Chuyên đề Giới Hạn

Ñaïi soá lôùp 11 Chöông 4: Giôùi haïn Naêm: 2010 - 2011 TTLT – 1A – Tan Hai 45 Chöông 4: GIỚI HẠN §1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Giới hạn 0 1.1. Định nghĩa : Dãy số ( ) n u được gọi là có giới hạn 0 , nếu 0 ε ∀ > nhỏ tùy ý luôn luôn 0 N ∃ sao cho 0 n N ∀ > ta đều có : n u ε < . Kí hiệu : ( ) lim 0 n u = hoặc lim 0 n u = hoặc 0 n u → 1.2. Nhận xét : • lim 0 lim 0 n n u u = ⇔ = . • Nếu ( ) n u có * 0 , n u n= ∀ ∈  thì lim lim0 0 n u = = . • Cho hai dãy số ( ) n u và ( ) n v . Nếu * , n n u v n≤ ∀ ∈  và lim 0 n v = thì lim 0 n u = . • Các dãy số có giới hạn 0: o 1 lim 0 n n →+∞ = ; + →+∞ = ∈  1 lim 0 , ( ) k n k n ; ( ) →+∞ = < lim 0 , 1 n n q q . 2. Dãy số có giới hạn hữu hạn 2.1. Định nghĩa : Dãy số ( ) n u được gọi là có giới hạn hữu hạn là số thực L , nếu ( ) lim 0 n u L − = . Kí hiệu : ( ) lim n u L = hoặc lim n u L = hoặc n u L → 2.2. Các định lí cơ bản về giới hạn của dãy số : • Định lí 1: Nếu C là hằng số thì lim C C = . • Định lí 2: Giả sử lim n u L = . Khi đó : o lim n u L = và 3 3 lim n u L = . o Nếu * 0 , n u n≥ ∀ ∈  thì 0 L ≥ và lim n u L = . • Định lí 3: Nếu lim n u L = và lim n v M = ; C là hằng số . Thì : o ( ) lim n n u v L M ± = ± ; o ( ) lim n n u v L M ⋅ = ⋅ ; o ( ) lim . n C u C L = ⋅ ; o lim n n u L v M = nếu 0 M ≠ . • Định lí 4: Cho ba dãy số ( ) n u ; ( ) n v và ( ) w n . Nếu w n n n v u≤ ≤ với mọi n và ( ) lim lim , n n v w L L= = ∈  thì lim n u L = . • Định lí 5: Nếu một dãy số tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn . Nếu một dãy số giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn . 2.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn = + + + + = −  2 3 1 1 1 1 1 1 u S u u q u q u q q nếu ( ) 1 q < . 3. Dãy số có giới hạn vô cực 3.1. Định nghĩa : • Dãy số ( ) n u được gọi là có giới hạn +∞ nếu 0 M ∀ > lớn tùy ý luôn luôn 0 N ∃ sao cho 0 n N ∀ > ta đều có : n u M > . Kí hiệu : ( ) lim n u = + ∞ hoặc lim n u = + ∞ hoặc n u → +∞ . • Dãy số ( ) n u được gọi là có giới hạn − ∞ nếu 0 M ∀ < nhỏ tùy ý luôn luôn 0 N ∃ sao cho 0 n N ∀ > ta đều có : n u M < . Kí hiệu : ( ) lim n u = −∞ hoặc lim n u = − ∞ hoặc n u → −∞ . 3.2. Các quy tắc tính giới hạn vô cực : Đại số lớp 11 Chương 4: Giới hạn Năm: 2010 - 2011 TTLT – 1A – Tan Hai 46 • Nếu = + ∞ lim n u thì 1 lim 0 n u = ; • Nếu lim n u L = , lim n v = ± ∞ thì lim n n u v = 0 ; • Nếu lim n u = + ∞ ; lim 0 n v L = ≠ thì ( )  + ∞ > ⋅ =  − ∞ <  0 lim 0 n n nếu L u v nếu L ; • Nếu lim n u = − ∞ ; lim 0 n v L = ≠ thì ( )  − ∞ > ⋅ =  + ∞ <  0 lim 0 n n nếu L u v nếu L ; • Nếu lim 0 n u L = ≠ , lim 0 n v = thì lim = n n u v  + ∞ >  − ∞ <  . 0 . 0 n n nếu L v nếu L v ; • lim n = +∞ ; lim ( ) k n k + = +∞ ∈  ; lim ( 1) n q q = +∞ > . B. CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP : 1. Tìm giới hạn của dãy số theo định nghĩa 1.1. Phương pháp : Để chứng minh dãy số có giới 0 ta có thể thực hiện theo 2 cách sau : • Cách 1 : Áp dụng trực tiếp định nghĩa . • Cách 2 : Áp dụng định lí : Cho hai dãy số ( ) n u và ( ) n v . Nếu * , n n u v n ≤ ∀ ∈  và lim 0 n v = thì lim 0 n u = . • Để tìm giới hạn của dãy số theo định nghĩa ta dựa vào định nghĩa: Dãy số ( ) n u được gọi là có giới hạn hữu hạn là số thực L , nếu : ( ) lim 0 n u L − = . 1.2. Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1. Chứng minh các dãy số ( ) n u có giới hạn 0 : a) ( ) 1 3 2 n n u n − = + ; b) 3 sin 2 2 n n n u n = + ; c) 3 sin 2 4 2 4.5 n n n n n n u + = + ; d) 3 3 2 1 n u n n = + − + . Ví dụ 2. Áp dụng định nghĩa , tìm các giới hạn sau : a) 3 3 lim 1 n n   −   +   ; b) 2 2 3 2 lim 2 n n n n   + +   +   ; c) 3.3 sin 3 lim 3 n n n   −     . 2. Tìm giới hạn hữu hạn của dãy số theo định lí và cơng thức 2.1. Phương pháp : • Dựa vào các định lí cơ bản về giới hạn hữu hạn của dãy số và một số cơng thức về giới hạn của một số dãy số cơ bản , ta sẽ tìm được hầu hết các giới hạn của các dãy số thơng thường . • Phương pháp tìm giới hạn của các dãy số thường gặp : o Dạng 1: Nếu dãy số ( ) n u có ( ) ( ) n P n u Q n = (trong đó ( ) ( ) , P n Q n là các đa thức của n ) , thì chia tử và mẫu cho k n với k n là lũy thừa có số mũ cao nhất của ( ) P n và ( ) Q n sau đó áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn . o Dạng 2: Nếu dãy số ( ) n u có n u là biểu thức chứa n dưới dấu căn , thì đưa k n ra ngồi dấu căn (với k là số cao nhất của n trong dấu căn) rồi áp dụng các định lí , Nếu gặp dạng (vơ định) k n n u ⋅ với lim 0 n u = , thì phải nhân và chia với biểu thức liên hợp của biểu thức chứa căn tiến về 0 . Cần chú ý các hằng đẳng thức : ( ) ( ) − + = − a b a b a b ; ( ) ( ) ± + = ± ∓ 3 3 3 3 2 3 2 a b a ab b a b o Dạng 3: Nếu dãy số ( ) n u có n u là một phân thức mà tử và mẫu là các biểu thức của các lũy thừa có dạng ( ) , , n n a b n ∈   trong đó , , a b  là các hằng số , thì chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số có trị tuyệt đối lớn nhất trong các lũy thừa ở tử và mẫu , rồi áp dụng các định lí . ẹaùi soỏ lụựp 11 Chửụng 4: Giụựi haùn Naờm: 2010 - 2011 TTLT 1A Tan Hai 47 o Dng 4: Nu dóy s ( ) n u trong ú n u l mt tng hoc mt tớch ca n s hng (hoc n tha s) , thỡ phi rỳt gn n u ri tỡm lim n u theo nh lớ , hoc dựng nguyờn lớ kp suy ra lim n u . o Dng 5: Nu dóy s ( ) n u trong ú n u c cho bi mt h thc truy hi , thỡ ta tỡm cụng th tng quỏt ca n u ri tỡm lim n u theo nh lớ , hoc chng minh dóy s cú gii hn hu hn sau ú da vo h thc truy hi suy ra lim n u . 2.2. Cỏc vớ d minh ha : Vớ d 3. Tỡm cỏc gii hn sau : a) 2 2 4 2 lim 2 1 n n n n + + + + ; b) ( ) 2 2 2 3 1 lim 2 1 2 3 1 n n n n n + + + . Vớ d 4. Tỡm cỏc gii hn sau : a) 2 9 2 3 lim 4 3 n n n n + + ; b) 54 5 4 3 4 2 lim 2 3 n n n n + . Vớ d 5. Tỡm cỏc gii hn sau : a) ( ) 2 lim 4 2 2 n n n + ; b) 3 3 lim 2 1 n n n + . Vớ d 6. Tỡm cỏc gii hn sau : a) 3 2 6 4 2 1 lim 1 n n n n + + ; b) ( ) 3 2 2 3 lim 2 3 n n n n + + + . Vớ d 7. Tỡm cỏc gii hn sau : a) n nn 5.37 5.23 lim + ; b) 2 2 1 2 2 2 lim 1 3 3 3 n n + + + + + + + + . Vớ d 8. Tỡm cỏc gii hn sau : a) 1 1 1 lim 1.3 3.5 (2 1)(2 1) n n + + + + ; b) 2 2 2 1 1 1 lim 1 1 1 2 3 n . Vớ d 9. Tỡm cỏc gii hn sau : a) + + + + + + 2 2 2 1 1 1 lim 4 1 4 2 4 n n n n ; b) ( ) ( ) 1 3 5 7 2 1 lim 2 4 6 2 n n . Vớ d 10. Cho dóy s (u n ) c xỏc nh bi: + = = + 1 1 1 1 , ( 1) 2 n n n u u u n a) t 1 n n n v u u + = . Tớnh 1 2 n v v v + + + theo n ; b) Tớnh n u theo n ; c) Tỡm lim n u . Vớ d 11. Cho dóy s (u n ) bit : ( ) 1 1 6 6 , 1 n n u u u n + = = + . Tỡm lim n u . 3. Tng ca mt cp s nhõn lựi vụ hn 3.1. Phng phỏp : Da theo cụng thc : = + + + + = 2 3 1 1 1 1 1 1 u S u u q u q u q q nu ( ) 1 q < . biu din mt s thp phõn vụ hn tun hon thnh phõn s , ta biu din s ú thnh tng ca mt cp s nhõn lựi vụ hn v suy ra kt qu . 3.2. Cỏc vớ d minh ha : Đại số lớp 11 Chương 4: Giới hạn Năm: 2010 - 2011 TTLT – 1A – Tan Hai 48 Ví dụ 12. Tính các tổng sau : a) 2 1 1 1 3 3 3 n S = + + + +   ; b) 16 8 4 2S = − + − +  Ví dụ 13. Hãy biểu diễn các số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dưới dạng phân số: a) 0,353535 a =  ; b) 5,231231 b =  . 4. Giới hạn vơ cực của dãy số 4.1. Phương pháp : • Dựa theo các quy tắc để tìm giới hạn vơ cực của các dãy số : o Nếu lim n u = + ∞ ; lim 0 n v L = ≠ thì ( )  + ∞ > ⋅ =  − ∞ <  0 lim 0 n n nếu L u v nếu L ; o Nếu lim n u = − ∞ ; lim 0 n v L = ≠ thì ( )  − ∞ > ⋅ =  + ∞ <  0 lim 0 n n nếu L u v nếu L ; o Nếu lim 0 n u L = ≠ , lim 0 n v = thì = lim n n u v  + ∞ >  − ∞ <  . 0 . 0 n n nếu L v nếu L v . • Chú ý : o = + ∞ lim n ; lim ( ) k n k + = +∞ ∈  ; lim ( 1) n q q = +∞ > . 4.2. Các ví dụ minh họa : Ví dụ 14. Tìm các giới hạn sau : a) 964 2 lim 23 45 ++ −−+ nn nnn ; b) 3 6 3 7 5 8 lim 12 n n n n − − − + + . Ví dụ 15. Tìm các giới hạn sau : a) ( ) 132lim +−+ nn ; b) ( ) ( ) 2 4 2 1 2 3 lim 1 n n n n + + − + . Ví dụ 16. Tìm các giới hạn sau : a) 1 1 ( 3) 6 lim ( 3) 5 n n n n + + − + − + ; b) 3 1 lim 2sin 2 3 3 n n   + +     .  Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây : • Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0. • Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu. • Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu. C. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Tìm các giới hạn sau theo định nghĩa : a) sin lim n n ; b) 2 3sin 4cos lim 2 1 n n n − + ; c) ( )         + − + 2 1 2lim n n ; d) 2 ( 1) sin(3 ) lim 3 1 n n n n − + − ; e)       − 1 4 3sin lim n n ; f) 2 3 2 2 3sin ( 2) lim 2 3 n n n + + − . Bài 2. Tìm các giới hạn sau : a) 7 5 3342 lim 3 23 +− ++− n n nnn ; b) 4 2 lim ( 1)(2 )( 1) n n n n + + + ; Ñaïi soá lôùp 11 Chöông 4: Giôùi haïn Naêm: 2010 - 2011 TTLT – 1A – Tan Hai 49 c) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 4 7 lim 3 4 5 1 n n n n − + − + ; d) ( ) ( ) ( ) 4 22 12 271 lim + +− n nn ; e)         + − + + 15 51 32 2 lim 2 2 3 n n n n ; f) nnn nn 3 1173 lim 45 35 −+ −+− Bài 3. Tìm các giới hạn sau : a) + + + + 3 2 6 4 2 1 lim 1 n n n n ; b) nnn nn −+ ++ 4 3 2 1 lim ; c) 2 lim 3 3 + + n nn ; d) 32 232 lim 2 4 +− −+ nn nn ; e) ( ) ( ) 5 5 2 5 2 11 lim n nnnn −++−− ; f) 12 lim 4 3 + ++ n nnn . Bài 4. Tìm các giới hạn sau : a) ( ) 1213lim −−− nn ; b) 2 2 lim 2 n n n   + − +     ; c) 2 2 2 4 4 1 lim 3 1 n n n n n − − + + − ; d) 3 3 lim 2 1 n n n   − + −     ; e) ( ) 3 3 lim 1 n n + − ; f) ( ) 3 2 2 3 lim 2 3 n n n n + + − + . Bài 5. Tìm các giới hạn sau : a) 1 3 lim 4 3 n n + + ; b) 1 4.3 7 lim 2.5 7 n n n n + + + ; c) 1 2.3 7 lim 5 2.7 n n n n + − + ; d) n nn 5.37 5.23 lim + − ; e) 1 1 2.3 6 lim 2 (3 5) n n n n + − + − ; f) 2 2 2 2 2 1 3 3 3 lim 1 1 1 1 5 5 5 n n     + + + +             + + + +         . Bài 6. Tìm các giới hạn sau : a) 2 21 lim n n + + + ; b) 2 . 1 3 (2 1) lim 2 1 n n n n + + + − + + ; c) ( ) 2 2 2 3 1 3 2 1 lim n n + + + + ; d)       + +++ )22(2 1 6.4 1 4.2 1 lim nn ; e) Cho = + + + + + + + +  1 1 1 1 2 2 1 2 3 3 2 1 ( 1) n u n n n n . Tìm lim n u . f) ( ) ( ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +   2 4 6 8 2 lim 3 5 7 2 1 n n ; g) 1 2 cos4sin3 lim + + n nn . Bài 7. Cho dãy số (u n ) được xác định bởi: + +  = =  = + ≥  1 2 2 1 0; 1 2 , ( 1) n n n u u u u u n a) Chứng minh rằng: + − + 1 1 1 2 n n u u , ∀n ≥ 1. b) Đặt 2 3 n n v u = − . Tính n v theo n . Từ đó tìm lim n u . ẹaùi soỏ lụựp 11 Chửụng 4: Giụựi haùn Naờm: 2010 - 2011 TTLT 1A Tan Hai 50 Bi 8. Tỡm lim n u bit : a) ( ) 1 * 1 3 1 2 n n u u u n + = + = ; b) ( ) ( ) 1 1 1 : 2 3 , 1 2 n n n n u u u u n u + = + = + . Bi 9. Tớnh cỏc tng sau : a) 1 1 5 5 1 5 5 S = + + + ; b) 2 3 3 3 3 4 4 4 S = + + + . Bi 10. Tỡm cụng bi ca mt cp s nhõn lựi vụ hn . Bit tng ca nú l 64 v 3 6 u = . Bi 11. Cho cp s nhõn ( ) n u lựi vụ hn cú tng l 12 , hiu s hng u v s hng th hai l 3 4 v s hng u tiờn l s dng . Tỡm s hng u tiờn v cụng bi ca cp s nhõn ú . Bi 12. Biu din di dng phõn s , cỏc s thp phõn vụ hn tun hon sau : a) 0,467467467 x = b) 3,123412341234 y = Bi 13. Tỡm cỏc gii hn sau : a) 4 2 3 2 2 3 lim 3 2 1 n n n n + + ; b) ( ) 1173lim 3 + nn ; c) 3 3 21lim nn + ; d) 12 1 lim ++ nn ; e) ( ) nnn ++ 3lim 2 ; f) + + + + 1 2 4 8 lim 5 6 n n n n ; g) ( ) 3 3 2 lim 3 3 n n n n ; h) 4 6 1 4 2 lim n n n n + + ; i) ( ) 2 lim 2cos3 2 n n + ; k) 2 2 2 3 lim 3 4 n n n + + + . Đại số lớp 11 Chương 4: Giới hạn Năm: 2010 - 2011 TTLT – 1A – Tan Hai 51 §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Giới hạn của hàm số tại một điểm 1.1. Giới hạn hữu hạn : Cho ( ) 0 ; x a b ∈ , ( ) f x là hàm số xác định trên tập hợp: ( ) { } 0 ; \ D a b x = , nếu với mọi dãy số ( ) n x với ( ) { } 0 ; \ n x a b x ∈ sao cho 0 lim n x x = , ta đều có : ( ) lim n f x L = , thì lúc đó ta nói hàm số ( ) f x có giới hạn là L khi dần đến 0 x và được kí hiệu : ( ) 0 lim x x f x L → = . • •• • Chú ý : 0 0 lim x x x x → = ; → = 0 lim x x C C , (C : hằng số). 1.2. Giới hạn vơ cực : Cho ( ) 0 ; x a b ∈ , ( ) f x là hàm số xác định trên tập hợp: ( ) { } 0 ; \ D a b x = , • •• • Nếu với mọi dãy số ( ) n x với ( ) { } 0 ; \ n x a b x ∈ sao cho 0 lim n x x = , ta đều có : ( ) lim n f x = + ∞ thì ta nói ( ) → = + ∞ 0 lim x x f x . • •• • Nếu với mọi dãy số ( ) n x với ( ) { } 0 ; \ n x a b x ∈ sao cho 0 lim n x x = , ta đều có : ( ) lim n f x = −∞ thì ta nói ( ) → = −∞ 0 lim x x f x . 2. Giới hạn của hàm số tại vơ cực 2.1. Các định nghĩa : • •• • Cho ( ) f x là hàm số xác định trên ( ) ;a + ∞ , nếu với mọi dãy số ( ) n x với ( ) ; n x a ∈ + ∞ và lim n x = + ∞ , ta đều có : ( ) lim n f x L = thì ta nói ( ) →+ ∞ = lim x f x L . • •• • Các giới hạn : ( ) →+ ∞ = + ∞ lim x f x ; ( ) →+ ∞ = −∞ lim x f x ; ( ) →− ∞ = lim x f x L ; ( ) →− ∞ = + ∞ lim x f x ; ( ) →− ∞ = −∞ lim x f x được định nghĩa hồn tồn tương tự . 2.2. Các giới hạn đặc biệt : • •• • lim k x x →+∞ = +∞ ; lim k x nếu k chẵn x nếu k lẻ →−∞  +∞ =  −∞  • •• • →±∞ = lim x C C , ( C là hằng số) ; →±∞ = lim 0 k x C x . 3. Một số định lí về giới hạn 3.1. Định lí 1 : Nếu ( ) → →± ∞ = 0 lim ( ) x x x f x L và ( ) → →± ∞ = 0 lim ( ) x x x g x M thì : • •• • ( ) [ ] → →± ∞ + = + 0 lim ( ) ( ) x x x f x g x L M ; ( ) [ ] → →± ∞ − = − 0 lim ( ) ( ) x x x f x g x L M • •• • ( ) [ ] → →± ∞ = 0 lim ( ). ( ) . x x x f x g x L M ; ( ) [ ] → →± ∞ = ⋅ 0 lim . ( ) x x x C f x C L ; → = ⋅ 0 0 lim . k k x x C x C x , ( C là hằng số , k + ∈  ). • •• • ( ) → →± ∞ = 0 ( ) lim ( ) x x x f x L g x M (nếu M ≠ 0) . 3.2. Định lí 2 : Giả sử ( ) → →± ∞ = 0 lim ( ) x x x f x L • •• • ( ) → →± ∞ = 0 lim ( ) x x x f x L ; ( ) → →± ∞ = 0 3 3 lim ( ) x x x f x L ; Đại số lớp 11 Chương 4: Giới hạn Năm: 2010 - 2011 TTLT – 1A – Tan Hai 52 • •• • Nếu ( ) ( ) { } ( ) 0 0 0 0 , ; \ , 0 f x x x x x ε ε ε ≥ ∀ ∈ − + > và 0 lim ( ) x x f x L → = thì 0 L ≥ và 0 lim ( ) x x f x L → = . 3.3. Định lí 3 : Cho 3 hàm số ( ) ( ) ( ) , , f x g x h x xác định trên tập : ( ) { } ( ) 0 0 0 ; \ , 0 D x x x ε ε ε = − + > Nếu ( ) ( ) ( ) , g x f x h x x D ≤ ≤ ∀ ∈ và → → = = 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x g x h x L thì : → = 0 lim ( ) x x f x L . • •• • Từ đó ta chứng minh được : ( ) ( ) ( ) → → → = ⇒ = = 0 0 0 sin sin lim 1 lim 1 khi lim 0 x x x x x u x x u x x u x . 4. Giới hạn một bên 4.1. Các định nghĩa : • •• • Giới hạn bên phải : Giả sử ( ) f x là hàm số xác định trên khoảng ( ) 0 ; x b , nếu với mọi dãy số ( ) n x với 0 n x x > và 0 lim n x x = , ta đều có : ( ) lim n f x L = , thì lúc đó ta nói hàm số ( ) f x có giới hạn bên phải là số thực L khi dần đến 0 x và được kí hiệu : ( ) 0 lim x x f x L + → = . • •• • Giới hạn bên trái : Giả sử ( ) f x là hàm số xác định trên khoảng ( ) 0 ; a x , nếu với mọi dãy số ( ) n x với 0 n x x < và 0 lim n x x = , ta đều có : ( ) lim n f x L = , thì lúc đó ta nói hàm số ( ) f x có giới hạn bên trái là số thực L khi dần đến 0 x và được kí hiệu : ( ) 0 lim x x f x L − → = . • •• • Giới hạn vơ cực : Giả sử ( ) f x là hàm số xác định trên khoảng ( ) 0 ; x b , nếu với mọi dãy số ( ) n x với 0 n x x > và 0 lim n x x = , ta đều có : ( ) lim n f x = + ∞ , thì lúc đó ta nói hàm số ( ) f x có giới hạn bên phải là vơ cực khi dần đến 0 x và được kí hiệu : ( ) 0 lim x x f x + → = + ∞ . Các định nghĩa : ( ) 0 lim x x f x + → = −∞ , ( ) 0 lim x x f x − → = + ∞ , ( ) 0 lim x x f x − → = − ∞ được phát biểu tương tự trên . 4.2. Định lí : ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim lim lim x x x x x x f x L f x f x L + − → → → = ⇔ = = ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim lim lim x x x x x x f x f x f x + − → → → = + ∞ ⇔ = = + ∞ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim lim lim x x x x x x f x f x f x + − → → → = −∞ ⇔ = = − ∞ . 5. Các quy tắc tìm giới hạn vơ cực : • •• • Nếu → = + ∞ 0 lim ( ) x x f x thì ( ) → = 0 1 lim 0 x x f x ; • •• • Nếu 0 lim ( ) x x f x L → = ≠ 0 và → = ± ∞ 0 lim ( ) x x g x thì: → → →  +∞  ⋅ =  −∞   0 0 0 nếu và cùngdấu nếu và tráidấu lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) x x x x x x L g x f x g x L g x ; • •• • Nếu 0 lim ( ) x x f x L → = ≠ 0 và → = 0 lim ( ) 0 x x g x thì: →  + ∞ > =  − ∞ <  0 nếu nếu ( ) . ( ) 0 lim . ( ) 0 ( ) x x f x L g x L g x g x . B. CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP : 1. Tìm giới hạn của hàm số 1.1. Phương pháp : • •• • Dựa theo các định nghĩa về giới hạn của hàm số ( giới hạn hữu hạn , giới hạn vơ cực …) . • •• • Dựa vào các định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số , các quy tắc tìm giới hạn vơ cực … • •• • Chú ý : Để chứng minh một hàm số khơng có giới hạn khi 0 x x → (hoặc x → ± ∞ ) , ta chọn hai dãy số ( ) ( ) , ' n n x x cùng thuộc tập xác định của hàm số sao cho 0 0 , ' n n x x x x ≠ ≠ và ( ) ( ) 0 lim lim ' n n x x x = = rồi chứng minh ( ) ( ) lim lim ' n n f x f x ≠ , hoặc chứng minh một trong hai giới hạn trên khơng tồn tại . Ñaïi soá lôùp 11 Chöông 4: Giôùi haïn Naêm: 2010 - 2011 TTLT – 1A – Tan Hai 53 1.2. Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1. Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau : a) →− − − + 2 1 3 4 lim 1 x x x x ; b) ( ) → − − 2 2 1 4 lim 1 x x x ; c) →− ∞   − +     2 lim 9 2 x x x ; d) ( ) → − − 2 2 lim 2 sin 4 x x x x . Ví dụ 2. Chứng minh các giới hạn sau không tồn tại : a) →− + 1 3 lim sin 1 x x ; b) ( ) →− ∞ + lim cos 2 1 x x Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau : a) ( ) →− − + 2 1 lim 3 2 1 x x x ; b) ( ) ( ) → − + + 3 2 2 3 1 lim 3 x x x x x . Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau : a) 6 lim 3 2 3 −− → xx x x ; b) 3 2 4 2 2 232 lim +− ++ −→ xx xx x . Ví dụ 5. Tìm các giới hạn sau : a) 2 2 2 3 2 lim 4 x x x x → − + − ; b) 3 2 3 3 1 lim 2 x x x x x →−∞ − + − . Ví dụ 6. Tìm các giới hạn sau : a) 3 2 1 lim 4 x x x x x →+ ∞ − + ; b) 2 3 1 lim 9 2 1 x x x x →−∞ − + − . Ví dụ 7. Tìm các giới hạn sau : a) + → − + − − 2 1 1 3 2 lim 1 x x x x ; b) → − + − 2 3 4 3 lim 3 x x x x . Ví dụ 8. Cho hàm số :  − + >   − =   − ≤   2 2 khi khi 3 2 1 1 ( ) 1 2 x x x x f x x x . Tìm các giới hạn sau : a) ( ) − → 1 lim x f x ; b) ( ) + → 1 lim x f x ; c) ( ) →1 lim x f x , (nếu có) . Ví dụ 9. Tìm các giới hạn sau : a) 2 15 lim 2 x x x + → − − ; b) − → + − − 2 3 1 3 2 lim 3 x x x x . Ví dụ 10. Tìm các giới hạn sau : a) ( ) + → − − + + 2 2 3 1 lim 2 x x x x ; b) ( ) ( ) →+ ∞ − + − − + 2 1 3 2 lim 4 2 x x x x x x . 2. Các dạng vô định 2.1. Dạng 0 0 : Nếu ( ) ( ) → → →± ∞ →± ∞ = = 0 0 lim ( ) 0 ; lim ( ) 0 x x x x x x f x g x thì ( ) ( ) → →± ∞ 0 ( ) lim x x x f x g x được gọi là có dạng vô định 0 0 . Để tính được các giới hạn dạng này ta phải khử dạng vô định , có một số loại thường gặp và cách khử dạng vô định của chúng như sau : • Nếu biểu thức dưới dấu giới hạn có dạng : ( ) ( ) P x Q x trong đó ( ) , P x ( ) Q x là hai đa thức của x . Ñaïi soá lôùp 11 Chöông 4: Giôùi haïn Naêm: 2010 - 2011 TTLT – 1A – Tan Hai 54 Để khử dạng vô định ta biến đổi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 m n P x x x P x Q x x x Q x − ⋅ = − ⋅ rồi giản ước các thừa số có dạng ( ) ( ) 0 ; max , k x x k m n − = . • Nếu biểu thức dưới dấu giới hạn có chứa dấu căn : ta nhân và chia với biểu thức liên hợp của biểu thức chứa căn tiến về 0, rồi làm tương tự như dạng trên ta sẽ khử được dạng vô định . 2.2. Dạng ∞ ∞ : Nếu ( ) ( ) → → →± ∞ →± ∞ = ± ∞ = ± ∞ 0 0 lim ( ) ; lim ( ) x x x x x x f x g x thì ( ) → →± ∞ 0 ( ) lim ( ) x x x f x g x được gọi là có dạng vô định ∞ ∞ . Chia tử và mẫu cho k x với k x là lũy thừa có số mũ lớn nhất của tử và mẫu , (hoặc rút k x làm nhân tử ) sau đó áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn hoặc các quy tắc về giới hạn vô cực . 2.3. Dạng 0 × ∞ 0 × ∞0 ×∞ 0 × ∞ ; ∞ − ∞ ∞ − ∞∞ − ∞ ∞ − ∞ : Nếu ( ) ( ) → → →± ∞ →± ∞ = = ± ∞ 0 0 lim ( ) 0 ; lim ( ) x x x x x x f x g x thì ( ) → →± ∞     0 lim ( ). ( ) x x x f x g x được gọi là có dạng vô định 0×∞ . Nếu ( ) ( ) → → →± ∞ →± ∞ = + ∞ = + ∞ 0 0 lim ( ) ; lim ( ) x x x x x x f x g x thì ( ) → →± ∞   −   0 lim ( ) ( ) x x x f x g x được gọi là có dạng vô định ∞ − ∞ . Khi gặp hai dạng này thì ta tìm các đưa về một trong hai dạng đầu . 2.4. Chú ý : Để tìm giới hạn của hàm khi 0 x x → (hoặc x → ± ∞ ) , thì trước hết ta phải xét xem có gặp phải dạng vô định hay không ? Nếu không gặp phải dạng vô định thì ta có ngay kết quả . Nếu gặp phải dạng vô định thì vận dụng các phương pháp nêu trên để khử dạng vô định . 2.5. Các ví dụ minh họa : Ví dụ 11. Tìm các giới hạn sau : a) 253 103 lim 2 2 2 −− −+ → xx xx x ; b) 6 293 lim 3 23 2 − − −−+ → x x xxx x . Ví dụ 12. Tìm các giới hạn sau : a) → + + + − −  2 1 lim 1 n x x x x n x ; b) 2 1 )1( 1 lim − −+− → x nnxx n x . Ví dụ 13. Tìm các giới hạn sau : a) 2 2 4 1 3 lim 4 x x x → + − − ; b) 2 2 2 lim 7 3 x x x → + − + − . Ví dụ 14. Tìm các giới hạn sau : a) x x x 141 lim 3 0 −+ → ; b) 23 2423 lim 2 3 2 3 1 +− −−−− → xx xxx x . Ví dụ 15. Tìm các giới hạn sau : a) 23 1 lim 2 3 1 −+ + −→ x x x ; b) 1 75 lim 2 3 23 1 − +−− → x xx x . Ví dụ 16. Tìm các giới hạn sau : a) 3 2 3 3 1 lim 2 6 6 x x x x x →+ ∞ + + − − ; b) ( ) ( ) ( ) 20 30 50 2 3 3 2 lim 2 1 x x x x → − ∞ − + + . Ví dụ 17. Tìm các giới hạn sau : a) 2 2 (2 1) 3 lim 5 x x x x x →−∞ − − − ; b) 2 2 4 2 1 2 lim 9 3 2 x x x x x x x →±∞ − + + − − + [...]...Đại số lớp 11 Ví d 18 Chương 4: Giới hạn Tìm các gi i h n sau : 1  a) lim  2 x →2+  x − 3x + 2 Ví d 19 − 1   ; x − 5x + 6  2  b) lim  2 x − 1 − 4 x 2 − 4 x − 3   x →+∞   Tìm các gi i h n sau :   2 a) lim  x + 1 − x →+∞... 2 x   x →+ ∞   x 2 − 3x − 4 b) ; d) lim x − 1 cos Bài 2 Ch ng minh các dãy s sau khơng có gi i h n: TTLT – 1A – Tan Hai lim ; x→3 ( x →1 ( x − 3) ) ; 2 x 2 x −1 55 Đại số lớp 11 a) c) Chương 4: Giới hạn lim cos ( 3 x + 1) ; x →+ ∞  x2 + 2x − 1  lim f ( x ) khi f ( x ) =  x→ 2 3 x + 5  Bài 3 Tìm các gi i h n sau : 1 + x + x2 + x3 a) lim x →0 1+ x ; b) lim sin x →1 Năm: 2010 - 2011 x+2 ; x −1... x 2 − 3x + 2 b) lim ; d) lim 3 3 4 x3 − 24 + x + 2 − 8 2 x − 3 x →1 4 − x2 e) lim 56 TTLT – 1A – Tan Hai 2 1+ x − 3 8 − x ; x →0 x ; x →2 3 8 x + 11 − x + 7 2 x 2 − 5x + 2 ; Đại số lớp 11 Chương 4: Giới hạn Năm: 2010 - 2011 Bài 8 Tìm các gi i h n sau : 1 + 3x − 2 x 2 a) lim x −3 x →3+ 2−x c) lim x →2+ 2 x 2 − 5 x + 2 ; d) lim ; 3x − 6 + x 2 − 4 x + 4 x →2 x−2 e) lim b) lim ; f) lim x2 − 4 ; x −2 2−... ) ) x + 2 − 2 x −1 + x ( ) x →−∞ x → +∞ ( 3 3x 3 − 1 + (x 2 x2 + 2 ) ; ) + 2x − 2 x 2 + x + x ; ) g) lim 2 4 x 2 − 3 x + 3 3 x3 − x − 7 x 2 + 3 x →+∞ TTLT – 1A – Tan Hai 57 Đại số lớp 11 Chương 4: Giới hạn Năm: 2010 - 2011 Bài 12.Tìm các gi i h n sau : tan 2 x x →0 3x sin x − sin a c) lim x→a x−a 1 − cos ax e) lim x→0 x2 ; a) lim g) lim(1 − x ) tan x→− π 4 l) lim x →0 x →0 πx cos 2 1− x h) lim sin... x→ 6 m) lim x→ π 2 2 2x + 1 − 4x + 1 1 − cos x 58 TTLT – 1A – Tan Hai ; o) lim x →+ ∞ ; sin (π − x ) 6 1 − 2 sin x ; cos3x + 1 − sin 3x ; 1 − sin x 3sin x + 2cos x x +1 + x Đại số lớp 11 Chương 4: Giới hạn Năm: 2010 - 2011 §3 HÀM S LIÊN T C A KI N TH C C N NH 1 Các khái ni m v hàm s liên t c 1.1 Hàm s liên t c t i m t i m : Hàm s y = f ( x ) liên t c t i x0 khi và ch khi lim f ( x ) = f ( x0 ) x... Tan Hai  x −5 khi x > 5  b) f ( x ) =  2 x − 1 − 3 , tại x = 5 ( x − 5)2 + 3 khi x ≤ 5   x3 − x2 + 2x − 2  f (x) =  x −1 3x + m  khi x ≠ 1 tại x = 1 khi x = 1 59 Đại số lớp 11 Chương 4: Giới hạn Năm: 2010 - 2011 2 Xét tính liên t c c a hàm s trên kho ng , o n 2.1 Phương pháp : • xét tính liên t c c a hàm s y = f ( x ) trên m t kho ng o n ta dùng các nh nghĩa v hàm s liên t c • trên kho... bi t x1 , x2 , x3 sao cho x1 < −1 < x2 < x3 Ví d 10 Ch ng minh phương trình x 4 − x − 3 = 0 ln có ít nh t m t nghi m x0 th a mãn i u ki n : x0 > 7 48 60 TTLT – 1A – Tan Hai Đại số lớp 11 Chương 4: Giới hạn Năm: 2010 - 2011 4 Xét d u m t bi u th c 4.1 Phương pháp : Ta áp d ng h qu : N u y = f ( x ) liên t c trên [ a ; b ] và f ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ ( a ; b ) thì f ( x ) khơng d u trên ( a ; b ) i xét d u... x2 + 2x − 2  2  khi x ≠ 1 , tại x = 1 ; b) f ( x ) =  x − x − 6 khi x ≠ 0, x ≠ 3 a) f (x) =   x −1  x ( x − 3) 3x + m khi x = 1  khi x = 3 n  TTLT – 1A – Tan Hai 61 Đại số lớp 11 Chương 4: Giới hạn Năm: 2010 - 2011 tại x = 0 và x = 3  x2 + n khi x < 1  2mx − 3 khi x > 1 , tại x = 1 c) f ( x ) = m + 2 khi x = 1  Bài 15 Xét tính liên t c c a các hàm s sau :  2 a) f ( x ) =  x + 2 x − . Tìm giới hạn của hàm số 1.1. Phương pháp : • •• • Dựa theo các định nghĩa về giới hạn của hàm số ( giới hạn hữu hạn , giới hạn vơ cực …) . • •• • Dựa vào các định lí về giới hạn hữu hạn. lớp 11 Chương 4: Giới hạn Năm: 2010 - 2011 TTLT – 1A – Tan Hai 51 §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Giới hạn của hàm số tại một điểm 1.1. Giới hạn hữu hạn : Cho ( ) 0 ; x. bản về giới hạn hữu hạn của dãy số và một số cơng thức về giới hạn của một số dãy số cơ bản , ta sẽ tìm được hầu hết các giới hạn của các dãy số thơng thường . • Phương pháp tìm giới hạn của