TÀI LIỆU DẠY BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI: MÔN GIẢI TOÁN TRÊM MÁY TÍNH CASIO. CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC. Giáo Viên Soạn: Mai Đình Thế _ Đơn vò :Trường THCS Bình Long. ********************************* A> Lý thuyết cơ bản: 1> Đònh lý Bezóut: Dư trong phép chia f(x) cho nhò thức g(x) = x - a là một hằng số bằng f(a). Hệ quả: Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x - a. Ví dụ: Tìm số dư của phép chia đa thức: f(x) = x 10 +x 2010 +x 2011 cho x - 1. Giải: Theo đònh lý Bezóut. Số dư của đa thức f(x) cho x – 1 là f(1). Tính f(1) ấn: 1 = Ans ∧ 10 + Ans ∧ 2010 + Ans ∧ 2011 = KQ: r = 3. 2> Tìm số dư trong phép chia P(x) cho ( ax + b ): Tìm số dư trong phép chia P(x) cho ( ax + b ) ta tính giá trò của P(x) tại x = - a b Ví dụ: Tìm số dư trong phép chia đa thức: P(x) = 5x 3 -9x 2 +7x -25 cho 2x – 5 .Giải:Ta có r = P ( 2 5 ) n 5 ab/c 2 = 5 Ans ∧ 3 - 9 Ans x 2 + 7 Ans - 25 = KQ : r = 14 3 14,375 8 = 3> Điều kiện để P(x) + m chia hết cho ( ax + b): P(x) + m chia hết cho ( ax+ b ) )( a b P −⇒ 0 =+ m )( a b Pm −−=⇒ Ví dụ: Tìm m để đa thức P(x) = 4 5x mxxx ++−− 963 23 chia hết cho ( 2x + 3 ). Giải: Gọi xxxxxP 9635)( 234 1 +−−= . Ta có: mPxP += 1 )( . Vì )32()( +xxP ; Nên 0) 3 2 ( 1 =+− mP . Suy ra ) 3 2 ( 1 −−= Pm . Tính ) 2 3 ( 1 −P . Ấn (-) 3 ab/c 2 = 5 Ans ∧ 4 - 3 Ans ∧ 3 - 6 Ans 2 x + 9 Ans = KQ : m = -8,4375. 4>Tìm điều kiện để hai đa thức có nghiệm chung. Đa thức P(x) + m và đa thức Q(x) + n có nghiệm chung là a. Khi m = - P(a) và n = - Q(a). Ví dụ: Cho P(x) = mxxx ++− 234 23 ; Q(x) = 6875,122 34 +−+ xxx + n. Với điều kiện nào của m và n thì hai đa thức có nghiệm chung là 2 1 . Giải: Gọi xxxxP 234)( 23 1 +−= Và .6875,122)( 34 1 +−+= xxxxQ Ta có: m = - ) 2 1 ( 1 P Và n = - ) 2 1 ( 1 Q .Tính ) 2 1 ( 1 p n: 1 ab/c 2 = 4 Ans ∧ 3 - 3 Ans 2 x + 2 Ans = ab/c. KQ: m = - 0,75. Tính ) 2 1 ( 1 Q n 1 ab/c 2 = Ans = ∧ 4 + 2 Ans ∧ 3 - 2 Ans + 1,6875. KQ: n = - 1. 5>Thuật toán Horner. Khi chia đa thức )( 01 1 1 axaxaxaxP n n n n ++++= − − cho nhò thức x – m ta được đa thức )( 1 xQ n− = .01 2 2 1 1 bxbxbxb n n n n ++++ − − − − Thì giữa các hệ số 01 ; ;; aaa nn − . và .; ;; 021 bbb nn −− có mối liên hệ sau: n a 1−n a 2−n a … 1 a 0 a m 1−n b 112 . −−− += nnn bmab 223 . −−− += nnn bmab … 110 .bmab += 00 .bmar += Ví dụ: a>Tìm thương và dư trong phép chia đa thức: 132 457 −+−− xxxx cho 5 + x Giải: n theo sơ đồ Horner 1 0 -2 -3 0 0 1 -1 -5 1 -73756 n:(-) 5 SHIFT STO M ;n tiếp:1 ALPHA M + 0 = Màn hình hiện -5. x ALPHA M + (-) 2 =Màn hình hiện 23. x ALPHA M + (-) 3 = Màn hình hiện -118. x ALPHA M + 0 = Màn hình hiện 590. x ALPHA M + 0 = Màn hình hiện -2950. x ALPHA M + 1 = Màn hình hiện 14751. x ALPHA M + (-) 1 = Màn hình hiện -73756. Vậy 132 457 −+−− xxxx = 73756)147512950590118235)(5( 23456 −+−+−+−+ xxxxxxx . b> Phân tích đa thức : 2137227 234 +−+− xxxx thành nhân tử. Giải:Tổng các hệ số của đa thức bằng 0 .Nên nó có một nghiệm bằng 1.Tức là nó chia hết cho 1−x . Sử dụng sơ đồ Horner để phân tích: n 1 SHIFT STO M ; n tiếp: 1 × ALPHA M - 7 = Ghi -6 × ALPHA M + 22 = Ghi 16 × ALPHA M - 37 = Ghi - 21 × ALPHA M + 21 = Ghi 0 Vậy đa thức: )21166)(1(2137227 2 3234 −+−−=+−+− xxxxxxxx Đoán nghiệm: Đa thức 21166 2 3 −+− xxx có nghiệm x = 3 ( vì nó là ước của 21) Kiểm tra ấn: 3 = Ans ∧ 3 - 6 Ans 2 x + 16 Ans - 21 = ( KQ: 0 ) Vậy đa thức có nghiệm x = 3. Tiếp tục phân tích theo sơ đồ Horner. n 3 SHIFT STO M n tiếp: 1 × ALPHA M - 6 = Ghi - 3 1 × ALPHA M +16 = Ghi 7 1 × ALPHA M + (-) 2 = Ghi 0 Vậy )73)(3)(1(2137227 2234 +−−−=+−+− xxxxxxxx ; ( vì 73 2 +− xx không phân tích được nữa ). c> Tính giá trò của đa thức 43)( 23 −+= xxxf tại x = 37 Giải:Theo đònh lý Bezóut: f (37) là số dư khi chia )(xf cho x – 37. Ta ấn phím theo sơ đồ Horner: 1 3 0 -4 a = 37 1 37 × 1+3 = 40 37 × 40+ 0=1480 37 × 1480-4 =54756 Qui trình ấn phím tương tự như trên. KQ: f(37) = 54756 d> Hãy biểu diễn đa thức f(x) 12 24 −+−= xxx qua luỹ thừa của x -2. Giải: Ta dùng sơ đồ Horner một cách liên tục. 1 0 -2 1 -1 2 1 2 2 5 9 2 1 4 10 25 2 1 6 22 2 1 8 2 1 Qui trình ấn phím tương tự Ta được kết quả: f(x) 9)2(25)2(22)2(8)2( 234 +−+−+−+−= xxxx B> BÀI TẬP: Viết QTAP và tính kết quả chính xác đến 0,0001 ( nếu có ) các bài toán sau: Bài 1: Cho hai đa thức: mxxxxxP ++−−= 106194)( 234 nxxxxQ +++= 6615)( 23 a/ Tìm m để đa thức P(x) chia hết cho x + 5. b/ Với m vừa tìm được ở câu a) hãy tìm số dư r khi chia P(x) cho x – 3 c/ Với m tìm được ở câu a) hãy phân tích đa thức P(x) thành tích các biểu thức bậc nhất. d/ Với giá trò nào của m và n thì P(x) và Q(x) chia hết cho x – 3 e/ Với n tìm được. Hãy phân tíchđa thức Q(x) thành nhân tử KQ: a) m = -120; b) r =0; c) (x – 3)(x + 5)(x – 2)(x – 4) d) m = -120; n = -360; e) (x – 3)(x )12018 2 ++ x Bài 2: Cho hai đa thức: mxxxxxP ++−+= 345)( 234 nxxxxxQ ++−+= 234)( 234 a/ Tìm giá trò của m và n để P(x) và Q(x) chia hết cho ( x - 2 ) b/ Xét đa thức R(x) = P(x) – Q(x); Với giá trò của m và n vừa tìm được hãy chứng tỏ rằng đa thức R(x) chỉ có một nghiệm duy nhất. KQ: a/ m = -46; n = -40; b/ x = 2 Bài 3: Cho đa thức qpxnxmxxxQ ++++= 234 )( và biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11. Tính các giá trò của Q(10); Q(11); Q(12); Q(13). KQ: Q(10) = 3047; Q(11) = 5065; Q(12) = 7947; Q(13) = 11909. Bài 4: Cho đa thưc =)(xP dcxbxaxx ++++ 234 .Biết P(1) =10; P(2)=20; P(3) =30 Hãy tính: P(12) + P(-8). KQ: P(12) + P(-8) = 19840 Bài 5: Cho đa thức 5 4 3 2 ( )P x x ax bx cx dx e= + + + + + . Biết P(1) = - 2; P(2) = - 1;P(3) = 2; P(4) = 7; P(5) = 14. Tìm dư trong phép chia P(x) cho (x – 101). KQ: r = 9034512398 Bài 6: Cho đa thức 132005)( 2345 +++++= dxcxbxaxxxP . Biết rằng khi x nhận các giá trò 1; 2; 3; 4 thì giá trò tương ứng của đa thức P(x) lần lượt là 8; 11; 14; 17. Hãy tính giá trò của đa thức P(x) với x = 11; 12; 13; 14. KQ: P(11) = 27775478; P(12) = 43655081; P(13) = 65494484; P(14) = 94620287 Bài 7: Cho đa thức 4 3 2 ( )P x x ax bx cx d= + + + + có P(1) = 7; P(2)= 28; P(3) = 63 Hãy tính: (100) ( 96) 8 P p P + − = . KQ: P = 23073617 Bài 8: Giả sử đa thức f(x) khi chia cho (x + 1) thì có dư là 4 và khi chia cho ( x 1 2 + ) có dư là 2x + 3. Tìm đa thức dư R(x) trong phép chia f(x) cho (x + 1)( x 1 2 + ). KQ: R(x) = 2 9 2 2 3 2 ++ xx Bài 9: Tìm số hạng nhỏ nhất trong tất cả các số hạng của dãy số 2 2011 n nu n += KQ: n = 16 Bài 10: Tìm cặp số ( x; y ) nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn phương trình: 595220)12(807156 22 3 2 ++=++ xyxx KQ: x = 11; y = 29 Bài 11: Cho a và b là hai số tự nhiên. Khi chia 22 ba + cho a + b ta được thương q và dư r. Hãy tìm tất cả các cặp ( a; b ) sao cho .2005 2 =+ rq Bài 12a/ Tìm m và n khi biết chia đa thức nmxxxP ++= 2 )( cho x – m và x - n được số dư lần lượt là m và n. Hãy biểu diễn cặp giá trò m và n theo thứ tự m trên ox và n trên oy thuộc mặt phẳng oxy. b/ Tính khoảng cách giửa các điểm có toạ độ (m ; n ) KQ: a/ ( 0;0) ; ( )0; 2 1 ; (1;-1); b/ 0,5; 1,4142; 1,1180 (đơn vò đo ) Bài 13: Dùng sơ đồ Horner: a/ Biểu diễn 1432)( 234 +−−+= xxxxxf theo các luỹ thừa của x + 1. b/ Phân tích 5 3 )2( 1 − +− x xx thành tổng các phân thức đơn giản nhất. KQ: a/ 1)1(4)1(3)1(2)1()( 234 ++++−+−+= xxxxxf b/ 5 3 )2( 1 − +− x xx 5432 )2( 7 )2( 11 )2( 6 )2( 1 − + − + − + − = xxxx . TÀI LIỆU DẠY BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI: MÔN GIẢI TOÁN TRÊM MÁY TÍNH CASIO. CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC. Giáo Viên Soạn: Mai Đình Thế _ Đơn. hết cho x - a. Ví dụ: Tìm số dư của phép chia đa thức: f(x) = x 10 +x 2010 +x 2011 cho x - 1. Giải: Theo đònh lý Bezóut. Số dư của đa thức f(x) cho x – 1 là f(1). Tính f(1) ấn: 1 = Ans ∧ 10. tại x = - a b Ví dụ: Tìm số dư trong phép chia đa thức: P(x) = 5x 3 -9x 2 +7x -25 cho 2x – 5 .Giải: Ta có r = P ( 2 5 ) n 5 ab/c 2 = 5 Ans ∧ 3 - 9 Ans x 2 + 7 Ans - 25 = KQ : r = 14 3 14,375 8 =