BÀI GIẢNG BỒI DƯỠNG TOÁN 9 CHỦ ĐỀ 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH * MỤC TIÊU: Giải được hệ phương trình bằng phương pháp cộng. I. Khái niệm về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Cho hai phương trình ax by c+ = và ' ' ' a x by c+ = khi đó ta có hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn ' ' ' ax by c a x by c + = + = (*) *Nếu hai phương trình có nghiện chung 0 0 ( ; )x y , thì 0 0 ( ; )x y được gọi là nghiệm của hệ phương trình (*). * Nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì hệ phương trình (*) vô nghiệm. * Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó. II. Cách giải Để giải được hệ phương trình ' ' ' (1) (2) ax by c a x by c + = + = (*) ta áp dụng hai phương pháp sau: 1. Phương pháp thế Từ (1) (3) c ax y b − ⇒ = Thay (3) vào (2) ta được ' ' ' ' ' ' ' ( ) (4) c ax c b bc a x b c x b a b ba − − + = ⇔ = − Thay (4) vào (3) ta được ' ' ' ' ( ) a bc abc y b a b ba − = − Khi đó ' ' ' ' ( c b bc a b ba − − ' ' ' ' ; ) ( ) a bc abc b a b ba − − là nghiệm của hệ (*) Tuy nhiên ở phương pháp này rất phức tạp khiến HS lúng túng trong quá trình giải, hoặc giải được nhưng kết quả sai nên GV cần khuyến khích HS giải theo phương pháp sau: 2. Phương pháp cộng đại số Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi 1 hệ phương trình thành 1 hệ phương trình tương đương. Ở phương pháp này ta thực hiện như sau: Bước 1: Cộng hay trừ hai vế phương trình của hệ phương trình đã cho để được phương trình mới Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay vào 1 trong 2 phương trình của hệ. III. Các ví dụ VD1. Giải hệ phương trình 3 1 (1) 2 4 (2) x y x y − = + = GV THỰC HIỆN: LỮ NGỌC TRIỆU 1 BÀI GIẢNG BỒI DƯỠNG TOÁN 9 Lời giải. Cộng từng vế (1) và (2) ta được phương trình 5 5 1x x= ⇔ = Thay 1x = vào (2) ta được 2.1 4 2.y y+ = ⇔ = Vậy nghiệm của hệ phương trình là (1;2). VD2. Giải hệ phương trình sau 4 3 6 (1) 2 4 (2) x y x y + = + = Ở bài này ta thấy hệ số ' ' ,a a b b≠ ≠ ta không thể trực tiếp cộng hoặc trừ từng vế phương trình của hệ phương trình được. Do đó ta nhân 2 vế phương trình (2)cho 2 hoặc 3 để xuất hiện 1 hệ mới tương đương với hệ đã cho và có ' ,a a= hoặc ' b b= sau đó ta thực hiện cộng hoặc trừ. Lời giải. Nhân 2 vế (2) cho 2 ta được hệ ' ' 4 3 6 (1 ) 4 2 8 (2 ) x y x y + = + = Trừ từng vế (1 ’ ) cho (2 ’ ) ta được 2y = − Thay 2y = − vào (1) ta được 3 2 2 4 . 2 x x− = ⇒ = Vậy nghiệm của hệ phương trình là 3 ( ; 2). 2 − VD3. Giải hệ phương trình sau 2 3 3 (1) 3 2 2 (2) x y x y + = − − = − Ta nhân hai vế (1) cho 3 và hai vế (2) cho 2 (hoặc hai vế (1) cho 2 và hai vế (2) cho 3 ) ta được hệ phương trình 6 9 6 6 4 6 x y x y + = − − = − hoặc 4 6 4 9 6 9 x y x y + = − − = − Lời giải. Nhân hai vế (1) cho 3 và hai vế (2) cho 2 ta được hệ ' ' 6 9 6 (1 ) 6 4 6 (2 ) x y x y + = − − = − Trừ từng vế (1 ’ ) cho (2 ’ ) ta được 13 0 0.y y= ⇒ = Thay 0y = vào (1) ta được 2 3.0 2 1.x x + = − ⇒ = − Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( 1;0).− IV. Bài tập Bài 1. Giải các hệ phương trình sau 1 2 3 5 ( ) ; ( ) ; 3 3 2 3 3 2 5 7 ( ) ; ( ) . 5 3 15 3 x y x y a b x y x y x y x y c d x y x y − = + = + = − = − = − = + = − + = Bài 2. Giải các phương trình sau GV THỰC HIỆN: LỮ NGỌC TRIỆU 2 BÀI GIẢNG BỒI DƯỠNG TOÁN 9 2 3 5 3 7 ( ) ; ( ) ; 4 3 2 21 3 2 3 3 8 ( ) ; ( ) . 7 5 4 2 x y x y a b x y x y x y x y c d x y x y + = − = + = + = − = − + = + = + = Bài 3. Giải các phương trình sau 3 4 5 3 2 13 ( ) ; ( ) ; 5 3 4 2 3 7 1, 3 4, 2 12 1, 7 2 3, 8 ( ) ; ( ) . 0, 5 2, 5 5, 5 2, 1 5 0, 4 x y x y a b x y x y x y x y c d x y x y − = + = + = + = + = − = + = + = GV THỰC HIỆN: LỮ NGỌC TRIỆU 3 BÀI GIẢNG BỒI DƯỠNG TOÁN 9 CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI * MỤC TIÊU Giải được phương trình bâc hai một ẩn bằng công thức nghiệm tổng quát. I. Định nghĩa phương trình bậc hai Phương trình có dạng 2 0ax bx c+ + = , trong đó , ,a b c là những số cho trước và 0a ≠ được gọi là phương trình bậc hai một ẩn. II. Cách giải Dùng công thức nghiệm tổng quát để giải phương trình 2 0ax bx c+ + = (*) Ta có 2 4b ac∆ = − * Nếu 0∆ > thì (*) có hai nghiệm phân biệt 1 2 2 . 2 b x a b x a − + ∆ = − − ∆ = * Nếu 0∆ = thì (*) có nghiệm kép 1 2 . 2 b x x a − = = * Nếu 0∆ < thì (*) vô nghiệm. Ngoài công thức nghiệm này ta có thể giải (*) theo công thức nghiệm thu gọn Ta có ' '2 b ac∆ = − (với ' 2 b b = ) * Nếu ' 0∆ > thì (*) có hai nghiệm phân biệt ' ' 1 ' ' 2 . b x a b x a − + ∆ = − − ∆ = * Nếu ' 0∆ = thì (*) có nghiệm kép ' 1 2 . b x x a − = = * Nếu ' 0∆ < thì (*) vô nghiệm. III. Các ví dụ VD1. Giải phương trình 2 2 5 3 0x x− + = Lời giải. Ta có: ( 2, 5, 3)a b c= = − = 2 2 4 ( 5) 4.2.3 25 24 1 1 0. b ac∆ = − = − − = − = ⇒ ∆ = > GV THỰC HIỆN: LỮ NGỌC TRIỆU 4 BÀI GIẢNG BỒI DƯỠNG TOÁN 9 Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 ( 5) 1 3 2 2.2 2 ( 5) 1 1 2 2.2 b x a b x a − + ∆ − − + = = = − − ∆ − − − = = = Vậy phương trình có 2 nghiệm 1 2 3 , 1. 2 x x= = VD2. Giải phương trình 2 4 3 0x x− + = Ở bài này ta co thể giải theo hai cách: Dùng công thức nghiệm tổng quát hoặc dùng công thức nghiệm thu gọn. Lời giải. Cách 1: Ta có 2 2 4 ( 4) 4.1.3 4b ac∆ = − = − − = 2 0⇒ ∆ = > Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 ( 4) 2 3 2 2.1 ( 4) 2 1 2 2.1 b x a b x a − + ∆ − − + = = = − − ∆ − − − = = = Vậy phương trình có 2 nghiệm 1 2 3, 1.x x= = Cách 2: Ta có ' '2 2 ( 2) .1.3 1b ac∆ = − = − − = ' 1 0⇒ ∆ = > Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt ' ' 1 ' ' 2 ( 2) 1 3 1 ( 2) 1 1 1 b x a b x a − + ∆ − − + = = = − − ∆ − − − = = = Vậy phương trình có 2 nghiệm 1 2 3, 1.x x= = IV. Bài tập Bài 4. Giải các phương trình sau 2 2 2 2 ( ) 5 4 0; ( ) 4 5 0; ( )4 4 1 0; ( ) 2 3 0. a x x b x x c x x d x x − + = + − = + + = − + = Bài 5. Giải các phương trình sau 2 2 2 2 ( )2 5 3 0; ( )3 4 1 0; ( )4 4 1 0; ( )11 2 9 0. a x x b x x c x x d x x − + = + − = − + = − − = Bài 6. Giải các phương trình sau 2 2 ( )2 5 3 0; ( )3 4 1 0;a x x b x x− + = + − = 2 2 ( )4 4 1 0; ( )11 2 9 0.c x x d x x− + = − − = GV THỰC HIỆN: LỮ NGỌC TRIỆU 5 BÀI GIẢNG BỒI DƯỠNG TOÁN 9 Bài 7. Giải các phương trình sau 2 2 2 2 ( )16 8 1 0; ( )6 10 1 0; ( )5 24 9 0; ( )16 10 1 0. a x x b x x c x x d x x − + = − − = + + = − + = Bài 8. Giải các phương trình sau 2 2 2 2 ( )3 2 5 0; ( )5 2 16 0; 1 16 1 ( ) 2 0; ( ) 3 2 0. 3 3 2 a x x b x x c x x d x x − − = + − = + − = − + = Bài 9. Giải các phương trình sau 2 2 2 2 ( )2 7 2 0; ( )2 9 7 0; ( )(2 3) 4 2 2 0; ( )1, 4 3 1, 2 0. a x x b x x c x x d x x − + = + + = − + + + = − + = GV THỰC HIỆN: LỮ NGỌC TRIỆU 6 BÀI GIẢNG BỒI DƯỠNG TOÁN 9 CHỦ ĐỀ 3: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ NGHIỆM, VÔ NGHIỆM * MỤC TIÊU Xác định được điều kiện của tham số để phương trình 2 0ax bx c+ + = (*) có 2 nghiệm phân biệt, nghiệm kép, vô nghiệm. I. Cách giải Tính biệt số 2 4b ac∆ = − có chứa tham số Phương trình (*) có 2 nghiêm phân biệt 2 4 0b ac⇔ ∆ = − > . Phương trình (*) có nghiệm kép 2 4 0b ac⇔ ∆ = − = . Phương trình (*) có nghiệm kép 2 4 0b ac⇔ ∆ = − < . II. Ví dụ VD. Cho phương trình 2 ( 1) (2 1) ( 1) 0m x m x m+ − − + − = (1), với m là tham số. a. Xác định m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, b. Xác định m để phương trình (1) có nghiệm kép, c. Xác định m để phương trình (1) vô nghiệm. Lời giải. Ta có [ ] 2 2 2 (2 1) 4( 1)( 1) 4 4 1 4 4 4 5 m m m m m m m ∆ = − − − + − = − + − + = − + a. Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi 0∆ > 4 5 0 5 4 m m ⇔ − + > ⇔ < Vậy để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì 5 4 m < . b. Để phương trình (1) có nghiệm kép khi 0∆ = 4 5 0 5 4 m m ⇔ − + = ⇔ = Vậy để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì 5 4 m = . c. Để phương trình (1) vô nghiệm khi 0∆ > 4 5 0 5 4 m m ⇔ − + < ⇔ > GV THỰC HIỆN: LỮ NGỌC TRIỆU 7 BÀI GIẢNG BỒI DƯỠNG TOÁN 9 Vậy để phương trình (1) vô nghiệm thì 5 4 m > . III. Bài tập Bài 10. Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 0; ( ) ( 1) 3 0; ( ) 2( 3) 3 0; ( )( 1) 4 4 1 0 ? a mx mx m b x m x c x m x m d m x mx m − − + = + + − = + + + + = + + + − = Bài 11. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép 2 2 2 2 ( ) 2( 1) 2 0; ( ) (2 1) 3 0; ( )5 2 2 15 0; ( ) 4( 1) 8 0 ? a mx m x m b mx m x m c x mx m d mx m x − + − + = + − + − = + − + = − − − = GV THỰC HIỆN: LỮ NGỌC TRIỆU 8 4 1 -2 -1 2 1 0 -2 (d) (P) BÀI GIẢNG BỒI DƯỠNG TOÁN 9 CHỦ ĐỀ 4: TÌM GIAO ĐIỂM GIỮA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG * MỤC TIÊU - Vẽ được đồ thị hàm số (P): 2 y ax= và (d): y bx c= + - Xác định được giao điểm giữa (P) và (d) bằng phương pháp đại số. I. Cách giải - Xác định phương trình hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) 2 ax bx c= + (*) - Đưa (*) về dạng phương trình bậc hai 1 ẩn 2 0 (1)ax bx c− − = - Giải (1) tìm được hoành độ 1 2 1 2 , ,x x y y⇒ (tung độ) - Kết luận : Tọa độ giao điểm giữa (P) và (d) là 1 1 2 2 ( ; ), ( ; )M x y N x y . II. Ví dụ VD. Cho (P): 2 y x= (d): 3 2y x= − a. Vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy ; b. Xác định tọa độ giao điểm M, N giữa (P) và (d) Lời giải. a. Bảng giá trị x -2 -1 0 1 2 2 y x= 4 2 0 1 4 x 0 1 3 2y x= − -2 1 b. Phương trình hoành độ giao điểm 2 2 3 2 3 2 0x x x x= − ⇔ − + = (1) Giải (1) ta được 1 2 1, 2x x= = * Với 1 1 1 1x y= ⇒ = . * Với 2 2 2 4.x y= ⇒ = Vậy tọa độ giao điểm giữa (P) và (d) là (1;1), (2; 4).M N III. Bài tập GV THỰC HIỆN: LỮ NGỌC TRIỆU 9 BÀI GIẢNG BỒI DƯỠNG TOÁN 9 Bài 12. Cho (P): 2 y x= − (d): 3 2y x= − + a. Vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy ; b. Xác định tọa độ giao điểm M, N giữa (P) và (d) Bài 13. Cho (P): 2 1 2 y x= (d): 1 2 y x= − a. Vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy ; b. Xác định tọa độ giao điểm M, N giữa (P) và (d) Bài 14. Cho (P): 2 2y x= (d): 3y x= − + a. Vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy ; b. Xác định tọa độ giao điểm M, N giữa (P) và (d) Bài 15. Cho (P): 2 1 2 y x= (d): 2 1y x= + a. Vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy ; b. Xác định tọa độ giao điểm M, N giữa (P) và (d) Bài 16. Cho (P): 2 1 3 y x= − (d): 2 2 3 y x= − − a. Vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy ; b. Xác định tọa độ giao điểm M, N giữa (P) và (d) GV THỰC HIỆN: LỮ NGỌC TRIỆU 10 . GIẢNG BỒI DƯỠNG TOÁN 9 CHỦ ĐỀ 4: TÌM GIAO ĐIỂM GIỮA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG * MỤC TIÊU - Vẽ được đồ thị hàm số (P): 2 y ax= và (d): y bx c= + - Xác định được giao điểm giữa (P) và (d) bằng phương. giao điểm giữa (P) và (d) 2 ax bx c= + (*) - Đưa (*) về dạng phương trình bậc hai 1 ẩn 2 0 (1)ax bx c− − = - Giải (1) tìm được hoành độ 1 2 1 2 , ,x x y y⇒ (tung độ) - Kết luận : Tọa độ giao. Oxy ; b. Xác định tọa độ giao điểm M, N giữa (P) và (d) Lời giải. a. Bảng giá trị x -2 -1 0 1 2 2 y x= 4 2 0 1 4 x 0 1 3 2y x= − -2 1 b. Phương trình hoành độ giao điểm 2 2 3 2 3 2 0x