1 ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT HÀM SỐ LỒI VÀ LÕM TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Lưu Văn Lập Trường THPT Chuyên Vị Thanh Giải tích lồi là môn học nghiên cứu các tính chất của tập lồi và hàm lồi. Các kết quả của Giải tích lồi được áp dụng trong nhiều lĩnh vực toán học, đặc biệt là lý thuyết tối ưu. Trong Chương trình Toán phổ thông khái niệm “lồi” và hàm lồi đã được ứng dụng nhiều trong lĩnh lực như Hình học phẳng, Đại số và Giải tích. Trong bài viết này Tôi xin giới thiệu một số ứng dụng của Hàm lồi trong chứng minh các bất đẳng thức lượng giác. I. KHÁI NIỆM TẬP LỒI VÀ HÀM LỒI 1. Tập hợp lồi Tập D được gọi là tập lồi nếu như mọi phần tử a D,b D, với mọi số (0 1) thì phần tử (1 ) a b cũng thuộc tập hợp D. Trong mặt phẳng, với hai điểm A, B phân biệt thì đoạn thẳng AB chính là tập hợp lồi. Tổng quát: Tập D là tập hợp lồi nếu như hai điểm A,B D thì toàn bộ đoạn thẳng AB cũng thuộc tập hợp D. 2. Hàm số lồi Giả sử D là tập lồi trong R. Hàm số f(x) :D R được gọi là hàm lồi trên D nếu như với mọi 1 2 x , x D, với mọi (0 1) thì 1 2 1 2 f( x (1 )x ) f(x ) (1 )f(x ). Về mặt hình học Giả sử y f(x) là hàm lồi trên D. Xét các điểm: 1 1 2 2 A(x ;f(x )),B(x ;f(x )) . Khi đó nhận thấy nếu f(x) là hàm lồi trên D thì ta luôn có cung AB nằm dưới dây cung AB. Chú ý: - Nếu D là tập hợp lồi trong R, hàm số f(x) :D R được gọi là lõm nếu như f là lồi trên D. - Nếu D là tập hợp lồi trong R, hàm số f(x) :D R được gọi lồi chặt trên D nếu với mọi 1 2 x , x D, với mọi (0 1) ta có: 1 2 1 2 f( x (1 )x ) f(x ) (1 )f(x ). 3. Một số tính chất cơ bản của hàm lồi 3.1 Tính chất 1 2 Cho D là tập hợp lồi trong R. Giả sử 1 2 n f (x),f (x), ,f (x) là các hàm lồi xác định trên D. Cho i 0 với mọi i 1,n. Khi đó, hàm số: 1 1 2 2 n n f (x) f (x) f (x) cũng là hàm lồi trên D. 3.2 Tính chất 2 (Bất đẳng thức Jen-sen) Cho D là tập hợp lồi trong R, f(x) :D R xác định trên D. Khi đó, f là hàm lồi trên D khi và chỉ khi với mọi số nguyên dương n, với mọi 1 2 n x ,x , , x thuộc D, với mọi số i 0 (i 1,n) và n i i 1 1, ta có bất đẳng thức: n n i i i i i 1 i 1 f x f(x ). 3.3. Tính chất 3 (Điều kiện đủ cho tính lồi của hàm số) Cho f(x) là hàm số xác định trên a;b và có đạo hàm cấp hai tại mọi điểm thuộc (a;b). Nếu như '' f (x) 0 với mọi x (a;b) thì f(x) là hàm lồi trên a;b . Trên đây là định nghĩa và các tính chất của tập hợp lồi và hàm lồi. Tuy nhiên, ở góc độ Chương trình toán học phổ thông và tính “trực quan” của vấn đề, chúng ta thường quan tâm và sử dụng các kết quả như sau: Định nghĩa Cho hàm số y f(x) liên tục trên a;b và có đồ thị là (C). Khi đó ta có hai diểm A(a;f(a));B(b;f(b)) nằm trên đồ thị ( C). i) Đồ thị ( C) được gọi là lõm trên (a;b) nếu tiếp tuyến tại mọi điểm nằm trên cung AB luôn nằm phía dưới đồ thị (C). (Hàm số lồi) ii) Đồ thị ( C) được gọi là lồi trên (a;b) nếu tiếp tuyến tại mọi điểm nằm trên cung AB luôn nằm phía trên đồ thị (C). (Hàm số lõm) 3 Dấu hiệu đồ thị lồi Định lý 1 Cho hàm số y f(x) liên tục và có đạo hàm cấp hai trên (a;b) Nếu '' x (a;b),f (x) 0 thì đồ thị hàm số lõm trên (a;b) , hàm số lồi trên (a;b) Nếu '' x (a;b),f (x) 0 thì đồ thị hàm số lồi trên (a;b) , hàm số lõm trên (a;b) Định lý 2 (Bất đẳng thức tiếp tuyến) Cho hàm số liên tục và có đạo hàm cấp hai trên a;b Nếu '' x [a;b],f (x) 0 thì ' 0 0 0 f(x) f (x )(x x ) f(x ) với mọi 0 x a;b Nếu '' x [a;b],f (x) 0 thì ' 0 0 0 f(x) f (x )(x x ) f(x ) với mọi 0 x a;b Định lý 3 (Bất đẳng thức Jen-sen) Cho hàm số y f(x) có đạo hàm cấp hai trên (a;b) a).Nếu '' x (a;b),f (x) 0 thì 1 2 n x ,x , , x (a;b) và 1 2 n , , , [0;1] thỏa mãn 1 2 n 1 ta có: 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n f( x x x ) f(x ) f(x ) f(x ) (*) Cụ thể: Khi 1 2 n 1 n thì bất đẳng thức (*) trở thành: 1 2 n 1 2 n f(x ) f(x ) f(x ) x x x f n n Dấu “=” xảy ra khi: 1 2 n x x x b).Nếu '' x (a;b),f (x) 0 thì 1 2 n x ,x , , x (a;b) và 1 2 n , , , [0;1] thỏa mãn 1 2 n 1 ta có: 4 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n f( x x x ) f(x ) f(x ) f(x ) (**) Cụ thể: Khi 1 2 n 1 n thì bất đẳng thức (**) trở thành: 1 2 n 1 2 n x x x f(x ) f(x ) f(x ) f n n Dấu “=” xảy ra khi: 1 2 n x x x II. CÁC ỨNG DỤNG Bài 1. Cho n là số nguyên dương 1) Giả sử i 0 với mọi i 1,n . Chứng minh rằng: 1 2 n 1 2 n sin sin sin sin n n Xét hàm số f(x) s inx với 0 x . Ta có: f (x) cosx f (x)=-sinx 0, x (0; ) . Do vậy f(x) là hàm số lõm trên [0; ] . Theo BDT Jen-sen ta có: 1 2 n 1 2 n f( ) f( ) f( ) f n n Hay 1 2 n 1 2 n sin sin sin sin n n 2) Giả sử i 2 2 với mọi i 1,n . Chứng minh rằng: 1 2 n 1 2 n cos cos cos cos n n Xét hàm số f(x) cosx với x 2 2 . Ta có: f (x) s inx f (x)= - cosx 0, x ( ; ) 2 2 . Do vậy f(x) là hàm số lõm trên [- ; ] 2 2 . Theo BDT Jen-sen ta có: 1 2 n 1 2 n f( ) f( ) f( ) f n n 5 1 2 n 1 2 n cos cos cos cos n n 3) Giả sử i 0 2 với mọi i 1,n . Chứng minh rằng: 1 2 n 1 2 n tan tan tan tan n n Xét hàm số f(x) tan x với 0 x 2 . Ta có: 2 1 f (x) cos x 3 2sin x f (x)= 0, x (0; ) 2 cos x . Do vậy f(x) là hàm số lồi trên (0; ) 2 . Theo BDT Jen-sen ta có: 1 2 n 1 2 n f( ) f( ) f( ) f n n 1 2 n 1 2 n tan tan tan tan n n Nhận xét Có thể nói đây là các bài toán “gốc”. Từ đó, ta có các bất đẳng thức cơ bản sau đây trong tam giác ABC, ta có: 1. 3 3 sin A sin B sinC 2 2. A B C 3 sin sin sin 2 2 2 2 3. A B C 3 3 cos cos cos 2 2 2 2 4. A B C tan tan tan 3 2 2 2 Bài 2. Cho i 0 x với mọi i 1,n .Chứng minh rằng: 1 2 n 1 2 n 1 1 1 n s inx sinx s inx x x x sin n 6 Xét hàm số 1 f(x) s inx với 0 x Ta có: 2 cosx f (x) sin x 2 3 1 cos x f (x) 0, (0; ) sin x Do đó f(x) là hàm lồi trên (0; ) . Theo bất đẳng thức Jen-sen ta có: 1 2 n 1 2 n n 1 1 1 x x x sinx sinx s inx sin n Nhận xét: Ta có các kết quả sau đối với tam giác ABC: 1. 1 1 1 2 3 sin A sin B sinC 2. 1 1 1 6 A B C sin sin sin 2 2 2 Bài 3. Cho 2 2 i x với mọi ni ,1 . Chứng minh rằng: n xxx n xxx n n cos cos 1 cos 1 cos 1 21 21 Bằng cách xét hàm số x xf cos 1 )( với 2 2 x 2 , 2 ,0 cos sin1 )( 3 2 x x x xf n . Từ đó suy ra )(xf là hàm lồi khi 2 , 2 x . Áp dụng BDT Jen-sen ta có điều phải chứng minh. Chú ý: Từ bài trên ta suy ra kết quả sau. Trong mọi tam giác ABC , ta có : .32 2 cos 1 2 cos 1 2 cos 1 CBA Bài 4 :Cho i x0 với mọi ni ,1 . Chứng mih rằng: 7 . sin sin 1 sin 1 sin 1 21 2 2 2 2 1 2 n xxx n xxx n n Xét hàm số x xf 2 sin 1 )( với x0 . Ta có : .;0,0 sin cos6sin2 )( sin cos2 )(' 4 22 3 x x xx xf x x xf n Vậy )(xf là hàm số lồi trên .;0 Từ đó lập luận như bài 1, 2, 3 suy ra đ.p.c.m. Chú ý: 1) Nói riêng trong mọi tam giác ABC , ta có các bất đẳng thức sau: 1. ,4 sin 1 sin 1 sin 1 222 C B A 2. .12 2 sin 1 2 sin 1 2 sin 1 222 CBA 2) Tương tự, với mọi 2 2 i x , ni ,1 , ta có bất đẳng thức: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 cos cos cos cos n n n x x x x x x n Nói riêng trong mọi tam giác ABC, ta có: ;4 2 cos 1 2 cos 1 2 cos 1 222 CBA .12 cos 1 cos 1 cos 1 222 C B A Bài 5: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có : . 2 3 3 2 tan 2 tan 2 tan 2 sin 2 sin 2 sin CBACBA Xét hàm số 2 tan 2 sin)( xx xf với .0 x 8 Ta có: 2 cos2 2 2 cos 2 1 )(' 2 x x xf 2 cos2 2 sin 2 sin 4 1 )( 3 x x x xf n ).;0(,0 2 cos2 2 cos4 2 sin 3 3 x x x x Vậy )(xf là hàm lồi trên ).;0( Theo bất đẳng thức Jen-sen, ta có: . 3 1 3 CfBfAf CBA f 2 tan 2 tan 2 tan 2 sin 2 sin 2 sin 3 1 3 CBACBA f 2 tan 2 tan 2 tan 2 sin 2 sin 2 sin 6 tan 6 sin3 CBACBA . 2 3 3 2 tan 2 tan 2 tan 2 sin 2 sin 2 sin CBACBA Đó là đ.p.c.m. Bài tập tương tự: Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ABC, ta có bất đẳng thức sau : 1. CBACBA cotcotcottantantan . 2 cot 2 cot 2 cot 2 tan 2 tan 2 tan CBACBA 2. . 4 3 sin 4 3 sin 4 3 sinsinsinsin ACCBBA CBA 3. .coscoscoscos1cos1cos1 CBACBA 4. Cho 2 0 i và n i i 1 . Chứng minh: n n n n i i n i i 2 cos tan tan 1 2 1 2 9 5. cos cos cos 2 2 2 3 2 1 sin 1 sin 1 sin 2 2 2 A B C A B C Bài 6: Cho tam giác ABC có một góc không nhỏ hơn 2 3 . Chứng minh rằng: A B C tan tan tan 4 3 2 2 2 Không mất tính tổng quát, ta giả sử A 6 3 2 CCB . Hàm số (x) = tan x, x 0; 2 có (x) > 0, x 0; 2 . Áp dụng BĐT tiếp tuyến, ta có: ( 2 A ) ( 3 )( 3 2 A ) + ( 3 ) ( 2 B ) ( 12 )( 12 2 B ) + ( 12 ) ( 2 C ) ( 12 )( 12 2 C ) + ( 12 ) ( 2 A )+( 2 B )+( 2 C ) ) 12 (') 3 (' '( ) 2 3 12 2 2 A A B C 12 2 3 Do ( 3 ) - ( 12 ) > 0; 2 A - 3 0 và 2 2 CBA nên ta có: ( 2 A ) + ( 2 B ) + ( 2 C ) 12 2 3 = 4- 3 đpcm. Đẳng thức xảy ra khi: 2 A ;B C 3 6 và các hoán vị. Bài 7: Cho các số thực a,b,c 0 thỏa mãn điều kiện a b c 1 . Chứng minh: a b c 9 1 bc 1 ac 1 ab 10 Ta có: 222222 2 1 2 ; 2 1 2 ; 2 1 2 cab ab bca ca acb bc nên )()()( 5 2 4 5 2 4 5 2 4 1 1 1 222 cba c c c b b b a a a ab c ac b bc a . ( Nhận xét: Đẳng thức xảy ra khi 3 1 cba và tiếp tuyến của đồ thị hàm số 5 2 4 )( 2 x x x x tại điểm có hoành độ 3 1 x là: 100 399 x y ) Mặt khác: 5 2 4 2 x x x - 100 399 x = )1;0(0 )52(100 )1115()13( 2 2 x xx xx 10 10 9 100 9)(99 5 2 4 5 2 4 5 2 4 222 cbaa c c c b b b a a a đpcm Bài 8: Cho cba ,, là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng: . 1 4 111 ac a cb a bacba Không làm mất tính tổng quát ta giả sử 1 cba , khi đó BĐT đã cho trở thành 9 151515 222 c c c b b a a a a . Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác và 1 cba suy ra ) 2 1 ;0(,, cba . Ta có: 2 15 a a a ) 2 1 ;0(0 )12()13( )318( 2 2 a a a aa a 2 15 a a a 318 a ) 2 1 ;0(a . Ta cũng có BĐT tương tự. Cộng các BĐT này lại với nhau ta có: 222 151515 c c c b b a a a a 99)(18 cba (đpcm) Đến đây tôi xin kết thúc bài viết về những ứng dụng của tính chất hàm số lồi, hàm số lõm trong việc chứng minh các bất đẳng thức. Trên cơ sở của các kiến thức của hàm lôi, hàm lõm chúng ta có thể khai thác được nhiều hơn những ứng dụng quan trọng trong lĩnh vực hình học, đại số và giải tích; đồng thời với các bài toán “gốc” đã nêu trong phần này, ta có thể khai thác được nhiều bài toán hay và thú vị. Hy vọng rằng với những kết quả nhỏ trong bài viết này, chúng ta sẽ tiếp tục nghiên cứu, ứng dụng vào trong quá trình giảng dạy và công tác bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi các cấp trong những năm học tiếp theo. *Tài liệu tham khảo [1] Trần Văn kỷ, 460 Bài toán bất đẳng thức, NXB Trẻ TPHCM năm 2001 [2] Phan Huy Khải, Giải tích lồi và các bài toán sơ cấp, NXB Giáo dục năm 2007 [3] Trần Đức Huyên, Tuyển tập các đề thi Học sinh giỏi toán lớp 12 TP.HCM ,NXB Giáo dục năm 2007 [4] http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=13643 . 2 A(x ;f(x )),B(x ;f(x )) . Khi đó nhận thấy nếu f(x) là hàm lồi trên D thì ta luôn có cung AB nằm dưới dây cung AB. Chú ý: - Nếu D là tập hợp lồi trong R, hàm số f(x) :D R được gọi là lõm. tuyến tại mọi điểm nằm trên cung AB luôn nằm phía dưới đồ thị (C). (Hàm số lồi) ii) Đồ thị ( C) được gọi là lồi trên (a;b) nếu tiếp tuyến tại mọi điểm nằm trên cung AB luôn nằm phía trên đồ. công tác bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi các cấp trong những năm học tiếp theo. *Tài liệu tham khảo [1] Trần Văn kỷ, 460 Bài toán bất đẳng thức, NXB Trẻ TPHCM năm 2001 [2] Phan Huy Khải,