TRƯỜNG THCS KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG THỊ TRẤN CẨM THUỶ LỚP 7 THCS - Năm học 2010 – 2011 ____________________________ __________________________________________________________________ MÔN : TOÁN Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề). Câu 1: (3.0 điểm) Thực hiện tính: A = 41 36 5,0 24 13 41 5 24 11 −++− B = −− − 5 2 . 7 2 2 5 2 . 7 2 7 Câu 2: (3.0 điểm) a. Tìm x, y biết: y x + + 7 4 = 7 4 và x + y = 22 b. 327 2+x + 326 3+x + 325 4+x + 324 5+x + 5 349+x = 0 Câu 3: (1.0 điểm) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 10 1 2 3 100 + + + + > Câu 4: (2 điểm) a.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 4)2( 3 2 ++x b.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = (x+1) 2 + (y + 3) 2 + 1 Câu 5. (4 điểm) a) Tìm các số a, b, c biết rằng : 2 3 4 a b c = = và a + 2b – 3c = -20 b) Có 16 tờ giấy bạc loại 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ. Trị giá mỗi loại tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ? Câu 6: (4.0 điểm)Cho tam giác ABC có A = 90 0 , B = 50 0 .Đường thẳng AH vuông góc với BC tại H.Gọi d là đường thẳng vuông góc với BC tại B.Trên đường thẳng d thuộc nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A lấy điểm D sao cho BD = HA (Hình vẽ bên). a. Chứng minh ∆ ABH = ∆ DHB. b. Tính số đo góc BDH. c. Chứng minh đường thẳng DH vuông góc với đường thẳng AC. Câu 7 :( 3 điểm ) Cho tam giác ABC, các trung tuyến AM, BN, CP. Chứng minh rằng : AB + AC + BC < 4 ( ) 3 AM BN CP+ + _____________________ Hết _____________________ A H B C D TRƯỜNG THCS KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG THỊ TRẤN CẨM THUỶ LỚP 7 THCS - Năm học 2010 – 2011 ____________________________ __________________________________________________________________ MÔN : TOÁN ĐÁP ÁN Câu 1: A = 5,0 41 36 41 5 24 13 24 11 +−−+ (0,5đ) 5,0 41 41 24 24 +−= (0,5đ) = 1 - 1 + 0,5 = 0,5 (0,5đ) −−= 7 2 2 7 2 7 5 2 B (0,5đ) −−+−= 7 2 2 7 2 7 5 2 (0,5đ) 2 .5 5 = − = - 2 (0,5đ) Câu 2: a) ⇒ x728 + = y428 + 0,5 đ ⇒ 7474 + + == yxyx 0,5 đ ⇒ 2 11 22 74 === yx ⇒ 14;8 == yx 0,5 đ b, (1) 04 5 349 1 324 5 1 325 4 1 326 3 1 327 2 =− + ++ + ++ + ++ + ++ + ⇔ xxxxx (0,5 đ ) 0) 5 1 324 1 325 1 326 1 327 1 )(329( =+++++⇔ x (0,5đ) 3290329 −=⇔=+⇔ xx (0,5 đ ) Câu 3: (1 đ) ; 10 1 1 1 > 10 1 2 1 > ; 10 1 3 1 > ; … ; 10 1 100 1 = . (0,5 đ) Vậy: 10 10 1 .100 100 1 3 1 2 1 1 1 =>++++ (0,5 đ) Câu 4: a.Tìm max A. Ta có: (x + 2) 2 ≥ 0 ⇒ (x = 2) 2 + 4 ≥ 4 ⇒ A max = 4 3 khi x = -2 (1 đ) b.Tìm min B. Do (x – 1) 2 ≥ 0 ; (y + 3) 2 ≥ 0 ⇒ B ≥ 1 Vậy B min = 1 khi x = 1 và y = -3 (1 đ) Câu 5 a) 2 3 4 a b c = = ⇔ 2 3 2 3 20 5 2 6 12 2 6 12 4 a b c a b c + − − = = = = = + − − => a = 10, b = 15, c =20. 2đ b) Gọi số tờ giấy bạc 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ theo thứ tự là x, y, z ( x, y, z ∈ N * ) 0,5đ Theo bài ra ta có: x + y + z = 16 và 20 000x = 50 000y = 100 000z 0,5đ Biến đổi: 20 000x = 50 000y = 100 000z => 20000 50000 100000 16 2 100000 100000 100000 5 2 1 5 2 1 8 x y z x y z x y z+ + = = ⇔ = = = = = + + 0,5đ Suy ra x = 10, y = 4, z = 2. Vậy số tờ giấy bạc loại 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ theo thứ tự là 10; 4; 2. 0,5đ Câu 6: (4đ) a. Xét ∆ ABH và ∆ DHB có: ∠ = ∠B H (= 90 0 ) HB chung BD = HA (0,75đ) ⇒ ∆ ABH = ∆ DHB (c-g-c) (0,25đ) b. Xét ∆ ABH có ∠B = 50 0 và ∠H = 90 0 ⇒ ∠BAH = 180 - ( ∠ + ∠B H ) = 40 0 .(0,75đ) Từ ∆ ABH = ∆ DHB có: ∠ = ∠BAH BDH ⇒ ∠BDH = 40 0 . (0,75) c. Từ ∆ ABH = ∆ DHB có: ∠ = ∠ABH DHB ⇒ AB song song với DH. (0,75đ) AB ⊥ AC ⇒ DH ⊥ AC (0,75đ) Câu 7(3đ): Ta có AB < AG + BG BC < BG + CG AC < AG + CG (1đ) =>AB + BC + AC < 2 (AG + BG + CG ) (0,5đ) A hay : AB + BC + AC < 2 ( 2 2 2 ) 3 3 3 AM BM CP+ + (1đ) P N => AB + BC + AC < 4 ( ) 3 AM BN CP+ + (0,5đ) G B M C A H B C D . TRƯỜNG THCS KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG THỊ TRẤN CẨM THUỶ LỚP 7 THCS - Năm học 2010 – 2011 ____________________________ __________________________________________________________________ . KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG THỊ TRẤN CẨM THUỶ LỚP 7 THCS - Năm học 2010 – 2011 ____________________________ __________________________________________________________________ MÔN : TOÁN ĐÁP. (0,5đ) −−= 7 2 2 7 2 7 5 2 B (0,5đ) −−+−= 7 2 2 7 2 7 5 2 (0,5đ) 2 .5 5 = − = - 2 (0,5đ) Câu 2: a) ⇒ x728 + = y428 + 0,5 đ ⇒ 74 74 + + == yxyx 0,5 đ ⇒ 2 11 22 74 === yx ⇒ 14;8