Tối ưu hóa với các hàm Lipschitz

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - BÙI VĂN DŨNG TỐI ƯU HÓA VỚI CÁC HÀM LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Lớp toán tối ưu với hàm Lipschitz địa phương phận quan trọng lớp toán tối ưu không trơn Bởi hàm Lipschitz địa phương xác định không gian hữu hạn chiều khả vi hầu khắp nơi nên ta xem toán Lipschitz địa phương lớp trung gian lớp toán với hàm khả vi không khả vi Năm 1983 sách chuyên khảo “Optimization and Nonsmooth Analysis” F.H Clarke 5 đời đánh dấu bước tiến quan trọng lí thuyết tối ưu không trơn F.H Clarke 5 xây dựng lí thuyết đạo hàm suy rộng theo phương gradient suy rộng cho hàm Lipschitz địa phương giá trị thực jacobian suy rộng cho hàm giá trị véc tơ thiết lập điều kiện cần tối ưu cho toán với hàm theo phương vi phân cho hàm Lipschitz địa phương mà ta gọi đạo hàm theo phương Michel-Penot vi phân Michel-Penot Chú ý hàm khả vi Gâteaux vi phân Michel-Penot đạo hàm Gâteaux, hàm khả vi chặt đạo hàm chặt gradient suy rộng Clarke Mới Đ.V.Lưu 12 thiết lập điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu Lipschitz địa phương với ràng buộc nón, ràng buộc đẳng thức ràng buộc tập ngôn ngữ vi phân Michel-Penot Đây vấn đề nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính mà em chọn đề tài luận văn: “Tối ưu hóa với hàm Lipschitz địa phương” Luận văn trình bày điều kiện cần tối ưu cho toán với hàm Lipschitz địa phương đơn đa mục tiêu ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke vi phân Michel-Penot Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: điều kiện cần ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke Chương trình bày số kiến thức giải tích Lipschitz, điều kiện cần tối ưu cho toán đơn mục tiêu với hàm Lipschitz địa phương F.H.Clarke điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương toán tối ưu đa mục tiêu với hàm Lipschitz địa phương B.D Craven Chương 2: Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu ngôn ngữ vi phân Michel-Penot Chương trình bày điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu Đ.V.Lưu 12 cho toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón, ràng buộc đẳng thức ràng buộc tập Bài toán tối ưu đa mục tiêu bao gồm hàm Lipschitz địa phương có đạo hàm Fréchet (không thiết lớp C1 ) Với sáu điều kiện qui (CQ1) –(CQ6), điều kiện cần Kuhn-Tucker trình bày ngôn ngữ vi phân Michel-Penot Ngày 26 tháng 09 năm 2012 Bùi Văn Dũng Chương ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƯU DƯỚI NGÔN NGỮ GRADIENT SUY RỘNG CLARKE Chương trình bày số kiến thức giải tích Lipschitz, điều kiện cần tối ưu cho toán tối ưu đơn mục tiêu có ràng buộc với hàm Lípschitz địa phương F.H.Clarke 5 điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương toán tối ưu đa mục tiêu với hàm Lipschitz địa phương B.D.Craven  4 Các kiến thức trình bày chương tham khảo từ tài liệu 1 ,  2 1.1 Một số kiến thức giải tích Lipschitz 1.1.1 Đạo hàm suy rộng Clarke gradient suy rộng Clarke Giả sử X không gian Banach, X * không gian đối ngẫu tôpô X f hàm Lipschitz địa phương x  X Định nghĩa 1.1.1 Đạo hàm suy rộng hàm f theo phương v  X  x , kí hiệu f0  x ; v  xác định sau: f  x , v   lim sup x  x t 0 f  y  tv   f  x  , t x  X , t  Đây khái niệm đạo hàm suy rộng theo phương F.H Clarke (1.1) Định lí 1.1.1 Giả sử f Lipschitz địa phương với số Lipschitz K x Khi đó, (i) Hàm v  f  x; v  hữu hạn ,thuần dương, cộng tính X f  x; v  K v ; (ii) f  x; v  nửa liên tục theo  x, v  ; f  x;. Lipschitz( theo v ) với số K X ; (iii) f0  x ; v     f   x, v  Chứng minh (i) Do f Lipschitz địa phương x với số Lipschitz K, tồn lân cận U x cho với y, z U , f  y  f  z  K y  z Do đó, từ (1.1) ta có f  x, v   limsup K tv y  x t 0 t K v , với t đủ nhỏ , y U y  tv U Từ suy tính chất hữu hạn hàm f  x,. Với   , ta có f  y  tv   f  y  y  x t 0 t f  y  tv   f  y    limsup   f  x; v  y  x t 0 t f  x; v   limsup  hàm f  x;. dương Bây ta kiểm tra tính cộng tính: f  x; v     limsup y  x t 0 f  y  tv  t   f  y  t  limsup y  x t 0 y  tv  x f  y  tv  t   f  y  tv  f  y  tv   f  y   limsup  f  x;    f  x; v  , y  x t 0 t t y  x t  (ii) Lấy dãy  xi  vi  hội tụ đến x v tương ứng Theo định nghĩa limsup, với i, yi  X , ti  cho yi  xi  ti  , i f  yi  ti vi   f  yi  f  xi , vi    i ti  Để ý f  yi  ti v   f  yi  f  yi  ti vi   f  yi  ti v   ti ti f  yi  ti vi   f  yi  ti v   K vi  v ti với i đủ lớn Khi đó, từ (1.2) ta có limsup f  xi , vi   f  x, v  i  Do f .;. nửa liên tục Ta chứng minh f  x;. Lipschitz X Với u,   X , ta có f  y  tv   f  y   f  y  t   f  y   K v   t (với y gần x , t dương gần ) (1.2)  f  y  tv   f  y  f  y  t   f  y    K v  t t  f  x; v   f  x;    K v   (1.3) Đổi vai trò v  ta nhận f  x;    f  x; v   K v   (1.4) Từ (1.3) (1.4) ta suy f  x; v   f  x;    K v   Như f  x;. Lipschitz với số K (iii) X Chứng minh f  x; v     f 0  x; v  f  x; v   lim sup x x ; t 0 f  x  tv   f  x    f u  tv     f u   lim sup u  x ; t 0 t t f  x; v   lim sup x x ; t 0 f  x  tv   f  x    f u  tv     f u   lim sup u  x ; t 0 t t (đặt u  x  tv )    f   x, v  Định nghĩa 1.1.2 Gradien suy rộng hàm f x , kí hiệu f  x  tập hợp sau X *: f  x  :   X * : f  x ; u    , u , u  X  Đây khái niệm gradient suy rộng F.H Clarke Nhận xét 1.1.1 f  x    f  x ;0  , c  f  x ;0  vi phân hàm lồi c Bây ta lấy   X * Khi đó, chuẩn f o  x ;.  xác định công thức  * : sup   , v vX ; V 1 Ký hiệu B* hính cầu đơn vị mở X * Định lí 1.1.2 Gỉả sử f hàm Lipshitz địa phương với số K x Khi f  x    , lồi compact *yếu a)  *K b) Với X *  f  x  ; v  X , ta có f  x ; v   max   , v :  f  x  Chứng minh a) Theo định lí 1.1.1 f  x ;. hàm cộng tính, dương X Theo định lí Hahn-Banach, tồn hàm tuyến tính  : X  R cho f  x ; v    , v   v  X    f  x   f  x    Ta chứng minh f  x  lồi: lấy 1 , 2 f  x  ,0    Khi f  x;u    u  X ; i  1,   f  x ; u    f  x ; u   1    f  x ; u      1 , u   1     2 , u   1  1     2 ,u   1  1    2 f  x   f  x  lồi  i , u  Bây ta chứng minh f  x  compắc *yếu: với  f  x  ,  *  K  f  x   B*  0, K  , B*  0, K  B*  0, K  compact *yếu Mà hình cầu đóng *yếu b) hình cầu đóng tâm với bán kính K X * (định lí Alaoglu), f  x   f  x  compact*yếu Theo định nghĩa 1.1.2 max   , v :  f  x   f  x ; v  Giả sử tồn v0 cho max   , v0 :  f  x   f  x ; v0  Theo định lí Hahn-Banach, tồn phiếm hàm tuyến tính  thảo mãn   ,v   f  x ; v   v  X  , f  x ; v0    , v0     f  x   f  x ; v0   Vô lí !   , v0  f  x , v0  Ví dụ 1.1.1 Xét trường hợp X  R, f  x   x Khi đó, f hàm Lipschitz số Lipschitz K  Bây giờ, ta lấy x  Khi f  x; v   lim y  x ;t 0 y  tv  y v t  f  x     R : v   , v  R  1 Tương tự, với v  , ta có   Do đó,   Một cách tương tự, x0, f  x   1 R với Xét trương hợp x  f  0; v   v   f  0    R : v   v, v R  f     1,1 1.1.2 Các phép tính gradient suy rộng Clarke Định nghĩa 1.1.3 Ánh xạ đa trị  gọi đóng, Gr đóng X  Y Định nghĩa 1.1.4 Ánh xạ đa trị  gọi nửa liên tục x , với   0,   cho  x  x   BX    X     X    BY , BX BY hình cầu đơn vị mở X Y Định lí 1.1.3 1 Giả sử f hàm Lipschitz địa phương x Ta có khẳng định sau đây: (i)  f  x   f  x ; v    , v (ii) Giả sử dãy  v  X  ; xi   X , i   X * thỏa mãn  i f  xi  ;  xi  hội tụ đến x ,  điểm giới hạn  i  theo tô pô *yếu Khi đó,  f  x  (tức ánh xạ đa trị f  x  đóng *yếu ); (iii) f  x    0  yx  B f  y  ; (iiii) Nếu X hữu hạn chiều f nửa liên tục x data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... nghiên cứu Chính mà em chọn đề tài luận văn: Tối ưu hóa với hàm Lipschitz địa phương” Luận văn trình bày điều kiện cần tối ưu cho toán với hàm Lipschitz địa phương đơn đa mục tiêu ngôn ngữ gradient... thức giải tích Lipschitz, điều kiện cần tối ưu cho toán đơn mục tiêu với hàm Lipschitz địa phương F.H.Clarke điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương toán tối ưu đa mục tiêu với hàm Lipschitz địa... tích Lipschitz, điều kiện cần tối ưu cho toán tối ưu đơn mục tiêu có ràng buộc với hàm Lípschitz địa phương F.H.Clarke 5 điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương toán tối ưu đa mục tiêu với hàm