DƯỚI VI PHÂN MICHEL –PENOT

Chương 2 trình bày các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón, ràng buộc đẳng thức và ràng buộc tập của Đ.V.Lưu

 12 . Các dữ liệu của bài toán gồm các hàm Lipschitz địa phương hoặc khả vi Fréchet (không nhất thiết lớp 1

C ). Với các điều kiện chính quy (CQ1)-(CQ6), các điều kiện cần Kuhn-Tucker được trình bày dưới ngôn ngữ dưới vi phân Michel- Penot.

2.1 Môt số kiến thức chuẩn bị

Giả sử X là 1 không gian Banach , *

X là một không gian tôpô đối ngẫu của

X ,xXvà f là một hàm giá trị thực xác định trên X .

Theo(14) đạo hàm theo phương Michel-Penot của f tại xtheo phương vX

được xác định như sau:

      

0

, sup lim sup .

t X f x t v f x t f x v t          

Dưới vi phân Michel-Penot của f tại x được xác định như sau:    *   

: , ; .

MP

f x  X  v f x v v X

     

Trong trường hợp f là khả vi Gâteaux tại x ta có MPf x   Gf x ,

trong đó Gf x  là đạo hàm Gâteaux của f tại x. Nếu f khả vi Fréchet tại

xvới đạo hàm Fréchet

MPf x   f x .

Trong trường hợp f là hàm Lipschitz địa phương với (hằng số L), hàm số f  x;.

thuần nhất dương, dưới cộng tính trên X , Lipschitz với hằng số L trên X ,  

MP

f x

 là tập khác rỗng, lồi, compăc *

ê

y u của không gian *

X và  L với mọi  

MP

f x

 hơn nữa với mọi vX,

f  x v; max,v :MPf x v ,  ,

(Xem  14 ).Theo(5), (đạo hàm theo phương ) suy rộng Clarke, của f tại x, theo phương v được xác định như sau:

0      0 ; lim sup . x x t t x tv f x f x v t     

Gradient suy rộng Clarke của f tại x là tập hợp

   * 0  

: , , , .

C

f x  X  v f x v v X

     

Với một hàm Lipschitz địa phương tại x, ta luôn có   0  

; , ,

f x v  f x v  v X

MPf x  Cf x .

Gradient suy rộng Clarke của f được quy về đạo hàm thông thường khi f khả vi chặt.

Nếu f khả vi Gâteaux hoặc khả vi Fréchet tại x thì Gf x dưới hoặc f x  chỉ là một phần tử của C  

f x

 . Ví dụ sau đây chứng tỏ các dưới vi phân MP  

f x và  và   C f x  có thể rất khác nhau. Ví dụ 2.1

  2sin1, 0,0, 0. 0, 0. x x f x x x         Với x 0, MPf    0  0 , f   0,v   0 v R. Theo ví dụ 2.2.3 ở (5), 0      0; , C 0 1,1 f v  v  f   , và ta có MPf  0 Cf  0 .   

Đạo hàm Dini trên của f tại xtheo phương v được xác định như sau:       0 ; lim sup t f x tv f x f x v t       . (2.1)

Đạo hàm Hadamard trên của f tại v được xác định như sau:       0 ; lim sup . u v t f x tu f x df x v t      (2.2)

Thay limsup bởi liminf ở (2.1) và (2.2) ta được một trong các đạo hàm Dini dưới  ,

f x v và đạo hàm Hadamard dưới d f x v , của f tại x theo phương v. Trong trường hợp f x v;  f x v; và

 ;  ,

df x v df x v ta kí hiệu giá trị chung của chúng là f x v, và df x v , là đạo hàm Dini và đạo hàm Hadamard của f tại x theo phương v. Hàm f là khả vi Dini tại xnếu nó có đạo hàm Dini tại xtheo tất cả các phương. Nếu df x v , tồn tại thì f x v, cũng tồn tại và chúng bằng nhau. Như vậy nếu f khả vi Fréchet tại x và có đạo hàm Fréchet là f x  thì

f x v; df x v ;  f x ;v .

Dưới vi phân Dini của một hàm khả vi Dini xác định trên X tại x được xác định như sau:    *    : , ; , . D f x  X  v f x v v X      

    0 

, , ,

f x v  f x v  f x v  v X,

Df x  MPf x  Cf x .

Nhắc lại nón tiếp tuyến Clarke và nón tiếp liên của tập C X tại xC được xác định như sau:

T C x ;  v X : xn C x, n     x, tn 0, vn v x, nt vn n C, n,

K C x ;  v X :   vn v, tn 0,xt vn n C, n.

Nón pháp tuyến Clarke của Ctại xlà

   *  

; : , 0, ; .

N C x  X  v   v T C x

Các nón T C x ;  và N C x ;  là lồi; K C x ; không nhất thiết là tập lồi. Các nón  ; 

T C x và K C x ; là các tập khác rỗng , đóng và T C x ;  K C x ; . Theo  5 nếu  ; 

T C x  K C x ;  ta nói Clà chính qui tại x

Ta nhắc lại nón tiếp tuyến Ursescu của Ctại xCđược xác định như sau:

 ,   : n 0, n , n n , .

k C x  v X    t v v xt v  C n

Các nón phần trong tương ứng tới T C x ;  và K C x ;  được xác định như sau:

 ;   : n , n , n 0, n , n n n , IT C x  v X  x C x     x t v v x t v  C n đủ lớn  Rõ ràng là T C x ; k C x ,  K C x ;  , IT C x ; Ik C x ; . Ta có các nón IT C x ;  và Ik C x ;  là các tập mở và IT C x ;  nó là tập hợp của các véc tơ siêu tiếp tuyến Ctại xC. Nếu IT C x ;  khi đó theo định lí 2.4.8  5

Với tập A bất kì trong X , nón cực của A được xác định như sau: 0  * 

: ; 0, .

A  X  v   x A

2.2 Điều kiện cần Kuhn-Tucker với các điều kiện chính qui (CQ1) và (CQ2) và (CQ2)

Giả sử f g h, , là các ánh xạ từ không gian Banach X vào các không gian

; ;

n m l R R R ;

1 2

S  S S trong m

R , S1là nón lồi đóng, có phần trong khác rỗng trong m1

R , S2 là một nón lồi đa diện trong m m1

R  và Clà tập con đóng của X . Khi đó, f g h, , có thể viết như sau:

 1, 2,..., n;  I. II, I  1,..., m1, II m1 1,..., m,  1,..., l