boi duong toan 8

Giáo án bồi dỡng HSG Toán 8 Ngày soạn :28/10/2008 Buổi 8: Phơng trình nghiệm nguyên A. Kiến thức cơ bản: I. Một số ph ơng pháp th ờng vận dụng khi giải ph ơng trình nghiệm nguyên 1. Ph ơng pháp đ a về ph ơng trình tích: Các ví dụ: VD1: Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình: xy x y =2 Giải: Viết PT về dạng: (x 1 )(y 1 ) =3 Do x, y Z nên (x-1), (y-1) Z và x-1, y-1 là ớc của 3 Do vai trò của x,y nh nhau nên không mất tính tổng quát g/s x y 1 3 4 1 1 2 1 1 1 1 0 1 3 2 x x y y x y x x y y = = = = = = = = Vậy phơng trình có nghiệm (x;y) = (4;2), (0;-2) , (2;4), (-2;0) VD2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x 2 +x+6=y 2 (2) Giải: Phơng trình đã cho tơng đơng với ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 24 4 2 2 1 23 2 2 1 2 2 1 23 2 2 1 0 2 2 1 0 x x y y x y x y x y x y x + + = + = + + + = + + > + > Ta có: 2 2 1 2 2 1y x y x+ + > + nên 5 6 6 2 2 1 23 2 12 6 2 2 1 1 2 1 11 5 6 6 6 x y x y x y y y x x x y x y = = = + + = = = + = + = = = = = Vậy phơng trình có các nghiệm nguyên (5;6),(5;-6),(-6;6),(-6,6) 2. Đ a về ph ơng trình tổng: Các ví dụ: VD1: Tìm các nghiệm nguyên dơng của phơng trình: x 2 4xy +5y 2 =169 Giải: Pt tơng đơng với: (x 2y) 2 +y 2 =169 =13 2 +0 2 =12 2 +5 2 Mà y Z + ; 2 0 13 2 5 2 12 2 12 5 x y y x y x y N y x y y = = = = = = Từ đó tìm đợc nghiệm nguyên dơng của PT: (26;13), (29;12) , (19;22), (22;5) VD2: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: GV: Phan Thanh Tuấn Trờng THCS Quảng Phúc 1 Giáo án bồi dỡng HSG Toán 8 1 10 1 7 x y z + = + Giải: Ta có 10 1 1 1 1 1 1 1 1 7 2 2 3 3 x y z = + + = + + + + Vì sự phân tích trên là duy nhất nên ta có x=1;y=2;z=3 3. Nhận xét về ẩn số: VD: Giải phơng trình nghiệm nguyên: 1+x+x 2 +x 3 =y 3 Giải: Ta có x 2 +x+1>0 và 5x 2 +11x+7>0 với mọi x Nên (1+x+x 2 +x 3 ) (x 2 +x+1)< 1+x+x 2 +x 3 <(1+x+x 2 +x 3 ) +(5x 2 +11x+7) Do đó x 3 <y 3 <(x+2) 3 suy ra y 3 =(x+1) 3 Từ đó suy ra x(x+1)=0 Vậy nghiệm nguyên của phơng trình đã cho là: 0 1 ; 1 0 x x y y = = = = 4. Vận dụng tính chất của tập hợp số nguyên. VD1: Giải phơng trình nghiệm nguyên: 3x+17y=159 Giải: Giả sử x,y là các số nguyên thoả mãn phơng trình Ta thấy 3x,159 chia hết cho 3 nên 17y phải chia hết cho 3 mà 17 không chia hết cho 3 vậy y phải chi hết cho 3 suy ra y=3t(t Z ) Thay y=3t vào pt ta đợc: x=53-17t Thay x=53-17t; y=3t vào pt, ta đợc nghiệm đúng VD2: Tìm nghiệm nguyên tố của ph ơng trình: x 2 2y 2 = 1 Giải: PT tơng đơng với (x+1)(x-1)=2y 2 Vì x 2 =2y 2 +1 là số lẻ nên x+1, x-1 là số chẵn do đó (x+1)(x-1) chia hết cho 4 vậy y 2 chia hết cho 2 suy ra y chia hết cho 2 mà y là số nguyên tố nên y=2 Vậy phơng trình có nghiệm: (3;2) 5. Ph ơng pháp chứng minh bằng phản chứng. b. Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên của pt: x 3 +2y 3 =4z 3 (1) Giải: Giả sử (x 0 ;y 0 ;z 0 ) là một nghiệm nguyên của phơng trình (1) . Khi đó x 0 chia hết cho 2 . đặt x 0 =2x 1 . Thay vào (1) ta có y 0 chia hết cho 2, đặt y 0 =2y 1 Thay vào (1) ta có z 0 chia hết cho 2 ,đặt z 0 =2z 1 . Nh vậy nếu (x 0 ;y 0 ;z 0 ) là nghiệm của (1) thì (x 1 ;y 1 ;z 1 ) cũng là nghiệm của (1) . Quá trình cứ tiếp tục mãi suy ra x 0 ,y 0 ,z 0 chia hết cho 2 k (k thuộc tập số tự nhiên) Vậy (x 0 ;y 0 ;z 0 )=(0;0;0) B. Bài tập áp dụng Bài1: Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình: a/ 5x-y=13 b/23x+53y=109 c/12x-5y=21 d/12x+17y=41 e/5x+10y=3 g/4x+12y=7 h/ 4x+11y=47 i/12x-7y=45 k/9x+10y=135 Bài2: Giải phơng trình nghiệm nguyên a/ x 2 +91=y 2 e/ 2 m -2 n =1984 k/ x+y=xy b/x 2 -656xy-657y 2 =1983 g/ (x+5)(y+6)=3xy l/x 2 +x+1991=y 2 c/x 2 -25=y(y+6) h/ y3-x3=91 m/x 2 =y 2 +2y+13 d/ 2 2 3 6 332 2 x y x = + i/x 4 =y 2 (y-x 2 ) n/x 2 -6xy+5y 2 =121 Bài3: Tìm nghiệm nguyên dơng : a/2 x +2 y +2 z =2336 b/x 2 (x+2y)-y 2 (y+2x)=1991 c/ xy -2x +3y =27 GV: Phan Thanh Tuấn Trờng THCS Quảng Phúc 2 Gi¸o ¸n båi dìng HSG To¸n 8 d/3x 2 +10xy+8y 2 =96 e/ 2 n +12 2 =z 2 -3 2 Bµi4: Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn a/ x 2 +13y 2 =100+6xy b/x 2 -x-6=-y 2 c/ 4x 2 +4x+y 2 =24 d/101(x 2 y 2 z 2 +x 2 +z 2 )=913(y 2 z 2 +1) Bµi5: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña c¸c ph¬ng tr×nh sau: a/ 3x 2 +2y 2 +z 2 +4xy+2xz=26-2yz b/ x 2 +y 3 -3y 2 =65-3y c/31(xyzt+xy+xt+zt+1)=40(yzt+y+t) d/ 55(x 3 y 3 +x 2 +y 2 )=229(xy 3 +1) e/7(x 2 y+x+xy 2 +2y)=38xy+38 g/x 6 +z 3 -15x 2 z=3x 2 y 2 z-(y 2 +5) 3 h/(x 2 +4y 2 +28) 2 =17(x 4 +y 4 +14y 2 +49) i/ 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n x x x + + + = Bµi6: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT: 1 2 3 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 1 n x x x n x − = + + + + + + + M M Bµi7: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña c¸c pt sau: a/ x+y+z=xyz b/ 1 1 1 2 x y z + + = c/ 2 2 2 2 1 1 1 1 1 x y z t + + + = d/5(x+y+z+t)=2xyzt-10 e/5(xy+yz+zx)=4xyz g/ xyz=9+x+y+z h/x+y+1=xyz i/2 x +1=3 y k/xy 2 +2xy+x-216y=0 Bµi8: Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn: a/ 3 xy xz yz z y x + + = b/ y 3 -x 3 =3x c/x 4 +x 2 +1=y 2 d/ (x+2) 2 -x 4 =y 3 e/x 3 -y 3 -2y 2 -3y-1=0 g/y 3 -x 3 =2x+1 h/x 4 -y 4 +z 4 +2x 2 z 2 +3x 2 +4z 2 +1=0 i/ x 4 +x 2 +4=y 2 -y k/ x 4 +x 2 -y 2 +y+10 l/x 6 -x 2 +6=y 3 –y m/19x 2 +5y 2 +1995z=9 505 +3 n/x 2 +y 2 +z 2 =1980 o/ 4 4 4 1 2 14 1999x x x+ + + = Bµi9: Chøng minh r»ng c¸c ph¬ng tr×nh sau kh«ng cã nghiÖm nguyªn a/ x 3 +y 3 +z 3 =30419751951995 b/x 5 +3x 4 y-5x 3 y 2 -15x 2 y 3 +xy 4 +12y 5 =33 Bµi10: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh a/ 4xy-x-y=z 2 b/ x 2 -y 3 =7 c/4xy-y=9x 2 -4x+2 d/ 1980x y+ = víi x<y e/xy 2 +2xy-243y+x=0 Bµi11: Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn: a/ 19x 2 +28y 2 =729 b/x 2 +4y 2 =196 c/ 13 7 2000x y− = d/ 11 2 1 3 4 1 2 5 x x y y− + = − − + e/x 3 -100=225y g/ 19x 5 +5y+1995z=x 2 -x+3 Bµi12: Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn: a/ x 3 -3y 3 -9z 3 =0 b/x 2 +y 2 +z 2 +t 2 =2xyzt c/8x 4 +4y 4 +2z 4 =u 4 d/x 2 +y 2 +z 2 =x 2 y 2 e/ 1!+2!+…+x!=y 2 GV: Phan Thanh TuÊn Trêng THCS Qu¶ng Phóc 3 Giáo án bồi dỡng HSG Toán 8 Ngày soạn :18/10/2008 Buổi 6 : Phơng trình vô tỉ Phơng trình vô tỉ là phơng trình có chứa ẩn trong dấu căn Các phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình vô tỉ I. Ph ơng pháp biến đổi t ơng đ ơng: Dạng1: ( ) ( )f x g x= ( ) ( ) 0 ( ) ( ) x TXD f x g x f x g x = = (*) Chú ý: Điều kiện (*) đợc lựa chọn tuỳ theo độ phức tạp của f(x) 0 và g(x) 0 VD: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: 2 2 3 2 2x x m x x + = + 2 2 2 1 2 3 2 0 3 2 2 0 1 1 x x x x x m x x x m x m + + = + = + = + Để phơng trình có nghiệm thì 1 1 2 0 1m m + Dạng2: 2 ( ) & ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) g x conghia g x f x g x f x g x = = Chú ý: Không cần đặt điều kiện ( ) 0f x VD: Giải phơng trình: 2 2 2 2 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 1 ( 1) x x x x x x x x x x + = = + = = = + Vậy phơng trình có nghiệm x=-1 Dạng3: 2 ( ) & ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) & ( ) 0 ( ( ) ( )) ( ) f x conghia f x f x g x h x g x conghia g x f x g x h x + = + = Chú ý: Không cần đặt điều kiện ( ) 0h x GV: Phan Thanh Tuấn Trờng THCS Quảng Phúc 4 Giáo án bồi dỡng HSG Toán 8 VD: Giải phơng trình: 4 1 1 2 1 1 0 1 1 1 2 4 1 2 0 2 1 1 2 2 (1 )(1 2 ) 4 (1 )(1 2 ) 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = + = + + + = + = + 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 0 0 0 2 2 2 7 0 7 (1 )(1 2 ) (2 1) 2 x x x x x x x x x x x x + = = + = = + = Hoặc có thể trình bày theo cách khác nh sau: - Tìm điều kiện để các bt có nghĩa - Biến đổi phơng trình Các bài tập đề nghị: Bài1: Giải các phơng trình sau: a/ 2 3 0x x = e/ 1 1 2x x + = b/ 2 1 1x x+ + = g/ 15 3 6x x + = c/ 3 4 1x x+ = h/ 4 1 3 4 1x x+ + = d/ 10 3 5x x + + = k/ 2 3 2 2x x x + = Bài2: Giải các phơng trình sau: 2 2 / 4 1 1 2 / 3 4 2 1 3 /( 3) 10 12 a x x x b x x x c x x x x + = + + = + + = / 2 1 1 1 / 2 1 2 1 2 / 6 9 6 9 6 d x x x e x x x x g x x x x = + + = + + = Bài3: Cho phơng trình: 2 1x x m = a/ Giải phơng trình với m=1 b/ Giải và biện luận phơng trình II. Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 1: VD1: Giải phơng trình: 2 2 2 2 1 31 11 11 42 0 x x x x + + = + + + = Đặt t= 2 11 11x t+ . Khi đó phong trình có dạng: t 2 +t 42 =0 6 7 t t = = Vì t 11 nên t=6 2 2 2 11 6 11 36 25 5x x x x + = + = = = Vậy phơng trình có 2 nghiệm x=-5; x=5 VD2: Giải phơng trình : ( ) ( ) 2 2 2 4 4 4 2 1 3 1 1 0x x x+ + + = Giải: Vì x=1 không là nghiệm của phơng trình nên chia 2 vế của phơng trình cho ( ) 2 4 1 0x , ta đ- ợc: 4 4 1 1 2 4 0 1 1 x x x x + + + = + GV: Phan Thanh Tuấn Trờng THCS Quảng Phúc 5 Giáo án bồi dỡng HSG Toán 8 Đặt t= 4 4 1 1 1 0 1 1 x x x x t + = + f , Khi đó phơng trình trở thành: 2t+ 2 1 0 1 3 0 2 3 1 0 1 0 2 t t t t t = < + = + + = = < (không thoả mãn ĐK) Vậy phơng trình vô nghiệm. II. Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 2: VD: Giải PT: 3 2 1 1x x = Giải: Điều kiện : x-1 0 1x Đặt 3 3 2 2 1 1, 0 u x u v v x v = + = = . Khi đó ta có hệ: 3 2 1 1 u v u v + = + = Giải hệ ta tìm đợc u=0,1,2 , thay trở lại ẩn x ta đợc: x=2,1,10 Vậy pt đã cho có 3 nghiệm 1,2,10 Dạng3: PT có chứa căn bậc 3 và luỹ thừa bậc 3 VD: Giải PT: 3 3 2 3 3 2x x+ = Đặt y= 3 3 2x . Khi đó phơng trình chuyển thành hệ 3 3 2 3 3 2 x y x y y x + = = = Từ đó tìm đợc x=1; x=-2 Bài tập đề nghị: Bài1: Giải các phơng trình sau: 2 2 2 2 2 2 2 / 3 3 3 6 3 / 2 5 2 2 2 5 6 1 / 3 2 2 2 6 2 2 /( 5)(2 ) 3 3 a x x x x b x x x x c x x x x d x x x x + + + = + + + = + + + + = + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 4 4 2 2 2 / ( 1) 2 1 2 2 / 1 1 / 2 1 3 1 1 0 n n n e x x x x g x x x x h x x x + = + + = + + + + = Bài 5: Giải các pt sau: a/ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 3 2 2 3 2 2 / 2 2 4 2 3 2 x x x x x x x b x x x x + + + = + + + = Bài6: Giải các phơng trình sau: ( ) 2 2 2 2 / 1 2 2 / 4 2 2 4 a x x x x b x x x x x = + + = + + ( ) 2 2 3 3 / 1 2 2 / 4 1 1 2 2 1 c x x x x d x x x x = + = + + Bài 7: Giải các phơng trình sau: ( ) 3 3 2 / 9 2 1 / 2 1 1 / 1 1 0 a x x b x x c x x x x x x = = + = Bài8: Với giá trị nào của a thì các pt sau có nghiệm: 3 3 / 1 1a x x a + + = / 1 1b x x a + + = Bài9: Giải và biện luận các phơng trình sau: / 4a x x m+ = 2 / 1b x x m+ = GV: Phan Thanh Tuấn Trờng THCS Quảng Phúc 6 Giáo án bồi dỡng HSG Toán 8 Bài10: Giải các phơng trình sau: 3 3 3 3 3 3 3 3 / 1 7 2 / 25 3 4 /1 16 3 / 4 6 1 a x x b x x c x x d x x + + = + + = + = + + = 3 3 3 3 / 2 1 1 / 24 12 6 / 2 1 1 / 2 1 3 e x x g x x h x x i x x + = + + = + = + + = Bài11: Giải các phơng trình sau: ( ) ( ) 2 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 / 1 1 5 / 1 1 1 1 7 5 / 1 2 3 0 6 7 5 a x x xb x x x x x c x x x d x x x + + = + + + = + + + + + = = + 2 2 / 2 3 2 2 2 2 1 2 2 2 2 / 2 9 4 3 2 1 2 21 11 / 2 2 2 2 2 e x x x x x x x g x x x x x h x x + + + + + = + + + + + = + + = + + Bài12: Giải các phơng trình sau: 2 2 3 3 / 1 4 5 / 3 1 4 13 5 / 2 3 3 2 a x x x b x x x c x x + = + + + = + + = ( ) 2 3 3 3 33 3 4 9 / 7 7 , 0 28 / 1 2 2 1 / 35 35 30 x d x x x e x x g x x x x + = + > + = + = III. Ph ơng pháp đánh giá: Đánh giá dựa trên tam thức bậc hai, BĐT, GTTĐ,. VD1: Giải phơng trình: 2 2 5 1 2x x x + + = Giải: Từ ĐK đánh giá VT luôn lớn hơn hoặc bằng 2 dựa trên tam thức bậc hai VD2: Giải phơng trình: 2 2 1 1 2x x x x + + = Giải: ĐK: 1x đánh giá VT 2 dựa trên BĐT Cosi, dấu = xảy ra khi x=1,-1 Do 1x nên x=1 VD3: Giải pt: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 4 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 0 2 5 x x x x x x x x x x x + + = + = + Bài tập đề nghị: Bài1: Giải các phơng trình sau: GV: Phan Thanh Tuấn Trờng THCS Quảng Phúc 7 Giáo án bồi dỡng HSG Toán 8 3 2 2 2 2 3 2 2 3 32 2 3 3 4 4 4 4 / 2 7 11 25 12 6 1 1 1 / 2 2 4 / 1 2 2 1 2 2 1 3 / 2 1 2 1 2 / 2 5 3 3 2 6 1 / 1 1 1 1 1 1 6 a x x x x x b x x x x c x x x x y d y y y y e x x x x x f x x x x x x + = + + = + ữ + = + + = + + = + + + + + + + + + = 4 4 4 4 24 2 2 4 4 34 2 44 4 / 1 1 2 8 / 2 3 4 6 / 2 1 19 2 10 24 / 2 1 / 2 2 4 g x x x x h x x x i x x x x k x x x x l x x x x + + + = + = + + = + = + + + + = Bài2: Giải các phơng trình sau: 2 2 / 4 4 6 9 1 / 4 4 9 6 1 / 6 4 2 11 6 2 1 a x x x x b x x x x c x x x x + + + = + + + = + + + + + = 2 2 2 / 2 4 2 7 6 2 1 / 6 2 1 / 7 9 16 66 d x x x x e x x x g x x x x + + + = + = + = + Bài3: Giải các phơng trình sau: ( ) ( ) 2 / 1 10 2 5 / 1 3 2 1 3 5 4 2 a x x x x b x x x x x x + + + = + + + + + + + = Ngày soạn :25/9/2008 Buổi 3-4: Chứng minh Bất đẳng thức phần i : Các kiến thức cần lu ý 1, Định nghĩa bất đẳng thức 2, Một số tính chất cơ bản của bất dẳng thức : a, Tính chất 1: a > b <=> b < a b, Tính chất 2: a > b và b > c => a > c c, Tính chất 3: a > b <=> a + c > b + c Hệ quả : a > b <=> a - c > b - c a + c > b <=> a > b - c d, Tính chất 4 : a > c và b > d => a + c > b + d a > b và c < d => a - c > b - d e, Tính chất 5 : a > b và c > 0 => ac > bd GV: Phan Thanh Tuấn Trờng THCS Quảng Phúc 8 Giáo án bồi dỡng HSG Toán 8 a > b và c < 0 => ac < bd f, Tính chất 6 : a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd g, Tính chất 7 : a > b > 0 => a n > b n a > b <=> a n > b n với n lẻ . h, Tính chất 8 : a > b ; ab > 0 => 3, Một số đẳng thức thông dụng : a, Bất đẳng thức Côsi : Với 2 số dơng a , b ta có : ab ba + 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b b, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với mọi số a ; b; x ; y ta có : ( ax + by ) 2 (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) Dấu đẳng thức xảy ra <=> y b x a = c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : baba ++ Dấu đẳng thức xảy ra khi : ab 0 phần ii : Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Phơng pháp 1 : Dùng định nghĩa - Kiến thức : Để chứng minh A > B , ta xét hiệu A - B rồi chứng minh A - B > 0 . - Lu ý : A 2 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 . - Ví dụ : Bài 1 : Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x 2 + y 2 + z 2 +3 2(x + y + z) Giải : Ta xét hiệu : H = x 2 + y 2 + z 2 +3 - 2( x + y + z) = x 2 + y 2 + z 2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x 2 - 2x + 1) + (y 2 - 2y + 1) + (z 2 - 2z + 1) = (x - 1) 2 + (y - 1) 2 + (z - 1) 2 Do (x - 1) 2 0 với mọi x (y - 1) 2 0 với mọi y (z - 1) 2 0 với mọi z => H 0 với mọi x, y, z Hay x 2 + y 2 + z 2 +3 2(x + y + z) với mọi x, y, z . Dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1. Bài 2 : Cho a, b, c, d, e là các số thực : Chứng minh rằng : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 a(b + c + d + e) GV: Phan Thanh Tuấn Trờng THCS Quảng Phúc 9 Giáo án bồi dỡng HSG Toán 8 Giải : Xét hiệu : H = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 - a(b + c + d + e) = ( b a 2 ) 2 + ( c a 2 ) 2 + ( d a 2 ) 2 + ( e a 2 ) 2 Do ( b a 2 ) 2 0 với mọi a, b Do( c a 2 ) 2 0 với mọi a, c Do ( d a 2 ) 2 0 với mọi a, d Do ( e a 2 ) 2 0 với mọi a, e => H 0 với mọi a, b, c, d, e Dấu '' = '' xảy ra <=> b = c = d = e = 2 a Bài 3 : Chứng minh bất đẳng thức : 2 22 22 + + baba Giải : Xét hiệu : H = 2 22 22 + + baba = 4 )2()(2 2222 bababa +++ = 0)( 4 1 )222( 4 1 22222 =+ baabbaba . Với mọi a, b . Dấu '' = '' xảy ra khi a = b . 2. Phơng pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tơng đơng . - Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng . Ví dụ : Bài 1 : Cho a, b là hai số dơng có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng : 3 4 1 1 1 1 + + + ba Giải: Dùng phép biến đổi tơng đơng ; 3(a + 1 + b + 1) 4(a + 1) (b + 1) 9 4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1) 9 4ab + 8 1 4ab (a + b) 2 4ab Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh . Bài 2: Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn : a + b + c = 4 Chứng minh rằng : (a + b)(b + c)(c + a) a 3 b 3 c 3 Giải: Từ : (a + b) 2 4ab , (a + b + c) 2 = [ ] cbacba )(4)( 2 +++ => 16 4(a + b)c => 16(a + b) 4(a + b) 2 c 16 abc GV: Phan Thanh Tuấn Trờng THCS Quảng Phúc 10 [...]... Giả sử : a + b > 2 => (a + b )3 > 8 => a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 => 2 + 3ab(a + b) > 8 ( Vì : a3 + b3 = 2 ) => ab(a + b) > 2 => ab(a + b) > a3 + b3 ( Vì : a3 + b3 = 2 ) Chia cả hai vế cho số dơng a, b ta đợc : ab > a2 - ab + b2 Vậy : a + b => 0 > (a - b)2 Vô lý 2 6 Phơng pháp 6 : Đổi biến số GV: Phan Thanh Tuấn 17 Trờng THCS Quảng Phúc 1 2 1 x 1 2 x z 3 1 z 2 3 1 1 1 + + đạt đợc khi x = 2 ; y = 2 ; z = 6 2 2 2 2 3 Bài 8 a, Tìm giá trị nhỏ nhất của H = x x 1 với x > 1 b Tìm giá trị lớn nhất của K = x 1 x 2 HD : áp dụng bất đẳng thức Côsi và làm tơng tự nh bài 5 : GV: Phan Thanh Tuấn 21 Trờng THCS Quảng Phúc Giáo án bồi dỡng HSG Toán 8 II - Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình - Kiến thức : Nhờ vào các tính chất của bất... 3 khi x = 8 4 1 2 x Bi tp2 : Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau: g ( x) = x 1 4 6 37 1 ỏp s: g(x) t GTNN bng khi x = 36 3 Bi tp 3: a/ Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau: f ( x) = ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) ỏp s: f(x) t GTLN bng ỏp s: f(x) t GTNN bng 1 khi x1, 2 = 5 5 2 b/ Gii phng trỡnh trờn khi f(x)=3 ỏp s: Phng trỡnh cú nghim x1, 2 = 5 13 2 Bi 4: Cho phng trỡnh ( m 2 + m + 1) x 2 ( m 2 + 8m + 3) x... x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z Khi đó : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2 1 Bài toán trở thành : Cho x, y, z > 0 , x + y + z 1 GV: Phan Thanh Tuấn 18 Trờng THCS Quảng Phúc Giáo án bồi dỡng HSG Toán 8 Cứng minh rằng : 1 1 1 + + 9 x y z Ta chứng minh đợc : (x + y + z)( 1 1 1 + + )9 x y z Theo bất đẳng thức Côsi Mà : x + y + z 1 nên suy ra 1 1 1 + + 9 x y z Phần iii : ứng... M = x2 b/ Tỡm GTNN ca M Bi 4: Cho biu thc: N = ỏp s: M t GTLN bng 1 khi x=2009 4.2009 ( x 1; x 2; x 0) ỏp s: M t GTNN bng 20 08 khi x = 2009 2009 3 x 2 x 3 x 3 x 2 + 12 x 4 : 3x + 2 x + 2( x + 1) GV: Phan Thanh Tuấn 25 Trờng THCS Quảng Phúc Giáo án bồi dỡng HSG Toán 8 ỏp s: N = a/ Rỳt gn N 1 2 x ;x 3 3 x x +4 2 b/ Tỡm GTNN v GTLN ca N ỏp s: N t GTNN bng 1 khi x = 2 4 1 khi x = 2 4 1 1... định rồi suy ra kết luận Các ví dụ : Bài 1 : Cho 0 < a,b,c,d 1 3b(1 - c) > 2 8c(1 - d) > 1 32d(1 - a) > 3 Giải: Giả sử ngợc lại cả bốn đẳng thức đều đúng Nhân từng về ; ta có : 2.3 .8. 32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > 2 3 => [ a(1 a )][ b(1 b)][ c(1 c)][ d (1 d )] > 1 256 (1) Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :... a Các ví dụ : Bài 1 : Giả sử a, b, c là các số dơng , chứng minh rằng: a b c + + >2 b+c c+a a+b Giải áp dụng BĐT Cauchy , ta có : GV: Phan Thanh Tuấn 12 Trờng THCS Quảng Phúc Giáo án bồi dỡng HSG Toán 8 a + (b + c) 2 a (b + c) Tơng tự ta thu đợc : b 2b c+a a+b+c , a 2a b+c a+b+c c 2c a+b a+b+c Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có : a = b + c , b = c + a , c = a + b . Giáo án bồi dỡng HSG Toán 8 Ngày soạn : 28/ 10/20 08 Buổi 8: Phơng trình nghiệm nguyên A. Kiến thức cơ bản: I. Một số ph ơng pháp th ờng vận. -3y 3 -9z 3 =0 b/x 2 +y 2 +z 2 +t 2 =2xyzt c/8x 4 +4y 4 +2z 4 =u 4 d/x 2 +y 2 +z 2 =x 2 y 2 e/ 1!+2!+…+x!=y 2 GV: Phan Thanh TuÊn Trêng THCS Qu¶ng Phóc 3 Giáo án bồi dỡng HSG Toán 8 Ngày soạn : 18/ 10/20 08 Buổi 6 : Phơng. d/ 55(x 3 y 3 +x 2 +y 2 )=229(xy 3 +1) e/7(x 2 y+x+xy 2 +2y)=38xy+ 38 g/x 6 +z 3 -15x 2 z=3x 2 y 2 z-(y 2 +5) 3 h/(x 2 +4y 2 + 28) 2 =17(x 4 +y 4 +14y 2 +49) i/ 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n x x x +