skkn phát triển năng lực môn tóm trong dạy học và 1 số biện pháp

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT ĐIỂN HÌNH TÌM NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN” Lĩnh vực áp dụng: Sáng kiến áp dụng giảng dạy nội dung “Nguyên hàm, tích phân ứng dụng” (chương III – Giải tích 12) cho hai đối tượng: Một học sinh lớp 12 (trong giảng dạy đại trà, ôn thi Đại học bồi dưỡng học sinh giỏi Toán); Hai sử dụng cho giáo viên vừa làm tư liệu, vừa định hướng sáng tạo dạy học nội dung nguyên hàm – tích phân Thời gian áp dụng: Từ năm học 2008-2009 Tác giả: Họ tên: PHẠM BẮC PHÚ Năm sinh: 1984 Nơi thường trú: Đội 10-xã Hải Thanh-huyện Hải Hậu-tỉnh Nam Định Trình độ chun mơn: Cử nhân khoa học-chun ngành sư phạm Tốn Chức vụ cơng tác: Giáo viên Nơi làm việc: Trường THPT A Hải Hậu Địa liên hệ: Phạm Bắc Phú-Giáo viên THPT A Hải Hậu Mail: phupb.toan@gmail.com Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THPT A Hải Hậu Địa chỉ: Khu 6-Thị trấn Yên Định-Hải Hậu-Nam Định Điện thoại: 03503877089 Trang Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT Kí hiệu tắt THPT: NXB: HSG: ĐH, CĐ: [x] – Tr.y [x] – Tr.y-z Khối X năm Y MTCT Giải thích Trung học phổ thông Nhà xuất Học sinh giỏi Đại học, Cao đẳng Tài liệu [x], trang y Tài liệu [x], trang y đến trang z Trích đề thi tuyển sinh Đại học Bộ Giáo dục & Đào tạo, khối thi X, năm tuyển sinh Y Máy tính cầm tay QUY ƯỚC VỀ CÁC THUẬT NGỮ TỐN Thuật ngữ Giải thích – quy ước K khoảng, đoạn hay nửa “hàm số f xác định K” khoảng tập số thực ¡  “nguyên hàm – tích phân dạng Chỉ : Các ngun hàm có dạng ∫ f ( x ) dx b ∫ f ( x ) dx ” tích phân có dạng ∫ f ( x ) dx  “dạng ∫ f ( x ) dx ” a “Tìm nguyên hàm – tích phân …” “Hàm số dấu tích phân” “Biểu thức dấu tích phân” ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + c Chỉ việc: Tìm họ ngun hàm … Tính tích phân … Chỉ hàm f ( x ) xuất kí hiệu nguyên hàm hay tích phân xét tới: ∫ f ( x ) dx , b ∫ f ( x ) dx a Chỉ f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx , b ∫ f ( x ) dx a Nếu khơng có giải thích thêm, ta quy ước c số tùy ý ¡ Trang Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT ĐIỂN HÌNH TÌM NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Giáo viên: Phạm Bắc Phú Tổ Tốn-Tin, trường THPT A Hải Hậu I Điều kiện, hoàn cảnh tạo sáng kiến: * Hình thành rèn luyện lực học tập môn yêu cầu tất yếu môn học cấp học phổ thơng Trong q trình giảng dạy cho nhiều đối tượng học sinh năm học từ 2008 đến nay, thấy cần thiết phải phát triển cho học sinh lực Toán học để giúp học sinh nắm bắt làm chủ phương pháp kĩ thuật giải tốn đa dạng Điều giúp học sinh tích cực việc học mình, gợi động u thích mơn học đáp ứng mức độ yêu cầu khác kì thi * Bài tập tìm ngun hàm – tích phân nội dung xuất đề thi học kỳ II, thi cuối năm, thi Tốt nghiệp THPT, đặc biệt ln xuất đề thi Tuyển sinh ĐH, CĐ thi HSG Toán 12 hàng năm kể từ năm học 2008-2009 tới Loại tập phong phú phương pháp kĩ thuật, thể mối liên hệ mật thiết nhiều mảng kiến thức Toán (đại số, lượng giác, giải tích, phương pháp tính), nội dung giúp rèn luyện phát triển số lực Toán học cho người dạy người học: - Năng lực tư logic, sử dụng ngơn ngữ kí hiệu xác - Năng lực suy đoán tưởng tượng, liên hệ - Năng lực làm việc theo quy trình - Những hoạt động trí tuệ bản: Phân tích, tổng hợp, khái qt hóa… - Hình thành phẩm chất trí tuệ có ích học tập, cơng tác sống: Tính linh hoạt, khả lật ngược vấn đề, tự phản biện, tính độc lập, tính sáng tạo Trang Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu II Thực trạng (trước tạo sáng kiến): * Nhiều học sinh hứng thú với mơn Tốn Sở dĩ học sinh chưa tìm thấy niềm vui, u thích hoạt động giải tốn chưa rèn luyện lực Toán học cần thiết đáp ứng yêu cầu môn học * Nội dung “Ngun hàm, tích phân ứng dụng” trình bày hai sách giáo khoa [1] (Nâng cao) [3] (Cơ bản) theo phân phối sau: Trong Sách giáo khoa Nâng cao Trong Sách giáo khoa Cơ (Tổng số 17 tiết) (Tổng số 17 tiết) Tên học Số tiết Tên học Số tiết Nguyên hàm Nguyên hàm Một số phương pháp tìm nguyên hàm Tích phân Tích phân Một số phương pháp tính tích phân Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng Ứng dụng tích phân Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể Câu hỏi tập ơn tập chương III Ôn tập chương III Kiểm tra 45 phút Kiểm tra 45 phút Theo phân phối trên, số tiết khóa cho việc luyện tập phương pháp kĩ thuật tìm nguyên hàm – tích phân khơng q tiết, thơng thường tiết luyện tập phải đảm bảo nội dung sau: i) Ba phương pháp tìm ngun hàm – tích phân ii) Các tốn ngun hàm – tích phân theo dạng hàm số: ii.1- Nguyên hàm, tích phân hàm đa thức ii.2- Nguyên hàm, tích phân hàm phân thức hữu tỉ ii.3- Nguyên hàm, tích phân hàm lượng giác ii.4- Nguyên hàm, tích phân hàm vơ tỉ ii.5- Ngun hàm, tích phân hàm mũ ii.6- Nguyên hàm, tích phân hàm logarit iii) Một số dạng tích phân đặc biệt Trang Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu Ở khía cạnh khác, tài liệu tham khảo đóng vai trị kênh quan trọng giúp học sinh tự học, nhiên hầu hết tài liệu tham khảo (xem [7], [8], [9], [10], [15], [16], …) phương pháp tìm ngun hàm – tích phân phân chia dạng, loại tập theo hệ thống Thực tiễn khách quan cho thấy phân phối thời lượng so với khối lượng lớn dạng loại, chưa kể tới phân chia theo dạng hàm nhiều dạng nhỏ đặc trưng loại hàm * Những khó khăn nảy sinh học tập mơn Tốn nói chung giải tốn ngun hàm – tích phân nói riêng là: Học sinh phải nắm bắt ghi nhớ nhiều kiểu cách làm, thời gian luyện tập lại ít, dẫn đến lối học tập thụ động, gặp nhiều khó khăn trước tập lạ Để góp phần giải khó khăn trên, dựa thực tiễn giảng dạy, báo cáo tác giả trình bày số kinh nghiệm phát triển lực Toán học qua dạy học phương pháp kĩ thuật điển hình tìm ngun hàm – tích phân, chứa đựng số kĩ thuật dạy học kĩ thuật sáng tạo dành cho giáo viên III Giải pháp: III.1- TÓM TẮT NỘI DUNG GIẢI PHÁP: Các nội dung đưa là: • Nghiên cứu lí luận chung lực Tốn học khả phát triển lực Toán học qua dạy học nội dung phương pháp kĩ thuật điển hình tìm ngun hàm – tích phân • Ba phương pháp tìm ngun hàm – tích phân • Một số kĩ thuật điển hình tìm ngun hàm – tích phân • Kinh nghiệm tiếp cận toán, kinh nghiệm sáng tạo phương pháp kĩ thuật, qua phát triển lực Toán học cho học sinh giáo viên • Giới thiệu số kĩ thuật tìm ngun hàm – tích phân • Thực nghiệm sư phạm Trang Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu Điểm – sáng tạo giải pháp: * Phát triển lực Toán học qua dạy học phương pháp, thuật giải, phân tích tìm lời giải khai thác tốn * Hệ thống kĩ thuật điển hình tìm ngun hàm – tích phân, đó: Hướng 2-D1-mục D-Phần thứ hai – Chương II; Phần thứ ba số kĩ thuật sáng tạo * Chỉ cách sáng tạo tập theo phương pháp, kĩ thuật cho người làm Toán học Toán III.2- NỘI DUNG GIẢI PHÁP: CHƯƠNG I – CƠ SỞ LÍ LUẬN NĂNG LỰC TỐN HỌC TRONG Q TRÌNH DẠY VÀ HỌC BỘ MƠN TỐN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG A Một số quan điểm lực A1 – Khái niệm lực: * Từ điển Tiếng Việt ([17] – Tr.639) giải nghĩa “Năng lực: 1-Khả năng, điều kiện chủ quan tự nhiên sẵn có để thực hoạt động 2Phẩm chất tâm lí sinh lí tạo cho người khả hồn thành loại hoạt động với chất lượng cao” * Dưới góc độ tâm lí học: “Năng lực hiểu là: Một phức hợp đặc điểm tâm lí cá nhân người đáp ứng yêu cầu hoạt động điều kiện để thực thành cơng hoạt động đó” ([20] – Tr.15) Như vậy, lực thứ phi vật chất, thể qua hoạt động đánh giá qua kết hoạt động A2 – Bản chất nguồn gốc lực: Có nhiều quan điểm khác chất nguồn gốc lực, chúng thống ba điểm chung quan trọng sau: Một là: Những yếu tố bẩm sinh, di truyền điều kiện cần thiết (nhưng điều kiện đủ) cho phát triển lực Hai là: Năng lực người có nguồn gốc xã hội – lịch sử Khơng có mơi trường xã hội lực khơng thể phát triển Thế hệ trước xây dựng cải tạo để lại dấu ấn cho hệ sau kế thừa Ba là: Năng lực có nguồn gốc từ hoạt động sản phẩm hoạt động Trang Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu B Năng lực Toán học B1 – Khái niệm: Năng lực Tốn học đặc điểm tâm lí cá nhân, trước hết đặc điểm hoạt động trí tuệ đáp ứng yêu cầu hoạt động học Toán, tạo điều kiện lĩnh hội kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo lĩnh vực Toán học tương đối nhanh chóng sâu sắc điều kiện Năng lực Tốn học xét theo hai góc độ: Một là: Năng lực nghiên cứu, sáng tạo Hai là: Năng lực học tập Toán học B2 – Các thành phần lực Toán học: * Theo Kơnmơgơrốp, thành phần lực Tốn học bao gồm: - Năng lực biến đổi khéo léo biểu thức chữ phức tạp; lực tìm đường giải toán, tốn khơng có quy tắc chuẩn; lực tính tốn - Trí tưởng tượng hình học - Suy luận logic theo bước phân chia cách đắn nhau; có kĩ quy nạp, khái quát vấn đề * Theo A.V.Cruchetxki ([20]), cấu trúc lực Tốn học bao gồm: a) Thu nhận thơng tin: Tri giác hóa tài liệu Tốn; nắm bắt cấu trúc tốn b) Chế biến thơng tin: - Năng lực tư logic phạm vi quan hệ số lượng, quan hệ không gian, tư với kí hiệu Tốn học - Năng lực khái qt hóa đối tượng – quan hệ - cấu trúc; lực rút ngắn trình suy luận tính tốn - Tính mềm dẻo q trình tư hoạt động Toán - Khuynh hướng rõ ràng, giản đơn, tiết kiệm hợp lí lời giải - Năng lực thay đổi nhanh chóng dễ dàng suy nghĩ theo dạng tương tự, dạng tư thuận chuyển sang nghịch; xem xét cách giải toán theo nhiều khía cạnh khác nhau; lực phân chia trường hợp c) Lưu trữ thông tin: Ghi nhớ khái quát; chứng minh; nguyên tắc giải C Phát triển lực Tốn học q trình dạy học mơn Tốn trường THPT Q trình dạy học mơn Tốn, hai tuyến nhân vật giáo viên học sinh tác động qua lại với thơng qua nội dung chương trình Tốn học Phát triển lực Tốn học q trình bao gồm: Phát triển lực Toán học cho giáo viên phát triển lực Toán học cho học sinh Theo nghiên cứu từ [18] – Tr.107-110, cho rằng: Trang Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu C1 – Phát triển lực Toán học cho học sinh q trình dạy học mơn Tốn trường THPT gồm có: • Phát triển lực nhận dạng thể (khái niệm, định lí, phương pháp) • Phát triển lực hoạt động phức hợp mơn Tốn: Chứng minh, định nghĩa, dựng hình, giải tốn quỹ tích, tính tốn ước lượng, … • Phát triển lực hoạt động trí tuệ phổ biến mơn Tốn: Lật ngược vấn đề, xét tính giải được, phân chia trường hợp, xét đoán khả xảy ra… • Phát triển lực hoạt động trí tuệ chung: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái qt hóa, tương tự hóa, đặc biệt hóa, … • Phát triển lực hoạt động ngôn ngữ: Phát biểu, giải thích lời; biến đổi hình thức tốn… • Phát triển lực tri giác thẩm mĩ: Thấy vẻ đẹp nội Toán học, nâng cao tình u với mơn học C2 – Phát triển lực Tốn học cho giáo viên q trình dạy học mơn Tốn trường THPT: • Trước hết người dạy Toán phải học sinh học Tốn, cần tự phát triển, bồi dưỡng nhóm lực Tốn học người học sinh • Hơn thế, người giáo viên cần có lực nghiên cứu sáng tạo (phương pháp mới, kiến thức mới, toán mới) để nâng cao trình độ nghiệp vụ mình, giữ vai trị hình mẫu, người điều khiển (nhưng khơng chủ thể) q trình dạy học Tóm lại: Phát triển lực Tốn học q trình dạy học mơn Tốn tìm cách nâng cao ba yếu tố sau: Tri thức chun mơn Tốn, kĩ làm Tốn, thái độ tình cảm mơn Tốn D Phát triển lực Tốn học dạy học phương pháp kĩ thuật điển hình tìm nguyên hàm – tích phân D1 – Nội dung “Nguyên hàm – Tích phân” mơn Tốn trường THPT * Nguyên hàm, tích phân đề cập tới chương trình Giải tích 12 chương III-“Ngun hàm, tích phân ứng dụng” (theo [1], [3]), bao gồm vấn đề: i) Nguyên hàm ii) Một số phương pháp tìm ngun hàm iii) Tích phân Trang Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu iv) Một số phương pháp tính tích phân v) Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng vi) Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể Những yêu cầu việc dạy học nội dung là: i) Hình thành khái niệm nguyên hàm ii) Dạy học tìm ngun hàm iii) Hình thành khái niệm tích phân iv) Dạy học tính tích phân v) Dạy học ứng dụng tích phân hình học: Giải tốn diện tích hình phẳng thể tích vật thể (Theo [19] – Tr.164-170) Như có ba u cầu chính: Dạy khái niệm, dạy phương pháp kĩ thuật tìm nguyên hàm tích phân, dạy ứng dụng Lưu ý việc ứng dụng tích phân hình học đưa tốn tính tích phân cụ thể Những yêu cầu cần đạt kĩ là: i) Tìm nguyên hàm số hàm số dựa vào bảng nguyên hàm cách tính nguyên hàm phần ii) Sử dụng phương pháp đổi biến số (khi rõ cách đổi biến số không đổi biến số lần) để tính nguyên hàm iii) Tính tích phân số hàm số định nghĩa phương pháp tính tích phân phần iv) Sử dụng phương pháp đổi biến số (khi rõ cách đổi biến số không đổi biến số lần) để tính tích phân (Theo [21] – Tr.51-54) Từ đặc điểm ta thấy có nhiều hội cho việc phát triển lực Toán học qua nội dung nguyên hàm – tích phân hai khâu: Một phương pháp, kĩ thuật; hai ứng dụng Trong phạm vi cho phép, phần sau báo cáo bàn khâu phương pháp kĩ thuật D2 – Một số nội dung phát triển lực Toán học dạy học phương pháp kĩ thuật điển hình tìm ngun hàm – tích phân Theo quan điểm chủ quan tác giả, có điểm sau cần lưu ý nhằm phát triển lực Toán học thực dạy học phương pháp kĩ thuật tìm nguyên hàm – tích phân: Trang Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu 1) Tăng cường thông tin, dẫn lịch sử nột dung “nguyên hàm – tích phân” để gây hứng thú với nội dung dạy học, để tri giác vẻ đẹp nội Toán học, tiền đề phát triển lực Toán học, tác động tốt tới tư tưởng tình cảm học sinh 2) Phát triển lực nhận dạng, lực thể phương pháp kĩ thuật tìm nguyên hàm – tích phân 3) Phát triển lực hoạt động trí tuệ phổ biến giải Tốn: Sự phân tích tốn, phát yếu tố yếu tố đặc biệt toán, biết phán đoán cách thức giải tự phản biện cách làm 4) Phát triển lực hoạt động trí tuệ chung: Khái quát dạng tập, khái quát kĩ thuật tìm ngun hàm – tích phân, liên hệ thao tác dấu hiệu dạng Toán ngun hàm – tích phân với nội dung Tốn học khác (phương trình, đạo hàm…), đặc biệt hóa dạng nguyên hàm – tích phân tổng quát cho cụ thể 5) Phát triển tư thuật giải: Tìm lời giải trình bày tốn đổi biến hay nguyên hàm - tích phân phần theo bước chung 6) Phát triển lực trình bày lời giải, lực sử dụng ngơn ngữ kí hiệu 7) Phát triển lực sáng tạo toán nguyên hàm – tích phân D3 – Một số kinh nghiệm thực nhằm phát triển lực Toán học dạy học phương pháp kĩ thuật điển hình tìm ngun hàm – tích phân Q trình dạy học phương pháp kĩ thuật tìm nguyên hàm – tích phân gắn liền với việc dạy giải tập tốn cụ thể Đây q trình lâu dài, khơng thể diễn hay vài tiết học Để phát triển lực Toán học trình này, kinh nghiệm rút giáo viên học sinh cần: Hệ thống hóa kiến thức (Đối với học sinh không địi hỏi lí thuyết q chun sâu ngun hàm – tích phân nội dung phức tạp Toán sơ cấp cao cấp; phạm vi THPT dừng lại mức độ: nguyên hàm xem phép tốn ngược đạo hàm tích phân tính qua cơng thức Newton-Leibniz) Hệ thống biến đổi chung cho phương pháp Đối với toán cụ thể cần tuân thủ bốn bước giải Tốn nói chung Đây điểm đặc biệt quan trọng định hình thành phát triển lực Toán học người làm Toán Thực biện pháp vấn đáp, đàm thoại, tự vấn đáp; qua hoạt động ngơn ngữ kích thích tư hướng đích người làm tốn Tác giả trọng khâu sau đây: (i) Tiếp cận phân tích tốn ngun hàm – tích phân: Trang 10 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu - Phát tổng f ( x ) + g( x ) hàm đơn giản cho việc tìm b b a b a nguyên hàm, tính 2I = I + I = ∫ f ( x )dx + ∫ g( x )dx = ∫  f ( x ) + g( x ) dx   a b Một cách tổng quát, ta xét tổ hợp (α + β)I = ∫ αf ( x ) + β g( x ) dx ,   a miễn αf ( x ) + β g( x ) hàm có nguyên hàm tìm đơn giản Đây chìa khóa để sáng tạo tốn Sau ta xét ba minh họa cụ thể cách thức sáng tạo toán này: b b a a Minh họa Quan sát lại định lí 1: ∫ f ( x )dx = ∫ f (a + b − x )dx 1 0 + Ta chọn cận a = 0, b = , thu ∫ f ( x )dx = ∫ f (1 − x )dx + Ta cần xác định hàm f ( x ) liên tục đoạn [0; 1] sau cho thỏa mãn đẳng thức f ( x ) + f (1 − x ) = (*) Trong minh họa minh họa tiếp theo, việc xây dựng tốn tích phân dạng đặc biệt dẫn tới toán giải phương trình hàm Do khn khổ hạn chế, báo cáo khơng trình bày việc giải lớp phương trình hàm mà nêu số nghiệm cụ thể để minh họa mà Với (*), chẳng hạn xét f ( x ) = ( e x + e1− x ) mx + n : (*) trở thành ( e x + e1− x ) mx + n + ( e1− x + e x ) m(1 − x ) + n = ⇔ ( e x + e1− x ) ( ) mx + n − mx − m − n = Dùng phương pháp cân hệ số, ta chọn m, n cho n = −m − n hay m = −2n Chọn m = 2, n = −1 ta có f (x) = ( e + e x 1− x ) x − Vậy có tốn: Tính I = ∫ ( e x + e1− x ) x − 1dx Chú ý: Về mặt hình học, đẳng thức (*) cho thấy đồ thị hàm y = f ( x ) nhận 1  I  ;0 ÷ làm tâm đối xứng, lựa chọn hàm f ( x ) hàm số 2  ur u lẻ qua phép tịnh tiến theo OI a dx f ( x )dx = ∫ f ( ) ∫ Minh họa Quan sát lại định lí 2: x x a a a Trang 97 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu 1 f ( ) = u( x ) (**) với u( x ) hàm có x2 x nguyên hàm dễ tìm Cần lưu ý đẳng thức (**), thay x hàm u( x ) địi x 1 hỏi phải có tính chất u  ÷ = x u ( x ) Bây ta đặt f ( x ) = u ( x ) g ( x ) x + Ta chọn hàm số f ( x ) cho f ( x ) + + Đẳng thức (**) trở thành u ( x ) g ( x ) + 1 1 u  ÷g  ÷ = u ( x ) x2  x   x  1 1 ⇔ u ( x ) g ( x ) + u ( x ) g  ÷ = u ( x ) ⇔ g ( x ) + g  ÷ = (coi u ( x ) ≠ ) x x + Như hàm f ( x ) có dạng f ( x ) = u ( x ) g ( x ) với u ( x ) , g ( x ) thỏa mãn điều 1 1 kiện u  ÷ = x u ( x ) , g ( x ) + g  ÷ = Ta lựa chọn hàm u ( x ) = + , để lựa chọn x x x 1 + −x = lựa chọn hàm g ( x ) , chẳng hạn ta nhớ tới tính chất x a +1 a +1 1 g ( x ) = ln x = ln +1 x +1 x2 + I = ∫ ln dx Như vậy, có tốn mới: Tính tích phân + 1) x ( x Minh họa Ta nghiên cứu lại lời giải thí dụ khái quát hóa sau: Với hàm số f ( x ) liên tục đoạn  −a; a  , đặt I =   I= a ∫ t =− x a f ( x )dx = −a ∫ I +I a f (− x )dx = −a ∫ −a a ∫ f ( x )dx , ta ln có: −a f ( x ) + f (− x ) f ( x ) + f (− x ) dx Để ý y = hàm số 2 a chẵn, I = ∫  f ( x ) + f (− x ) dx   Chú ý tách a ∫ f ( x )dx = −a ∫ −a quả: I = a ∫ −a a f ( x )dx + ∫ f ( x )dx chứng minh a ∫ −a a f ( x )dx = ∫ f (− x )dx Tóm lại có kết a 0 f ( x )dx = ∫  f ( x ) + f (− x ) dx = ∫  f (a − x ) + f (a + x ) dx (***)     + Xét tới dấu đẳng thức thứ hai công thức (***): Trang 98 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu Để tạo toán mới, chẳng hạn ta lựa chọn hàm f ( x ) cho hàm F ( x ) = f ( x ) + f ( − x ) hàm số chẵn có ngun hàm dễ tìm Đặt f ( x ) = F ( x ) g ( x ) hàm g ( x ) có điều kiện g ( x ) + g ( − x ) = 3x 6 Thí dụ chọn g ( x ) = x F ( x ) = sin x + cos x , ta thu tốn mới: +1 Tính tích phân I = π ∫ 3x ( sin x + cos6 x ) π − 3x + dx + Bây ta xét tiếp tới dấu đẳng thức thứ ba (***): Ta lựa chọn f ( x ) , g ( x ) cho có tính chất F ( x ) + F ( a − x ) = u ( x ) với u ( x ) hàm số có ngun hàm dễ tìm (ở a cận chọn trước) Cần lưu ý thay x a − x thu điều kiện cho u ( x ) u ( a − x ) = u ( x ) Thí dụ, ta chọn u ( x ) ≡ ln , chọn hàm F ( x ) hàm số chẵn cho ( ) π  F ( x ) + F  − x ÷ = , chẳng hạn F ( x ) = ln + tan x , g ( x ) = tan x Bài toán π +1 3  thu là: Tính tích phân I = π ∫ − ( ln + tan x π πtan x + ) dx * Để kết thúc mục này, tác giả cho cịn nhiều cách đổi biến số khác khơng làm đổi cận tích phân Bản chất việc tìm phép đổi biến tìm quan hệ ϕ (song ánh) đoạn [a; b] mà ϕ ( a ) = a, ϕ ( b ) = b (hoặc ϕ ( a ) = b, ϕ ( b ) = a ), mảnh đất phong phú cho khai thác sáng tạo E5 – Bài tập vận dụng: Bài – Tính tích phân sau: x − x + 3x − x + 5x − I=∫ dx e.1 x2 + −1 π ( ) 2 e.2 I = ∫ sin x.ln x + x + dx −π π e.3 I = ∫ sin x sin x + cos x dx π Đáp số: I = − Đáp số: I = Đáp số: I = π Trang 99 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 e.4 I = ∫ (e − Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu dx 2x Đáp số: I = + 1) − x 1+ x  x ln  ÷  − x  dx e.5 I = ∫1 x + − Đáp số: I = π 15 − ln3 + ln4 24 e.6 I = ∫ ln ( + x ) + x2 Đáp số: I = dx π e.7 I = ∫ sin x.cos3 x sin xdx π ln Đáp số: I = π e.8 I = ∫ ln ( tan x ) dx Đáp số: I = π e.9 I = ∫ x −1 x −1+ 5− x ln(12 − x ) ln(12 − x ) + ln(3 + x ) dx , J = ∫ dx 3 e.10 I = ∫ x − x − x + 1dx Đáp số: I = 2, J = Đáp số: I =  π  sin x  e.11 I = ∫  x − ÷ sin x + ÷dx   0 π x sin x I =∫ dx e.12 + cos x π x + cos2 x + 3x ( sin x − x ) e.13 I = ∫ + 3x −1 Đáp số: I = π2 Đáp số: I = Đáp số: I = dx π Đáp số: I = e.14 I = sin x sin xdx ∫ x ln ( x + 1) − ( x + 1) ln x e.15 I = ∫ (1+ x ) 2 e.16 I = dx ∫ −1 1+ x + 1+ x e.17 I = ∫ −1 2( + x ) (1+ x) 2014 2014 2 , J= − ln5 Đáp số: I = ln + 10 dx dx −1 x + x + + x + 3x + ∫ − 3( − x ) + (1− x) π 4 Đáp số: I = 1, J = π 2014 2014 dx Đáp số: I = −1 Trang 100 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 e.18 I = ∫ −1 e.19 I = x 1− x + 1+ x (1+ x) 1− x + (1− x) 1+ x Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu dx Đáp số: I = dx ∫ + x + x 2012 + x 2014 Đáp số: I = π 12 Đáp số: I = π π e.20 I = sin x sin xdx ∫ Bài – Chứng minh đẳng thức tích phân: Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ , a b hai số thực cho trước; chứng minh đẳng thức sau: b a e.21 a+ b a ∫ f ( x ) dx = ∫ b  f ( x ) + f ( a + b − x )  dx = ∫  f ( x ) + f ( a + b − x )  dx     a+b b b e.22 ∫ x  f ( x ) + f ( a + b − x )  dx = ( a + b ) ∫ f ( x ) dx   a a 2π π e.23 ∫ xf ( cos x ) dx = 2π∫ f ( cos x ) dx Bài – Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn  0;a  (với a > ) thỏa mãn f ( x ) >   a dx f ( x ) f ( a − x ) = với x ∈  0; a  Tính tích phân I = ∫   1+ f ( x) F Kĩ thuật ghép cặp để tìm ngun hàm, tích phân: F1 – Ý tưởng kĩ thuật: a) Kiểu 1: Để tính tích phân (hoặc nguyên hàm) I, ta xét thêm tích phân J cho hai tổ hợp α1 I + β1 J α I + β2 J tích phân dễ tính ( α i ,βi α1 I + β1 J = A  số chọn trước) Giải hệ (I):  cho ta kết I , J α I + β2 J = B   Như vậy, mục tiêu đặt lựa chọn J cho có (I), thông thường ta chọn J để tổ hợp tích phân với I có giản ước hàm dấu tích phân xuất biểu thức thuận lợi cho biến đổi vi phân Cần ý tới số "cặp biểu thức" sau đây, chúng thường "đổi chỗ" cho ta chuyển từ I sang J, là: sin x cos x , e x e− x , u ( x ) v ( x ) (khi có biểu thức đối xứng u v hàm dấu tích phân), … Trang 101 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu b b) Kiểu 2: Để tính tích phân I = ∫ f ( x )dx , ta xét thêm hàm g ( x ) , việc phối hợp a đạo hàm hai hàm số f ( x ) , g ( x ) giúp ta tìm nguyên hàm f ( x ) Thực chất định hướng, viết lời giải ta nên trình bày theo hướng sử dụng trực tiếp định nghĩa ngun hàm – tích phân, khơng tự nhiên phần trình bày gọn gàng F2 –Thí dụ minh họa :  Thí dụ 44 Tìm nguyên hàm: I = ∫ sin x dx sin x + 3cos x cos x dx sin x + 3cos x sin x + 3cos x dx = ∫ dx = x + c1 , c1 ∈ ¡ • Ta có I + 3J = ∫ sin x + 3cos x d ( sin x + 3cos x ) cos x − 3sin x • Lại có J − 3I = J = ∫ dx = ∫ = ln sin x + 3cos x + c2 , c2 ∈ ¡ sin x + 3cos x sin x + 3cos x • Từ suy 10 I = (I + 3J ) − 3(J − 3I ) = x − 3ln sin x + 3cos x + c1 − 3c2 , có Lời giải: Xét nguyên hàm J = ∫ I= x − 3ln sin x + 3cos x + c, c ∈ ¡ 10 ( ) Cách khác: Ta sử dụng kĩ thuật biểu diễn tử thức theo mẫu đạo hàm mẫu: ( sin x + 3cos x ) − 10 ( cos x − 3sin x ) ( sin x + 3cos x ) / sin x • Ta có: = 10 = − sin x + 3cos x sin x + 3cos x 10 10 sin x + 3cos x d ( sin x + 3cos x ) • Suy I = ∫ dx − ∫ = x − ln sin x + 3cos x + c, c ∈ ¡ 10 10 sin x + 3cos x 10 10 Tổng quát: a sin x + b cos x ac + bd bc − ad dx = x+ ln c sin x + d cos x + k , k ∈ ¡ ∫ c sin x + d cos x c + d2 c + d2 (trong a, b, c, d số, c2 + d > ) Trang 102 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 π  Thí dụ 45 Tính tích phân: I = ∫ Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu 5cos x − 4sin x ( sin x + cos x ) dx (Trích Đề tuyển sinh Đại học Giao thông vận tải Hà Nội, năm 2001) π Lời giải: Xét tích phân J = ∫ π * I−J=∫ ( cos x − sin x ) ( sin x + cos x ) 5sin x − cos x ( sin x + cos x ) π dx , ta có: dx = ∫ ( sin x + cos x ) d ( sin x + cos x ) = −3 ( sin x + cos x ) −2 −2 π = 0 π π  12 dx π dx = ∫ = ∫ = tan  x − ÷ = * I+J=∫ 2 4 π sin x + cos x sin x + cos x  ( ) ( ) cos  x − ÷ 4  I − J = 1 ⇔ I = J = Kết luận: I = * Vậy  2 I + J = π π sin x + cos x dx Một số cách khác: / ( sin x + cos x ) + ( sin x + cos x ) 1) Có thể đưa biểu diễn 5cos x − 4sin x = 3 ( sin x + cos x ) ( sin x + cos x ) tách tích phân I thành hai tích phân đơn giản 2) Nhận thấy tử, mẫu biểu thức đẳng cấp sin x cos x nên đưa ẩn tan x,cot x thao tác chia từ mẫu hàm dấu tích phân cho sin3 x ,cos3 x Tuy nhiên ý tới cận, nhằm đảm bảo vấn đề có nghĩa chia nên cần thao tác tách cận (cận trung gian), chẳng hạn: π I=∫ 5cos x − 4sin x ( sin x + cos x ) π dx + ∫ π 5cos x − 4sin x ( sin x + cos x ) π dx = ∫ − 4tan x ( tan x + 1) π dx 5cot x − dx +∫ cos x π ( + cot x ) sin x Thực phép đổi biến tan x = u, cot x = v hai tích phân cuối thu − 4u 5v − 11   I =∫ du + ∫ −dv ) = = +  − ÷ = 3 (  8 u +1 1+ v ( ) ( ) 3) Thực phép đổi biến t = a + b − x = π − x (xem lại mục E – Phần thứ hai) Trang 103 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu eπ  π  Thí dụ 46 Tính tích phân: I = ∫ sin  ln x + ÷dx 3  eπ  π Lời giải: Xét tích phân J = ∫ cos  ln x + ÷dx 3  /     π  π π   x.sin  ln x + ÷ = sin  ln x + ÷ + cos  ln x + ÷ /  3 3      π Nhận thấy  ln x + ÷ = nên  / 3 x       π π π   x.cos  ln x + ÷ = cos  ln x + ÷ − sin  ln x + ÷         π  eπ I + J = x.sin  ln x + ÷ = − Suy ra: +) ( + eπ ) (1), 31   π  eπ π +) J − I = x cos  ln x + ÷ = − ( + e ) (2) 31  π Từ (1) (2) có đáp số I = (e + 1)(1 − 3) Nhận xét: 1) Thí dụ làm theo cách đổi biến t = ln x + π sử dụng tích phân phần (dạng "quay vịng") 2) Lời giải trình bày lược bớt thành: 1  Thấy  x.sin  ln x +  2  π ÷ − x.cos  ln x + 3  /  π  ÷ = sin  ln x +   π ÷ , có: 3 1   π π   e π (e π + 1)(1 − 3) I =  x.sin  ln x + ÷− x.cos  ln x + ÷ = 3     Lời giải ngắn gọn rõ ràng cần xuất phát từ ý tưởng việc nghiên cứu   π π thêm đối tượng tương đồng sin  ln x + ÷ cos  ln x + ÷ sử dụng 3 3   thêm x nhân vào làm triệt tiêu đạo hàm ln x ta dùng công thức đạo hàm hàm số hợp π −x  Thí dụ 47 Tính tích phân: I = ∫ e sin xdx Phân tích: Trang 104 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu π −x + Trong I chứa sin x nên ta hạ bậc, quy tính ∫ e cos2 xdx  ( e− x cos2 x ) = − e − x cos2 x − 2e − x sin2 x /   2e− x sin2 x − e − x cos2 x  −x + Có  , suy  ÷ = e cos2 x / −x −x −x    ( e sin2 x ) = − e sin2 x + 2e cos2 x  (cũng dùng tích phân phần để tính I) Lời giải: π π − cos2 x 1π 1π I = ∫ e − x sin xdx = ∫ e − x dx = ∫ e − x dx − ∫ e − x cos2 xdx • Ta có 20 20 0 π e− x π A = ∫ e − x dx = =1− π • −1 e / / π 2e− x sin2 x − e− x cos2 x π 1  2e− x sin2 x − e− x cos2 x  − x B = ∫ e− x cos2 xdx = = − • Do  ÷ = e cos2 x nên 5 5eπ   ( e π − 1) 1 • Vậy I = A − B = 2 5e π F3 – Bài tập vận dụng: Tính tích phân sau: π   cos x f1 I = ∫  ÷ dx  sin x + cos x  π Đáp số: I = π sin3 x cos3 x f2 I = J = ∫ sin x + cos x dx ∫ sin x + cos x dx 0 π f3 I = ∫ cos2 x sin x + cos x 5− x ( − x + x −1 ln3 − + 16 Đáp số: I = e + dx π −1 π f4 I = sin ( ln x ) dx ∫ Đáp số: I = J = Đáp số: I = dx π e2 f5 I = ∫ ln + ) Đáp số: I = π Trang 105 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu G Sử dụng máy tính cầm tay hỗ trợ việc tính tích phân G1 – Ý tưởng: Sử dụng chức tính tốn MTCT (được Bộ giáo dục cho phép) với hai mục đích: (i) - Tính hay gần tích phân để kiểm tra tính sai đáp số làm (ii) - Phát nhanh số vấn đề dấu giá trị biểu thức nhằm định hướng bước giải trung gian trình tính tích phân Một số dịng MTCT sử dụng phịng thi có chức tính tích phân: Casio fx-570 MS, Casio fx-570 ES, Casio fx-570 ES PLUS, Casio fx570 VN PLUS, Vietnam Calculator VN 500 ES plus function, VN 570 RS, VN 570 ES VN-570ES Plus, VinaCal 570 ES PLUS, VinaCal 570 ES PLUS II, (Theo công văn 2683/BGDĐT-CNTT, ngày 23/05/2014) G2 – Kinh nghiệm sử dụng MTCT dạy học toán tính tích phân: Trước hết, chúng tơi quan niệm bên cạnh việc dạy học sinh biết cách tính tích phân hồn tồn khơng có hỗ trợ tính toán MTCT hay bảng số cần thiết, bắt buộc việc hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để tính tốn cần thiết MTCT giúp học sinh đẩy nhanh tốc độ làm bài, tăng cường tính xác biết khai thác hiệu thành tựu khoa học đại phạm vi cho phép Do đó, chúng tơi coi việc sử dụng MTCT kĩ thuật đặc biệt dạy học nội dung tính tích phân, qua phát triển lực tính tốn nhanh, lực điều chỉnh, hợp lí hóa lời giải khung thời gian làm bị hạn chế Việc dùng MTCT đặc biệt có ý nghĩa to lớn đối tượng học sinh trung bình trở xuống giúp em giải nhanh tránh tính tốn sai Các cơng việc cần thiết phải Hình minh họa phím triển khai (ở dạng lồng ghép q trình chức MTCT dài, tách riêng thành thực hành sử dụng MTCT) là: * Giới thiệu dạng hàm nhập từ bàn phím, cách thức nhập * Cách tính tốn giá trị hàm số giá trị biến * Cách thức nhập tính tích phân với hai cận xác định * Cách kiểm tra tính sai đáp số thu lời giải Do khn khổ có hạn báo cáo, phần dừng mức độ giới thiệu kinh nghiệm nên chúng tơi khơng có ý định trình bày tất thao tác sử dụng MTCT Trang 106 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu mà nêu quy trình cần thiết phục vụ cho ý tưởng báo cáo Các vấn đề cụ thể sau: a) Có ba hình thức nhập biểu thức (chứa biến hay số): - Ấn phím gọi trực tiếp dạng biểu thức (chủ yếu dùng cho dạng biểu thức ghi màu trắng phím) - Ấn tổ hợp phím SHIFT phím biểu thức tương ứng dạng biểu thức ghi màu nâu góc bên trái phím - Ấn tổ hợp phím ALPHA phím biểu thức tương ứng dạng biểu thức ghi màu đỏ góc bên phải phím b) Để tính giá trị f ( x ) giá trị cụ thể x = a ta thực theo cách sau: Cách 1: Nhập biểu thức số f ( a ) (chỗ x hàm số thay giá trị a ) vào hình MTCT bấm phím = - Nhập biểu thức f ( X ) vào hình MTCT - Ấn phím CALC, (trên hình xuất X?) - Nhập giá trị a bấm phím = , hình cho kết Cách 2: Lưu ý:  Khi cần thiết lưu giữ giá trị số vừa tính tốn ta gọi chức STO (ở phím RCL ) qua phím SHIFT  Khi muốn biết giá trị kết dạng thập phân ta ấn = S ⇔ D  Nên sử dụng cách tính thứ hai phải tính giá trị f ( x ) hai hay nhiều điểm x khác b a c) Cách tính tích phân xác định W W ∫ f ( x ) dx : Ấn phím ∫ , nhập biểu thức f ( X ) , dịch chuyển trỏ hình để ấn cận a, cận b vào vị trí cận tương ứng, ấn = d) Cách kiểm tra tính sai đáp số thu được: Nhập tích phân cho vào hình, ấn tiếp − , nhập giá trị đáp số có (nên đặt dấu đóng mở ngoặc ( ) ), ấn = Nếu hình cho kết (hoặc số bé dạng 0, × 10 −1 ) cho đáp số thu xác e) Nếu hàm f ( x ) liên tục đoạn [a; b] f ( x ) khơng có nghiệm khoảng (a; b) dấu f ( x ) khoảng (a; b) dấu f ( m ) với m số chọn trước thuộc khoảng (a; b) Kết hợp chức tính tốn MTCT tính chất giúp ta xét dấu f ( x ) đoạn [a; b] để khử dấu Trang 107 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu giá trị tuyệt đối tích phân (xem thêm Khái quát sau Thí dụ – Trang 19 báo cáo) G3 –Thí dụ minh họa:  Thí dụ 48 Tính tích phân: a) I = ∫ ( x − 1) x + 3x − dx b) J = ∫ 2x + −1 ( x + 1) dx Phân tích cách làm câu a: + Đây tích phân hàm đa thức, tính tốn trực phương pháp khai triển hàm dấu tích phân: (Lời giải) Ta có ( x − 1) ( x + 1) = ( x − x + 1) ( x + 1) = x + x − x − x + x +  x6 x5 x 2x3 x2 2 + + x÷ Suy ra: I = ∫ ( x + x − x − x + x + 1)dx =  + − −  0 + Trình bày tới sử dụng hai cách sau để đáp số: X X X 2X X Cách 1- Nhập biểu thức: + − − + + X , ấn CALC = cho ta kết 116 116 hình Ta ghi tiếp vào lời giải “ = ” 15 15 116 116 −0= [ở ta khơng tính giá trị hiển nhiên kết thu 0, ] 15 15 Cách – Nhập tích phân ban đầu vào MTCT W Ấn phím ∫ W , nhập ( X − 1) ( X + 1) vào vị trí hàm dấu tích phân, dịch chuyển trỏ hình vị trí nhập cận 0, cận vào vị trí cận tương ứng, ấn = , thu 116 116 kết hình Ta ghi tiếp vào lời giải “ = ” 15 15 Phân tích cách làm câu b: + Đây tích phân hàm phân thức hữu tỉ có bậc tử cao bậc mẫu, trước hết cần thực thao tác chia tử cho mẫu  x 1 13 dx x + 3x − x 13 = + − Ta có nên J = ∫  + ÷dx − ∫ 4 −1 x + 2x + 4(2 x + 5) −1  2 Trong đó: dx ∫ x + = ln x + −1 = ln3 −1  x2 x   x 1 + ÷dx =  + ÷ ∫ −1    4  −1 Trang 108 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu  x 1 + Dùng MTCT tính trực tiếp ∫  + ÷dx kết hình 4 −1  13 Ghi vào lời giải kết có kết luận J = − ln3 + Kiểm tra đáp số J cách nhập trực tiếp vào hình  13  X + 3X − ∫1 X + dx −  − ln3 ÷, ấn = thu kết nên lời giải nêu có đáp −   số [Kí hiệu hiển thị X,dx hình thức riêng MTCT, khơng phải sai lệch kí hiệu làm] Lưu ý: i) Trong câu a, sử dụng MTCT theo cách nhanh cách ii) Ở câu b, nhập ln tích phân đề sau ấn = , kết lên hình giá trị gần dạng thập phân, nên có thao tác MTCT cho tích phân thành phần tách từ tích phân ban đầu iii) Với đề “tính tích phân ” khơng chép kết gần từ MTCT vào lời giải, trừ đề nói rõ việc tính gần làm trịn số tới hàng cho trước  Thí dụ 49 Tính tích phân: π x 52 −x a) I = ∫ e sin xdx b) J = ∫ 0 (5 x − ) − 51− x a) Lời giải: Xem lời giải Thí dụ 47 – mục F Đáp số I = dx ( eπ − 1) 5e π Kiểm tra đáp số: + Đổi hệ tính tốn sang Radian, ấn: SHIFT MODE 2(e π − 1) + Nhập tích phân trừ kết giải vào hình: ∫ e (sin X ) dx − ; 5eπ π −X + Ấn = , hình kết Vậy đáp số lời giải Thí dụ 47 xác b) Hướng dẫn cách giải: * Ta nên khử dấu trừ biểu thức mũ mẫu cách nhân tử x x mẫu với để tạo 5x dx , đưa vào bậc hai được: Trang 109 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 J=∫ (5 x x Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu 5x − 9) − 1− x dx = ∫ (5 x − ) 6.5 − x dx * Thấy tích phân có hai đặc trưng: Chứa căn, dạng mũ, dùng phép đổi biến dt x J= Tính tích phân thu kết t = 6.5 − thu tích phân: ∫ ln t − 49 J = log5 Kiểm tra đáp số: Nhập tích phân J vào hình, trừ log5 , ấn phím = thu −11 kết hình −7.6837 × 10 (thực với máy fx-570ES) Với kết hiệu số bé tạm tin tưởng kết làm trình bày Tuy nhiên với máy Vinacal 570ES PLUSII kết hiệu hình Cần lưu ý:  MTCT có tác dụng hỗ trợ, khơng phải trường hợp giúp ta trả lời câu hỏi đáp số làm hay sai, cần trọng rèn luyện lời giải cốt yếu  Những dòng MTCT, hệ MTCT khác cho kết gần khác (dù rất nhỏ) Khi nhập đáp số khác, chẳng hạn với câu b ta nhập tồn tích phân J trừ log5 (đây đáp số sai), máy fx-570ES cho ta kết hiệu 0.02225085304 hình, nhấn mạnh với học sinh giá trị sai lệch chưa gọi nhỏ so với độ xác d = 10 −11 (theo cách viết dạng chuẩn MTCT), kết 2 log5 đáng tin kết log5 (xem [22]-Tr.27-28) 9  Thí dụ 50 Tính tích phân sau: a) I = ∫ x + − x − x + dx 2− x b) J = ∫ − 20 x − 17 dx 0 Phân tích cách làm câu a: + Ta tìm nghiệm f ( x ) = x + − x − x + khoảng (0; 5) x ∈∅ Trên (0; 5), chọn x = , tính f ( 1) = > nên có f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈  0;5   5 0 ( ) 5 0 2 Như I = ∫ x + − x − x + dx = ∫ x + − x − x + dx = ∫ ( x + 3) dx − ∫ x − x + dx Trang 110 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014 Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu  x2 5 A = ∫ ( x + 3) dx =  + x ÷ , sử dụng MTCT nhập trực tiếp A vào hình + Có  0 55 dùng chức tính tốn CALC cho kết A = 2 + Tính B = ∫ x − x + dx : Thấy g ( x ) = x − x + có nghiệm x = 1, x = g ( 0,5) = > 0, g ( ) = − 1, g ( ) = > nên suy ra: g ( x ) ≥ 0, ∀ x ∈  0;1 , g ( x ) ≤ 0, ∀ x ∈ 1;3 ,     g ( x ) ≥ 0, ∀ x ∈  3;5 Vậy: B = ∫ x − x + dx + ∫ x − x + dx + ∫ x − x + dx   = ∫ ( x − x + 3) dx − ∫ ( x − x + 3) dx + ∫ ( x − x + ) dx x 1  x   x3 5 =  − x + 3x ÷ −  − x + 3x ÷ +  − x + 3x ÷  0  1  2 3 Dùng MTCT bấm trực tiếp B thu hình 9,333333333; tức có 28 B= 109 + Vậy I = A − B = Lưu ý: Trong nhiều trường hợp tính tốn ta thu kết số thập phân vơ hạn tuần hồn MTCT khơng giá trị dạng phân số gây lúng túng cho học sinh Cách gọi lại giá trị phân số là: Cách 1: Nhập lại từ bàn phím giá trị thập phân vơ hạn tuần hồn với phần tuần hồn nhập nhiều lần, ấn phím = thu kết phân số Cách 2: Màn hình kết q trình tính tốn trước số thập phân vơ hạn tuần hồn, ta ấn tổ hợp phím SHIFT STO A (đây phép gán kết vừa có cho biến A), hình hình minh họa bên Phân số góc bên phải giá trị cần gọi lại Phân tích cách làm câu b: 2− x + Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối J cần xác định nghiệm f ( x ) = − 20 x − 17 [0; 1] Dễ thấy phương trình f ( x ) = không mẫu mực, cần sử dụng phương pháp hàm số đánh giá dự đốn nghiệm + Dùng chức giải phương trình MTCT cho f ( x ) sau: Nhập biểu thức 92− X − 20 X − 17 vào hình Trang 111 ... lực Tốn học q trình bao gồm: Phát triển lực Toán học cho giáo viên phát triển lực Toán học cho học sinh Theo nghiên cứu từ [18 ] – Tr .10 7 -11 0, cho rằng: Trang Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2 013 ... luyện lực học tập môn yêu cầu tất yếu môn học cấp học phổ thông Trong trình giảng dạy cho nhiều đối tượng học sinh năm học từ 2008 đến nay, thấy cần thiết phải phát triển cho học sinh lực Toán học. .. thêm, ta quy ước c số tùy ý ¡ Trang Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2 013 – 2 014 Gv Phạm Bắc Phú – THPT A Hải Hậu PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT ĐIỂN HÌNH