tài liệu : BỔ TÚC ĐẠI SỐ (ĐH ĐỒNG THÁP)

Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH BỔ TÚC ĐẠI SỐ 1) Nhóm : Xét tập G φ ≠ . Trên G xét phép toán ∗ (bao gồm phép cộng và phép nhân) . Khi đó G cùng phép toán ∗ là một nhóm nếu ( , )∗G thỏa mãn 3 tính chất sau : i) Tính kết hợp : , ,a b c G∀ ∈ ta có ( ) ( )∗ ∗ = ∗ ∗a b c a b c ii) Có phần tử đơn vị : , :∀ ∈ ∃ ∈ ∗ = ∗ =a G e G e a a e a iii) Có phần tử nghịch đảo : 1 1 1 : : − − − ∃ ∈ ∃ ∈ ∗ = ∗ =a G a G a a a a e Nếu ( , )∗G có thêm tính chất giáo hoán thì ( , )∗G lập nên nhóm giao hoán hay còn gọi là nhóm Abel . Tức là ,a b G∀ ∈ ta có ∗ = ∗a b b a Như vậy với các tính chất trên thì ta có : ( , ) ,( , ) ,( , ) ,( , )+ + + +¢ ¤ ¡ £ là nhóm Abel . * Qui ước : Phần tử Phép toán nhân Phép toán cộng Đơn vị (1, )e Nghịch đảo 1− a Trung hòa (0, )e Đối –a Do ta định nghĩa trên phép nhân nên phần tử 1 a − là phần tử nghịch đảo chớ không phải 1 a . Việc kí hiệu ( , )O e , (1, )e là những phần tử đại diện chớ không phải đơn thuần là số 0 hay số 1 . 2) Vành : Xét tập D ≠ φ . Trên D trang bị hai phép toán cộng và nhân . Khi đó ( , , )D + g là một vành nếu ( , , )D + g thỏa 3 điều kiện sau : i) ( , )D + là nhóm Abel tức là D phải thỏa 4 tính chất : kết hợp , có phần tử trung hòa , có phần tử đối và có tính giao hoán . ii) ( , )D g là nửa nhóm hay ( , )D g có tính kết hợp : , , D : ( ) ( )∀ ∈ =g g g ga b c a b c a b c iii) D có tính phân phối giữa phép nhân đối với phép cộng , , D∀ ∈a b c ta có ( ) ( ) a b c ab ac b c a ba ca + = +   + = +  Nếu ( , )D g có thêm tính giao hoán thì ( , , )D + g là vành giao hoán . Nếu ( , )D g có thêm phần tử đơn vị thì ( , , )D + g là vành có đơn vị Nếu ( , )D g có tính giao hoán và có thêm phần tử đơn vị thì ta gọi ( , , )D + g là vành giao hoán có đơn vị . Như vậy , với các tính chất trên thì ( , ,.),( , ,.),( , ,.),( , ,.)+ + + +¢ ¤ ¡ £ là vành giao hoán có đơn vị . 1 Phân phối trái Phân phối phải Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH Khi nói đến cấu trúc của môt tập hợp thì chúng ta cần phải chỉ ra được các phần tử : phần tự không , phần tử đơn vỉ , phần tử nghịch đảo , . 3) Miền Nguyên : o D là vành giao hoán có đơn vị D là miền nguyên nếu o 1 0≠ (D : phải có 2 phần tử phân biệt 1 và 0) o Không có ước của 0 : lấy 2 phần tử bất kỳ thuộc D thì tích của chúng phải khác 0 VD : n ¢ là vành giao hoán có đơn vị nhưng không phải là miền nguyên cụ thể khi n = 6 : Ta có { } 6 0,1,2,3, 4,5=¢ Rõ ràng ta có : 2 0 3 0  ≠   ≠   nhưng 2.3 0= hay có ước của 0 Vậy n ¢ là miền nguyên khi và chỉ khi n là số nguyên tố . 4) Trường o ¡ là vành giao hoán có đơn vị ¡ là trường nếu o 1 0≠ ( ¡ : phải có 2 phần tử phân biệt 1 và 0) o 0x ∀ ≠ đều có phần tử nghịch đảo 1 x − Như vậy , trường là miền nguyên nhưng điều ngược lại không đúng . n ¢ là trường khi và chỉ khi n là số nguyên tố . 5) Idean : * Vành con : Cho A ⊂ ¡ o A là bộ phận ổn định : tức là khi ta lấy 2 phần tử bất kỳ thuộc A thì tổng và tích của A là vành con của ( )A ≤¡ ¡ ⇔ chúng cũng thuộc A o A phải có cấu trúc của một vành . * Idean: Cho ¡ là vành và I ≤ ¡ . Khi dó I là Idean nếu , : ax I a x I xa I ∈  ∀ ∈ ∀ ∈  ∈  ¡ KH : I <¡ Nếu ¡ là vành giao hoán thì Idean trái = Idean phải . Một vành ¡ luôn có 2 Idean tầm thường { } 0      ¡ 6) Idean sinh bởi một tập : * Định lí : Nếu 1 2 , , n I I I<¡ <¡ <¡ thì 1 n j j I = <¡ I Tổng quát : { } , , j j j j J j J I I j J I ∈ ∈ ∀ ⊂ ∀ ∈ ⇒ ∈¡ <¡ ¡ I 2 Idean trái Idean phải Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH * Định nghĩa Idean sinh bởi một tập : Cho A φ ≠ ⊂ ¡ . Xét họ tất cả các Idean của ¡ và chứa A . Xét giao của họ trên : là một Idean của ¡ và chứa A và được gọi là Idean sinh bởi tập A . Kí hiệu : <A> . <A> : là Idean nhỏ nhất của ¡ . * Phương pháp chứng minh B = <A> là Idean nhỏ nhất của ¡ và chứa A ta chứng minh như sau : Bước 1 : Kiểm tra B <¡ Bước 2 : kiểm tra B A⊃ Bước 3 : Kiểm tra nếu : C C A ∃   ⊃  <¡ thì ta chứng minh C B⊃ ** Lưu ý : Nếu ¡ giao hoán thì , a ∀ ∈ ¡ thì <a> = a ¡ : gọi là Idean chính sinh bởi phần tử a . 7) Bậc của đa thức : Cho đa thức 1 biến : [ ] 2 0 1 2 0 ( ) n n i n i i x f x a a x a x a x a x = = = + + + + = ∑ ¡ Khi đó ta có : + phần tử không : là đa thức bậc 0 + phần tử đối : ( )f x− là đa thức nhận các hệ số đối của i a + phần tử đơn vị : là đa thức hằng 1. * Nếu 0 n a ≠ thì f(x) là đa thức bậc n (deg )f n= * Nếu 0 ( ) 0f x a= ≠ : thì f(x) là đa thức bậc 0 * Nếu 0 ( ) 0f x a= = thì f(x) không có bậc . * Định lí : { } deg( ) max deg ,degf g f g+ ≤ * Định lí : deg( . ) deg degf g f g≤ + * Định lí về chia có dư : Cho k là trường . Xét [ ] xk . [ ] , , 0f g x g∀ ∈ ≠k luôn [ ] ( ), ( ) : ( ) ( ). ( ) ( )q x r x x f x g x q x r x∃ ∈ = +k Nếu ( ) 0 ( ) ( )r x f x g x= ⇒ M Nếu ( ) 0 deg ( ) deg ( )r x r x g x≠ ⇒ < * Sử dụng sơ đồ Hoocner để chia đa thức (bậc nhất) Giả sử ( ) ( ) 0f x x c f c− ⇔ =M hay x = c là nghiệm của f(x) khi đó ta có : a n a n-1 a n-2 ………… a 0 c a n c.a n + a n-1 c. (c.a n + a n-1 )+a n-2 f(c) 8) Đa thức đối xứng : Đa thức 1 2 3 1 2 3 ( , , ) ( , , ) n n f x x x x x x x x∈¡ được gọi là đa thức đối xứng nếu như ta hoán vị hai ẩn bất kì , i j x x thì ta được đa thức mới không thay đổi so với đa thức ban đầu . * Dùng thuật toán phân tích đa thức đối xứng thành các đa thức đối xứng cơ bản : 3 Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH Bước 1 : Từ đa thức của f(x) ta chọn hạng tử cao nhất (có bậc cao nhất )của f : Ưu tiên theo thứ tự 1 2 3 n x x x x→ → → → (đây là bước quan trọng nhất) Sau đó suy ra bộ số mũ 1 2 3 ( , , ) n i i i i . VD trong [ ] 1 2 3 4 , , ,x x x x¡ ta tìm được hạng tử cao nhất là : 3 2 x x thì ta được bộ số mũ là 1 2 3 4 ( , , , )i i i i = (3,2,0,0) Bước 2 : Từ bộ số mũ xác định được ta suy ra hệ thống bộ số mũ có thể có sao cho thỏa mãn hai điều kiện : thứ nhất là tổng các số phải bằng duy nhất một số , thứ hai là số bên trái phải lớn hơn hoặc bằng số bên phải . VD : (3,2,0,0) > (3,1,1,0) > (2,2,1,0) > (2,1,1,1) Bước 3 : Từ hệ thống bộ số mũ ta vừa lập được ta phân tích f dưới dạng tham số : 2 3 1 2 3 11 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n n i i i i i j j j j ji i j j n n n n f m s s s s m s s s s − − − − − −− − − − = + + Bước 4 : Tìm 1 2 3 , , , n m m m m bằng phương pháp hệ số bất định thông qua việc chọn tùy ý 1 2 3 1 2 3 , , , , , , , 1, n n i x x x x s s s s f m i n⇒ ⇒ ⇒ = Trong đó : 1 1 2 3 1 2 1 2 1 3 1 2 3 2 4 1 1 3 1 1 2 3 . . . . . . . . . n n k k n n n i j i j n i j k i j k n n n s x x x x x s x x x x x x x x x x x x x x s x x x s x x x x = − ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤  = + + + + =    = + + + + + + =   =     =    ∑ ∑ ∑ Tìm được 1 2 3 , , , n m m m m ta thế vào 2 3 1 2 3 11 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n n i i i i i j j j j ji i j j n n n n f m s s s s m s s s s − − − − − −− − − − = + + 9) Định lí Viet : Các phần tử 1 2 3 , , , n x x x x là nghiệm của đa thức 1 2 1 2 0 ( ) n n n f x x a x a x a − − = + + + + nếu và chỉ nếu : 1 1 1 2 3 1 1 1 ( 1) n n k k s x x x x x a a = = + + + + = = − = − ∑ 2 2 1 2 1 3 1 2 3 2 4 1 2 2 1 . . . . . . . ( 1) n n n i j i j n s x x x x x x x x x x x x x x a a − ≤ ≤ ≤ = + + + + + + = = = − ∑ …………………………………………………………………………………… 1 2 1 2 1 ( 1) k k k k i i i k i i i n s x x x a ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ = = − ∑ …………………………………………………………………………………… 1 2 3 . . ( 1) n n n s x x x x a= = − 2 2 2 2 1 2 3 1 2 2x x x s s ⇒ + + = − 3 3 3 3 1 2 3 1 1 2 3 3 3x x x s s s s ⇒ + + = − + 4 Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH Chương II : Lý thuyết nhân tử hóa trên miền nguyên . 1) Ước và bội : Cho ,a b D∈ b được gọi là ước của a hay a chia hết cho b khi và chỉ khi tồn tại c D ∈ sao cho .a b c = . KH : \b a a b    M * Tính chất : gọi U là tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch hay U là tập tất cả các ức của đơn vị thì khi đó ta có : + Nếu [ ] ( [ ]) ( ) *D x U x U= ⇒ = =¤ ¤ ¤ ¤ + Nếu [ ] ( [ ]) ( ) *D x U x U= ⇒ = =¡ ¡ ¡ ¡ + Nếu [ ] ( [ ]) ( ) *D x U x U= ⇒ = =£ £ £ £ + Nếu { } [ ] ( [ ]) ( ) 1D x U x U= ⇒ = = ±¢ ¢ ¢ + Nếu n p∈ (p : số nguyên tố ) { } * ( ) \ 0 n n n n D U= ⇒ = =¢ ¢ ¢ ¢ 2) Phần tử liên kết : Trong miền nguyên D , phần tử a được gọi là lên kết với phần tử b nếu : . :u U a u b KH a b∃ ∈ = : . Hay chúng sai khác nhau một phần tử khả nghịch . Khi đó ta cũng nói phần tử b liên kết với phần tử a . 3) Ước thật sự : Cho *\a D U∈ . Khi đó d gọi là ước thật sự của a khi và chỉ khi : d là một ước của a , d không khả nghịch(hay d không là ước của 1) và d không liên kết với a . KH : d aP . 4) Phần tử bất khả quy : Phần tử *\p D U∈ ( không khả nghịch) được gọi là bất khả nghịch nếu p không có ước thật sự . Nếu p có ước thật sự thì p được gọi là phần tử khả quy . * Lưu ý : + Đa thức bậc nhất luôn bất khả quy. + Trường không có phần tử bất khả quy . + Trong miền nguyên ¢ , các số nguyên tố là các phần tử bất khả quy . 5) Ước chung lớn nhất : Ước chung lớn nhất của a,b là ước lớn nhất trong tất cả các ước chung của a và B tức là : Nếu d \ a, d \ b và c \ a , c \ b thì c \ d khi đó d là ước chung lớn nhất của a và b KH : d = (a,b) * Nếu 1 1 2 2 ( , ) : ( , ) =  ⇒  =  : d a b d d d a b * Nếu ( , ) ( , )d a b ud a b u U= ⇒ = ∀ ∈ * Nếu (a,b) = 1 thì ta nói a , b nguyên tố cùng nhau . 6) Dạng nhân tử hóa duy nhất : Phần tử a trong miền nguyên D được gọi là có dạng nhân tử hóa duy nhất nếu a phân tích dược thành tích những phần tử bất khả quy . Tức là 1 2 . . s a u p p p= . Giả sử như có sự phân tích khác 1 ' ' ' 2 . . t a u p p p= thì khi đó chỉ số t = s và từng cặp phải liên kết với nhau . 5 Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH ** Sự tồn tại dạng nhân tử hóa duy nhất : + Nếu trong miền nguyên D mà mọi phần tử bất khả quy đều là nguyên tố thì *\a D U∈ có dạng nhân tử hóa duy nhất (phân tích được thành tích các phần tử bất khả quy ) + Nếu miền nguyên D trong đó hai phần tử bất kì đều có một ước chung lớn nhất thì *\a D U ∈ có dạng nhân tử hóa duy nhất . 8) Miền nguyên : a) Miền nguyên Gauss (GD): Miền nguyên Gauss là miền nguyên mà trong đó mọi phần tử khác 0 và không khả nghịch có dạng nhân tử hóa duy nhất thành những phần tử bất khả quy . Trong miền nguyên Gauss mọi phần tử bất khả quy đều là nguyên tố . b) Miền nguyên chính : (PID) Miền nguyên chính là miền nguyên mà mọi Iđean của nó đều là Iđean chính . * Trong miền nguyên chính D , nếu p là phần tử bất khả quy thì a D ∀ ∈ thì ta có | ( , ) 1   =  p a p a * Mọi miền nguyên chính đều là miền nguyên Gauss . c) Miền nguyên Euclide : (ED) Miền nguyên D là miền nguyên ED nếu có ánh xạ hàm bậc : : *D δ → ¥ biến điểm ( )a a δ → thỏa : i) Nếu , * ( ) ( )a b D b ab δ δ ∈ ⇒ ≤ ii) , *, , : , ( ) ( )a D b D q r D a bq r r b δ δ ∀ ∈ ∀ ∈ ∃ ∈ = + < KH : ( , )D δ * Trong miền nguyên ED , u là phần tử khả nghịch nếu và chỉ nếu ( ) (1)u δ δ = . * Mọi miền nguyên ED đều là miền nguyên chính . d) Thuật toán Euclide tìm ước chung lớn nhất : Ta lấy số chia chia liên tiếp cho phần dư đến khi dư bằng 0 thì khi đó ước chung lớn nhất cần tìm là phần dư cuối cùng .(tức là nếu dư 1 0 n n r r − = ⇒ là ước chung lớn nhất ) e) Các miền nguyên Gauss đặc biệt : Ở đây ta chủ yếu nghiên cứu vấn đề về nghiệm và bất khả quy của một số miền nguyên Gauss đặc biệt . Miền nguyên Vấn đề nghiệm Vấn đề bất khả quy [ ]x¢ + Có công thức tìm nghiệm cho các đa thức có bậc 4≤ + Đa thức có bậc 5 ≥ không tìm được nghiệm . Đa thức bậc nhất có hệ số dẫn đầu là ± 1 luôn bất khả quy . [ ]x¤ Đưa về tìm nghiệm của đa thức hệ số nguyên (giống như [ ]x¢ ) + sử dụng tiêu chuẩn Eisentein (điều kiện đủ) + Đa thức bậc nhất bất khả quy . + Đa thức bậc 2 ,3 vô nghiệm thì bất khả quy . 6 Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH [ ]x¡ + Giống như [ ]x¢ + đa thức bậc lẻ luôn có ít nhất một nghiệm thực . + Đa thức bậc nhất bất khả quy . + Đa thức bậc 2 vô nghiệm bất khả quy . [ ]x£ Đa thức bậc n luôn có n nghiệm . + Đa thức bậc nhất bất khả quy . + Đa thức có bậc 2≥ luôn khả quy . + Dạng nhân tử hóa : Phân tích thành tích các đa thức bậc nhất . * Tiêu chuẩn Eisenstein : (xét tính khả quy của đa thức ) Cho đa thức 1 2 0 1 2 ( ) [ ] n n f x a a x a x a x x= + + + + ∈¢ . nếu ta chỉ ra được một số nguyên tố p sao cho : p là ước của tất cả các , 0, 1 i a i n= − , p không là ước của n a và 2 p không là ước của 0 a thì 1 2 0 1 2 ( ) [ ] n n f x a a x a x a x x= + + + + ∈¢ là bất khả quy . 7 Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH Chương III : Lý thuyết modun trên vành . 1) Định nghĩa : Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1 . ( , )M φ ≠ + là nhóm Abel . Trên M xét hai phép toán : * Phép cộng : + : M x M M → biến ( , )x y x y+a . * Phép nhân vô hướng : . : R x M M → biến ( , )r x rxa Khi đó M cùng với hai phép toán trên được gọi là modun trái trên R (hay R- modun) nếu thỏa các tiên đề sau : 1 2 3 4 : :1. : , : ( ) ( ) : , , : ( ) : , : ( ) M x M x x M r s rs x r sx M r x y M r x y rx ry M r s r s x rx sx ∀ ∈ = ∀ ∈ = ∀ ∈ ∀ ∈ + = + ∀ ∈ + = + ¡ ¡ ¡ Tương tự ta cũng có modun phải nếu như ta đổi vị trí tác động lại của R đối với M . Tức là ta có M x R M→ biến ( , )x r xra . 2) Tính chất cơ bản của modun : 1. 0 0 , 0 0 2. ( ) , ( ) 3. ( ) 4. ( ) x r r x rx r x rx r s x rx sx r x y rx ry = = − = − − = − − = − − = − 3) Modun con : Cho M là R – modun . A M φ ≠ ⊂ . Trên A xét hai phép toán : cộng và nhân vô hướng . Khi đó (A ,+, .) là modun con của M nếu A là bộ phận ổn định của modun M . Tức là ta có : , : , : x y A x y A r x A rx A ∀ ∈ + ∈   ∀ ∈ ∀ ∈ ∈  ¡ KH : A M≤ * Tiêu chuẩn xét modun con : , : , : x y A x y A A M r x A rx A ∀ ∈ − ∈  ≤ ⇔  ∀ ∈ ∀ ∈ ∈  ¡ 4) Modun thương : Cho M là R – modun . ( , ) ( , )A M+ ≤ + (nhóm con) { } / :M A x A x M= + ∈ Trong đó { } :x A x a a A+ = + ∈ . Trên M/A ta trang bị hai phép toán : * Phép cộng : M/A x M/A /M A → biến ( , ) ( ) ( ) ( )x A y A x A y A x y A+ + + + + = + +a * Phép nhân vô hướng : R x M/A /M A→ biến ( , ) ( ) ( )r x A r x A rx A+ + = +a Khi đó (M/A , + , .) là R – modun và được gọi là modun thương của modun M theo modun A. 5) Đồng cấu modun : Cho X , Y là các R – modun. 8 Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH Một ánh xạ :f X Y→ được gọi là một đồng cấu R – modun nếu : 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ) , : ( ) ( ) ( ) , : ( ) ( ) ) , , , : ( ) ( ) ( ) i x x X f x x f x f x r x X f rx rf x ii r r x x X f r x r x r f x r f x ∀ ∈ + = + ∀ ∈ ∀ ∈ = ∀ ∈ ∀ ∈ + = + ¡ ¡ 9 Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH PHẦN II : BÀI TẬP 1) Bài tập chương II : Cho α là số phức sao cho 2 5 α = − và [ ] { } : ,m n m n α α = + ∈ ⊂¢ ¢ £ a. Chứng minh rằng [ ] α ¢ là vành con của trường số phức £ chứa ¢ và suy ra [ ] α ¢ là một miền nguyên . b. Với [ ] m n δ α α = + ∈¢ , định nghĩa chuẩn của δ là số nguyên 2 2 ( ) 5N m n δ = + . Kiểm chứng rằng : 1 2 1 2 ( . ) ( ). ( )N N N δ δ δ δ = với bất kỳ [ ] 1 2 , δ δ α ∈¢ và định nhóm U các phần tử khả nghịch của [ ] α ¢ . Suy ra quan hệ : (liên kết) trong [ ] α ¢ . c. Chứng minh rằng miền nguyên [ ] α ¢ thỏa mãn dây chuyền tăng Iđean chính . d. Kiểm chứng rằng trong [ ] α ¢ , các phần tử 3,2 , 2 α α + − đều là bất khả quy và hai trong ba phần tử này không liên kết . Suy ra không thỏa mãn điều kiện duy nhất các dạng nhân tử hóa . Giải : a. Chứng minh rằng [ ] α ¢ là vành con của trường số phức £ chứa ¢ và suy ra [ ] α ¢ là một miền nguyên . (Để chứng minh [ ] α ¢ là vành con của £ [ ] ( ) α ≤¢ £ ta dựa vào tiêu chuẩn vành con : Trước tiên ta chỉ ra [ ] α ¢ là tập hợp khác rỗng . Sau đó ta kiểm chứng hai điều kiện : + [ ] [ ] 1 2 1 2 , δ δ α δ δ α ∀ ∈ ⇒ − ∈¢ ¢ + [ ] [ ] 1 2 1 2 , . δ δ α δ δ α ∀ ∈ ⇒ ∈¢ ¢ ) * Ta có [ ] [ ] 1 1 0. α α φ α = + ∈ ⇒ ≠ ⊂¢ ¢ £ * [ ] 1 1 1 2 2 2 ,m n m n δ α δ α α ∀ = + = + ∈¢ [ ] 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )m n m n m m n n δ δ α α α α − = + − + = − + − ∈¢ * 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . ( ).( ) . . 5m n m n m m m n n m n n δ δ α α α α = + + = − + − [ ] 1 2 1 2 1 2 1 2 ( . 5 ) ( . )m m n n m n n m α α = − + + ∈¢ Vậy [ ] α ≤¢ £ Ta có : £ là trường nên [ ] α ¢ là miền nguyên vì [ ] α ¢ là vành con chứa đơn vị của £ ( áp dụng theo định lí : Vành con chứa đơn vị của trường là miền nguyên ) 10 Bài 24 trang 36 [...]... x, y ] : I = < h > = < x, y > ⇒  nên ∃ h ∈ F [ x, y ] : = < h > Vậy F [ x, y ] không phải là miền nguyên chính Bài 31 trang 37 Tìm dạng nhân tử hóa (thành tích những phần tử bất khả quy ) của các số nguyên Gauss : 5 + 3i ; 13 + 18i Giải: Xét vành các số nguyên Gauss : ¢ [ i ] = { m + ni : m, n ∈ ¢} và ánh xạ : N : ¢ [ i ] → ¥ α = m + ni → N (α ) = m 2 + n 2 Ta có N (α ) = m 2 + n 2 là số nguyên... Định các α ∈ ¢ [ i ] sao cho α : α * Nếu α : β trong ¢ [ i ] thì N (α ) = N ( β ) Ta có : α : β ⇒ α = u.β (u ∈ U ) ⇒ N (α ) = N (u β ) ⇔ N (α ) = N (u ) N ( β ) ⇔ N (α ) = 1.N ( β ) ⇒ N (α ) = N ( β ) * Định các α ∈ ¢ [ i ] sao cho α : α Ta có : α ∈ ¢ [ i ] : α : α ⇔ α = uα ⇔ ( m + ni) = u.(m − ni ) + Trường hợp 1: u = −1 ⇒ m + ni = −m + ni ⇒ m = 0 ⇒ α = ni + Trường hợp 2 : u = 1 ⇒ m + ni = m − ni ⇒ ni... – Bổ túc đại số 16 – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH  a = 1   b = 0  c = 1   ad = 1    d = 1 Đồng nhất hệ số hai vế ta được : bd = 0 ⇒  a = −1 cd = 1   b = 0     c = −1   d = −1   a = 1, b = 0, c = 1, d = 1 thì 1 + x 2 là bất khả quy  a = −1, b = 0, c = −1, d = −1 Trong cả hai trường hợp  * Trường hợp 2: 1 + x 2 phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất Khi đó :. ..Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số 11 – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH b Với δ = m + nα ∈ ¢ [ α ] , định nghĩa chuẩn của δ là số nguyên N (δ ) = m 2 + 5n 2 Kiểm chứng rằng : N (δ1.δ 2 ) = N (δ1 ).N (δ 2 ) với bất kỳ δ1 , δ 2 ∈ ¢ [ α ] và định nhóm U các phần tử khả nghịch của ¢ [ α ] Suy ra quan hệ : (liên kết) trong ¢ [ α ] * Chứng minh : N (δ1.δ 2 ) = N (δ1 ).N (δ 2 ) Ta có : N (δ ) = m 2 + 5n 2... phần tử trên không liên kết: δ = δ ' Do U (¢ [ α ] ) = { ±1} , δ : δ ' ⇔  δ = −δ ' Mà Ta có : 3 ≠ ± (2 + α ) ⇒ 3 không liên kết với 2 + α Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số 13 – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH 3 ≠ ± (2 − α ) ⇒ 3 không liên kết với 2 − α 2 + α ≠ ± (2 − α ) ⇒ 2 + α không liên kết với 2 − α ** Suy ra không thỏa mãn điều kiện duy nhất các dạng nhân tử hóa Ta thấy: 9 = 3.3 = (2 − α )(2 + α... đó nên dãy (***) sẽ lùi dần và có n để dãy (***) dừng tại n Nên ta suy ra dãy (**) dừng , nghĩa là δ n : δ n +1 : δ n + 2 : Tương ứng với dãy (**) dừng thì suy ra dãy (*) cũng dừng tức là ta có : δ n ¢ = δ n +1¢ [ α ] = δ n+ 2¢ [ α ] = 12 – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số Vậy miền nguyên ¢ [ α ] thỏa dây chuyền tăng I đean chính d Kiểm chứng rằng trong ¢ [ α ] , các phần... [ i ] * Chiều đảo : Giả sử ∃α ∈ ¢ [ i ] : p = N (α ) = α α Suy ra p khả quy trên ¢ [ i ] ⇒ p không là số nguyên tố trên ¢ nên mâu thuẩn với giả thiết p là số nguyên tố trên ¢ Vậy p ≠ N (α )∀α ∈ ¢ [ i ] f Một số nguyên tố p trong ¢ có dạng p = 4q + 3 thì p là nguyên tố trong ¢ [ i ] ∀α = m + ni ∈ ¢ [ i ] , N (α ) = m 2 + n 2 Ta có : m 2 + n 2 ≠ p = 4q + 3 Thật vậy : + Nếu m chẵn : m = 2k ⇒ m 2 ≡ 0(mod... 2 + 2mnpq = (m 2 + n 2 )( p 2 + q 2 ) = N (α ).N ( β ) Cách 2 : Theo định nghĩa ta có : N (α ) = m2 + n 2 = ( m + ni)(m − ni ) = α α ⇒ ∀α , β ∈ ¢ [ i ] ⇒ N (αβ ) = αβ αβ = αβ α β = α αβ β = N (α ).N ( β ) Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số 14 – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH b α ∈ ¢ [ i ] là phần tử khả nghịch nếu và chỉ nếu ∋ α ' ∈ ¢ [ i ] : α α ' = 1 Định nhóm U các phần tử khả nghịch của ¢ [ i ] * α... khả quy nếu và chỉ nếu f không có nghiệm trong F “ Bài 25 trang 36 Chứng minh rằng trong miền nguyên Gauss , nếu a | bc và (a, b) : 1 thì a | c Giải : Do a, b, c thuộc miền nguyên Gauss Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số 18 – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH α α α α β β β β Ta có : b = u1 p1 p2 p3 ps ; c = u2 p1 p2 p3 ps 1 2 3 s 1 2 3 s α α α α ⇒ b.c = u1u2 p1 1 + β1 p2 2 + β2 p3 3 + β3 ps s + β s... Vậy nếu N (α ) nguyên tố trong ¢ thì α là phần tử nguyên tố trong ¢ [ i ] e Một số nguyên tố p trong ¢ cũng là nguyên tố trong ¢ [ i ] nếu và chỉ nếu p ≠ N (α )∀α ∈ ¢ [ i ] * Chiều thuận : Giả sử p là nguyên tố trên ¢ , p không là nguyên tố trên ¢ [ i ] khi đó ta có : p = α β Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số 15 – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH ⇒ N ( p ) = N (αβ ) = N (α ) N ( β ) ⇔ p 2 = N (α ) N ( β ) . DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH Một ánh xạ :f X Y→ được gọi là một đồng cấu R – modun nếu : 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ) , : ( ) ( ) ( ) , : ( ) ( ) ) , , , : (. Lớp DHSTOAN2008 – Bổ túc đại số – Giảng viên : ĐỖ LƯ CÔNG MINH BỔ TÚC ĐẠI SỐ 1) Nhóm : Xét tập G φ ≠ . Trên G xét phép toán ∗ (bao gồm phép cộng. trên được gọi là modun trái trên R (hay R- modun) nếu thỏa các tiên đề sau : 1 2 3 4 : :1 . : , : ( ) ( ) : , , : ( ) : , : ( ) M x M x x M r s rs x r sx M r x y M r x y rx ry M r s r s x rx sx ∀