so phuc thoa dk có mo dun nho nhat

Tham khảo tập các số phức thỏa đk có mô đun nhỏ nhất Ví dụ 1: ( ĐHB 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn : z i  = (1 i)z  Giả sử : z= a+bi với a,b  R Suy ra : zi= a+(b1)i và (1+i)z =(1+i)(a+bi) = (ab) +(a+b)i Theo giả thiết : z i  = (1 i)z  <=> a (b 1)i   = (a b) (a b)i    <=> 2 2 a (b 1)   = 2 2 (a b) (a b)    <=> a 2 +b 2 2b+1 = 2(a 2 +b 2 ) <=> a 2 +(b+1) 2 =2 Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn I(0;1) và bán kính R= 2 Ví dụ 2: Trong các số phức z thỏa điều kiện z 2 3i   = 3 2 . Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất Giải : Giả sử : z= x+yi , với x, y  R khi đó z 2 3i   = 3 2 <=> (x 2) (y 3)i    = 3 2 <=> (x2) 2 + (y+3) 2 = 9 4 + Tập hợp các điểm M thỏa mãn đk đã cho là đường tròn (C) có tâm I(2;3) và bán kính R= 3 2 Mô đun của z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M  đường tròn (C) và gần O nhất => M trùng với M 1 là giao điểm của OI và đường tròn Ta có OI= 2 2 2 3  = 13 ; OK=2 ; IK= 3 Kẻ M 1 H vuông góc với Ox và IK  Ox => 1 M H IK = 1 OM OI = 3 13 2 13  => M 1 H= 3. 3 13 2 13  = 78 9 13 26  K Tương tự : OH OK = 1 OM OI = 3 13 2 13  => OH= 2. 3 13 2 13  = 26 3 13 13  Suy ra M 1 ( 26 3 13 13  ; 78 9 13 26   ) .Vậy z= 26 3 13 13  + 78 9 13 26   .i C 2 : Từ đk : (x2) 2 + (y+3) 2 = 9 4 <=>x 2 +y 2 4x +6y +13= 9 4 <=> 4x6y = x 2 +y 2 + 43 4 Ta lại có : z = 2 2 x y  , đặt t= 2 2 x y  , t  0 Mặt khác :áp dung bất đẳng thức Bunhiacốp xki ta có : (4x6y) 2 ≤ [4 2 +(6) 2 ][x 2 +y 2 ] <=> t 2 + 43 4 ≤ 2 13 t <=> t 2 2 13 t + 2 43 4       ≤ 0<=> 13  3 2 ≤ t ≤ 13 + 3 2 z có mô đun nhỏ nhất bằng 13  3 2 khi 2 2 2 2 x y 4 6 43 4x 6y x y 4 3 x y 13 2                   <=> 26 3 13 x 13 78 9 13 y 26             Vậy z= 26 3 13 13  + 78 9 13 26   .i Ví dụ 3: Cho số phức z có z 2i  = z 3 5i   . Tìm số phức z có mô đun lớn nhất Giải : giả sử z =a+bi với a,b  R z2i = a+(b2).i => z 2i  = 2 2 a (b 2)   z+3+5i= a+3+(b+5).i => z 3 5i   = 2 2 (a 3) (b 5)    Giả thiết : z 2i  = z 3 5i   <=> 2 2 a (b 2)   = 2 2 (a 3) (b 5)    <=> a 2 +b 2 4b+4 = a 2 +6a +9 +b 2 +10b +25 <=> 6a+14b = 30 C 1 :Mặt khác :áp dung bất đẳng thức Bunhiacốp xki ta có : (6a+14b) 2 ≤ [6 2 +(14) 2 ][a 2 +b 2 ] => 6a 14b  ≤ 232 . 2 2 a b  <=> 2 2 a b   30 232 = 15 58 z có mô đun nhỏ nhất bằng 15 58 khi : a b 6 14 6a 14b 30          <=> 45 a 58 105 b 58            Vậy z=  45 58  105 .i 58 C 2 : Ta có 6a+14b = 30 => b= 15 3a 7   Mô đun của z là 2 2 a b  = 2 2 15 3a a 7          = 2 58 90 225 a a 49 49 49   = 2 58 45 225 a 49 58 58          225 58 => 2 2 a b  nhỏ nhất bằng 15 58 khi a + 45 58 =0 <=> a=  45 58 ; b=  105 58 Vậy z=  45 58  105 .i 58 Ví dụ 4: Trong các số phức thỏa điều kiện : z 1 2i   =2 . Tìm số phức có mô đun nhỏ nhất ĐS : z= 2 1 5        + 4 2 .i 5        Ví dụ 5: Tìm số phức có mô đun nhỏ nhất thỏa : z 1 5i z 3 i     = 2 Ví dụ 6: Trong các số phức thỏa điều kiện : z 2 4i   = z 2i  . Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất Ví dụ 7: Trong các số phức thỏa điều kiện: z 1 2i   = 2 a) Tìm số phức có mô đun lớn nhất b) Tìm số phức có mô đun nhỏ nhất Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa đk : 2z 3  = i 2z  . Tìm các số phức thỏa mãn điều kiện trên và có mô đun nhỏ nhất . <=> 4x6y = x 2 +y 2 + 43 4 Ta lại có : z = 2 2 x y  , đặt t= 2 2 x y  , t  0 Mặt khác :áp dung bất đẳng thức Bunhiacốp xki ta có : (4x6y) 2 ≤ [4 2 +(6) 2 ][x 2 +y 2 ]. C 1 :Mặt khác :áp dung bất đẳng thức Bunhiacốp xki ta có : (6a+14b) 2 ≤ [6 2 +(14) 2 ][a 2 +b 2 ] => 6a 14b  ≤ 232 . 2 2 a b  <=> 2 2 a b   30 232 = 15 58 z có mô đun nhỏ. 4i   = z 2i  . Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất Ví dụ 7: Trong các số phức thỏa điều kiện: z 1 2i   = 2 a) Tìm số phức có mô đun lớn nhất b) Tìm số phức có mô đun nhỏ nhất Ví dụ 8: Cho