Toán rời rạc (tập 1) phần 1 – nguyễn địch, nguyễn thị thu thủy

Trang 1

NGUYÊN ĐỊCH - NGUYÊN THỊ THU THỦY

I0ẨN|RUI|RNC TAP 1 LÝ THUYÊT

Trang 2

NGUYEN DICH - NGUYEN THI THU THUY

TOAN ROI RAC

TAP 1 LY THUYET

Trang 3

LOI NOI DAU

Toán rời rạc là môn học cơ sở đối với các sinh viên ngành CÔNG NGHỆ TIN HỌC Tất cả các khoa Công nghệ tin học của các trường Đại học đều coi đây là một môn học quan trọng, một số trường cịn quy định Tốn rời rạc là một trong những môn thi tốt nghiệp đại học và thí tuyển cao học của ngành này Bộ sách này được biên soạn sau nhiều năm giảng dạy tại Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội và 15 năm giảng dạy tại khoa Công nghệ tin học, Đại học Mở Hà Nội Nội dung của bộ sách được soạn thảo theo đề cương chính thức đã được Hội đồng Khoa học và Đảo tạo của Khoa Cơng nghệ tím học, Đại

học Mở Hà Nội thông qua

Bộ sách này gồm 2 tập:

- Tập một: Lý thuyết, gồm 8 chương bao hàm đủ 5 nội dung cơ bản của Toán rời rạc là: lý thuyết tô hợp, đồ thị hữu hạn, một số vẫn đề cơ bản của logic tốn, ơtơ mát hữu hạn và ngơn ngữ hình thức

- Tập hai: Bài tập và lời giải

Bộ sách có thể là tài liệu tham khảo đối với các giáo viên giảng dạy môn học nay

Chúng tôi chân thành cảm ơn GSTS Thái Thanh Sơn và các bạn đồng nghiệp đã đóng góp những ý kiến quý báu trong quá trình soạn thảo bộ sách này

Những ý kiến đóng góp của độc giả xin gửi về Nguyendich36@.vnn.vn

Hoặc gọi về 043.853.2966 Chúng tôi xin chân thành cảm ơn

Trang 4

Chương Ì

TAP HOP VA ANH XA

§1 TAP HOP VA PHAN TU

- Tập hợp và phần tử là những khái niệm toán học nguyên sơ, không thể định nghĩa băng những khái niệm toán học đã biết, ta chỉ có thể mơ tá chúng

Có hai cách mô tả tập hợp:

Cách thứ nhất

Tất cả những đối tượng có một hoặc một vài tính chất chung nảo đó tạo thành một tập hợp (đơi khi nói ngắn gọn là một tập); khi đó mỗi đối tượng là một phần tử của tập hợp đó

Thí dụ 1 Tập hợp các số nguyên, dương tạo nên tập NỶ

N”=(1,2,3, ,n, } Khi đó các số 1, 2, 3 là các phần

tử của NỈ” Các phần tử của NỈ có 2 tính chất chung: đó là ngun và dương

Thí dụ 2

A ={1,3,5,7, } là tập các số nguyên đương lẻ Các phần

tử của A có 3 tính chất chung là: nguyên, dương và lẻ

Nếu x là phần tử của A; ta viết x e A; nếu x không phải là phân tử của A thì ta viết x ¢ A

Trang 5

Trong thí dụ 2: số 15A; số 16£A vì 16 khơng có tính chất lẻ

Trong trường hợp yêu cầu trên không đạt được, ta phải đùng cách khác!

Cách thứ hai

Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp

Thi dul

B= {2, 4, 5, 6, 8}

Trong trường hợp này rất khó (đơi khi khơng thể) dùng các tính chất chung để xác định một đối tượng nào đó có phải là phân tử của B hay không Tuy nhiên thủ tục ở đây lại giản đơn hơn nhiêu: đôi tượng nào khơng có trong “danh sách” các phân tử của B thì đối tượng đó không phải là phần tử của B Chẳng hạn như:

7€B,9¢Bcon4e Bvwy

Khi mô tả tập hợp theo cach nay thì lại khơng địi hỏi các phân tử của tập hợp phải có một tính chất nào giơng nhau

Thí dụ 2

A=({0,a, Hà Nội, *}

1 Tập hữu hạn và tập vô hạn

Số lượng phân tử của tập Á gọi là bản số của A; ký hiệu là

|AJ hay N(A); đó là I sô nguyên dương

Nếu |A| là một số hữu hạn thì A là tập hữu hạn, còn gọi là tập rời rạc Toán rời rạc chỉ quan tâm đên các tập rời rạc

Nếu A không phải là tập hữu hạn thì A là tập vơ hạn

Thí dụ:

A= {2, 4, 6, 8} la tap hiru han

Trang 6

Z.= {0,+1,+2, ,+n, .} tập các số nguyên là tập vô hạn

Q ={n/m: m #0, mecZ, neZ} tập các số hữu tỷ là tập vô hạn

R= {Cac số thực} là tập vô hạn 2 Tập rỗng

Nếu |A| = 0 thì A gọi là tập rỗng, đó lả tập khơng chứa một phân tử nào Việc đưa vào khái niệm tập rỗng rất có ý nghĩa khi ta nghiên cứu về các phép toán trên tập hợp

Thi du

A là tập các nghiệm số thực của phương trình

x? —3x+2=O thi A= f1, 2}

Còn tập nghiệm thực của phương trình x°+x+1=0 là một tập rong vi phương trình này khơng có nghiệm thực Ta ký hiệu tập rông là Ø

3 Sự bằng nhau của hai tập

Hai tập A và B gọi là bằng nhau (ta viết A = B) nếu chúng

bao gôm những phân từ như nhau, nghĩa là: XeAcœ© xcDB Thi du

A= {x, 1, 5, 4} va B = {5, x, 4, 1}

là hai tập bằng nhau Thứ tự hay vị trí của các phần tử không quan trọng

4 Sự bao hàm và tập con Nếu x e A =x e B thì ta nói:

- A bao hàm trong B hoặc A chứa trong B,

- B bao hàm Á hay B chứa A,

- A là tập con của B

Trang 7

Vậy:

.-A=Bnếu AcBvàBcA - A chứa các phần tử của nó

- Tập rỗng Ø là tập con của mọi tập A

Để hình dung quan hệ giữa hai tập người ta dùng sơ đồ Ven để biểu diễn hình học một tập, coi mỗi tập là một vịng phẳng kín, mỗi điểm bên trong là một phần tử của tập đó Khi đó quan hệ A c B được biểu thị bởi hình I - vòng A nam trong vòng B

CA)

Hinh 1

5 Tap vũ trụ

Tập vũ trụ ký hiệu là U, đó là tập bao hàm mọi tập khác; khi biểu diễn tập U bằng sơ đồ Ven, người ta dùng 1 hình vng hoặc hình chữ nhật Khi đó mọi tập khác đều nằm trong hình vng hoặc hình chữ nhật đó (Hình 2) s⁄2) U Hình 2 6 Tập lũy thừa

Trang 8

Thi du A= {1, 2, 3} thi

P(A) = {©, {1}5 {2}; 3): 1,2); (1, 35s (2, 35s (1, 2, 33}

Tập lũy thừa của A thường liên quan đến việc trắc nghiệm những tập con của A để xem chúng có thỏa mãn một tính chất nào đó hay không Sau này ta sẽ chứng minh:

Nếu |A|=n thì |P(A)J =|2Ê|= 2

§2 CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP

Từ hai tập A và B cho trước, ta tạo ra một tập mới theo một cách nào đó, ta gọi đó là phép hợp thành Mỗi phép hợp thành như thê là một phép toán tập hợp

1 Phép hợp

Hợp của 2 tập A va B, ky hiệu A ©) B, là tập chứa tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B, nghĩa là:

x é AUB {xe A hodc x e B} AUB duoc biéu dién béi so dé Ven nhw hinh 3

Hinh 3

Thí dụ

Trang 9

2 Phép giao

Giao của hai tập A và B, ký hiệu là AB, là tập chứa tẤt cả các phân tử vừa thuộc A„ vừa thuộc B

Nghia lax € AN BS {x € Avax € B}

Biéu diễn của A f B bang so dé Ven, cé dạng như hình 4

B

Hình 4

Thi du

Cing trong thi du trén A = (1, 3, 5}; B = {1, 2, 3} thi

ANB=(1,3}

Néu ANB = @ thi ta nói rằng A và B là hai tập rời nhau Thi du A= {1,3, 5,7, 9}; B= {2, 4, 6, 8};

suy ra ANB = 2 3 Phép trir

Hiệu của hai tập A và B ký hiệu là A\B là tập chứa các phần tử thuộc A ma không thuộc B Biểu diễn của A\B bằng sơ đồ Ven, có dạng như hình 5

Trang 10

Thi du

A= {1,2,5}; B={1,2,3} => A\B= {5} 4 Tap bu

Nếu A c E thì E/A là tập bù của A trong E và ký hiệu là A Dễ dàng nhận thấy A = A

Trường hợp dac biét néu E = U thi A = U\A được gọi ngắn gọn là tập bu cia A

— Định luật De Morgan

VACE;VBCEtacó:

a) 4UB= 4B;

bì A¬B= AUB

Ta chỉ chứng minh đăng thức a), chứng minh đăng thức b} hoàn toàn tương tự

* xeAUB—=xzAUB— ({xeA vàx £ B}

={x€A vàxeB}=xe AnB > AUBCAAB * x EAB {xe A vax €B} => (xe A và xe B} = {x #AUB} >xeAUB— AnBcAvB

Vậy AUB = AnB,

Các phép toán a) va b) có thê mở rộng cho n tập; khi đó định luật De Morgan sẽ có dạng tổng quát sau đây:

Trang 11

Các phép toán nêu trên thỏa mãn các đăng thức đưới đây mà ta gọi đó là các luật Đẳng thức Tên gọi AUØ=A Luật đồng nhất AQNU=A

AUU=U Luat nuốt

AnmØ=ữ

AUA#=A Luật lũy đăng

ANA=A

AUB=BUA Luật giao hoán

ANB=BoA

AU (BUC) =(AUB) UC Luat két hop

AN(BOAC)=(ANB)AC

AU(BNC)=(AUB)N (AUC) Luật phân phối

AN(BUC)=(AQB) vu (ANC)

AUB = ANB Luat De Morgan

ANB=AUB

A=A Luật bù

Trang 12

5 Phú và phần hoạch

Cho S = {Aj, Ag, ., An} trong d6 Aj (i = 1,n) 1a cac tập

con của E Nếu Ù A¡ = E thì S gọi là một phủ của E

Nếu S là một phủ của E và A¡ ¬ A¡ = Ø Vi#j thì S gọi là một phân hoạch của E

Thí dụ:

E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; At = {1, 3, 5, 7, 9};

A2 = {0, 2, 4, 6, 8}

thì S = {Ai, A2} là một phân hoạch của E Dễ thấy rằng số các phân tử của E đúng báng tông sô các phân tử của Á¡ và Á¿, cho

nên khái niệm phân hoạch là cơ sở của “nguyền lý cộng” trong các bài toán đêm mà ta sẽ nghiên cứu ở chương sau

6 Tích Đề-các

Tích Đề-các của 2 tập A và B, ký hiệu là AxB, là một tập được định nghĩa như sau:

AxB = {(a, b): a € A; b € B}

Dé dang nhận thấy AxB khơng có tính giao hốn Mở rộng cho tích Đêề-các của n tập:

ÀiX A2X X Án = {(@i, as, , an): ae A¡Œ= 1n)}

Néu A; = Ap = = An = A thi tích Đề-các được ký hiệu là

A" nghia la A"= Ax Ax x A

Dễ dàng chứng minh được |A x BỊ = |A| x |BI

Trang 13

§3 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ QUAN HỆ THỨ TỰ

1 Quan hệ 2 ngôi

Ta đưa vào tập E một quan hệ R có liên quan đến 2 phần tử của E Xét 2 phân tử a và b của E Nêu a có quan hệ R với b thì ta việt aRb; khi đó R là quan hệ 2 ngơi trên tập E

Thí dụ I

Trên tập số thực: aRb a< b là quan hệ 2 ngôi trên tập số thực Thi du 2

E là tập các đường thắng trên một mặt phăng P nào đó aRb < al||b là quan hệ hai ngơi

Thí dụ 3

E là tập các sinh viên trong 1 lớp học nào đó, aRb <= “a cùng năm sinh với b” là một quan hệ 2 ngôi Quan hệ 2 ngơi trên một tập E có thê có các tính chât sau đây:

a Tĩnh phản xạ

Quan hệ R có tính chất phản xạ nếu aRa V a e E

Thị dụ:

- Quan hệ “cùng năm sinh” có tính phản xạ

sơ Quan hệ “nhỏ hơn” (a < b) khơng có tính phan xạ vì khơng thê có a<a

b Tinh doi xitng

Quan hệ R gọi là có tính đối xứng nêu aRb => bRa

Thi du:

Trang 14

- Quan hệ “nhỏ hơn” khơng có tỉnh đối xứng vì từ a < b không thê suy ra b < a

c Tính bắc cầu

Quan hệ R gọi là có tính bắc cầu nếu (aRb và bRe) — aRc Thi du I

Quan hệ “cùng năm sinh” có tính bắc câu; quan hệ “nhỏ hơn” cũng có tinh bac cau vì từ (a < b và b < c) suy ra a < c

Thi du 2

Trên tập các số nguyên dương NỈ ta đưa vào quan hệ như sau: aRb © a và b là 2 số nguyên tổ củng nhau

Quan hệ R này khơng có tính bắc cầu; vì (4R5 và 5R8) khơng thê suy ra 4R8; vì răng 4 và 8 không nguyên tố cùng

nhau: chúng có 2 ước sô chung # l1; đó là 2 và 4 d Tinh phan doi xứng

Quan hệ R gọi là có tính phán đối xứng nếu (aRb và bRa) >a=b

Thi du

Quan hệ aRb < a < b có tính phản đối xứng vì từ a < b và

b < a ta suy ra a = b (trên tập số thực) Thỉ dụ

E là tập các cán bộ trong một cơ quan, ta đưa vào quan hệ R như sau:

Trang 15

2 Quan hệ tương đương

Quan hệ 2 ngôi trên tập E gọi là quan hệ tương đương nếu nó

có 3 tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu Dễ đàng thấy rằng: - Quan hệ “cùng năm sinh” trên tập các sinh viên của một lớp là quan hệ tương đương

- Quan hệ “song song” trên tập các đường thăng trên một mặt phăng nào đó là quan hệ tương đương

- Quan hệ “a < b° trên tập số thực không phải là quan hệ tương đương

Nếu R là quan hệ tương đương thì aRb có thé viết là a ~ b Khi ta đưa vào tập E một quan hệ tương đương R thì tat ca các phân tử tương đương với nhau được xêp vào một lớp, gọi là lớp tương đương

Các lớp tương đương này rời nhau và tạo nên một phủ của E; do đó nó là một phân hoạch của E

Việc đưa vào tập E một quan hệ tương đương là một cách tìm một phân hoạch của E, nhờ đó ta có thê tìm sơ phân tử của E băng cách tìm tơng số các phần tử của tât cả các lớp tương đương

3 Quan hệ thứ tự

Quan hệ 2 ngôi R trên tập E gọi là quan hệ thứ tự nếu nó có 3 tính chất: phán xạ, phán đối xứng và bắc cầu Dễ đàng thay rang quan hé (a < b) hay (a> b) là quan hệ thứ tự trên tập các số tự nhiên cũng như trên tập các số thực

a Quan hệ thứ tự toàn phân

Cho R là một quan hệ thứ tự trên E, néu Va, b € E ta déu cé aRb hoặc bRa

Trang 16

b Quan hệ thứ tự khơng tồn phần

Nếu R là một quan hệ thứ tự trên E nhưng không phải là quan hệ thứ tự tồn phân thì ta nói R là quan hệ thứ tự khơng tồn phần

Thi du:

- Quan hệ < trên tập số thực là quan hệ thử tự toàn phần vì

với mọi số thực a và b ta ln có

| a < bhoicb<a

và đo đó tập các số thực là tập có thứ tự toàn phần

- Quan hệ < trên tập các véc tơ n chiều (trong không gian vec tơ n chiều R”) là quan hệ thứ tự khơng tồn phân vì 1 a e R” và

3b e R” mà ta khơng có a< b và cũng không cỏ b < a và R” còn gọ! là tập có thứ tự bộ phận

Trang 17

§4 ÁNH XẠ

1 Các định nghĩa: Định nghĩa 1

f gọi là ánh xạ từ tập A vào tập B nếu Vx e A, 3y duy nhất c B mà ta ký hiéu 1a f(x) và gọi là ảnh của x qua ánh xạ Ta viết:

f:A—B x — f(x) Dinh nghia 2

Néu E c A thi anh cua E qua f là tập:

f(E) = {y e B: ax € E; y= f(x)} hoặc ta cũng viết:

f(E) = {f(x): x € E}

Nếu F c B thì ảnh ngược (tạo ảnh) của F qua f là tap: fÌŒ)= {xe A: Ñx) e F}

Chủ ý:

- Nếu fÌ(y) = Ø thì y ¢ f(A)

- Nếu fỶ(y) = x thì x là phần tử duy nhất có ảnh là y Định nghĩa 3

Cho f là một ảnh xạ từ tập A vào tập B a £ là toàn ánh nêu f(A) = B

b f là đơn ánh nếu Vxị, x;e A và xị # xạ — (XI) # FO)

Trang 18

Chu y

Nếu f là một song ánh từ A lên B thì ta viết f AGB Khi đó Vy € B, 3 x duy nhất e A để cho y = fx); như vậy sự tương ứng y —> x là một ánh xạ từ B vào Á mà ta ký hiệu là f” f': BoA y —> f(y) =x véi y = f(x) va ta có: ff)]=yVyeB f![fx)j]E=xWxeA

và trong trường hợp này ta nói f ' là ánh xạ ngược của Thi du:

Ký hiệu R là tập số thực; R” tập số thực không âm

a f: R-R cho bai y = x’ 14 mot anh xa nhưng khơng phải là

tồn ánh vì các sô âm không là ảnh của bât kỳ sô x nào qua ánh xạ y = x”; cũng không phải là đơn ánh vì hai số x và —x (với x # 0) có chung I ảnh

b Ê R — RỶ cho bởi y = x’: là toàn ánh nhưng không phải

là đơn ánh

c.f: R” RỶ cho bởi y = €” là đơn ánh nhưng không phải là

tồn ánh vì các sơ < 1 không là ảnh của bât kỳ sô x > 0 qua ảnh xạ y = €”,

d.£ R — R cho bởi y = ax + b (a # 0) là song ánh (vừa là toàn ánh, vừa là đơn ánh) Ánh xạ ngược của nó là:

f:R—R

v>aly-a*b 2 Hợp (hay tích) của 2 ánh xạ

Trang 19

Vxe A,31y€B sao cho f(x) = y và Vy € B, 3 z € C sao cho g(y) =z

Do d6 Vx € A; 4z © C (qua anh xa trung gian f) sao cho g[f(x)] = z

Vậy có một ánh xạ từ A tới C xác định như sau: xéA—z=g[f(x)] eC Dinh nghia 4

Hợp (hay tích) của hai ánh xạ f va g ky hiéu 14 gof: A > C xác định như sau:

xe A — (goÐ(x) = g[Ñx)] e C

Hợp của 2 ánh xạ thường được biểu điễn bởi sơ đồ:

A B C g S OS 2= gy) gof Thi du Cho A=B=C=R; xe R— y=f(x)=x’ eR; yeR->z=g(y)=y+3eR; khi đó ánh xạ hợp:

gof: R — R xác định như sau:

Trang 20

Độc giả có thẻ tự chứng minh các định lý sau đây Dinh ly 1,

Hợp của 2 đơn ảnh là một đơn ánh Hợp của 2 toàn ánh là một toàn ảnh Hợp của 2 song ảnh là một song ánh Định lý 2

Cho ánh xạ f: A —> B và Aj, Ao lA 2 tap con bất kỳ của A;

Bị, B¿ là 2 tập con bat kỳ của B Khi đó:

f(Ai (2 A2)= AI) C2 KA¿)

f(Ain A2) =KAU) ^£(A¿)

f' (Bi B;)=f}'(BJ) O2 f!(B;)

Trang 21

BÀI TAP CHUONG 1

1 Trong các trường hợp dưới đây, hỏi A có băng B khơng? a) A là tập các số thực > 0; B là tập các số thực > trị số tuyệt đơi của chính nó

b) A là tập các số thực > 0; B là tập các số thực < trị số tuyệt đối của chính nó

c) A là tập các số nguyên không âm, có tam thừa là số lẻ không chia hết cho 3; B là tập các số nguyên không âm, có bình phương trir 1 chia hết cho 24

2 Xét các tập con của Z:

A= {2m+ 1: meZ} B ={2n + 3: neZ} C= {2p —3: peZ} D= {3r+ I: reZ} E= {3s +2:seZ} F= {3t-2: teZ}

Hỏi rang trong các khăng định đưới đây, khang định nao là đúng?

a)A=B c)B=C e) D=F

b) A=C d) D=E ĐE=E

Trang 22

Hãy xác định các tập dưới đây:

a) (AUB) OC f) AU (BOC)

b)AU(BAC) g) (BAC)ND

c) CUD h) BA(C AD)

d) CAD i) (AUB)AGAD e) (AUB) AC 5 Xét các tập con của Z: A = (2n: neZ}; D= (6n: neZ); B= (3n:neZ}; E= {§n: neZ} C= {4n: neZ};

Hãy chi ra cdc khang dinh dudi day, khang dinh nao là đúng

a) ECCCA c) DcB e) Bc D

b) ACCCE đ) Dc A f)Dc A

6 Cho A, B, C, D là các tập con của U Hãy chứng minh răng:

a)NeuAc BvaCcDhi(ANOcBoD)va(AUOcBUD) b) NéuA cCvaBcC thi(ANB) CC va(AUB)cC

c) A c B khi và chỉ khi A ¬ B=Ø d) ACBkhi va chikhi A UB=U

7 Dùng các tinh chất của các phép toán tập hợp để đơn giản

các biêu thức dưới đây:

a)A¬(BOA}

B)(An¬B)U(AnBn¬fnD) ¿(AnB) c)(A UB) U(ANBNC)

Trang 23

8 Cho A={1, 2, 3$, B= {2, 3, 4} Tim cac tap lũy thừa sau day: P(A); P(B); P(A UL B); P(ANB)

9, Xét xem các mệnh đẻ nào dưới đây là đúng: a) P(AUB) = P(A) 2 P(B)

b) P(ANB) = P(A) 9 P(B) c) P(A x B) = P(A) x P(B)

10 Có thê kết luận gì về các tập A và B nếu các đăng thức dưới đây là đúng?

a)AUB=A c) AB=A

b) AB= A đ) AXB = BA

11 Hãy tìm một quan hệ trên A = {1 2, 3, 4} sao cho nó có tính chất:

a) Phản xạ và đối xứng nhưng không bắc cầu

b) Phản xạ và bắc cầu nhưng không đối xứng

c) Đối xứng và bắc cầu nhưng không phản xạ

12 Hãy chì rõ các tính chất của các quan hệ cho dưới đây: a) Quan hệ R trên Z: xRy © x + y la s6 chan

b) Quan hệ R trên Z: xRy <> x - y là số lẻ

c) Quan hệ R trên Z: xRy x” + yˆ là số chẵn đ) Quan hệ R trên R: xRy & |x| = |y\

ˆ ˆ - 3 +

e) Quan hệ R trên R: xRy © sin’x + sin’y = I Ð Quan hệ R trên N”: xRy © x = 2y

13 Quan hệ R trên A = {tap những người con trong một gia đình} được định nghĩa như sau:

xRy © x là em của y

Trang 24

Hỏi các quan hệ trên có tính chất gì? Quan hệ nảo là quan hệ tương đương? Quan hệ nào là quan hệ thử tự?

14 Cho A là một tập người nào đó Hãy chỉ rõ các quan hệ R nào dưới đây là quan hệ tương đương? R nào là quan hệ thứ tự?

a) xRy © x và y bang tuổi nhau b) xRy <> x và y là hai anh em ruột e) xRĐy © x và y quen biết nhau d) xRy <= x cao hơn y

e) xRy & x khéng cao hon y

15 A là tập các từ trong 1 cuỗn từ điển tiếng Việt Hãy chỉ rõ các quan hệ nào dưới đây là quan hệ tương đương? Quan hệ nào là quan hệ thứ tự?

a) xRy <> x cùng dấu với y

b) xRy © x có cùng số chữ cái với y

c) xRy © số chữ cái của x ít hơn số chữ cái của y

đ) xRy © số chữ cái của x khơng ít hơn số chữ cái của v 16 Với mỗi ánh xạ dưới day, hãy xác định xem nó có là đơn

Trang 25

17 Cho ánh xạ: f: R—> R xác định boi f(x) = x? Hãy tìm

f(A) trong các trường hợp dưới đây:

a) A = {2, 3} d) A =(-3, 2]

b) A = {-3, -2, 2, 3} e) A=[-7, 2]

c) A=(-3, 3) f) A=(-4, -3] u [5, 6]

18 V6i mdi anh xa f: Z > Z dudi day, xdc dinh xem nó có phải là đơn ánh hay toàn ánh khơng? Tìm f]Z]

a) f(x) =x +7 d) f(x) =x’,

b) f(x) = 2x —3 e) f(x) =x? +x

c) f(x) =-x + 5 f) f(x) =x’

19 Với mdi anh xa f: A > B dudi day, xét xem no co phai là đơn ánh, toản ảnh hay song ảnh không? Trong trường hợp nỏ là song ánh, hãy tìm ánh xạ ngược

a)A=B=R; f(x) =x+7 b)A=B=R; f(x) =x? +2x-3 c)A=[4,9]; B=[21, 96]; f(x) =x" + 2x -3 d)A=B=R_ f(x) =3x—2xl e)A=R; B= (0, + 0) f(x) =e"! fyA=B=N; f(x)=x(x+1) 20 Xét ảnh xa f: R — R định nghĩa bởi: x+7néux < 0 f(x) = +-2x+5 nếu 0<x<3 x-1nếu 3 < x a) Tim f'(-10); f’(0); £1(2); £"(6)

Trang 26

21 Xét ánh xạ: f: Z -> N xác định bởi: 2x-1 néux>0 f(x) = +-2x nếu 0 < 0,

x-lnếu 3 < x a) Chứng minh rang f là một song ánh

b) Tìm f'

22 Cho A ={1, 2, 3, 4} va xét 2 anh xa: fi AN va g: NON xác định bởi ø(x) = 2x và f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 5 va f(4) = 7 Hay tim fg

23 Xét 2 anh xa f va g: R > R xac định boi f(x) = ax + b va g(x) = 1-x + x’, Hãy xác định a va b dé cho:

(gof)(x) = 9x? — 9x +3 24 Xét 3 anh xa f, g, h: Z Z xác định bởi:

f(x) =x-L: e(x) = 3x: h(x) = tr nếu X chan

1 nêu xIe, a) Tim fog; gof; goh; hog; va fogoh

b) Tim f, f'; ø”, g'; h” h, h”” biết răng với n nguyên dương ta có định nghĩa f = f'; = ff; f' = ft)

25 Xét ánh xạ f: Z —> Z xác định bởi f{n) =n + (-1)”; a) Tìm Ÿ và suy ra f `

Trang 27

Chương 2

BÀI TỐN ĐÉM

§1 PHAT BIEU BAI TOAN

Dạng tổng quát nhất của bài tốn đếm có thể phát biểu ngắn gọn như sau: Cho một tập rời rạc Á; tìm bản số |A| của tập A, tức là hãy đếm xem A có bao nhiêu phần tử

Khi đếm các phân tử của A phải bảo đảm nghiêm ngặt hai nguyên tắc:

Một là: Không bỏ sót nghĩa là phần tử nào cũng được đếm Hai là: Không trùng lặp, nghĩa là khơng có phần tử nào được đếm quả một lần

Phương pháp tổng quát để giải bài tốn đếm có thẻ diễn giải

như sau: Giả sir A 1a tap can dém, N = {1, 2, , n} la tap n sé nguyên dương đầu tiên Nếu lập được sự tương ứng đơn trị hai chiều giữa các phần tử của A và các phần tử của N; nghĩa là tìm

được một song ánh ƒ

f: AON thi [A] =n

Tuy nhiên có rất nhiều cách cho tập A khác nhau, nên

phương pháp nêu trên chỉ có ý nghĩa như một định hướng tơng qt, cịn trên thực tế thì người ta phải căn cứ vào hình thái cụ thé của tập A mà tìm ra một giải pháp thích hop

Hãy xét một vài ví dụ đưới đây để thấy rõ điều đó

Thí dụ 1

Trang 28

Thí dụ 2

Cho A = {x}: x là các con số hàng nghìn mà các chữ số của nó tạo thành một dãy số tăng (thí dụ như 1348, 2569, ) Về hình thức thì trong hai thí dụ trên đều là tìm các con số thỏa mãn

những điều kiện nhất định; nhưng trong thí dụ 2 thì mỗi con số lại là một cấu hình tổ hợp gồm 4 chữ số chọn trong 9 chữ số và xếp theo một thứ tự nhất định Việc đếm các cấu hình tổ hợp như vậy nói chung là phức tạp hơn

Thi du 3

Một người vượt cầu thang có 13 bậc, lúc thì bước 1 bậc, lúc thi bước 2 bậc, lúc thì bước 3 bậc FÍói có bao nhiêu cách vượt cầu thang như thể, tập A ở đây là tập các cách vượt cầu thang, có ý nghĩa như là tập các “giải pháp” cho một vấn dề đặt ra, phức tạp hơn nhiều so với các thí dụ trước

Thí dụ 4

Có bao nhiêu lần lặp trong đoạn chương trình PASCAL đưới đây:

nmi=S: nạ: = 10; k: =0;

for i}: = 1 ton; dok: =k+l; for in: = 1 to np do kk: =k+1;

Số lần lặp ở đây tương ứng với số phép toán để thực hiện đoạn chương trình nói trên Mở rộng thí dụ này, vẫn đề đặt ra có thể là: Tìm số phép toán của chương trình thực hiện một

thuật tốn nào đó; con số này đặc trưng cho độ phức tạp của

Trang 29

Thi du 5

Một loài khuẩn sinh trưởng theo nguyên tắc sau đây: khi đủ a ngày tuổi (a nguyên dương) thì nó bắt đầu sinh sản, mỗi ngày một lứa, mỗi lứa sinh được b khuân con (b nguyên dương) Tại

thời điểm 1 = 0, số khuẩn là nạ con đều là mới sinh ra Tìm số

khuẩn nr tại thời điểm T > a (T nguyên dương) với giả thiết trong khoáng thời gian t e [0,T] khơng có con khuẩn nào bị chết A ở đây là tập các con khuẩn trong quá trình sinh trưởng của nó Qua các thí dụ trên ta thấy tập A có rất nhiều hình thái khác nhau, đo đó phương pháp đếm các phần tử của A cũng có một đa dạng tương xứng Trước tiên ta đếm các cấu hình tổ hợp đơn giản để từ đó xây dựng phương pháp đếm các các cấu hình tơ hợp phức tạp hơn

§2 CÁC PHÉP TỐN TỎ HỢP

KHÔNG LẶP

1 Chinh hop

Định nghĩa Chinh hợp chập k của n phần tử là một nhóm gồm k phần tử lây trong n phần từ đã cho và sắp xếp theo một thứ tự nhát định Ở đây mỗi phân tử chỉ được lấy một lần (không lặp)

Thị dụ

Cho X ={0, 1, 2, 3, 4, 5} gôm 6 phần tử

Các nhóm dưới đây: 123, 213, 401, 305, v.v đều là các chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử: Hai chỉnh hợp 123 và 321 có

Trang 30

hợp, ta xây dựng dẫn từ thành phần đầu tiên Thành phần đầu tiên có n cách chọn; thành phân thứ hai chỉ có (n - 1) khả năng chọn , thành phân thử k chỉ có (n - k + 1) khả năng chọn

Nếu ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần từ là A* thì ta có:

A* =n(n-1) (n-k +1) (1)

Thi du

Từ các phần tử của X đã cho ở trên, có thể lập được bao

nhiêu con số hàng trăm Ta thấy ngay:

S =A$ — A? =6.5.4- 5.4 = 120 - 20 = 100 số

Ở đây, A? là số các chỉnh hợp chập 3 có số 0 đứng ở phía trước; con số này không phải là con số hàng trăm

2 Hoán vị

Định nghĩa Hoán vị của n phần tử là một cách sắp xếp thứ tự n phân tử đó Ký hiệu sơ hốn vị là Pạ thì

Py, = AX = n(n-l) 2l=n' (2)

Thi du

Có Š người dàn hàng ngang chụp ảnh, hỏi có bao nhiêu kiểu ảnh khác nhau? Mỗi kiêu ảnh là một hoán vị, vậy:

Số kiểu anh la: Ps = 5! = 120

3 Tổ hop

Định nghĩa Tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm gồm k phân tử lây trong n phân tử đã cho (không kê thứ tự)

Nếu ký hiệu Cƒ là số tô hợp chập k của n phần từ thì dễ dang thay rang:

A¿ n(n-2) (n—k +1)

Trang 31

Nếu chú ý rằng CE là số ngun thì ta có nhận xét thú vị sau đây: Tích của k số tự nhiên liên tiếp nhau luôn chia hết cho tích của k số tự nhiên đầu tiên (k!)

Thi du I

Có 10 người thi đấu bóng bàn vịng trịn, hỏi có bao nhiều trận đầu? Cứ 2 người tạo nên 1 trận đâu, mỗi trận đấu là một tổ

hợp chập 2 của 10 Vậy số trận đấu là:

C? = ae = 45 tran

Thi du 2

Có bao nhiêu dãy nhị phân độ dài 10 có đúng 3 số 1 (và 7 số 0) Mỗi dãy nhị phân như thể tương ứng với việc chọn 3 vị trí trong 10 vị trí để gán số 1 tức lả tương ứng với một tổ hợp chập 3 của 10 phân tử Vậy số day nhị phân là:

cs — 10.9.8 _ = 120 9 1/23

Các sô tổ hợp C‡ rất hay gặp trong toán rời rạc, ta thường gọi là hệ số tổ hợp Dưới đây là một số công thức đáng nhớ:

(4)

k n!

ch =- " k!i(n—k)!

ck=cr* (5)

Ck =CK1 40%, (n>k>0) (6)

Chứng minh các công thức (4), (5), (6) rất đơn giản, xin dành cho độc giả Để có thể áp dụng công thức (4) và (5) cho mọi k < n, ta quy ước:

Trang 32

* Công thức (Š) giúp ta tính tốn nhanh hơn Thay cho tính CÈ „1a sẽ tính C?"** nêu n—k<k

Thi du

Tinh C®,; ta thay 10 - 8 = 2 < 8 nên ta tính

Cử = Củ = TS =4

* Công thức (6) với quy ước C? =1 cho phép ta tính tất cả các hệ số tổ hợp chỉ bằng phép cộng Các hệ số này được tính và viết theo quy tắc sau: Các dòng tương ứng với n = 0, l,2 , các cột tương ứng với k = 0, 1, 2 và ta có bảng tam giác dưới đây; gọt là tam giác Pascal

cs Cì Cc} Gg aia ce a aia ea G cm oC} x a kh At oy O 1 3 -1 `

Đòng hệ sô tô hợp cuôi cùng: C_, C_, C; , Ca, € là các hệ sô trong khai triên nhị thức Newton:

Trang 33

Từ hệ thức này ta suy ra một số công thức sau đây: Cho x = ] thì sẽ có: C?+ C) + +) =2" (8) Cho x = -1 thì sẽ có: C2 - C?+C?+C?+ +(-I)°C?)=0 Từ đó suy ra: Cÿ +C?+ = Cl+Cj+ =2"! (9)

Đạo hàm theo x hai về của (7) rồi thay x = | sé cd:

Ch+2C7 + 4 C= n.2™! (10)

§3 CÁC PHÉP TỐN TO HOP CO LAP

1 Chỉnh hợp lặp '

Định nghĩa Chinh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm gơm k phân tử lây trong n phân tử đã cho và sap xép theo một thứ tự nhật định; các phân tử có thê lây lặp

Thi du 1

Voi X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; các chỉnh hợp lặp chập 3 có thể là 123, 213, 211, 111, v.v

Nếu ký hiệu H} là số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử n

phân tử thì dễ dàng thấy răng mỗi thành phần của nó đều có n

cách lựa chọn nên ta có cơng thức:

Trang 34

Chú ý rằng trong chỉnh hợp lặp, số k không bị giới hạn bởi điều kiện k <n mà trái lại k có thể lấy giá trị lớn hơn n Chẳng bạn như với 3 chữ số 1, 2, 3 ta vẫn có thể lập được các con số hàng triệu gồm 7 chữ số:

1.222.333 ; 2.221.111 v v Thi du 2

Từ các chữ số thuộc X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, có thể lập được bao nhiêu con số hàng trăm? Mỗi con số hàng trăm là 1 chỉnh hợp lặp chập 3 của 6 chữ số đã cho, loại trừ các chỉnh hợp có số 0 đứng trước Do đó ta có số các con số hàng trăm là:

s= LẬ -LỆ =6`~ 6” = 180 số

2 Hoán vị lặp

Ta hãy xét 2 nhóm gồm 5 chữ cái: THANG và NHANH Nếu ta hoán vị 5 chữ cái trong nhóm THANG thì sẽ được P; = 5! =120 hoán vị khác nhau Nhưng khi hoán vị các chữ cái trong nhóm NHANH thì sẽ khơng được 120 hốn vị khác nhau; vì khi ta đổi vị trí 2 chữ N với nhau hoặc 2 chữ H với nhau, sẽ không tạo ra một hoán vị mới

Trong các hoán vị nảy chữ N lặp 2 lần, chữ H lặp 2 lần, ta gọi đó là các hoán vị lặp Số hoán vị lặp trong trường hợp này dễ đằng tính được lả: 120 _ 30,

2.2

Bây giờ ta xét trường hợp tông quát:

Cho k phần tử khác nhau; ta kí hiệu P(mị, nạ, , ny) là số

hoán vị của k phan tử trên, trong đó phần từ thứ thứ nhất lặp nị

Trang 35

Ta đễ dàng chứng minh được công thức sau đây: (n,+n,+ +n,)!

P(m, nạ, , nụ) = n,!n,! n,! (12) Thi du

Hoan vi cac chữ cái trong tên của dong séng MISSISIPI, ta

thây ở đây chỉ có 4 chữ cái M, P, S, I trong đó M và P không

lặp, S lặp 3 lần, I lặp 4 lần, Vậy số hoán vị là:

Ị |

(+1+3+4)!_ 9! _ sao 1111814! — 3141

Nếu ta đặt n = nị + nạ + + nụ, thì sẽ có định lý sau đây:

Dinh ly

Số P(m, nạ, ny) đúng bằng số cách chia n phân tử thành k

nhóm với số các phần tử tương ứng là nụ, nạ, ., nụ PC, 1,3, 4)=

Chứng minh: Khơng mắt đi tính tổng quát ta chi can chứng

minh cho trường hợp k = 3 Thật vậy:

Ta có C" cách chọn nị phần tử trong n phần tử Tương

ứng với mỗi cách chọn n¡ phần tử cho nhóm thứ nhất, ta cịn lại n - nị = nạ + nạ phần tử; do đó có C?,„ cách chọn nạ phan tir cho nhóm thứ hai

Đương nhiên sau khi chọn n; phần tử cho nhóm thứ hai thì

sẽ còn lại nạ phần tử của nhóm thứ ba Vậy số cách chia ấy là:

n! (n,+n,)!_(n,+n, +n,)!

=c" nạ -

S=€, € n(n—n,)! n,!n,! { 17* 2°°°3* n,!n,!n,! {2y 3°

Nn, #ny

Với chú ý rằng n = mị + nạ + nạ thì ta có:

Trang 36

Thi du

Có bao nhiéu cach chia bé bai 52 quan thanh 4 phan bang nhau? Khí đó mỗi phần có 13 quân, nên:

321

S = P(13, 13, 13, 13)= ( ) (3#

3 Tổ hợp lặp

Định nghĩa Tổ hợp lặp chập k của n phân tử là một nhóm gồm k phần tử lẫy (có thể lặp) trong n phần tử đã cho Giống như trong chỉnh hợp lặp, sô k có thê lớn hơn n

Thí dụ

Hai quả cam, ba quả quýt, bốn quả chanh có thể coi như tô hợp lặp chập 9 của 3 phân tử; trong đó: cam lặp 2 lần, quýt lặp 3 lần, chanh lặp 4 lần Ta kí hiệu số tổ hợp lặp chập k của n phần

tử là #Z và tìm cơng thức cho RỲ

Ta gán cho mỗi phần tử trong n phần tử đã cho một số nguyên dương khác nhau từ 1 đến n Khi đó mỗi tổ hợp chập k

không lặp của n phân tử tương ứng với l dãy sô tăng a¡a2 ax

trong đỏ:

l<aj<a< <a<n (k<n)

Và mãi tô hợp lặp chập k của n phần tử tương ứng với 1 dãy

số không giảm ai a ay trong đó Ï < ai < ã¿ € ay < < ay Sn và

không nhất thiết k < n

Ta thiết lập sự tương ứng giữa đấy ayaa ay với dãy bịbạ bị như sau:

Trang 37

bạ =aa +2

by = a, + (k -1)

Khi dé ta cé 1 < by < bạ< bạ< < bh<n+k-t

M6i day byb3 b, nhu vay tuong ứng với một tổ hợp (không lặp) chập k của (n + k- 1) phần tử,

Vay Ri < Can

Ngược lại với mỗi tô hợp không lặp chập k của (n + k - 1) phân tử (tương ứng với I dãy tăng bịbạ bự: bị > 1; b,<n+k-l) ta có thê tìm được một tô hợp lặp chập k của n phân tử (tương img voi day khéng giam aja) a : a¡ > ]; av < n) nghĩa là

k k

Cu < R,

x z k — k

Từ đó suy ra Cty =R, Thi du 1

Có bao nhiêu cách chia 10 chiếc kẹo cho 5 em bé? mỗi cách chia là một tổ hợp lặp chập 10 của 5 phân tử; vậy số cách chia la:

14.13.12.11

RY = Csoaa=Cá T CặT TT = 1001 cách

Thi du 2

Phuong trinh x; + x2 + x3 + x4=8

xj > 0 va nguyén (i = 1.4) có bao nhiêu nghiệm Mỗi nghiệm là một tổ hợp lặp chập 8 của 4 phân tử; vậy số nghiệm là

11.10.9

Trang 38

§4 CÁC NGUYÊN LÝ ĐÉM

Mỗi bài tốn đếm có một cấu trúc khác nhau nên chúng ta cần phải lựa chọn phương pháp đếm phù hợp với cấu trúc của bài tốn đó Một số phương pháp đếm có tính chất tông quát cho một lớp bài tốn, ta gọi đó là các nguyên lý đếm Dưới đây là các nguyên lý quan trọng

1 Nguyên lý cộng

Nếu At, A¿, , An là một phân hoạch của A, nghĩa là AE AiU A¿U LUÀn Và Ai ¬ À¡= Ø VÌ #j]

thì |A|= $1 A, | (14)

jel

Thi du 1

X = {X, Xo, 5 Xn}; A = P(X) tập lũy thừa của X Tìm |AI Ta biét rang P(X) là tập mọi tập con có thể có của X kể cả tập

rỗng Ø và bản thân X Ta kỉ hiệu Ay là tập mọi tập con gồm k phần tử của X; k = 0, I, 2 , n Trong đó Ao là tập rỗng Ta thay

A= P(X) = Ag U Al U UAn Va AiN Aj= 8 Vi Fj

Áp dụng nguyên lý cộng thì sẽ có: IA=®.I44l — vi|lA|= Ct k=0 Nên ta có: |Al= 3Œ =2" k=0 Thí dụ 2

Trang 39

mnị:=Š; nạ: = lŨ; m: = lộ; k: = 0;

for ij:=1 ton, dok:=k+1; for in: = 1 tony dok:=k+1; for 1ạ:= l to nạ do k:=k+ 1;

Ta thấy răng đầu tiên giá trị của k được gán bằng giá trị băng 0 và có 3 vịng lặp for độc lập Sau mỗi lần lặp của mỗi vòng giá trị của k tăng lên 1 đơn vị Vòng for thứ nhất lặp 5 lần; vòng for thứ hai lặp 10 lần và vòng for thứ ba lặp 15 lần Vậy sau 3 vòng lặp giả trị của k sẽ là: 5 + 10 + 15 = 30,

2 Nguyên lý nhân

Nếu A là tích Descarte: A = E\ x Ea x Ea thì

|AI =JEilJEa| |Ei| (15)

Trường hợp đặc biệt: A = E'” thì |A| = |EI”

Thí dụ 1

Mỗi biển số ô tô được ghi bởi 1 bộ gồm 2 chữ cái có lặp

trong 25 chữ cái và một bộ 4 chữ sơ có lặp Hỏi có bao nhiều biên sô khác nhau

Ký hiệu E;¡ là tập các bộ 2 chữ cái có lặp trong 25 chữ cái, ta

có |E¡| = !2,= 625

Ký hiệu E¿ là tập các bộ 4 chữ số có lặp thi [E,| = L4, = 10 Ký hiệu A là tập các biên số ô tô thì:

A=EixE¿ Do đó [Al ={E|| |Es| = 625.10° Thi du 2

Trang 40

Thí dụ 3

Giá trị của k sé là bao nhiêu sau khi đoạn chương trình PASCAL dưới đây thực hiện?

nị: =Š;

hạ: — 10;

ny: = 15; k: = 0;

for ij: = 1 ton, do for in: = 1 to n do

for i3: = 1 ton3 do k: =k+1;

Đầu tiên giá trị của k được gán bằng 0 và vòng lặp for lồng nhau Sau mỗi lần lặp của vòng for, giá trị của k tăng lên 1 Vòng for thứ nhât lặp 5 lân, vòng for thứ 2 lặp 10 lân, vòng thứ ba lặp 15 lân Vậy sau 3 vòng lặp for lông nhau, giá trị của k sẽ là:

k=5xI10x15=750 3 Nguyên lý loại trừ

Nếu AcB thì |A|= |B|- |BVA| (16) Ta gọi đó là nguyên lý loại trừ

Thí dụ

Có § nam và I0 nữ; có bao nhiêu cách chọn ra 6 người có cả nam và nữ?

Nếu muốn áp dụng nguyên lý cộng ta làm như sau:

Ký hiệu A; là tập các nhóm 6 người có cả nam và nữ; trong đó có 1 nam 1 <i <5 thi tacé:

A=A,U A2U Agu Agu As

Và A¡¬A;¡ = Ø V 1z]

Vậy |A{= |Ai| + |Aa| + |Aa| + jA4{ + |Aa|