Tối ưu hóa với các hàm Lipschitz

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI VĂN DŨNG TỐI ƯU HÓA VỚI CÁC HÀM LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2012 1 MỞ ĐẦU Lớp các bài toán tối ưu với các hàm Lipschitz địa phương là một bộ phận quan trọng của lớp các bài toán tối ưu không trơn. Bởi vì các hàm Lipschitz địa phương xác định trên các không gian hữu hạn chiều là khả vi hầu khắp nơi nên ta có thể xem các bài toán Lipschitz địa phương là lớp trung gian giữa các lớp bài toán với các hàm khả vi và không khả vi. Năm 1983 cuốn sách chuyên khảo “Optimization and Nonsmooth Analysis” của F.H. Clarke   5 ra đời đánh dấu một bước tiến quan trọng của lí thuyết tối ưu không trơn F.H. Clarke   5 đã xây dựng lí thuyết đạo hàm suy rộng theo phương và gradient suy rộng cho hàm Lipschitz địa phương giá trị thực và jacobian suy rộng cho hàm giá trị véc tơ và thiết lập các điều kiện cần tối ưu cho bài toán với hàm theo phương và dưới vi phân cho hàm Lipschitz địa phương mà ta gọi là đạo hàm theo phương Michel-Penot và dưới vi phân Michel-Penot. Chú ý rằng một hàm khả vi Gâteaux thì dưới vi phân Michel-Penot là đạo hàm Gâteaux, trong khi đó nếu hàm khả vi chặt thì đạo hàm chặt mới là gradient suy rộng Clarke. Mới đây Đ.V.Lưu   12 đã thiết lập các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu Lipschitz địa phương với ràng buộc nón, ràng buộc đẳng thức và ràng buộc tập dưới ngôn ngữ dưới vi phân Michel-Penot. Đây là vấn đề đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Chính vì thế mà em chọn đề tài luận văn: “Tối ưu hóa với các hàm Lipschitz địa phương”. Luận văn trình bày các điều kiện cần tối ưu cho các bài toán với các hàm Lipschitz địa phương đơn và đa mục tiêu dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke và dưới vi phân Michel-Penot. Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1: điều kiện cần dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke. Chương một trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích Lipschitz, điều kiện cần tối ưu cho bài toán đơn mục tiêu với các hàm Lipschitz địa phương của 2 F.H.Clarke và điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương của bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm Lipschitz địa phương của B.D. Craven. Chương 2: Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu dưới ngôn ngữ dưới vi phân Michel-Penot. Chương 2 trình bày các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của Đ.V.Lưu   12 cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón, ràng buộc đẳng thức và ràng buộc tập. Bài toán tối ưu đa mục tiêu ở đây bao gồm các hàm Lipschitz địa phương hoặc có đạo hàm Fréchet (không nhất thiết lớp 1 C ). Với một trong sáu điều kiện chính qui (CQ1) –(CQ6), các điều kiện cần Kuhn-Tucker được trình bày dưới ngôn ngữ dưới vi phân Michel-Penot. Ngày 26 tháng 09 năm 2012 Bùi Văn Dũng 3 Chương 1 ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƯU DƯỚI NGÔN NGỮ GRADIENT SUY RỘNG CLARKE Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích Lipschitz, điều kiện cần tối ưu cho bài toán tối ưu đơn mục tiêu có ràng buộc với các hàm Lípschitz địa phương của F.H.Clarke   5 và điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương của bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm Lipschitz địa phương của B.D.Craven   4. Các kiến thức trình bày trong chương này được tham khảo từ các tài liệu     1 , 2 . 1.1 Một số kiến thức về giải tích Lipschitz 1.1.1 Đạo hàm suy rộng Clarke và gradient suy rộng Clarke Giả sử X là không gian Banach, * X là không gian đối ngẫu tôpô của X và f là hàm Lipschitz địa phương tại xX . Định nghĩa 1.1.1 Đạo hàm suy rộng của hàm f theo phương   vX tại x , kí hiệu là   0 ;f x v được xác định như sau:       0 0 , limsup xx t f y tv f x f x v t     , (1.1) trong đó , 0.x X t Đây là khái niệm đạo hàm suy rộng theo phương của F.H. Clarke. 4 Định lí 1.1.1 Giả sử f Lipschitz địa phương với hằng số Lipschitz K tại x . Khi đó, (i) Hàm   0 ;v f x v hữu hạn ,thuần nhất dương, dưới cộng tính trên X và   0 ;f x v K v ; (ii)   0 ;f x v nửa liên tục trên theo   ,;xv   0 ;.fx Lipschitz( theo v ) với hằng số K trên X ; (iii)       0 0 ; , .f x v f x v Chứng minh (i) Do f Lipschitz địa phương tại x với hằng số Lipschitz K, cho nên tồn tại lân cận U của x sao cho với mọi ,,y z U     .f y f z K y z   Do đó, từ (1.1) ta có   0 0 , limsup , yx t K tv f x v K v t    bởi vì với t đủ nhỏ , yU thì y tv U . Từ đó suy ra tính chất hữu hạn của hàm   0 ,.fx . Với 0   , ta có   0 ;f x v       0 limsup yx t f y t v f y t           0 0 limsup ; yx t f y t v f y f x v t         hàm   0 ;.fx thuần nhất dương. Bây giờ ta kiểm tra tính dưới cộng tính:   0 ;f x v       0 limsup yx t f y tv t f y t        5             00 00 limsup limsup ; ; , y x y x tt f y tv t f y tv f y tv f y f x f x v tt               bởi vì y tv x khi yx và 0.t  (ii) Lấy các dãy   i x và   i v hội tụ đến x và v tương ứng. Theo định nghĩa limsup, với , , 0 ii i y X t     sao cho 1 , i i i y x t i          0 1 , i i i i ii i f y t v f y f x v it           . i i i i i i i i ii f y t v f y f y t v f y t v tt       (1.2) Để ý rằng     i i i i i i i f y t v f y t v K v v t     với i đủ lớn. Khi đó, từ (1.2) ta có     00 limsup , , . ii i f x v f x v   Do đó   0 .;.f nửa liên tục trên. Ta chứng minh   0 ;.fx Lipschitz trên X . Với ,uX   , ta có         f y tv f y f y t f y K v t         (với y gần x , t dương gần 0 ) 6         f y tv f y f y t f y Kv tt                00 ;;f x v f x K v     (1.3) Đổi vai trò của v và  ta nhận được     00 ;;f x f x v K v     . (1.4) Từ (1.3) và (1.4) ta suy ra     00 ;;f x v f x K v     . Như vậy là   0 ;.fx Lipschitz với hằng số K trên X . (iii) Chứng minh       0 0 ; ; .f x v f x v               0 ;; 00 ; lim sup limsup x x u x tt f x tv f x f u tv f u f x v tt                          0 ;; 00 ; lim sup limsup x x u x tt f x tv f x f u tv f u f x v tt              (đặt u x tv   )     0 ,.f x v Định nghĩa 1.1.2 Gradien suy rộng của hàm f tại x , kí hiệu là   fx là tập hợp sau đây trong * X :       *0 : : ; , , .f x X f x u u u X         Đây là khái niệm gradient suy rộng của F.H. Clarke. Nhận xét 1.1.1     ;0 , c f x f x   7 trong đó   0 ;0 c fx là dưới vi phân của hàm lồi   ;. o fx tại 0. Bây giờ ta lấy * X   . Khi đó, chuẩn của  được xác định bởi công thức * ;1 : sup , . v X V v    Ký hiệu * B là hính cầu đơn vị mở trong * .X Định lí 1.1.2 Gỉả sử f là hàm Lipshitz địa phương với hằng số K tại x . Khi đó a)   fx   , lồi compact *yếu trong * X và * K       ;fx    b) Với mọi vX , ta có       0 ; ax , : .f x v m v f x      Chứng minh a) Theo định lí 1.1.1   0 ;.fx là hàm dưới cộng tính, thuần nhất dương trên X . Theo định lí Hahn-Banach, tồn tại hàm tuyến tính : XR   sao cho   0 ;,f x v v      vX     f x f x      Ta chứng minh   fx lồi: lấy   12 , ,0 1.fx       Khi đó   0 ;f x u  , i u     ; 1,2u X i           0 0 0 ; ; 1 ;f x u f x u f x u         12 , 1 ,uu              12 1,u               12 1 f x f x          lồi. 8 Bây giờ ta chứng minh   fx compắc *yếu: với       * * , 0,f x K f x B K       , trong đó   * 0,BK là hình cầu đóng tâm tại 0 với bán kính .K Mà hình cầu   * 0,BK là compact *yếu trong * X (định lí Alaoglu),   fx là đóng *yếu   fx compact*yếu. b) Theo định nghĩa 1.1.2       0 ax , : ; .m v f x f x v      Giả sử tồn tại 0 v sao cho       0 00 ax , : ; .m v f x f x v      Theo định lí Hahn-Banach, tồn tại phiếm hàm tuyến tính  thảo mãn ,v     0 ;f x v   vX , 0 ,v      0 0 ;.f x v     0 0 ;f x f x v        0 00 ,,v f x v    Vô lí   ! . Ví dụ 1.1.1 Xét trường hợp XR ,   f x x . Khi đó, f là hàm Lipschitz trên R với hằng số Lipschitz 1K  Bây giờ, ta lấy 0x  . Khi đó   0 ;0 ; lim y x t y tv y f x v v t          : , 1f x R v v R          Tương tự, với 0v  , ta có 1   . Do đó, 1   . Một cách tương tự, nếu 0x  ,     1.fx   9 Xét trương hợp 0x        0 0; 0 : ,f v v f R v v v R              0 1,1f    1.1.2 Các phép tính của gradient suy rộng Clarke Định nghĩa 1.1.3 Ánh xạ đa trị  được gọi là đóng, nếu Gr đóng trong .XY Định nghĩa 1.1.4 Ánh xạ đa trị  được gọi là nửa liên tục trên tại x , nếu với 0, 0      sao cho   X x x B         , Y X X B      trong đó X B và Y B là các hình cầu đơn vị mở trong X và .Y Định lí 1.1.3   1 Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương. x Ta có các khẳng định sau đây: (i)     0 ;,f x f x v v       vX ; (ii) Giả sử các dãy     * , ii x X X   thỏa mãn   ; ii fx     i x hội tụ đến x ,  là điểm giới hạn của   i  theo tô pô *yếu. Khi đó,   fx   (tức là ánh xạ đa trị   fx đóng *yếu ); (iii)     0 ; y x B f x f y          (iiii) Nếu X hữu hạn chiều thì f là nửa liên tục trên tại .x [...]... NGÔN NGỮ DƯỚI VI PHÂN MICHEL –PENOT Chương 2 trình bày các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón, ràng buộc đẳng thức và ràng buộc tập của Đ.V.Lưu 12 Các dữ liệu của bài toán gồm các hàm Lipschitz địa phương hoặc khả vi Fréchet (không nhất thiết lớp C1 ) Với các điều kiện chính quy (CQ1)-(CQ6), các điều kiện cần Kuhn-Tucker được trình bày dưới ngôn ngữ... x  là đạo hàm Gâteaux của f tại x Nếu f khả vi Fréchet tại x với đạo hàm Fréchet f  x  thì 28  MP f  x   f  x  Trong trường hợp f là hàm Lipschitz địa phương với (hằng số L), hàm số f  x ;. thuần nhất dương, dưới cộng tính trên X , Lipschitz với hằng số L trên X , *  MP f  x  là tập khác rỗng, lồi, compăc yêu của không gian X * và   L với mọi   MP f  x  hơn nữa với mọi v ... S1 , gi  x   0 , h j  x   0  i  1, r , j  1, l  } Với x  M ta đặt   I  x   i 1, r : g i  x   0 Giả sử các hàm g I , h1 , hl khả vi Fréchet tại x với các đạo hàm Fréchet g I  x  , h1  x  , , hl  x  ; gm1 1, , gm , f1, , f n là các hàm Lipschitz địa phương tại x Khi đó, g i  x   i  I  x   cũng là hàm Lipschitz địa phương tại x chú ý rằng g I . , h1 . , ,... bao đóng *yếu, cho nên áp dụng định lí 1.2.1 ta nhận được hệ quả 1.2.2 1.3 Điều kiện cần tối ưu cho bài toán qui hoạch đa mục tiêu Giả sử F : Rn  R p , g : Rn  Rm , h : Rn  Rr là các hàm Lipschitz địa phương tại x  Rn ; Q  R p , S  Rm,T  Rr là các nón lồi đóng với int Q   và int S   Xét bài toán tối ưu véc tơ  WMINF  x  ,  P2   g  x   S ,   h  x   T ,  trong đó WMIN kí hiệu... limsup v  F   tu   F    t x t 0 (supermum của các hàm tuyến tính theo v ) Do đó,    Q \ 0 d  X  F   x ; d   0  0  0   F  x  với   Q \ 0 nào đó, và vì vậy với   B Định lý 1.3.2 Giả sử x là cực tiểu yếu địa phương của bài toán (P2); F , g và h là các hàm Lipschitz địa phương tại x Khi đó, tồn tại các nhân tử Lagrange   Q ,   S  ,   T  không đồng... tập C  X , C   Ta xét hàm khoảng cách dC : X  R được định nghĩa như sau: dC  x  : inf  x  c : c  C 11 Khi C là tập đóng ta có: x  C  dC  x   0 Hàm dC . không khả vi Tuy nhiên dC . là hàm Lipschitz trên X Định nghĩa 1.1.5 Vectơ v  X được gọi là tiếp xúc với tập C tại x  C , nếu: 0 dC  x ; v   0 Ký hiệu TC  x  là tập tất cả các véc tơ tiếp xúc với C tại x  C : 0 TC  x... có các nón IT  C; x  và Ik  C; x  là các tập mở và IT  C; x  nó là tập hợp của các véc tơ siêu tiếp tuyến C tại x  C Nếu IT C ; x    khi đó theo định lí 2.4.8 5 IT  C; x   int T  C; x  31 Với tập A bất kì trong X , nón cực của A được xác định như sau: A0    X * :  ; v  0, x  A 2.2 Điều kiện cần Kuhn-Tucker với các điều kiện chính qui (CQ1) và (CQ2) Giả sử f , g , h là các. ..  và df  x , v  là đạo hàm Dini và đạo hàm Hadamard của f tại x theo phương v Hàm f là khả vi Dini tại x nếu nó có đạo hàm Dini tại x theo tất cả các phương Nếu df  x , v  tồn tại thì f   x, v  cũng tồn tại và chúng bằng nhau Như vậy nếu f khả vi Fréchet tại x và có đạo hàm Fréchet là f  x  thì f   x ; v   df  x ; v   f  x  ; v Dưới vi phân Dini của một hàm khả vi Dini xác định... toán (P.1) và f  y  f  x    Điều này mâu thuẫn với tính cực tiểu của x ! Vì vậy , F  x   inf F   C Theo nguyên lí biến phân Ekeland 1 , tồn tại u  x   B sao cho: x  C F  x    x  u  F u   Nếu k là hằng số Lipschitz của hàm  f , g , h  trong lân cận của x , thì với   0 đủ  nhỏ , k  k cũng là hằng số Lipschitz của hàm F  x    x  u trong một lân cận của điểm x ... gradient suy rộng của f ;  v  X  , f '  x ;. là đạo hàm theo phương của f tại x giả sử f là hàm Lipschitz trên tập con mở U trong R n Khi đó, f khả nơi (theo độ đo Lebesgue) trên U hầu khắp Ký hiệu  f là tập tất cả các điểm mà tại đó hàm f không khả v ( f : Rn  R ) Định lí 1.1.5 1 n Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x ; S là tập tùy ý trong R có độ đo Lebesgue bằng 0 Khi đó f  x  . vì thế mà em chọn đề tài luận văn: Tối ưu hóa với các hàm Lipschitz địa phương”. Luận văn trình bày các điều kiện cần tối ưu cho các bài toán với các hàm Lipschitz địa phương đơn và đa mục. MỞ ĐẦU Lớp các bài toán tối ưu với các hàm Lipschitz địa phương là một bộ phận quan trọng của lớp các bài toán tối ưu không trơn. Bởi vì các hàm Lipschitz địa phương xác định trên các không. cho bài toán đơn mục tiêu với các hàm Lipschitz địa phương của 2 F.H.Clarke và điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương của bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm Lipschitz địa phương của