bài 5 7 ( 6 ): Cho tam giác ABC cóµ A = 900 Kẻ AH vuông góc với BC Qua H dựng đường thẳng thứ nhất cắt cạnh AB
ở E và cắt đường thẳng AC ở G Đường thẳng thứ hai vuông góc với đường thẳng thứ nhất và cắt cạnh AC ở F, cắt đường thẳng AB tại D
1/ Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp
2/Chứng minh HG.HA=HD.HC
3/Chứng minh EF ⊥ DG v FHC à · = A · FE .
4/ Tìm điều kiện của hai đường thẳng HE và HF để EF ngắn nhất
Bài 5 8 ( 7 ): Cho tam giác ABC (AB=AC) nội tiếp trong đường tròn O M là một điểm trên cung nhỏ AC, phân giác góc
BMC cắt BC ở N, cắt đường tròn O ở I
1/ Chứng minh A,O,I thẳng hàng
2/ Kẻ AK vuông góc với đường thẳng MC AI cắt BC ở J Chứng minh AKCJ nội tiếp
3/ Chứng minh KM.JA=KA.JB
Bài 5 9 ( 8 ): Cho nửa đường tròn O đường kính AB Gọi C là một điểm trên nửa đường tròn Trên nửa mặt phẳng bờ AB
chứa điểm C, kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Một đường tròn (O’)qua A và C cắt AB và tia Ax theo thứ tự tại D và E Đường thẳng EC cắt By tại F
1/ Chứng minh tứ giác BDCF nội tiếp
2/Chứng tỏ CD2= CE.CF và FD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
3/AC cắt DE ở I; CB cắt DF ở J Chứng minh IJ//AB
4/ Xác định vị trí của D để EF là tiếp tuyến của (O)
Bài 60 ( 9 ): Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC (O) cắt AB, AC lần lượt ở D và E
BE và CD cắt nhau ở H
1/ Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp
Trang 8
2/ Chứng minh AE.AC= AB.AD
3/ AH kéo dài cắt BC ở F Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DFE
4/ Gọi I là trung điểm của AH CMR: IE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Bài 61 ( 10 ): Cho (O;R) và (O’;r) cắt nhau ở A và B Qua B vẽ cát tuyến chung CBD vuông góc với AB (C∈ ( ) O ) và cát tuyến EBF bất kì (E∈ ( ) O )
1/ Chứng minh A,O,C và A,O’,D thẳng hàng
2/ Gọi K là giao điểm của các đường thẳng CE và DF Cmr: AEKF nội tiếp
3/Cm: K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD
4/ Chứng tỏ:FA.EC = FD.EA
Bài 62 ( 11 ): Cho ∆ ABC có µ A = 900 Qua A dựng đường tròn tâm O bán kính R tiếp xúc với BC tại B và dựng (O’;r) tiếp xúc với BC tại C Gọi M,N là trung điểm của AB, AC, OM và ON kéo dài cắt nhau ở K
1/ Chứng minh O,A,O’thẳng hàng
2/Chứng minh AMKN nội tiếp
3/ Chứng minh AK là tiếp tuyến của hai đường tròn và K nằm trên BC
4/ Gọi I là giao điểm của MN và AK Chứng tỏ 4MI2=Rr
Bài 63 ( 12 ):Cho tứ giác ABCD ( AB>AC) nội tiếp trong đường tròn (O) đường kính AC; Hai đường chéo AC và BD
vuông góc với nhau Đường thẳng AB và CD kéo dài cắt nhau ở E; BC và AD cắt nhau ở F
1/ Cm BDEF nội tiếp
2/ CmDA.DF = DC DE
3/Gọi I là giao điểm của DB với AC và M là giao điểm của đường thẳng AC với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Cmr : DIMF nội tiếp
4/ Gọi H là giao điểm của AC với FE Cm AI.AM=AC.AH
30