Bồi dưỡng Toán 9 (đề 18)

Bài 1: Tích của 1 nghiệm của phương trình x 2 + ax + 1 = 0 với 1 nghiệm của phương trình x 2 + bx + 1 = 0 là nghiệm của phương trình x 2 + cx + 1 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b và c. Lời giải: Gọi x 1 , x 3 và x 1 x 3 lần lượt là nghiệm của các phương trình x 2 + ax + 1 = 0, x 2 + bx + 1 = 0 và x 2 + cx + 1 = 0 theo như giả thiết ban đầu của bài toán. Dễ dàng nhận thấy và lần lượt là các nghiệm còn lại của các phương trình trên. Ta có: và Tương tự như vậy, ta có: (1) Ta có: x 1 + x 2 = –a, x 3 + x 4 = –b, x 1 x 3 + x 2 x 4 = –c và x 1 x 2 = 1, x 3 x 4 = 1. (2) Thay (2) vào (1) ta suy ra: Hay là a 2 + b 2 + c 2 + abc = 4 Vậy a 2 + b 2 + c 2 + abc = 4 là hệ thức liên hệ giữa a, b và c Bài 2: Tính giá trị của biểu thức: với Lời giải: Ta có: (1) Từ đẳng thức (1) suy ra: x 3 = 3x 2 – x = 3(3x – 1) – x = 8x – 3 x 4 = 3x 3 – x 2 = 3(8x – 3) – (3x – 1) = 21x – 8 x 5 = 3x 4 – x 3 = 3(21x – 8) – (8x – 3) = 55x – 21 Vậy P = Bài 3: Chứng minh rằng Lời giải: Ta có: Lại có Suy ra: (1) Tương tự như vậy, ta có: (2) Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức (1) và (2) ta được ĐPCM. Bài 4: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác. Chứng minh rằng: Lời giải: Đặt x = p – a, y = p – b, z = p – c. Khi đó x, y, z là các số dương và: a = y + z, b = z + x, c = x + y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: và Tương tự như vậy, ta có và Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được: Hay là Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, tức tam giác đã cho là tam giác đều. Bài toán được chứng minh. Bài 5: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Một góc 45 0 quay xung quanh đỉnh A và nằm bên trong hình vuông cắt cạnh BC, CD lần lượt tại M và N a) Chứng minh rằng a(BM + DN) + BM.DN = a 2 b) Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại E. Chứng minh Lời giải: a) Trên tia đối của tia DC lấy điểm F sao cho FD = BM Dễ dàng nhận thấy ABM = ADF(cạnh, góc, cạnh) AF = AM Mặt khác: NAF = NAD + DAF = NAD + MAB = BAD – MAN = 90 0 – 45 0 = 45 0 Từ đó suy ra: MAN = FAN(cạnh, góc, cạnh) MN = FN =BM + DN Xét tam giác vuông CMN, ta có: MN 2 = CM 2 + CN 2 (BM + DN) 2 = (a – BM) 2 + (a – DN) 2 (1) Khai triển (1) rồi rút gọn, ta được: a(BM + DN) + BM.DN =a 2 . ĐPCM b)Ta có: EAF = MAN + NAF = 45 0 + 45 0 = 90 0 EAF là tam giác vuông (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) Hay là: .ĐPCM. . 0, x 2 + bx + 1 = 0 và x 2 + cx + 1 = 0 theo như giả thiết ban đầu của bài toán. Dễ dàng nhận thấy và lần lượt là các nghiệm còn lại của các phương trình. thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, tức tam giác đã cho là tam giác đều. Bài toán được chứng minh. Bài 5: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Một góc 45