CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP CHƯƠNG I TOÁN 8 Dạng 1: Thực hiện phép tính.(Rút gọn biểu thức) Phương pháp:Sử dụng quy tắc nhân đơn thức (đa thức) với đa thức và bảy hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức đã cho về một biểu thức đơn giản ,ngắn gọn hơn. VD:a) 2x 2 + 3(x - 1)(x + 1) – 5x(x + 1) = 2x 2 + 3(x 2 – 1) –5x 2 – 5x = 2x 2 + 3x 2 - 3x - 5x 2 – 5x = - 8x Bài tập: Thực hiện phép tính a) x(x + 4)(x - 4) – (x 2 + 1)(x 2 – 1) b) (a + b – c) 2 – (a - c) 2 - 2ab + 2bc c) (a - 1)(a - 2) + (a - 3)(a +4 ) – (2a 2 + 5a – 34) d) (a + c)(a - c) – b(2a - b) – (a – b + c)(a – b - c) Dạng 2: Tìm x,biết: Phương pháp: Sử dụng quy tắc nhân đơn thức (đa thức) với đa thức và bảy hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức đã cho về dạng ax + b = 0 ⇒ x = - a b hoặc về dạng A.B = 0 ⇒ A = 0 hoặc B = 0. VD: Tìm x,biết (x + 2)( x + 3) – (x – 2)(x + 5) = 0 x 2 + 3x + 2x + 6 – (x 2 + 5x – 2x - 10) = 0 x 2 + 5x + 6 – x 2 - 5x + 2x + 10 = 0 x + 16 = 0 x = - 2 16 x = - 8 Bài tập: Tìm x,biết a) (x + 3)( x + 5) – (x – 2)(x + 3) = 0 b) (x + 3) 3 – x(3x + 1) 2 + (2x + 1)(4x 2 – 2x + 1) -3x 2 = 54 c) x 2 – x + 4 1 = 0 d) 25x 2 – 2 = 0 e) x(x – 2) + x – 2 = 0 f) x 3 – 4x = 0 g) (5x – 2) 2 – (3x + 2) 2 = 0 Dạng 3 : Tính giá trị của biểu thức tại một giá trị nào đó của biến. Phương pháp: Sử dụng quy tắc nhân đơn thức (đa thức) với đa thức và bảy hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức đã cho về một biểu thức đơn giản ,ngắn gọn hơn.Rồi thay giá trị của biến vào biểu thức vừa rút gọn đó rồi thực hiện phép tính. VD: Tính giá trị của biểu thức 3(2x – 1) + 5(3 – x) tại x = 88 Ta có : 3(2x – 1) + 5(3 – x) = 6x – 3 + 15 – 5x = x + 12 Thay x = 88 vào biểu thức x + 12 ta được 88+12 = 100 Vậy 100 là giá trị của biểu thức đã cho tại x = 88 Bài tập: Tính giá trị của biểu thức: a) 4x – 2(10x – 1) + (8x – 2) tại x = - 0,2 1 b) (x 2 – 5)(x + 3) + (x + 4)(x – x 2 ) tại x = 15 c) 49x 2 – 70x + 25 tại x = 5 d) x 3 + 12x 2 + 48x + 64 tại x = 6 e) x 3 – 6x 2 + 12x – 8 tại x = 22 f) x(x – 1) – y(1 – x) tại x = 2000 và y = 1999 Dạng 4: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến. Phương pháp: Sử dụng quy tắc nhân đơn thức (đa thức) với đa thức và bảy hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức đã cho về một biểu thức đơn giản không còn chứa biến nữa. VD: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến. x(2x + 1) – x 2 (x + 2) + x 3 – x + 3 =2x 2 + x - x 3 – 2x 2 + x 3 – x + 3 = (x 3 - x 3 )+ ( 2x 2 – 2x 2 ) + (x – x) + 3 = 3 (không phụ thuộc vào biến) Bài tập: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến. a) x(y – z) + y(z – x) + z(x – y) b) y 4 – (y 2 – 1)(y 2 + 1) c) (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7 d) (x + 5)(x – 5) – (x + 2)(x – 2) Dạng 5: Chứng minh đẳng thức A = B Phương pháp: Biến đổi biểu thức A thành biểu thức B Biến đổi biểu thức B thành biểu thức A Biến đổi biểu thức A và B thành biểu thức C nào đó. Ta sử dụng quy tắc nhân đơn thức (đa thức) với đa thức và đặc biệt là bảy hằng đẳng thức đáng nhớ. VD: Chứng minh rằng: (a + b) 2 = (a – b) 2 + 4ab - Cách 1: Ta có VT = a 2 + 2ab + b 2 = (a 2 - 2ab + b 2 ) + 2ab + 2ab = (a – b) 2 + 4ab = VP - Cách 2: Ta có VP =a 2 - 2ab + b 2 + 4ab = a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 = VT - Cách 3: Ta có VT = a 2 + 2ab + b 2 VP = a 2 - 2ab + b 2 + 4ab = a 2 + 2ab + b 2 ⇒ VT = VP hay (a + b) 2 = (a – b) 2 + 4ab. Bài tập: Chứng minh rằng: a) (a - b) 2 = (a + b) 2 - 4ab b) (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) = (ax – by) 2 +(ay + bx) 2 c) a 2 + b 2 = (a + b) 2 - 2ab d) a 4 + b 4 = (a 2 + b 2 ) 2 - 2a 2 b 2 e) a 2 (b – c) + c 2 (a – b) + b 2 (c – a) = (a – c)(b – a)(c – b) Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của đa thức. Phương pháp: Để tìm giá trị nhỏ nhất ,ta biến đổi đa thức đã cho về dạng [f(x)] 2 + a trong đó a là hằng số.Vì [f(x)] 2 ≥ 0 với mọi x nên [f(x)] 2 + a ≥ a với mọi x.Do đó giá trị nhỏ nhất của đa thức đã cho bằng a khi f(x) = 0. Để tìm giá trị lớn nhất ,ta biến đổi đa thức đã cho về dạng - [f(x)] 2 + a trong đó a là hằng số.Vì [f(x)] 2 ≥ 0 với mọi x nên - [f(x)] 2 ≤ 0 do đó - [f(x)] 2 + a ≤ a với mọi x.Do đó giá trị lớn nhất của đa thức đã cho bằng a khi f(x) = 0. 2 VD 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức A = x 2 + 5x + 8 Ta có : A = x 2 + 5x + 8 = x 2 + 2.x. 2 5 + 4 25 - 4 25 + 8 = (x + 2 5 ) 2 + 4 7 Vì (x + 2 5 ) 2 ≥ 0 ∀ x nên (x + 2 5 ) 2 + 4 7 ≥ 4 7 ⇒ A có giá trị nhỏ nhất là 4 7 khi x + 2 5 = 0 ⇒ x = 2 5 VD 2 : Tìm giá trị lớn nhất của đa thức B = 5 – 8x – x 2 Ta có B = 5 – 8x – x 2 = 5 – 8x – x 2 = – x 2 – 8x – 16 + 16 + 5 = - (x 2 + 8x + 16) + 21 = - (x + 4) 2 + 21 Vì (x + 4) 2 ≥ 0 ∀ x nên - (x + 4) 2 ≤ 0 ∀ x .Do đó - (x + 4) 2 + 21 ≤ 21 Vậy giá trị lớn nhất của B là 21 khi x + 4 = 0 suy ra x = - 4 Bài tập: Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất )của các đa thức sau: a) x(x - 6) b) – 3x(x + 3) – 7 c) x 2 +3x + 7 d) (x – 2)(x – 5)(x 2 – 7x – 10) e) 11 – 10x – x 2 Dạng 7: Chứng minh biểu thức luôn có giá trị dương (âm) với mọi giá trị của biến. Phương pháp: Ta biến đổi biểu thức đã cho về dạng [f(x)] 2 ≥ 0 , [f(x)] 2 + a ≥ 0 với a ≥ 0 (hoặc - [f(x)] 2 ≤ 0 ) Bài tập: Chứng minh biểu thức luôn có giá trị dương (âm) với mọi giá trị của biến. a) x 2 + x + 8 b) x 4 + x 2 + 2 c) (x + 3)(x – 11) + 2003 d) - 9x 2 + 12x – 15 e) – 5 – (x – 1)(x + 2) Dạng 8: Phân tích đa thức thành nhân tử. Phương pháp: Để phân tích đa thức thành nhân tử ta thường dùng các phương pháp: Các phương pháp thường dùng: - Đặt nhân tử chung - Dùng các hằng đẳng thức. - Nhóm các hạng tử một cách thích hợp để làm xuất hiện các hằng đẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung. - Phối hợp các phương pháp trên. Bài tập: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. a) (x – y + 4) 2 – (2x + 3y – 1) 2 b) 25x 2 + 10x + 1. c) x 2 – 2x. d) x 3 + 3x 2 +3x + 1. e) x 3 + y 3 + 2x 2 -2xy + 2y 2 . f) x 3 - y 3 + 3x 2 + 3xy + 3y 2 . g) x 2 + y 2 + 2x - 2xy - 2y. h) x 3 + 3x 2 + 4x + 12. i) x 8 – 1. 3 j) (x + y) 3 – x 3 - y 3 . Các phương pháp khác. - Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử - Thêm , bớt cùng một hạng tử thích hợp. - Đặt biến phụ. VD: Phân tích đa thức thành nhân tử. Cách 1: x 3 – 7x - 6 = x 3 – x – 6x – 6 (tách hạng tử - 7x thành – x – 6x ) = x(x 2 – 1) – 6(x + 1) = x(x + 1)(x -1) – 6(x + 1) (đặt x + 1 làm nhân tử chung) = (x + 1)[x(x – 1) – 6] =(x + 1)(x 2 – x – 6) =(x + 1)(x 2 – 4 – x – 2) (tách hạng tử - 6 thành – 4 – 2 ) =(x + 1)[(x + 2)(x – 2) – (x + 2) ] =(x + 1)(x + 2)(x – 2 -1) ) (tiếp tục đặt x + 2 làm nhân tử chung) =(x + 1)(x + 2)(x – 3) Cách 2: x 3 – 7x - 6 = x 3 + 8 – 7x – 14 (thêm 8 và bớt 8 ) = (x 3 + 2 3 ) – 7(x + 2) = (x + 2)(x 2 – 2x + 4) – 7(x + 2) = (x +2)( x 2 – 2x + 4 – 7) = (x +2)( x 2 – 2x – 3) =(x +2)( x 2 – 2x + 1 - 4) =(x +2)[( x - 1) 2 – 4] = (x +2)(x – 1 + 2)(x – 1 - 2) =(x +2)(x + 1)(x – 3). Bài tập: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. a) x 2 + 7x + 12 b) x 2 + 6x + 8 c) x 2 - 10x + 16 d) x 2 - 8x + 15 e) x 4 + 4 f) x 2 - 8x – 9 g) x 2 + 3x – 18. Dạng 9: Chia đơn thức cho đơn thức ,chia đa thức cho đơn thức. Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A. Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B ,ta làm như sau: - Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B - Chia từng lũy thừa của biến trong A cho từng lũy thừa của biến đó trong B. - Nhân các kết quả tìm được với nhau. Muốn chia đa thức A cho đơn thức B, ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau. Dạng 10: Chia đa thức một biến đã sắp xếp Với hai đa thức tùy ý A và B của một biến (B khác 0),tồn tại hai đa thức duy nhất Q và R sao cho A = B.Q + R trong đó R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B Khi R = 0 phép chia A cho B là phép chia hết. 4 . 2) Dạng 5: Chứng minh đẳng thức A = B Phương pháp: Biến đ i biểu thức A thành biểu thức B Biến đ i biểu thức B thành biểu thức A Biến đ i biểu thức A và B thành biểu thức C nào đó. Ta. x 2 Dạng 7: Chứng minh biểu thức luôn có giá trị dương (âm) v i m i giá trị của biến. Phương pháp: Ta biến đ i biểu thức đã cho về dạng [f(x)] 2 ≥ 0 , [f(x)] 2 + a ≥ 0 v i a ≥ 0 (hoặc. thức B, ta chia m i hạng tử của A cho B r i cộng các kết quả v i nhau. Dạng 10: Chia đa thức một biến đã sắp xếp V i hai đa thức tùy ý A và B của một biến (B khác 0),tồn t i hai đa thức duy