TRƯỜNG TIỂU HỌC HOÀNG HOA THÁM GIÚP HỌC SINH ÔN TẬP TÍNH NHANH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Các dạng toán tính nhanh giá trị biểu thức không chỉ có trong các kì kiểm tra thông thường mà còn thường gặp trong các đề thi chọn học sinh giỏi toán. Tuy nhiên, khi gặp các dạng toán loại này nhiều em học sinh vẫn tỏ ra lúng túng hoặc bài toán yêu cầu tính nhanh mà mình lại đi "tính chậm". Chúng ta cùng tìm hiểu qua các bài toán sau : 1. Vận dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng Ví dụ : Tính giá trị biểu thức sau: A = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9 + 0,10 + 0,11 + … + 0,19. ( 19 số hạng) (Đề thi HSG lớp 5, TP Hà Nội, năm 2000) Giải: Ta có: M = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9 = (0,1 + 0,9) + (0,2 + 0,8) + (0,3 + 0,7) + (0,4 + 0,6) + 0,5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 0,5 = 4,5. N = 0,10 + 0,11 + 0,12 + 0,13 + 0,14 + 0,15 + 0,16 + 0,17 + 0,18 + 0,19 = (0,10 + 0,19) + (0,11 + 0,18) + (0,12 + 0,17) + (0,13 + 0,16) + (0,14 + 0,15) = 0,29 + 0,29 + 0,29 + 0,29 + 0,29 = 0,29 x 5 = 1,45. Vậy: A = M + N = 4,5 + 1,45 = 5,95. 2. Vận dụng tính chất của dãy số cách đều Ví dụ : Tính nhanh tổng sau: S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101 Giải: Cách 1. S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101 S = 101 + 100 + 99 + 98 + 97 +…+ 2 + 1 Cộng vế với vế ta có: 2 x S = (1 + 101) + (2 + 100) + (3 + 99) + (4 + 98) + … + (100 + 2) + (101 + 1) 2 x S = 102 + 102 + 102 + 102 + … + 102 + 102 (có 101 số 102) 2 x S = 102 x 101 = 10 302. S = 10 302 : 2 = 5151. Cách 2. Viết thêm số 0 vào tổng đã cho. S = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +…+ 100 + 101 = (0 + 101) + (1 + 100) + (2 + 99) + … + (50 + 51) = 101 + 101 + 101 + … + 101 Tổng trên có 102 số hạng nên số cặp ghép được là: 102 : 2 = 51 (cặp) Vậy S = 101 x 51 = 5151. BỒI DƯỠNG HỌC SINH TÍNH NHANH *** 1 TRƯỜNG TIỂU HỌC HOÀNG HOA THÁM Cách 3. Viết thêm số 102 vào tổng đã cho. S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101 S + 102 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101 + 102 S + 102 = (1 + 102) + (2 + 101) + (3 + 100) + … + (51 + 52) S + 102 = 103 + 103 + 103 + … + 103 S + 102 = 103 x 51 = 5253 S = 5253 - 102 = 5151. Cách 4. Tách số hạng đầu tiên đứng một mình S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101 S = 1 + (2 + 101) + (3 + 100) + (4 + 99) + … + (51 + 52) S = 1 + 103 + 103 + 103 + … + 103 S = 1 + 103 x 50 = 1 + 5150 = 5151. Cách 5. Tách số hạng cuối cùng đứng một mình S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101 S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + … + (50 + 51) + 101 S = 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101 S = 101 x 50 + 101 = 101 x 51 = 5151. Cách 6. Tách riêng số hạng ở chính giữa đứng một mình S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101 S = (1 + 101) + (2 + 100) + (3 + 99) + … + (50 + 52) + 51 S = 102 + 102 + 102 + … + 102 + 51 = 102 x 50 + 51 = 5100 + 51 = 5151. 3. Vận dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép nhân Ví dụ : Tính nhanh: B = 8 x 5 x 125 x 4 x 2 x 25 Giải: B = 8 x 5 x 125 x 4 x 2 x 25 B = (5 x 2) x (8 x 125) x (4 x 25) = 10 x 1000 x 100 = 1 000 000. 4. Vận dụng quy tắc nhân một số với một tổng Ví dụ : Tính bằng cách nhanh nhất: 241,324 x 1999 + 241,324 (Đề thi HSG lớp 5, tỉnh Hà Tĩnh, năm 2002) Giải: 241,324 x 1999 + 241,324 = 241,324 x 1999 + 241,324 x 1 = 241,324 x (1999 + 1) = 241,324 x 2000 = 482 648. 5. Vận dụng quy tắc nhân một số với một hiệu Ví dụ : Cho A = 1993 x 427 và B = 477 x 1993 Tính hiệu B - A mà không tính riêng tích A và tích B. (Thi HSG lớp 5 toàn quốc, năm học 1992 - 1993) BỒI DƯỠNG HỌC SINH TÍNH NHANH *** 2 TRƯỜNG TIỂU HỌC HOÀNG HOA THÁM Giải: B - A = 477 x 1993 - 1993 x 427 =1993 x (477 - 427) = 1993 x 50 = 99 650. 6. Vận dụng tính chất "a x 0 = 0" Ví dụ : Tính giá trị của biểu thức: (1999 x 1998 + 1998 x 1997) x (1 + 2 1 : 1 2 1 - 1 3 1 ). (Thi HSG lớp 5 TP Hà Nội, năm 2000) Giải: Ta có: 1 + 2 1 : 1 2 1 - 1 3 1 = 1 + 2 1 : 2 3 - 1 3 1 = 1 + 2 1 x 3 2 - 1 3 1 = 1+ 3 1 - 1 3 1 = 1 3 1 - 1 3 1 = 0. Vậy: (1999 x 1998 + 1998 x 1997) x (1 + 2 1 : 1 2 1 - 1 3 1 ) = (1999 x 1998 + 1998 x 1997) x 0 = 0. 7. Vận dụng tính chất "0 : a = 0" (với a khác 0) Ví dụ : Tính nhanh: ( 2 1 : 0,5 - 4 1 : 0,25 + 8 1 : 0,125 - 10 1 : 0,1) : (1 + 2 + 3 + + 2006 + 2007 + 2008) Giải: Ta có: 2 1 : 0,5 - 4 1 : 0,25 + 8 1 : 0,125 - 10 1 : 0,1 = 2 1 : 2 1 - 4 1 : 4 1 + 8 1 : 8 1 - 10 1 : 10 1 = 1 - 1 + 1 - 1 = 0. Vậy: ( 2 1 : 0,5 - 4 1 : 0,25 + 8 1 : 0,125 - 10 1 : 0,1) : (1 + 2 + 3 + + 2006 + 2007 + 2008) = 0 : (1 + 2 + 3 + + 2006 + 2007 + 2008) = 0. 8. Sử dụng phương pháp khử liên tiếp Ví dụ : Tính nhanh tổng sau: A = 21 1 x + 32 1 x + 43 1 x + + 20082007 1 x Ta có: 21 1 x = 1 - 2 1 ; 32 1 x = 2 1 - 3 1 ; 43 1 x = 3 1 - 4 1 ; ; 20082007 1 x = 2007 1 - 2008 1 . Vậy ta có: A = (1 - 2 1 ) + ( 2 1 - 3 1 ) + ( 3 1 - 4 1 ) + + ( 2007 1 - 2008 1 ) = 1 - 2 1 + 2 1 - 3 1 + 3 1 - 4 1 + + 2007 1 - 2008 1 = 1 - 2008 1 = 2008 2007 . 9. Nhóm các số lại với nhau để có kết quả bằng 0 Ví dụ : Tính giá trị biểu thức: A = 181 + 3 - 4 - 5 + 6 + 7 - 8 - 9 + 10 + 11 - 12 - 13 + 14 + 15 - 16 - 17 + 18 + 19. Ta nhóm lại như sau: BỒI DƯỠNG HỌC SINH TÍNH NHANH *** 3 TRƯỜNG TIỂU HỌC HOÀNG HOA THÁM A = 181 + (3 - 4 - 5 + 6) + (7 - 8 - 9 + 10) + (11 - 12 - 13 + 14) + (15 - 16 - 17 + 18) + 19 = 181 + 0 + 0 + 0 + 0 + 19 = 200. 10. Đưa về dạng toán "Tìm thành phần chưa biết của phép tính Ví dụ : Tính nhanh: 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 + 128 1 (Thi HSG lớp 5 tỉnh Bắc Giang, năm 2001) Giải: Đặt: S = 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 + 128 1 Cùng nhân 2 vế với 2 ta được: S x 2 = ( 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 + 128 1 ) x 2 = 2 1 + 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 . Ta thấy giữa S và S x 2 chỉ khác nhau ở hai số hạng đầu và cuối. Vậy: S x 2 - S = 2 1 - 128 1 . Từ đó ta tính được: S = 128 63 . BỒI DƯỠNG HỌC SINH TÍNH NHANH *** 4 . nhất: 241 ,3 24 x 1999 + 241 ,3 24 (Đề thi HSG lớp 5, tỉnh Hà Tĩnh, năm 2002) Giải: 241 ,3 24 x 1999 + 241 ,3 24 = 241 ,3 24 x 1999 + 241 ,3 24 x 1 = 241 ,3 24 x (1999 + 1) = 241 ,3 24 x 2000 = 48 2 648 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 + 128 1 Cùng nhân 2 vế với 2 ta được: S x 2 = ( 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 + 128 1 ) x 2 = 2 1 + 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 181 + 3 - 4 - 5 + 6 + 7 - 8 - 9 + 10 + 11 - 12 - 13 + 14 + 15 - 16 - 17 + 18 + 19. Ta nhóm lại như sau: BỒI DƯỠNG HỌC SINH TÍNH NHANH *** 3 TRƯỜNG TIỂU HỌC HOÀNG HOA THÁM A = 181 + (3 - 4 - 5 +