Một vài suy nghĩ về bất đẳng thức . I. Đặt vấn đề Bất đẳng thức là một trong những mãng kiến thức khó nhất của toán học phổ thông . Nhng thông qua các bài tập về bất đẳng thức ngời học toán hiểu kỉ và sâu hơn về giải và biện luận phơng trình , bất phơng trình ,về mối liên hệ giữa các yếu tố của một tam giác , giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của một biểu thức và quá trình giải bài tập , năng lực suy nghĩ , sáng tạo của học sinh đợc phát triển đa dạng mạnh mẽ , vì ở các bài tập này , cách giải không hoàn toàn có một mẫu quy tắc nh các mảng kiến thức khác . Chính vì vậy ngời học toán cần căn cứ vào đặc thù của từng bài toán vận dụng những điều đã học một cách mềm dẻo và thông minh . Sau đây chúng ta sẽ xét một số phơng pháp chủ yếu trong việc chứng minh các bất đẳng thức . II .Giải quyết vấn đề . 1. Định nghĩa bất đẳng thức . Cho a và b là hai số bất kỳ , ta nói rằng a lớn hơn b (a >b ) nghĩa là (a b) dơng . a nhỏ hơn b nghĩa là (a b) âm * Ngợc lại nếu hiệu (a b) dơng thì a lớn hơn b . * Ngợc lại nếu hiệu (a b) âm thì a nhỏ hơn b . Do định nghĩa trên a > 0 chỉ rằng a là một số dơng . a < 0 chỉ rằng a là một số âm . Cần biết a > b và c > d là hai bất đẳng thức cùng chiều . Cần biết a > b và c < d là hai bất đẳng thức ngợc chiều . 2 . Tính chất cơ bản của bất dẳng thức . - Tính chất 1 : a > b b <a . - Tính chất 2 : ca cb ba > > > . - Tính chất 3 : a > b a + c > b + c . - Tính chất 4 : Nếu a > b và c > 0 ac > bc . a > b và c < 0 ac < bc . a > b và c = 0 ac = bc . Cộng và trừ bất đẳng thức . + Nếu a > b và c > d a+ c > b + d . a < b và c < d a + c < b + d . + Nếu a > b và c < d a - c > b - d . a < b và c > d a - c < b - d . 3 . Các hằng đẳng thức đợc thừa nhận . * x R . x 2 0 . * x R . x 0 . * 0 i x . x 1 + x 2 +x n 0 . i = 1,2,3,4n với n * N . 4 . Bất đẳng thức côsi . - Định lí : Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của n số đó . Cho a 1 ,a 2 ,a 3 ,.a n 0 . Ta luôn có n n n aaaa n aaa 321 21 ++ . Dấu của đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = a n . 5 . Bất đẳng thức BunhiAcốpxki. Định lí : với a 1 ,a 2 ,b 3 ,,a n ; b 1 ,b 2 ,b 3 ,.b n .Ta luôn có . ) )( () ( 22 3 2 2 2 1 22 2 2 12211 nnnn bbbbaaabababa ++++++++ Dấu của đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi n n b a b a b a 2 2 1 1 == C/m : Sử dụng đồng nhất thức la gơ răng . (x 1 y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3 + .+ x n y n ) 2 = (x 1 2 + x 2 2 + +x n 2 )(y 1 2 +y 2 2 + +y n 2 ) - (x 1 y 2 +x 2 y 1 ) 2 -(x 1 y 2 +x 2 y 1 ) 2 - (x 1 y n +x n y 1 ) 2 - (x 2 y 2 +x 3 y 2 ) 2 . (x n-1 y n +x- n y n-1 ) 2 . Trong đồng nhất thức ta bỏ bớt số hạng - (x i y J +x J y i ) 2 , ta có bất đẳng thức cần chứng minh . 6. Bất đẳng thức Svácxơ . Cho a 1 ,a 2 .a n và b 1 ,b 2 .b n . là hai dãy số (b i > 0) . i = 1,2,3 n ) CM : n n n n bbb aaa b a b a b a ) ( 21 2 21 2 2 2 2 1 1 2 ++ ++ ++ . Giải : áp dụng bất đẳng thức Bu nhi acốp x ki với hai dãy số . n n b a b a b a , 2 2 1 1 và n bbb , 21 ta có ( ) ( ) 2 2121 2 2 2 2 1 2 1 nn n n aaabbb b a b a b a ++++ ++ . 7 . Bất đẳng thức Bécnuli . CMR : Nếu h -1 và n là số tự nhiên lớn hơn 0 .(1 +h) n 1 + nh. Giải : Khi n = 1 , mệnh đề đúng . Giả sử mệnh đề đúng với n = k tức là (1 +h) k = 1 + kh (*) Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. thật vậy nhân hai vế của (*) với 1 + h 0 ta có (1 + h k+1 1 + (k +1) h . Bất đẳng thức đã đợc chứng minh . Dấu của đẳng thức xẩy ra khi h = 0 , n tuỳ ý hoặc n = 1 . Chú ý có thể sử dụng bất dẳng thức côsi tổng quát để chứng minh . 8 . Bất đẳng thức tsêbsép . Cho dãy số tăng a 1 a 2 a 3 a 4 a n , và b 1 b 2 b 3 b 4 b n Hoặc a 1 a 2 a 3 a n và b 1 b 2 b 3 b 4 b n . C/m (a 1 + a 2 + a 3 + + a n ) (b 1 + b 2 + b 3 + + b n ) n(a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n ). Dấu của đẳng thức xẩy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = a n hoặc b 1 = b 2 = b 3 = b n . Giải : Xét hiệu . n(a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n ) - (a 1 + a 2 + a 3 + + a n ) (b 1 + b 2 + b 3 + + b n ) = [(a 1 - a 2 )( b 1 - b 2 ) +(a 1 - a 3 )(b 1 -b 3 ) (a n-1 -a n ) (b n-1 - b n ) 0 (*) bất đẳng thức (*) đúng vì ( a k-1 - a k )(b k-1 - b k ) 0 . a 1 ,a 2 .a n và b 1 ,b 2 .b n là hai dãy cùng tăng hoặc cùng giảm . III .Bài tập vận dung . Bài 1 : Với tam giác ABC chứng minh rằng 3++ a c c b b a Giải : Ta có 3 3 a c c b b a a c c b b a ++ 3++ a c c b b a Bài 2 : CMR ab + bc + ca = 4 thì a 4 + b 4 + c 4 3 16 . Giải : Ta có (ab + bc + ca ) 2 (a 2 +b 2 +c 2 ) (a 2 +b 2 +c 2 ) 16 (a 2 +b 2 +c 2 ) 2 (1) Ta lại có (a 2 +b 2 +c 2 ) 2 (1 + 1 + 1) (a 4 + b 4 + c 4 ) . (2) Từ (1) và (2) suy ra : 3(a 4 + b 4 + c 4 ) 16 vậy a 4 + b 4 + c 4 3 16 . Bài 3 : Cho bốn số dơng a , b , c , d chứng minh rằng : a) Nếu c + d < a + b thì ( ) ba a dcba ca dc c + + + + 2 2 2 b) Nếu ab + bc + cd + da = 1 thì 3 3 3 3 1 3 a b c d b c d a c d a b d a b c + + + + + + + + + + + a Giải : a) Đặt A = ( ) dcba ca dc c + + + 2 2 thì (a +b) A = ( c + d + a + b - c - d)A . Vậy ( a + b) [ ( ) dcba ca dc c + + + 2 2 ] = ( ) ( ) ba a Aa dcba ca dc c xdcbadc + = + + + +++ 2 2 22 2 2 Dấu của đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c d = b) Đặt A = b + c + d > 0 B = a + c + d > 0 C = a + b + d > 0 D = a + b + c > 0. Vì ab + bc + cd + da = 1 nên : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1a b c d a b c d+ + + + + + = ( theo Bunhiacôpxki ) 2 2 2 2 1a b c d + + + Giả sử 3 3 3 3 0 1 1 1 1 0 0 a b c d thi a b c d va A B C D f f f Theo Tsebusep: ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 16 1 1 1 1 1 1 48 3 a b c d a b c d A B C D A B C D a b c d a b c d A B C D a b c d A B C D A B C D + + + + + + + + + ữ + + + + + + + + + = ữ = + + + + + + + + + ữ Bài 4 : cho a 2 ; b 2 CMR ab a + b Để chứng minh ab a + b ta sẽ chứng minh ab -a - b 0 Xét ab - a - b = a(b - 1) - ( b - 1 ) - 1 = (a - 1)(b-1) - 1 Do a 2 ; b 2 nên a -1 1 và b - 1 1 vậy (a - 1)(b - 1) 1 (a - 1)(b - 1) - 1 0 ab a + b (Đpcm) Bài 5 : CMR a 4 + b 4 a 3 b + ab 3 với ba, Giải : Đặt a = x 2 ; b = y 2 ; và x,y 0 Ta có (x 2 ) 4 +(y 2 ) 4 (x 2 ) 3 y 2 + x 2 (y 2 ) 3 . 44 2 6 2 6 22 62 22 26 22 8 22 8 yx x y y x yx yx yx yx yx y yx x ++++ suy ra (Đpcm) . Bài 6 :Tìm giá trị nhỏ nhất A = 1 2 ++ xx + 1 2 + xx Giải : áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm ta có A = ++++ 11 22 xxxx 2 21 4 24 ++ xx . vậy giá trị nhỏ nhất của A = 2 khi và chỉ khi x = 0 . Bài 7 : Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức sau . A = 2x 2 + 10 x - 1. Cách 1 : Ta có A = 2 27 2 27 2 5 2 2 27 2 25 2 5 .22)2( 2 2 +=++ xxx Vậy A nhận giá trị nhỏ nhất là - 2 27 khi và chỉ khi 2 5 0 2 5 2 ==+ xx Cách 2: Ta có 2A = 2(x 2 + 10x-1) = 4x 2 +20x - 2 = (2x) 2 +2.2x.5 +5 -27 = (2x +5) 2 - 27 -27 2A nhận giá trị nhỏ nhất là -27 khi và chỉ khi 2x + 5 = 0 2 27 = x . A nhận giá trị nhỏ nhất là - 2 27 khi và chỉ khi 2 5 = x Từ cách giải trên ta suy ngẫm đôi chút về bài toán giúp ta tìm đến kết quả tổng quát sau . Với Q = a x 2 + bx + c Trong đó a,b,c R . a > 0 thì Q nhận giá trị nhỏ nhất là a b x a bac 24 4 2 = thật vậy ta có Q = a(x 2 + a c x a b +. ) = a a bac a bac a b xa a b a c a b a b xx 4 4 4 4 2 44 2 .2 22 2 2 2 2 2 2 + += +++ . Nh vậy trong toán học việc tìm hiểu cách trình bày lời giải trên cơ sỡ vận dụng kiến thức khác nhau .Việc tổng quát hoá , tơng tự hoá cho một bài toán là rất cần thiết . Bài 8 :Chứng minh bất đẳng thức sau . a) 1995 200 +1996 2000 <1997 2000 . b) ( ) 0,,; 2 3 fcba ba c ac b cb a + + + + + Giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với : a). 20002000 1996 1997 1 1996 1995 <+ . Theo bất đẳng thức Bécnuli thì : 200020002000 1996 1995 1 1996 2000 1 1996 1 1 1996 1997 +>+ += . b). Đặt s = a + b + c , bất đẳng thức cần chứng minh sẽ là : 2 3 + + cs c bs b as a giả sử : cba 0 thì : csbsas csbas > 111 0á theo Tsêbsép : ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 2 3 6 9111 6 1 111 3 11 . 1 . 1 . = + + ++ = + + ++ + + csbsas csbsas csbsas cba cs c bs b as a Bài 9 : Cho hai số a,b thoả mãn điều kiện 2a - 3b = 7 chứng minh rằng 47 725 53 22 + ba : Giải : Ta có ba .5 5 3 .3 3 2 7 = áp dụng bất đẳng thức : Bunhiacốpxki ta có : ( ) 222222 53 47 735 53 47 15.49 53 5 9 3 4 49 bababa + + Bài 10 : Giả sử a +b + c = 1 chứng minh rằng : 3 1 222 ++ cba . Giải : áp dụng bất đẳng thức Côsi Bunhiacốpxki ta có : 1= a.1 + b.1 + c.1 ( ) 22222222 3111. cbacba ++=++++ Suy ra 3 1 22 ++ cba Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 3 1 === cba Bài 11: Giải phơng trình 2 4 4 4 1 1 1 3x x x + + + = Giải : Điều kiện : 1 1x Theo bất đẳng thức Cô si ta có : ( ) ( ) 2 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 1 1 1 1 1 .(1) 2 1 1 1 1.(1 ) .(2) 2 1 1 1 1(1 ) .(2) 2 1 1 1 1 (1),(2),(3) 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 x x x x x x x x x x x x x tu ta x x x x x + + = + + + + = + + + = + + + + + + + + + + + + = Dấu của đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 1 ; (4) 1 1;(5) 1 1;(6) x x x x + = + = = Giải hệ phơng trình này ta đợc x = 0 . Đối chiếu với điều kiện ta thấy x = 0 thoã mãn phơng trình đa cho Phơng trình đã cho có một nghiệm x = 0 . III - Kết luận chung Trên đây là một số dạng đa thức thờng gặp ở một số dạng bớc đầu phải dùng phơng pháp riêng của nó để giải và mỗi dạng bài tôi chỉ đa ra một vài ví dụ minh họa. Còn trong thực tế các bài toán nó đa dạng. Do đó việc giải phải có sự lựa chọn phơng pháp thích hợp, phù hợp với mỗi kiểu bài mà việc lựa chọn đó muốn có đợc của học sinh thì đỏi hỏi giáo viên phải có sự chọn lọc, sắp xếp rút ra tổng quát cung cấp cho học sinh. Tuy rằng ở một số dạng đều dùng phơng pháp riêng . Nhng mỗi loại có mỗi đặc điểm khác nhau. Do đó ở đây tôi nêu ra các kiểu bài nh thế để giúp học sinh nhận dạng từ đó xác định phơng pháp giải thích hợp cho mỗi kiểu bài. Còn việc trình bày bài giải sau khi đã nắm đợc phơng pháp rõ ràng thì việc tìm lời giải nó dễ dàng hơn , khoa học hơn. Đồng thời các bất đẳng thức mới tuy nhiên cha đa ra nhiều ví dụ cũng nh bài tập vận dụng cho từng dạng nhng mong rằng sự quan tâm của các đồng chí sẽ giúp tôi bổ sung thêm để nó có thể là kiến thức tổng quát giúp học sinh thích học toán hơn ,tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải phơng trình và bất phơng trình bậc cao và những phơng trình có dạng đặc biệt đó sau này. Trong quá trình giảng dạy và bồi dỡng cần cung cấp đầy đủ cho học sinh để khi gặp các dạng bài tập này giúp các em định hớng, lựa chọn đợc phơng pháp thích hợp giải quyết bài toán nhanh gọn. Mặc dù một số em còn tồn tại trong khâu trình bày cha chặt chẽ, rõ ràng. Song phơng pháp này đã trở thành bài học góp phần mang lại hiệu quả hơn. Tuy rằng các phơng pháp cha đợc toàn diện nhng đối với một số dạng thông thờng trên đây đã có tác dụng thực sự nâng cao chất lợng cho việc chứng minh các bất đẳng thức ./. Tác giả . Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Độc lập - tự do - hạnh phúc Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng bất đẳng thức trong dạy học Ngời thực hiện : Phạm Thanh D ơng Đơn vị công tác : Trờng THCS Hoà Hải Năm học 2010 - 2011 . nnnn bbbbaaabababa ++++++++ Dấu của đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi n n b a b a b a 2 2 1 1 == C/m : Sử dụng đồng nhất thức la gơ răng . (x 1 y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3 + .+ x n y n ) 2 = (x 1 2 + x 2 2 . -1 và n là số tự nhiên lớn hơn 0 .(1 +h) n 1 + nh. Giải : Khi n = 1 , mệnh đề đúng . Giả sử mệnh đề đúng với n = k tức là (1 +h) k = 1 + kh (*) Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n =. thức đã đợc chứng minh . Dấu của đẳng thức xẩy ra khi h = 0 , n tuỳ ý hoặc n = 1 . Chú ý có thể sử dụng bất dẳng thức côsi tổng quát để chứng minh . 8 . Bất đẳng thức tsêbsép . Cho dãy số tăng