BỘ đề THI học kỳ i môn TOÁN NÂNG CAO lớp 11 có đáp án

Tính xác suất để: 1 1đ Trong 3 quyển sách lấy ra, có ít nhất một quyển sách toán.. Viết phương trình ảnh của đường tròn C qua phép biến hình f.. Viết phương trình ảnh của đường tròn C qu

Đề số 1

ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 – Nâng cao

Thời gian làm bài 90 phút

Câu I: (3đ) Giải các phương trình sau :

1) (1đ) 3 tan2x− +(1 3 tan) x+ =1 0 2) (1đ) 2cos2 x 3 3 cos2x 0

2 4 1

  , biết: C n C n A n

0 − 2 1 + 2 = 109 2) (1đ) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có sáu chữ số và thoả mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị

Câu III: (2đ) Trên một giá sách có các quyển sách về ba môn học là toán, vật lý và hoá học, gồm 4

quyển sách toán, 5 quyển sách vật lý và 3 quyển sách hoá học Lấy ngẫu nhiên ra 3 quyển sách Tính xác suất để:

1) (1đ) Trong 3 quyển sách lấy ra, có ít nhất một quyển sách toán

2) (1đ) Trong 3 quyển sách lấy ra, chỉ có hai loại sách về hai môn học

Câu IV: (1đ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn ( ) :(C x− 1)2+ − (y 2)2 = 4 Gọi f là phép biến

hình có được bằng cách sau: thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ v 1 3;

 , tỉ số k 2= Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép biến hình f.

Câu V: (2đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M và N lần lượt là trọng tâm

của tam giác SAB và SAD.

Đề số 1 Thời gian làm bài 90 phút

1 A là biến cố “Trong 3 quyển sách lấy ra, có ít nhất một quyển sách toán”.

Alà biến cố “Trong 3 quyển sách lấy ra, không có quyển sách toán nào”

0,50

P A

C

3 8 3 12

14 ( )

Gọi I là tâm của (C) thì I(1; 2) và R là bán kính của (C) thì R = 2.

Gọi A là ảnh của I qua phép tịnh tiến theo vectơ v 1 3;

2 + Qua E vẽ đường thẳng song song với BD cắt CD tại F, cắt AD tại K.

+ KN cắt SD tại Q, KN cắt SA tại G; GM cắt SB tại P.

HẾT

Đề số 2

ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 – Nâng cao

Thời gian làm bài 90 phút

Câu I: (3đ) Giải các phương trình sau :

1) (1đ) sin3x− 3 cos3x= 1 2) (1đ) 4cos3x+ 3 2 sin2x= 8cosx

Câu III: (2đ) Có hai cái hộp chứa các quả cầu, hộp thứ nhất gồm 3 quả cầu màu trắng và 2 quả cầu màu

đỏ; hộp thứ hai gồm 3 quả cầu màu trắng và 4 quả cầu màu vàng Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 quả cầu Tính xác suất để :

1) (1đ) Trong 4 quả cầu lấy ra, có ít nhất một quả cầu màu trắng

2) (1đ) Trong 4 quả cầu lấy ra, có đủ cả ba màu: trắng, đỏ và vàng

Câu IV: (1đ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn ( ) :C (x− 2) (2+ −y 1)2 = 9 Gọi f là phép biến

hình có được bằng cách sau: thực hiện phép đối xứng tâm M 4 1;

tỉ số k 2= Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép biến hình f

Câu V: (2đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AD // BC, AD > BC) Gọi M là một

điểm bất kỳ trên cạnh AB ( M khác A và M khác B) Gọi (α) là mặt phẳng qua M và song song với

Thời gian làm bài 90 phút

x

Điều kiện: cosx 1 x k2

Gọi A là biến cố “Trong 4 quả cầu lấy ra, có ít nhất một quả cầu màu trắng”.

A là biến cố “Trong 4 quả cầu lấy ra, không có quả cầu màu trắng”

Gọi I là tâm của (C) thì I(2 ; 1) và R là bán kính của (C) thì R = 3.

Gọi A là ảnh của I qua phép đối xứng tâm M ; 1

3

4 3

6 2

13 2

Thời gian làm bài 90 phút

Bài 1 (2,5 điểm) Giải các phương trình :

1) 2sin( 2x + 150 ).cos( 2x + 150 ) = 1 2) cos2x – 3cosx + 2 = 0

2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số khác nhau.

Bài 4 (1,5 điểm) Một hộp chứa 10 quả cầu trắng và 8 quả cầu đỏ, các quả cầu chỉ khác nhau về màu Lấy

ngẫu nhiên 5 quả cầu

1) Có bao nhiêu cách lấy đúng 3 quả cầu đỏ

2) Tìm xác suất để lấy được ít nhất 3 quả cầu đỏ

Bài 5 (1,5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(– 2; 3) , B(1; – 4); đường thẳng d:

x y

3 −5 + =8 0; đường tròn (C ): (x+4)2+ −(y 1)2 =4 Gọi B’, (C′) lần lượt là ảnh của B, (C) qua

phép đối xứng tâm O Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ ABuuur

1) Tìm toạ độ của điểm B’, phương trình của d’ và (C′)

2) Tìm phương trình đường tròn (C′′) ảnh của (C) qua phép vị tâm O tỉ số k = –2

Bài 6 (2,25 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của SA, SD và P là một điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AP = 2PB

1) Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (ABCD)

2) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD)

3) Tìm giao điểm Q của CD với mặt phẳng (MNP) Mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết diện là hình gì ?

4) Gọi K là giao điểm của PQ và BD Chứng minh rằng ba đường thẳng NK, PM và SB đồng qui tại một điểm

-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD :

Đề số 3

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 – Nâng cao

Thời gian làm bài 90 phút

, k Z

x

2cos 1

Với điều kiện (*) ta có: (1) ⇔ sin2x – 4sinx.cosx – 5cos2x = 0

• cosx = 0 không thoả mãn phương trình (1)

• cosx ≠ 0 , chia hai vế của (1) cho cos2x ta được:

(1) ⇔ tan2x – 4tanx – 5 = 0 ⇔ tantanx x= −=51

Tìm hệ số chứa x 31 trong khai triển biểu thức ( 3x – x3 )15

Số hạng tổng quát của khai trển trên là :

– Số cách lấy được đúng 3 quả cầu màu đỏ là : 2520

– Số cách lấy được 4 quả cầu đỏ là C C84 1 10=700

– Số cách lấy được 5 quả cầu đều màu đỏ là : C85=56

Xác suất của biến cố lấy được ít nhất 3 quả caàu màu đỏ là :

1

Ta có : B’ = (–1; 4), d’: –3x + 5y + 8 = 0Đường tròn (C) có tâm I(–4 ; 1) và bán kính R = 2Đường tròn (C’) có tâm I’(4 ; – 1) và R’ = 2 ⇒ (C’) : (x – 4)2 + (y + 1)2 = 4

D A

B

C S

MN là đường trung bình của tam giác SAD

Vì MN nằm ngoài mặt phẳng (ABCD) và MN // AD nên MN // (ABCD)

Ba mặt phẳng (MNP), (SAD) và (ABCD) cắt nhau theo ba giao tuyến MN, PQ,

AD, đồng thời MN //AD nên ba đường thẳng PQ, MN, AD đôi một song song

Trong mặt phẳng (ABCD), qua điểm P kẻ đường thẳng song song với AD, cắt

CD tại Q Điểm Q là giao điểm cần tìm

Vậy ba đường thẳng SB, MP, NK đồng qui tại I

0,5

T

Đề số 4

ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2014– 2015 Môn TOÁN Lớp 11 Nâng cao

Thời gian làm bài 90 phút

Bài 1: (2đ) Giải các phương trình sau:

1) sin 2x+ 3 cos 2x=2 2) 4sin2x+2sin 2x+2 cos2x=1

Bài 2: (1đ) Tìm hai số hạng đứng giữa trong khai triển nhị thức Newton ( 3 )31

Bài 5: (2đ) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với M và N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và CD

Gọi ( )α là mặt phẳng qua MN song song với SA cắt SB tại P, cắt SC tại Q

1) Tìm các giao tuyến của hai mặt phẳng: a) (SAB và ) (SCD) b) ( )α và (SAB) 2) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( )α

3) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang

O P

B A

Thời gian làm bài 90 phút

cos 1cos 1

1cos oscos

32

x c x

223

k Z k

x

0,25 0,25

Đề số 6

ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2014 – 2015 Môn TOÁN Lớp 11 Nâng cao

Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1: (4 điểm)

1) Tìm tập xác định của hàm số: y x

x

1tan

a) Lấy được 2 viên bi cùng màu b) Lấy được 2 viên bi khác màu

3) Một túi đựng 11 viên bi chỉ khác nhau về màu, gồm 4 bi xanh và 7 bi đỏ Lấy lần lượt 2 viên bi, lấy xong viên 1 thì bỏ lại vào túi Tính xác suất để:

a) Cả hai lần lấy cả 2 viên bi đều màu đỏ b) Trong 2 lần lấy, có ít nhất 1 viên bi xanh

Câu 3: (1,5 điểm)

1) Cho đường tròn (C): x2+y2+4x−6y−12 0= Viết phương trình đường tròn (C′) là ảnh của (C)

qua phép tịnh tiến theo vectơ u (2; 3)r= −

2) Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh bằng 2 Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE 1= Tìm phép dời hình biến AO thành BE

Câu 4: (1,5 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, O là giao điểm của 2 đường chéo AC và

BD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC

1) Tìm giao điểm của SO với mp(MNB) Suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MNB).2) Tìm các giao điểm E, F của AD, CD với mp(MNB)

3) Chứng minh rằng E, F, B thẳng hàng

16

3

ππ

3

c) PT ⇔ cos3x+sin3x=cos2x−sin2x

⇔ (cosx+sin )(cosx 2x−cos sinx x+sin ) (cos2x = x−sin )(cosx x+sin )x

⇔ (cosx+sin )(1 sin cosx − x x+sinx−cos ) 0x =

17

⇔ (cosx+sin )(1 cos )(sinx − x x+ =1) 0

x

1 cos 0sin 1 0

b) Gọi x abc= là số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5

Nếu x 235≥ thì có các trường hợp như sau:

2) Số phần tử của không gian mẫu là: n( )Ω =C112 = 55

a) Gọi A là biến cố "Lấy được 2 viên bi cùng màu"

⇒ n A( )=C42+C72 = 27 ⇒ P(A) = n A

n

( ) 27( ) 55Ω =b) Gọi B là biến cố "Lấy được 2 viên bi khác màu"

⇒ B A= ⇒ P(B) = 1 – P(A) = 1 27 28

55 55

3) Số phần tử của không gian mẫu là: n( )Ω =C C11 111 1 = 121

a) Gọi A là biến cố "Cả 2 lần lấy đều được 2 viên bi đỏ"

⇒ n A( )=C C7 71 1 = 49 ⇒ P(A) = n A

n

( ) 49( ) 121Ω =b) Gọi B là biến cố "Trong 2 lần lấy có ít nhất 1 viên bi xanh"

• Xét phép quay tâm H, góc 900, ta có: Q( ,90 )H 0 :A a O O; a B ⇒ AO → OB

• Xét phép quay tâm B, góc 450, ta có: Q( ,45 )B 0 :B a B O; a E ⇒ BO → BENhư vậy bằng cách thực hiện tiếp hai phép dời hình là: phép Q( ,90 )H 0 và

H

b) Trong mp(SAD), gọi E = PM ∩ DA

⇒ E = (MNB) ∩ DATrong mp(SDC), gọi F = PN ∩ DC ⇒ F = (MNB) ∩ DCc) Từ câu b) ta suy ra được: B, E, F là các điểm chung của hai mặt phẳng (MNB) và (ABCD) Suy ra E, B, F thẳng hàng

Đề số 7

ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2014– 2015 Môn TOÁN Lớp 11 Nâng cao

Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1: (4 điểm)

1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức y=sin2x− 3 cos2x−1

2) Giải các phương trình sau:

a) 2sinx+ 3 0= b) 4sin2x 3sin 2x cos2x 0

a) Tính xác suất để lấy được 3 quyển đôi một khác loại

b) Tính xác suất để lấy được 3 quyển trong đó có đúng 2 quyển cùng một loại

2) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển P x x

x

5 3

2

2( )=3 − ÷

Câu 3: (1,5 điểm) Trên đường tròn (O; R) lấy điểm A cố định và điểm B di động Gọi I là trung điểm của

AB Tìm tập hợp các điểm K sao cho ∆OIK đều

Câu 4: (1,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N lần lượt là trung

điểm của AB và SC

1) Tìm giao tuyến của (SMN) và (SBD)

2) Tìm giao điểm I của MN và (SBD)

Đề số 7

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2014 – 2015

Môn TOÁN Lớp 11 Nâng cao

Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1:

1) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sin2x− 3 cos2x−1

Ta có: y=sin2x− 3 cos2x−1 = 2 1sin2x 3cos2x 1

tan 1

1tan

a) Gọi A là biến cố "Lấy được 3 quyển sách đôi một khác loại"

Số cách chọn 3 quyển sách đôi một khác loại: C C C4 6 21 1 1 =48 ⇒ n A( ) 48=

⇒ Xác suất của biến cố A: P(A) = 48 12

220 55= .b) Gọi B là biến cố "Lấy được 3 quyển sách, trong đó có đúng 2 quyển cùng loại"

+ Số cách chọn có đúng 2 quyển tiểu thuyết: C C42 1 8=48

+ Số cách chọn có đúng 2 quyển truyện tranh: C C62 1 6 =90

+ Số cách chọn có đúng 2 quyển cổ tích: C C2 102 1 =10

⇒ Số cách chọn có đúng 2 quyển cùng loại: 48 + 90 + 10 = 148 ⇒ n B( ) 148=

⇒ Xác suất của biến cố B: P(B) = 148 37

220 55= .2) P x x

x

5 3

2

2( )=3 − ÷

+ Vì ∆OIK đều nên phép quay Q( ,60 )O 0 : a I K hoặc Q( , 60 )O− 0 :I a K

Vậy tập hợp các điểm K là hai đường tròn (C′) và (C′′) lần lượt là ảnh của (C) qua

các phép quay Q( ,60 )O 0 và Q( , 60 )O− 0

Câu 4:

a) Giao tuyến của (SMN) và (SBD)

Ta có: S ∈ (SMN) ∩ (SBD) (1)Trong mp(ABCD), gọi E = MC ∩ BD ⇒ E ∈ (SMN) ∩ (SBD) (2)

K

S

CD

M

N

E

b) Giao điểm của MN và (SBD)

Gọi F là trung điểm của EC ⇒ NF // SE và E là trung điểm của MF

⇒ IE là đường trung bình của ∆MNF ⇒ I là trung điểm của MN

⇒ MI

MN

12

=

===========================

Đề số 8

ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2014 – 2015 Môn TOÁN Lớp 11 Nâng cao

Thời gian làm bài 120 phút

2) Giải các phương trình sau:

a) sin 22 x+cos 32 x=1 b) 3sin2x+2sin 2x−7cos2x=0

1) Trong khai triển (1−x)n với n là số nguyên dương Tìm n biết hệ số của số hạng chứa x là –7.

2) Trên một kệ sách có 8 quyển sách Anh và 5 quyển sách Toán Lấy ngẫu nhiên 5 quyển Tính xác suất để trong 5 quyển sách lấy ra có:

a) Ít nhất 3 quyển sách Toán b) Ít nhất 1 quyển sách Anh

Câu 3: (1,5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A(3; 0), B(0; 3), C(0; –3) Gọi d là đường thẳng đi

qua 2 điểm A, B

1) Viết phương trình đường thẳng d′ là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox.

2) M là điểm di động trên đường tròn tâm O đường khính BC Tìm quĩ tích trọng tâm G của ∆MBC

Câu 4: (1,5 điểm) cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD // BC và AD = 2BC Gọi

Đề số 8

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2014 – 2015

Môn TOÁN Lớp 11 Nâng cao

Thời gian làm bài 120 phút

1 2

x y

2 3

π

5 6

π

−

4 3

π

6

π

b) 3sin2x+2sin 2x−7cos2x=0 ⇔ 3sin2x+4sin cosx x−7cos2x=0 (*)

+ Với cosx=0, ta thấy không thoả PT (*)

+ Với cosx≠0, chia 2 vế của PT (*) cho cos2x, ta được:

(*) ⇔ 3tan2x+4 tanx− =7 0 ⇔

x x

tan 1

7tan

sin 0cos 0

2 2

cos cos2 cos sin 2 sin

sin cossin

+

x x x

2 2

sin cossin

⇔ 2sin2x−3sinx+ =1 0 ⇔

x x

sin 1

1sin

Số hạng chứa x là: C n1( )−x 1= −nx Theo giả thiết ta suy ra được: n− = − ⇔ =7 n 7

2) Số cách lấy ngẫu nhiên 5 quyển sách từ 13 quyển sách là: C135 =1287 (cách) ⇒ n( ) 1287Ω = a) Gọi A là biến cố "Trong 5 quyển sách lấy ra có ít nhất 3 quyển sách Toán"

+ Nếu lấy 3 quyển Toán và 2 quyển Anh thì số cách lấy là: C C53 82 =280

24

+ Nếu lấy 4 quyển Toán và 1 quyển Anh thì số cách lấy là: C C54 88=40

+ Nếu lấy 5 quyển Toán thì số cách lấy là: C55=1

⇒ n A( ) 280 40 1 321= + + = ⇒ P(A) = n A

n

( ) 321 107( ) 1287 429Ω = =b) Gọi B là biến cố "Trong 5 quyển sách lấy ra có ít nhất 1 quyển sách Anh"

Số cách lấy ra 5 quyển sách mà không có quyển sách Anh nào là: C55 =1

⇒ Số cách lấy ra 5 quyển sách trong đó có ít nhất 1 quyển sách Anh là: 1287 – 1 = 1286

• Trong (ABCD), gọi O = AC ∩ BD ⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD)

Mặt khác, S ∈ (SAC) ∩ (SBD)Suy ra (SAC) ∩ (SBD) = SO

• Trong (ABCD), gọi E = AB ∩ CD ⇒ E ∈ (SAC) ∩ (SBD)

Mặt khác, S ∈ (SAB) ∩ (SCD)Suy ra (SAC) ∩ (SBD) = SE

• Ta có S ∈ (SAD) ∩ (SBC) Gọi Sx = (SAD) ∩ (SBC)

Mà AD // BC nên Sx // AD // BC.

Vậy giao tuyến của 2 mp (SAD) và (SBC) là đường thẳng Sx đi qua

S và song song với AD, BC

b) Trong (ABCD), gọi I = BM ∩ AC ⇒ I ∈ (SBM)

Trong (SBM), gọi H = BG ∩ SI ⇒ H = BG ∩ (SAC)

Gọi N là trung điểm của AD ⇒ MN // AC (MN là đường trunh cình của ∆ACD)

J là giao điểm của AC và BN ⇒ J là giao điểm của 2 đường chéo hình bình hành ABCN

Từ IJ // MN ⇒ I là trung điểm của BM.

Trong ∆SBM, vẽ GK // SI

Trong ∆SIM ta có: GK // SI ⇒ MI MS

MK = MG =3 (vì G là trọng tâm của ∆SCD) ⇒

IM IK

32

=

Trong ∆BHG, ta có: HI // GK ⇒ HB IB IM

HG IK IK

32

= = = Vậy HB

HG

32

=

==============================

Đề số 9

ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2014 – 2015 Môn TOÁN Lớp 11 Nâng cao

Thời gian làm bài 120 phút

b) Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh Tính xác suất để:

i) Trong 2 học sinh được chọn có 1 nam và 1 nữ

ii) Một trong 2 học sinh được chọn là An hoặc Bình

Câu 3: (1,5 điểm)

1) Cho đường tròn (C): x2+y2−8x+ =6 0 và điểm I(–3; 2) Viết phương trình đường tròn (C′) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I tỉ số k= −2

2) Cho tam giác đều ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC Xác định tâm và góc của

phép quay biến vectơ AMuuur thành vectơ CNuuur

Câu 4: (1,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành ABCD có tâm là O Gọi M là trung

điểm của SC

1) Xác định giao tuyến của (ABM) và (SCD)

2) Gọi N là trung điểm của BO Hãy xác định giao điểm I của (AMN) với SD Chứng minh rằng

Câu 1: (4 điểm)

1) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sin 2x− 3 cos2x+3

Ta có: y=sin 2x− 3 cos2x+3 = 2 1sin2x 3cos2x 3

+ Dễ thấy cosx = 0 không thỏa mãn phương trình đã cho