VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG trong tọa độ không gian

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ không gian TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng cách xác định vectơ pháp tuyến Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) mặt phẳng (P): x – 3y + z – = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A, B vng góc với mặt phẳng (P) r r r r uuu • (Q) qua A, B vng góc với (P) ⇒ (Q) có VTPT n =  nP , AB  = (0; −8; −12) ≠   ⇒ (Q) : y + 3z − 11 = Câu hỏi tương tự: a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), ( P ) : x + y + 3z + = ĐS: (Q) : x − y + z − = Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm  x = −1 + t  A(2;1;3), B(1; −2;1) song song với đường thẳng d :  y = 2t  z = −3 − 2t  uur r • Ta có BA = (1;3;2) , d có VTCP u = (1;2; −2) r uur n ⊥ BA r r uur r Gọi n VTPT (P) ⇒  r r ⇒ chọn n =  BA, u  = (−10;4; −1)   n ⊥ u ⇒ Phương trình (P): 10 x − y + z − 19 = Câu Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d1 ) (d2 ) có phương trình: x −1 y +1 z − x − y −1 z − = = = = , ( d2 ) : Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d ) (d2 ) (d1 ); • Chứng tỏ (d1) // (d2) (P): x + y – 5z +10 = Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x + y + z2 − x + y − 4z − = Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá r véc tơ v = (1;6;2) , vng góc với mặt phẳng (α ) : x + y + z − 11 = tiếp xúc với (S) r • (S) có tâm I(1; –3; 2) bán kính R = VTPT (α ) n = (1;4;1) r rr ⇒ VTPT (P) là: nP = [ n, v ] = (2; −1;2) ⇒ PT (P) có dạng: x − y + 2z + m = Câu  m = −21 Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d ( I ,( P )) = ⇔  m = Vậy: (P): x − y + z + = (P): x − y + z − 21 = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng x y +1 z x y −1 z − (d1 ) : = = = (d2 ) : = Chứng minh điểm M , d1, d2 cùng −2 −3 nằm một mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng đó r r • d1 qua M1(0; −1;0) có u1 = (1; −2; −3) , d2 qua M2 (0;1; 4) có u2 = (1;2;5) r r r uuuuuu r r r r uuuuuu u1; u2  = (−4; −8;4) ≠ , M1M2 = (0;2;4) ⇒ u1; u2  M1M2 = ⇒ d1, d2 đồng phẳng     r Gọi (P) mặt phẳng chứa d1, d2 ⇒ (P) có VTPT n = (1;2; −1) qua M1 nên có phương trình x + y − z + = Kiểm tra thấy điểm M (1; –1;1) ∈ ( P ) Câu Trang PP toạ độ không gian Trần Sĩ Tùng Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu x −3 y −3 z = = mặt cầu 2 2 (S): x + y + z − x − y − z + = Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S) r • (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = d có VTCP u = (2;2;1) r rr (P) // d, Ox ⇒ (P) có VTPT n = [ u , i ] = (0;1; −2) ⇒ PT (P) có dạng: y − z + D = Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: (P) tiếp xúc với (S) ⇔ d ( I ,( P )) = R ⇔ ⇒ (P): y − z + + = 1− + D 12 + 22  = ⇔ D − = ⇔ D = + D = − (P): y − z + − = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y + z2 + x − y − = mặt phẳng (P): x + z − = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M(3;1; −1) vng góc với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) r • (S) có tâm I(–1; 2; 0) bán kính R = 3; (P) có VTPT nP = (1;0;1) Câu PT (Q) qua M có dạng: A( x − 3) + B( y − 1) + C ( z + 1) = 0, A2 + B + C ≠ (Q) tiếp xúc với (S) ⇔ d ( I ,(Q)) = R ⇔ −4 A + B + C = A2 + B + C r r (Q) ⊥ ( P ) ⇔ nQ nP = ⇔ A + C = ⇔ C = − A (**) (*) Từ (*), (**) ⇒ B − A = A2 + B ⇔ 8B − A2 + 10 AB = ⇔ A = B ∨ A = −4 B • Với A = 2B Chọn B = 1, A = 2, C = –2 ⇒ PT (Q): x + y − 2z − = • Với A = −4 B Chọn B = –7, A = 4, C = –4 ⇒ PT (Q): x − y − z − = Câu hỏi tương tự: a) Với (S ) : x + y + z2 − x + y − z + = , ( P ) : x + y − z + = 0, M (1;1;2) ĐS: (Q) : x + y + z − = (Q) :11x − 10 y + z − = Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y + z2 – x + y + 2z –3 = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính r = • (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = (P) chứa Ox ⇒ (P): ay + bz = Mặt khác đường trịn thiết diện có bán kính (P) qua tâm I Suy ra: –2a – b = ⇔ b = –2a (a ≠ 0) ⇒ (P): y – 2z = Câu Câu Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y + z2 + x − y + z –1 = x − y − = đường thẳng d :  Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cắt mặt cầu 2 x − z − = (S) theo đường trịn có bán kính r = • (S) có tâm I(−1;1; −1) , bán kính R = PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c ≠ 0) Chọn M (2;0; −2), N (3;1;0) ∈ d Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ không gian  M ∈ (P )   a = b,2c = −(a + b), d = −3a − b (1) Ta có:  N ∈ ( P ) ⇔ 17a = −7b,2c = −(a + b), d = −3a − b (2)  d ( I ,( P )) = R − r  + Với (1) ⇒ (P): x + y − z − = + Với (2) ⇒ (P): x − 17 y + 5z − = Câu 10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 : x y −1 z = = , −1 x −1 y z = = mặt cầu (S): x + y + z2 – x + y + 4z –3 = Viết phương trình −1 −1 tiếp diện mặt cầu (S), biết tiếp diện song song với hai đường thẳng ∆1 ∆1 ∆2 : • (P): y + z + + = (P): y + z + − = Câu 11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x + y + z2 − x + y − 6z − 11 = mặt phẳng (α) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với (α) cắt (S) theo giao tuyến đường trịn có chu vi p = 6π • Do (β) // (α) nên (β) có phương trình 2x + 2y – z + D = (D ≠ 17) (S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = Đường trịn có chu vi 6π nên có bán kính r = Khoảng cách từ I tới (β) h = Do 2.1 + 2(−2) − + D R − r = 52 − 32 =  D = −7 = ⇔ −5 + D = 12 ⇔   D = 17 (loaïi) 22 + 22 + (−1)2 Vậy (β) có phương trình x + y – z – = Câu hỏi tương tự: a) (S ) : x + y + z2 + x + y − 6z − 11 = , (α ) : x + y − z + 19 = , p = 8π ĐS: ( β ) : x + y − z + = Trang PP toạ độ không gian Trần Sĩ Tùng Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách Câu 12 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vng góc với mặt phẳng (Q): x + y + z = cách điểm M(1; 2; –1) khoảng • PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax + By + Cz = (với A2 + B + C ≠ ) • Vì (P) ⊥ (Q) nên: A + 1.B + 1.C = ⇔ C = − A − B (1) A + 2B − C = ⇔ ( A + B − C )2 = 2( A2 + B + C ) • d ( M ,(P )) = ⇔ 2 A + B +C B = (3) Từ (1) (2) ta được: AB + 5B = ⇔  8 A + 5B = (4) • Từ (3): B = ⇒ C = –A Chọn A = 1, C = –1 ⇒ (P): x − z = • Từ (4): 8A + 5B = Chọn A = 5, B = –8 ⇒ C = ⇒ (P): x − 8y + 3z = (2) x −1 y − z = = 1 điểm M(0; –2; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M, song song với đường thẳng ∆, đồng thời khoảng cách d đường thẳng ∆ mặt phẳng (P) • Phương trình mp (P) qua M(0; –2; 0) có dạng: ax + by + cz + 2b = ( a2 + b2 + c2 ≠ ) r ∆ qua điểm A(1; 3; 0) có VTCP u = (1;1;4) Câu 13 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : a + b + 4c =  ∆ P ( P ) a = 4c a + 5b ⇔ Ta có:  = ⇔ a = −2c  d ( A;( P )) = d  2  a +b +c • Với a = 4c Chọn a = 4, c = ⇒ b = −8 ⇒ Phương trình (P): x − 8y + z − 16 = • Với a = −2c Chọn a = 2, c = −1 ⇒ b = ⇒ Phương trình (P): x + y − z + = Câu hỏi tương tự: x y z −1 ; M (0;3; −2), d = a) Với ∆ : = = 1 ĐS: ( P ) : x + y − z − = ( P ) : x − 8y + z + 26 = x = t  (d ) :  y = −1 + 2t điểm Câu 14 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng z =  A(−1;2;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) r r • (d) qua điểm M(0; −1;1) có VTCT u = (1;2; 0) Gọi n = (a; b; c) với a2 + b2 + c ≠ VTPT (P) PT mặt phẳng (P): a( x − 0) + b( y + 1) + c(z − 1) = ⇔ ax + by + cz + b − c = (1) rr Do (P) chứa (d) nên: u.n = ⇔ a + b = ⇔ a = −2b (2) −a + 3b + 2c 5b + 2c d ( A,( P ) ) = ⇔ =3⇔ = ⇔ 5b + 2c = 5b2 + c 2 2 2 a +b +c 5b + c ⇔ 4b2 − 4bc + c2 = ⇔ ( 2b − c ) = ⇔ c = 2b (3) Từ (2) (3), chọn b = −1 ⇒ a = 2, c = −2 ⇒ PT mặt phẳng (P): x − y − z + = Câu 15 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M (−1;1;0), N (0;0; −2), I (1;1;1) Viết Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ khơng gian phương trình mặt phẳng (P) qua A B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) • PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c ≠ 0)  M ∈ (P )   a = −b,2c = a − b, d = a − b (1) Ta có:  N ∈ ( P ) ⇔ 5a = 7b,2c = a − b, d = a − b (2) d ( I ,( P )) =  + Với (1) ⇒ PT mặt phẳng (P): x − y + z + = + Với (2) ⇒ PT mặt phẳng (P): x + 5y + z + = Câu 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; −1;2) , B(1;3; 0) , C(−3; 4;1) , D(1;2;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) • PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c ≠ 0) a − b + 2c + d =  A ∈ (P ) a + 3b + d =   Ta có:  B ∈ ( P ) ⇔  −3a + 4b + c + d a + 2b + c + d d (C ,( P )) = d ( D,( P )) =    a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c   b = 2a, c = 4a, d = −7a ⇔ c = 2a, b = a, d = −4a + Với b = 2a, c = 4a, d = −7a ⇒ (P): x + y + z − = + Với c = 2a, b = a, d = −4a ⇒ (P): x + y + 2z − = Câu hỏi tương tự: a) Với A(1;2;1), B(−2;1;3), C (2; −1;1), D(0;3;1) ĐS: ( P ) : x + y + 7z − 15 = ( P ) : x + 3z − = Câu 17 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;2;3) , B(0; −1;2) , C(1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A gốc tọa độ O cho khoảng cách từ B đến ( P ) khoảng cách từ C đến ( P ) • Vì O ∈ (P) nên (P ) : ax + by + cz = , với a2 + b2 + c2 ≠ Do A ∈ (P) ⇒ a + 2b + 3c = (1) d ( B,( P )) = d (C ,( P )) ⇔ −b + 2c = a + b + c (2) Từ (1) (2) ⇒ b = c = • Với b = a = −3c ⇒ (P ) : x − z = • Với c = a = −2b ⇒ (P ) : x − y = Câu hỏi tương tự: a) Với A(1;2; 0), B(0;4; 0), C (0;0;3) ĐS: −6 x + 3y + z = x − 3y + z = Câu 18 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;1; −1) , B(1;1;2) , C(−1;2; −2) mặt phẳng (P): x − y + z + = Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua A, vng góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC I cho IB = IC • PT (α ) có dạng: ax + by + cz + d = , với a2 + b2 + c2 ≠ Do A(1;1; −1) ∈ (α ) nên: a + b − c + d = (1); (α ) ⊥ ( P ) nên a − 2b + 2c = (2) IB = 2IC ⇒ d ( B,(α )) = 2d (C;(α )) ⇒ 3a − 3b + 6c − d = ⇔  −a + 5b − 2c + 3d = a + b + 2c + d a2 + b2 + c (3) Trang =2 −a + 2b − 2c + d a2 + b2 + c PP toạ độ không gian Trần Sĩ Tùng Từ (1), (2), (3) ta có trường hợp sau : a + b − c + d = −1 −3  ⇔ b = a; c = −a; d = a TH1 : a − 2b + 2c = 2 3a − 3b + 6c − d =  Chọn a = ⇒ b = −1; c = −2; d = −3 ⇒ (α ) : x − y − z − = a + b − c + d = −3  ⇔ b = a; c = a; d = a TH2 : a − 2b + 2c = 2 −a + 5b − 2c + 3d =  Chọn a = ⇒ b = 3; c = 2; d = −3 ⇒ (α ) : x + 3y + z − = Vậy: (α ) : x − y − z − = (α ) : x + 3y + z − = Câu 19 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 có phương x −2 y−2 z−3 x −1 y − z −1 = = = = , d2 : Viết phương trình mặt phẳng cách −1 hai đường thẳng d1, d2 r r • Ta có d1 qua A(2;2;3) , có ud1 = (2;1;3) , d2 qua B(1;2;1) có ud = (2; −1;4) r r r Do (P) cách d1, d2 nên (P) song song với d1, d2 ⇒ nP = ud1, ud  = (7; −2; −4)   x − y − 4z + d = ⇒ PT mặt phẳng (P) có dạng: Do (P) cách d1, d2 suy d ( A,( P )) = d ( B,(P )) trình d1 : ⇔ 7.2 − 2.2 − 4.3 + d = 7.1 − 2.2 − 4.1 + d ⇔ d − = d −1 ⇔ d = 69 69 ⇒ Phương trình mặt phẳng (P): 14 x − y − 8z + = Câu 20 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 có phương x = + t  x − y −1 z + = = trình d1 :  y = − t , d2 : Viết phương trình mặt phẳng (P) song song −2 z =  với d1 d2 , cho khoảng cách từ d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d2 đến (P) r • Ta có : d1 qua A(1;2;1) có VTCP u1 = (1; −1; 0) r d2 qua B(2;1; −1) có VTCP u2 = (1; −2;2) r r r r Gọi n VTPT (P), (P) song song với d1 d2 nên n = u1, u2  = (−2; −2; −1)   x + 2y + z + m = ⇒ Phương trìnht (P): 7+m 5+ m ; d (d2 ,( P ))  d ( B,( P )) = d (d1,( P )) = d ( A;( P )) = = 3  + m = 2(5 + m) 17 d (d1,( P )) = 2d (d2 ,( P )) ⇔ + m = + m ⇔  ⇔ m = −3; m = −  + m = −2(5 + m) 17 17 + Với m = −3 ⇒ ( P ) : x + y + z –3 = + Với m = − ⇒ ( P ) : x + y + z − = 3 Câu 21 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(0; −1;2) , B(1; 0;3) tiếp xúc với mặt cầu (S): ( x − 1)2 + ( y − 2)2 + ( z + 1)2 = • (S) có tâm I(1;2; −1) , bán kính R = Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ khơng gian PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c ≠ 0)  A ∈ (P )   a = −b, c = −a − b, d = 2a + 3b Ta có:  B ∈ ( P ) ⇔ 3a = −8b, c = −a − b, d = 2a + 3b d ( I ,( P )) = R  + Với (1) ⇒ Phương trình (P): x − y − = + Với (2) ⇒ Phương trình (P): x − 3y − 5z + = (1) (2) Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; −1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A cách gốc tọa độ O khoảng lớn • Ta có d (O,(P )) ≤ OA Do d (O,(P ))max = OA xảy ⇔ OA ⊥ (P ) nên mặt phẳng (P) uuu r cần tìm mặt phẳng qua A vng góc với OA Ta có OA = (2; −1;1) Vậy phương trình mặt phẳng (P): x − y + z − = Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) đường thẳng d có x −1 y z −1 = = Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn • Gọi H hình chiếu A d ⇒ d(d, (P)) = d(H, (P)) Giả sử điểm I hình chiếu H lên (P), ta có AH ≥ HI ⇒ HI lớn A ≡ I Vậy (P) cần tìm mặt phẳng qua A uuu r nhận AH làm VTPT ⇒ (P): x + y − 5z − 77 = phương trình: Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số { x = −2 + t; y = −2t; z = + 2t Gọi ∆ đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) I(–2;0;2) hình chiếu vng góc A (d) Viết phương trình mặt phẳng chứa ∆ có khoảng cách đến (d) lớn • Gọi (P) mặt phẳng chứa ∆, (P ) P (d ) (P ) ⊃ (d ) Gọi H hình chiếu vng góc I (P) Ta ln có IH ≤ IA IH ⊥ AH d (d ,( P )) = d ( I ,( P )) = IH Mặt khác   H ∈ (P ) = Trong (P), IH ≤ IA ; maxIH r IA ⇔ H ≡ A Lúc (P) vị trí (P0) ⊥ IA A r uu r Vectơ pháp tuyến (P0) n = IA = ( 6;0; −3) , phương với v = ( 2; 0; −1) Phương trình mặt phẳng (P0) là: 2( x − 4) − 1.( z + 1) = x − z − = x −1 y z − = = điểm 2 A(2;5;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : • PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c ≠ 0) r r (P) có VTPT n = (a; b; c) , d qua điểm M(1;0;2) có VTCP u = (2;1;2)  M ∈ (P ) a + 2c + d = 2c = −(2a + b) Vì (P) ⊃ d nên  r r ⇒ ⇒ Xét trường hợp: n.u = 2 a + b + 2c = d = a + b TH1: Nếu b = (P): x − z + = Khi đó: d ( A,( P )) = TH2: Nếu b ≠ Chọn b = ta (P): 2ax + y − (2a + 1)z + 2a + = Trang PP toạ độ khơng gian Khi đó: d ( A,( P )) = Trần Sĩ Tùng 8a2 + 4a + = ≤3  1  2a + ÷ +  2 1 Vậy max d ( A,( P )) = ⇔ 2a + = ⇔ a = − Khi đó: (P): x − y + z − = Câu hỏi tương tự: x −1 y + z − = = , A(5;1;6) a) d : ĐS: ( P ) : x + y − z + = x −1 y + z = = , A(1;4;2) b) d : ĐS: ( P ) : x + 13y − z + 21 = −1 Câu 26 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(0; −1;2) N(−1;1;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, N cho khoảng cách từ điểm K(0;0;2) đến mặt phẳng (P) lớn • PT (P) có dạng: Ax + B( y + 1) + C (z − 2) = ⇔ Ax + By + Cz + B − 2C = ( A2 + B + C ≠ 0) N (−1;1;3) ∈ ( P ) ⇔ − A + B + 3C + B − 2C = ⇔ A = B + C ⇒ ( P ) : (2 B + C ) x + By + Cz + B − 2C = ; • Nếu B = d(K, (P)) = (loại) d ( K ,( P )) = d ( K ,( P )) = B = B 2 B + 2C + BC ≤ 2 C   + 1÷ + B  Dấu “=” xảy B = –C Chọn C = Khi PT (P): x + y – z + = • Nếu B ≠ B + 2C + BC Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc Câu 27 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) chứa đường thẳng (): x −1 y z = = tạo với mặt phẳng (P) : x − y − z + = góc 600 Tìm tọa độ giao −1 −2 Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ không gian điểm M mặt phẳng (α) với trục Oz r r • () qua điểm A(1;0;0) có VTCP u = (1; −1; −2) (P) có VTPT n′ = (2; −2; −1) uuuu r r r uuur u Giao điểm M (0;0; m) cho AM = (−1; 0; m) (α) có VTPT n =  AM , u  = (m; m − 2;1)   (α) (P): x − y − z + = tạo thành góc 60 nên : 1 rr cos ( n, n′ ) = ⇔ = ⇔ 2m2 − 4m + = ⇔ m = − hay m = + 2 2m2 − 4m + Kết luận : M(0;0;2 − 2) hay M(0;0;2 + 2) Câu 28 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến d hai mặt phẳng (α ) : x – y –1 = , ( β ) : x – z = tạo với mặt phẳng (Q) : x – y + z –1 = góc ϕ mà cos ϕ = 2 • Lấy A(0;1;0), B(1;3;2) ∈ d (P) qua A ⇒ PT (P) có dạng: Ax + By + Cz – B = (P) qua B nên: A + 3B + 2C – B = ⇒ A = −(2 B + 2C ) ⇒ (P ) : −(2 B + 2C ) x + By + Cz – B = cos ϕ = −2 B − 2C − B + 2C (2 B + 2C )2 + B + C = 2 ⇔ 13B + 8BC – 5C = 13 + Với B = C = ⇒ ( P ) : −4 x + y + z –1 = + Với B = , C = ⇒ ( P ) : −23 x + 5y + 13z – = 13 Chọn C = ⇒ B = 1; B = Câu 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(−1;2; −3), B(2; −1; −6) mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB tạo với mặt phẳng (P) góc α thoả mãn cos α = • PT mặt phẳng (Q) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c ≠ 0) −a + 2b − 3c + d =  A ∈ (Q) 2a − b − 6c + d =  B ∈ (Q)    a = −4b, c = −3b, d = −15b Ta có:  ⇔ a + 2b + c ⇔  a = −b, c = 0, d = −b   cos α = =   a2 + b2 + c + +   ⇒ Phương trình mp(Q): x − y + 3z + 15 = (Q): x − y − = Câu hỏi tương tự: a) A(0; 0;1), B(1;1;0) , ( P ) ≡ (Oxy),cos α = ĐS: (Q): x − y + z − = (Q): x − y − z + = x + y + z − = Viết 2 x + y + z − = phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng (Oxy) góc α = 600 Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  • ĐS: (P ) : x + y + z − − = (P ) : x − y − z − + = Trang PP toạ độ không gian Trần Sĩ Tùng Câu 31 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( P ) : x − y + 5z − = (Q) : x − y − 8z + 12 = Lập phương trình mặt phẳng ( R) qua điểm M trùng với gốc tọa độ O, vng góc với mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) góc α = 450 • Giả sử PT mặt phẳng (R): ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c ≠ 0) Ta có: ( R) ⊥ ( P ) ⇔ 5a − 2b + 5c = (1); · cos(( R),(Q)) = cos 450 ⇔ a − 4b − 8c = (2) a2 + b2 + c  a = −c 2 Từ (1) (2) ⇒ 7a + 6ac − c = ⇔   c = 7a • Với a = −c : chọn a = 1, b = 0, c = −1 ⇒ PT mặt phẳng ( R) : x − z = • Với c = 7a : chọn a = 1, b = 20, c = ⇒ PT mặt phẳng ( R) : x + 20 y + 7z = Câu hỏi tương tự: a) Với ( P ) : x − y − z = 0,(Q) ≡ (Oyz), M (2; −3;1),α = 450 ĐS: ( R) : x + y + = ( R) : x − 3y + z − 23 = Câu 32 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: x −1 y +1 z −1 x y z = = = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆1 và ∆2 : = −1 −2 tạo với ∆2 góc α = 30 ∆1 : • Đáp số: (P): x + 11y + z + = (P): x − y − z − = Câu hỏi tương tự: x y−2 z x −2 y −3 z+5 a) Với ∆1 : = , α = 30 = , ∆2 : = = −1 −1 ĐS: (P): x − y − z + = (P): x + y + z − = x −1 y z +1 x y − z +1 = = = b) ∆1 : , ∆2 : = , α = 30 −2 1 −1 ĐS: (P): (18 + 114) x + 21y + (15 + 114) z − (3 − 114) = (P): (18 − 114) x + 21y + (15 − 114)z − (3 + 114) = Câu 33 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3) tạo với trục Ox, Oy góc tương ứng 450 , 300 r r r • Gọi n = (a; b; c) VTPT (P) Các VTCP trục Ox, Oy i = (1;0;0), j = (0;1;0)  sin(Ox ,( P )) =   ⇔ a = b Ta có:  c = b sin(Oy,( P )) =   PT mặt phẳng (P): 2( x − 1) + ( y − 2) ± ( z − 3) = − 2( x − 1) + ( y − 2) ± ( z − 3) = Câu 34 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x + y − z + = đường x +1 y +1 z − = = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo 1 với mặt phẳng (Q) góc nhỏ thẳng d : Trang 10 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ không gian · • PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c ≠ 0) Gọi α = (( P ),(Q))  M ∈ ( P ) c = − a − b ⇒ Chọn hai điểm M (−1; −1;3), N (1;0;4) ∈ d Ta có:   N ∈ (P) d = 7a + 4b a+b ⇒ (P): ax + by + (−2a − b)z + 7a + 4b = ⇒ cos α = 5a2 + 4ab + 2b2 TH1: Nếu a = cos α = TH2: Nếu a ≠ cos α = 2b = ⇒ α = 300 1+ b b a b b + + 2 ÷ a a Đặt x = b f ( x ) = cos2 α a x2 + 2x + Xét hàm số f ( x ) = + 4x + x2 Dựa vào BBT, ta thấy f ( x ) = ⇔ cos α = ⇔ α = 90 > 30 Do có trường hợp thoả mãn, tức a = Khi chọn b = 1, c = 1, d = Vậy: (P): y − z + = Câu hỏi tương tự: x −1 y + z + = = a) Với (Q): x + y + z –3 = , d : ĐS: ( P ) : x + y + 5z   = −1 x −1 y + z = = b) Với (Q) ≡ (Oxy ), d : ĐS: ( P ) : x − y + z − = −1  x = −t  c) Với (Q) : x − y − z − = , d :  y = −1 + 2t ĐS: ( P ) : x + y + z − = z = + t  Câu 35 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (−1; −1;3), N (1;0;4) mặt phẳng (Q): x + y − z + = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, N tạo với (Q) góc nhỏ • ĐS: (P ) : y − z + = Câu hỏi tương tự: a) M (1;2; −1), N (−1;1;2),(Q) ≡ (Oxy) ĐS: ( P ) : x + 3y + 5z − = x = − t  Câu 36 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y = −2 + t Viết phương  z = 2t  trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo với trục Oy góc lớn · • PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c ≠ 0) Gọi α = (( P ), Oy )  M ∈ ( P ) 2 c = a − b ⇒ Chọn hai điểm M (1; −2;0), N (0; −1;2) ∈ d Ta có:   N ∈ (P)  d = − a + 2b 2b a−b z − a + 2b = ⇒ sin α = ⇒ (P): ax + by + 5a2 + 5b2 − ab TH1: Nếu b = α = 00 Trang 11 PP toạ độ khơng gian TH2: Nếu b ≠ Trần Sĩ Tùng sin α = a 2 a a Đặt x = b f ( x ) = sin α 5 ÷ + − b b Xét hàm số f ( x ) = Dựa vào BBT, ta max f ( x ) = ⇔ x = ⇒ α > 00 5x − x + a Vậy α lớn = Chọn a = 1, b = 5, c = −2, d = ⇒ (P): x + 5y − z + = b Câu 37 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x −1 y + z = = −1 x + y −1 z = = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 cho góc mặt phẳng −1 (P) đường thẳng d2 lớn r • d1 qua M(1; −2;0) có VTCP u = (1;2; −1) Vì d1 ⊂ (P ) nên M ∈ (P ) d2 : PT mặt phẳng (P) có dạng: A( x − 1) + B( y + 2) + Cz = ( A2 + B + C ≠ 0) rr Ta có: d ⊂ ( P ) ⇔ u.n = ⇔ C = A + B · Gọi α = (( P ), d2 ) ⇒ sin α = TH1: Với B = sinα = TH2: Với B ≠ Đặt t = Xét hàm số f (t ) = (4 A + 3B)2 = 2 A2 + AB + 5B2 A + AB + 5B 2 A (4t + 3)2 , ta được: sinα = B 2t + 4t + (4t + 3)2 A + 3B 2t + 4t + 5 Khi sin α = f (−7) = Dựa vào BBT ta có: max f (t ) = 25 A t = −7 ⇔ = −7 B A = −7 B − ⇒ Phương trình mặt phẳng (P) : x − y + 5z   = 0  So sánh TH1 TH2 ⇒ α lớn với sin α = x +1 y − z +1 = = điểm 1 −1 A(2; −1; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d tạo với mặt phẳng (Oxy) góc nhỏ • ĐS: (P ) : x + y + 2z − = Câu 38 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : Câu 39 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x − y + z + = điểm A(1;1; −1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A, vng góc với mặt phẳng (Q) tạo với trục Oy góc lớn • ĐS: ( P ) : y + z = (P ) : x + 5y + z − = Trang 12 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ không gian Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác Câu 40 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắt trục tọa độ I, J, K mà A trực tâm tam giác IJK x y z • Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) ⇒ (P ) : + + = a b c 4 uu r uu r a + b + c =  77 77 77 IA = (4 − a;5;6), uu = (4;5 − b;6) JA uur r ⇒ −5b + 6c = ⇒ a = ; b = ; c = JK = (0; −b; c), IK = (− a;0; c)   −4 a + c =  Vậy phương trình mặt phẳng (P): x + 5y + z − 77 = Câu hỏi tương tự: a) Với A(–1; 1; 1) ĐS: (P): x − y − z + = Câu 41 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1) Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt trục Ox, Oy B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c > 0) Chứng minh rằng: b + c = bc Từ đó, tìm b, c để diện tích tam giác ABC nhỏ x y z 1 bc • PT mp (P) có dạng: + + = Vì M ∈ (P ) nên + + = ⇔ b + c = b c b c uuu r uuu r Ta có AB(−2; b; 0) , AC (−2;0; c) Khi S = b2 + c2 + (b + c)2 Vì b2 + c2 ≥ 2bc; (b + c )2 ≥ 4bc nên S ≥ 6bc Mà bc = 2(b + c) ≥ bc ⇒ bc ≥ 16 Do S ≥ 96 Dấu "=" xảy ⇔ b = c = Vậy: S = 96 b = c = Câu 42 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;2;4) mặt phẳng ( P ) : x + y + z + = Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) (Q) cắt hai tia Ox, Oy điểm B, C cho tam giác ABC có diện tích • Vì (Q) // (P) nên (Q): x + y + z + d = (d ≠ 4) Giả sử B = (Q) ∩ Ox , C = (Q) ∩ Oy r r uuu uuu B(−d ;0; 0), C (0; −d ; 0) (d < 0) S ABC =  AB, AC  = ⇔ d = −2 ⇒   ⇒ (Q) : x + y + z − = Câu 43 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(3;0; 0), B(1;2;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cắt trục Oz M cho tam giác ABC có diện tích • ĐS: (P ) : x + y − 2z − = Dạng 6: Các dạng khác viết phương trình mặt phẳng Câu 44 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(9;1;1) , cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ • Giá sử A(a; 0;0) ∈ Ox , B(0; b;0) ∈ Oy, C (0; 0; c) ∈ Oz (a, b, c > 0) x y z Khi PT mặt phẳng (P) có dạng: + + = a b c Trang 13 PP toạ độ khơng gian Ta có: M (9;1;1) ∈ ( P ) ⇒ Trần Sĩ Tùng 1 + + = (1); a b c VOABC = abc (2) (1) ⇔ abc = 9bc + ac + ab ≥ 3 9(abc)2 ⇔ (abc)3 ≥ 27.9(abc)2 ⇔ abc ≥ 243 a = 27 9bc = ac = ab  x y z  ⇔ b = ⇒ (P): + + = Dấu "=" xảy ⇔  1 27 3 c = a + b + c =   Câu hỏi tương tự: x y z =1 a) Với M(1;2;4) ĐS: (P ) : + + 12 Câu 45 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3) , cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho biểu thức OA + OB + OC có giá trị nhỏ • ĐS: (P ) : x + y + 3z − 14 = Câu 46 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(2;5;3) , cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho biểu thức OA + OB + OC có giá trị nhỏ x y z + + =1 • ĐS: (P ) : + + 10 + 10 + 15 + + 15 Trang 14 ... − = Câu 11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x + y + z2 − x + y − 6z − 11 = mặt phẳng (α) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = Viết phương trình mặt phẳng (β)... Trần Sĩ Tùng Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách Câu 12 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vng góc với mặt phẳng (Q): x + y +... Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác Câu 40 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắt trục tọa độ I, J, K mà