cac pp giai toan so hoc

hoc360.net - Tài liệu học tập miễn phí Chuyên đề MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN SỐ HỌC I/ PHƯƠNG PHÁP DÙNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG */ Sơ đồ đoạn thẳng hình ảnh trực quan biểu diễn mối quan hệ đại lượng cho đại lượng phải tìm Việc lựa chọn độ dài đoạn thẳng để biểu diễn đại lượng thứ tự đoạn thẳng sơ đồ hợp lý giúp tìm lời giải cách tường minh */ Ví dụ 1: Tìm số bị chia số chia biết thương 5, dư 12 tổng số bị chia, số chia số dư 150 GIẢI: +/ Vẽ sơ đồ đoạn thẳng : Số chia Số bị chia Số dư _ } 150 Theo ta có: Số bị chia + số chia + số dư = 150 Nhìn vào sơ đồ, dễ thấy: lần số chia bằng: 150-12-12 = 126 Vậy số chia bằng: 126 : = 21 Số bị chia : 21.5 + 12 = 117 */ Ví dụ 2: Tuổi anh gấp ba lần tuổi em trước kia, lúc anh tuổi em nay.Khi tuổi em tuổi anh tổng số tuổi hai người 28 Tính tuổi người nay? GIẢI: Ta tóm tắt lại toán sau: -Tuổi anh = lần tuổi em trước - Tuổi anh trước = Tuổi em - Tuổi em sau = Tuổi anh - Tuổi anh sau + Tuổi em sau = 28 +/ Vẽ sơ đồ biểu thị tuổi em trước đoạn thẳng AB Tuổi anh đoạn thẳng AC ( gấp AB) Tuổi em trước kia: A B Tuổi em nay: A B D (Tuổi anh trước kia) Tuổi em sau : A B D C (Tuổi anh nay) Tuổi anh sau : A B D C E Hiệu số tuổi anh tuổi em không đổi theo thời gian nên ta biểu thị tuổi anh trước ( tức tuổi em nay) AD, tuổi anh sau AE ta có : BD = DC = CE Mặt khác, AC = AB nên BC = AB hay AB = BD = DC = CE Lại có Tuổi anh sau + Tuổi em sau = 28 Nhìn vào sơ đồ ta có Tuổi em : [28 : ( 3+4) ] = ( tuổi) Tuổi anh là: [28 : ( 3+4) ] = 12 ( tuổi) Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Bài tập áp dụng Bài 1: Mẹ 30 tuổi, tuổi Hỏi năm tuổi mẹ gấp bốn tuổi con? HD giải: +/ Vẽ sơ đồ biểu diễn năm tuổi mẹ gấp lần tuổi Tuổi con: _ Tuổi mẹ : _. _. _. _ +/ Hiệu số tuổi mẹ tuổi không đổi theo thời gian… Nhìn vào sơ đồ => Tuổi mẹ [( 30-3 ) : 3] = 36 Như sau 36 - 30 = năm tuổi mẹ gấp lần tuổi Bài 2: Năm 2008 bố 40 tuổi, An 11 tuổi, em Bình tuổi Đến năm tuổi bố tổng số tuổi hai chị em HD giải +/ Vẽ sơ đồ biểu diễn năm mà tuổi bố tổng số tuổi hai chị em Tuổi bố _. _ 40 tuổi TS tuổi chị em x _. _. _ 16 tuổi x x Năm 2008 TS tuổi hai chị em 11 + = 16 ( tuổi ) Gọi x số năm tăng thêm mà tuổi bố tổng số tuổi hai chị em Mỗi năm người tăng thêm tuổi TS tuổi tăng hai chi em gấp đôi số tuổi tăng bố Nhìn vào sơ đồ ta thấy x = 40 – 16 = 24 Vậy sau 24 năm tuổi bố TS tuổi hai chị em Khi năm 2032 Bài 3: Tìm số tự nhiên có tận 7, biết sau xóa chữ số số giảm 484 đơn vị HD giải: Ta nhận thấy xóa cs tận số nghĩa trừ số đơn vị chia cho 10 +/ Vẽ sơ đồ biểu diễn mối quan hệ số ( bị xóa cs 7) số cho: Số mới: Số cho: . . . . . . . . . ._7_ Nhìn vào sơ đồ dễ thấy số phải tìm là: [(484 – 7) : ] 10 + = 537 Bài 4: Hai ngăn sách lúc đầu có tổng cộng118 Sau lấy ngăn I, thêm 10 vào ngăn II, số sách ngăn II gấp đơi số sách ngăn I Tính số sách ngăn lúc đầu? HD giải +/ Vẽ sơ đồ biểu diễn sô sách hai ngăn lúc sau ( số sách ngăn II gấp đôi ngăn I) Ngăn I _ Ngăn II _. _ Theo só sách hai ngăn lúc đầu la 118 só sách hai ngăn lúc sau 118 – + 10 = 120 Nhìn vào sơ đồ thấy số sách ngăn I lúc sau (120: 3).1 = 40 ( cuốn) Số sách ngăn II lúc sau ( 12 : 3) = 80 (cuốn) Số sách ngăn I lúc đầu là: 40+8 = 48 ( cuốn) Số sách ngăn II lúc đầu là: 80 – 10 = 70 ( cuốn) Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Bài 5: Hiện anh 15 tuổi Năm mà tuổi anh tuổi em lúc tuổi em 1/3 tuổi anh Hỏi em tuổi? HD giải +/ Vẽ sơ đồ biểu diễn Tuổi em lúc trước _ Tuổi em _. _. _ ( Tuổi anh lúc trước) Tuổi anh _. _. _. _. _ +/ Ta biết hiệu số tuổi anh tuổi em không đổi theo thời gian, anh 15 tuổi tuổi em (15 : ) = ( tuổi) Bài 6: Cách năm tuổi ông gấp lần tuổi cháu Hiện nay, tuổi ông bớt gấp ba tuổi cháu Tính tuổi ông tuổi cháu nay? HD giải: +/ Vẽ sơ đồ biểu diễn mối quan hệ tuổi ông tuổi cháu Cách năm Tuổi cháu _ Tuổi ông _. _. _. _ Hiện Tuổi cháu _._7_ Tuổi ông . . 7_ Nhìn vào sơ đồ ta thấy: lần tuổi cháu lúc trước = lần tuổi cháu lần tuổi cháu lúc trước = ( tuổi cháu lúc trước cộng 7) => lần tuổi cháu lúc trước = lần tuổi cháu lúc trước + 21 => Tuổi cháu lúc trước 21 Tuổi cháu 21 + = 28 Tuổi ông 28 + = 91 Bài 7: Khi học hết bậc tiểu học tuổi mẹ 1/5 tổng số tuổi người lại gia đình Đến vào đại học tuổi mẹ 1/5 tổng số tuổi người Hỏi gia đình có người? HD giải: Khi học hết bậc TH tuổi mẹ 1/5 TS tuổi người lại vào ĐH tuổi mẹ 1/5 tổng số tuổi người Mỗi năm, người tăng tuổi => Số tuổi tăng thêm mẹ 1/5 số tuổi tăng thêm người lại Vậy số người lại gia đình người, kể mẹ, gia đình có người BTVN 95 Bài 8: Cho phân số Bớt tử mẫu số a phân số rút gọn 149 thành Tìm số a ? ( ĐS: a = 14) Bài 9: Mẫu phân số lớn tử 3507 đơn vị, sau rút gọn ta phân số Hãy tìm phân số chưa rút gọn ? (ĐS: 2505/ 6012) 12 Bài 10: Lớp 7A trường THCS chất lượng cao có hai loại HS giỏi HS Cuối HKI số HS giỏi số HS Đến cuối năm có thêm HS xếp vào loại giỏi nên số HS giỏi số HS Tính số HS lớp 7A ? ( ĐS: 36) Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ II/ PHƯƠNG PHÁP LỰA CHỌN: */ Khi giải toán số tự nhiên,ta xét trường hợp xảy đối tượng, sau lựa chọn trường hợp thỏa mãn điều kiện tốn */ Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có ba cs biết bình phương cs hàng chục tích hai cs đỏi chỗ hai cs hàng trăm hàng đơn vị cho số giảm 594 đơn vị GIẢI: Gọi số phải tìm abc Theo ta có: b = a.c abc - cba = 594 Xét phép trừ abc dễ thấy a > c nên phép trừ c – a cột đơn vị có nhớ ta có : 10 + c – a = cba 594 => a – c = Các số thỏa mãn ĐK : 6b0 ; 7b1 ; 8b2 ; 9b3 Mặt khác từ b = a.c => b = 6.0 = = 02 b = 7.1 = ( Loại) 2 b = 8.2 = 16 = b = 9.3 = 27 ( loại) Vậy có hai số thỏa mãn ĐK số 600 842 */ Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên có ba cs biết số chia hết cho 18 cs xếp từ nhỏ đến lớn tỷ lệ với 1; 2; GIẢI Gọi số có ba cs phải tìm A Vì cs A tỉ lệ với 1; 2; nên cs A 1; 2; 2; 4; 3; 6; Lại có A  18 =>{ A  9=> tổng cs A chia hết cho có ba số A  2↓ ( 3; 6; 9) thỏa mãn ĐK cs tận Vậy có hai số thỏa mãn ĐK : 396 936 */ Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm số tự nhiên có hai cs, biết tổng cs 12 đổi chỗ hai cs cho số lớn số ban đầu 18 HD giải: Gọi số phải tìm ab Theo ta có a + b = 12 (1) ba - ab = 18 (2) Từ (2) => b > a Các số thỏa mãn ĐK (1): 93 ; 84 ; 75 Xét 93 – 39  18 ( loại) ; 84 – 48  18 ( loại) ; 75 – 57 = 18 ( chọn) Vậy số phải tìm 75 Bài 2: Tìm số tự nhiên có ba cs, biết cs hàng chục trung bình cộng hai cs số chia hết cho 45 HD giải: Gọi số phải tìm abc Theo ta có a + c = 2b (*) abc  45 (**) Từ abc  45 => abc  abc  Từ abc  => c  { 0; } +/ Với c = => a = 2b a + b + c  hay 3b  => b   b  { 3; 6; } Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Với b = 6; a > 10 ( loại) Vậy b = 3; a = 6; c = Ta số 630 +/ Với c = ta có a + = 2b => a  { 1; 3; 5; 7; } => b  { 3; 4; 5; 6; } Ta số 135 ; 345 ; 555; 765; 975 (  9) (  9) Vậy số thỏa mãn ĐK : 630; 135; 765 Bài 3: Tìm số tự nhiên có ba cs, biết cs hàng trăm gấp ba cs hàng đơn vị số giảm 396 viết theo thứ tự ngược lại HD giải Gọi số phải tìm abc Theo ta có: a = 3c (1) abc - cba = 396 (2) Từ (2) => 99a – 99c = 396 => a – c = kết hợp với (1) => c = a= Ta có 6b2 - 2b6 = 396 => 0b = thỏa mãn với b  N Mặt khác theo  b  Vậy số thỏa mãn ĐK có dạng 6b2 với b  { 0; 1; 2; 3;….; } Bài 4: Năm sinh hai nhà Tốn học Việt Nam thời trước số có bốn cs, số khơng thay đổi đổi chỗ cs hàng nghìn hàng đơn vị, hàng trăm hàng chục, ngồi tổng cs 10 Tìm năm sinh hai nhà tốn học ? HD giải: Gọi năm sinh hai nhà tốn học abba Theo ta có a + b + b + a = 10 => a + b = Dễ thấy  a < => a = Từ b = Vậy năm sinh hai nhà toán học năm 1441 ( Hai nhà Tốn học có năm sinh Lương Thế Vinh Vũ Hữu ) Bài 5: Tìm số có cs, biết số chia hết cho 3, đồng thời cs hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục hàng đơn vị số theo thứ tự số tự nhiên liên tiếp xếp theo thứ tự tăng dần HD giải: Gọi số cho A = abcd với 0< a; b; c; d  Theo ta có : b = a+1; c = b+1; d = c+1 (1) A  => d  { 2; 4; 6; } (2) Kết hợp (1) và(2) => d  { 4; 6; } Ta có số : 1234; 3456; 5678 có số 3456  Vậy số thỏa mãn yêu cầu 3456 Bài 6: Tuổi bà năm gấp 3,2 lần tuổi cháu, mười năm trước tuổi bà gấp 5,4 lần tuổi cháu Bà thường nói “ ước bà sống trăm tuổi để thấy cháu thành đạt” Hãy tính tuổi hai bà cháu ? HD giải: Ta nhận xét tuổi người số tự nhiên Năm tuổi bà gấp 3,2 lần tuổi cháu, để tuổi bà số tự nhiên tuổi cháu phải có cs tận mười năm trước tuổi bà gấp 5,4 lần tuổi cháu => tuổi cháu phải > 10 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Bà thường ước bà sống trăm tuổi => tuổi bà < 100 => tuổi cháu < 35 ( 35 3,2 > 100) Do tuổi cháu  { 15; 20; 25; 30 } Tương ứng tuổi bà  { 48; 64; 80; 96 } Trong cặp số có cặp ( 20; 64 ) thỏa mãn ĐK mười năm trước tuổi bà gấp 5,4 lần tuổi cháu Vậy bà 64 tuổi, cháu 20 tuổi Bài 7: Hưởng ứng phong trào thi đua chào mừng năm học mới, ba tuần đầu tháng 9, bạn HS lớp 7A đạt 28 điểm 10 Biết số điểm 10 tuần sau cao tuần trước số điểm 10 tuần thứ ba gấp ba lần số điểm 10 tuần đầu Hỏi tuần lớp 7A đạt điểm 10 ? HD giải: Gọi số điểm 10 tuần a; b; c a  0; b  0; c  Theo ta có a < b < c ; c = 3a a + b + c = 28 Vì c = 3a => 4a + b = 28 => b  +/ Nếu b = => a =6 => a> b mâu thuẫn với đề => b>4 + Nếu b = 12 => a = => c = 12 => b = c mâu thuẫn với đề => b< 12 Vậy b = Từ => a = 5; c = 15 Bài 8: Bé Bi hỏi ơng “ Ơng ơi, ơng năm tuổi ạ” Ơng trả lời: “ Tuổi ông năm số chẵn có hai cs, viết cs tuổi ơng theo thứ tự ngược lại tuổi bố cháu, cộng cs tuổi bố cháu tuổi cháu, cộng tuổi ông, tuổi bố cháu tuổi cháu 144” Hỏi ơng bé Bi năm tuổi ? HD giải: Gọi tuổi ông A _ tuổi bố B tuổi cháu C theo ta có A = ab = 10a + b với a > b b  { 2; 4; ;8 }(1) B = ba = 10 b + a C=b+a Và A + B + C = 10a + b + 10b + a + a + b = 144 => 12a + 12b = 144 => a + b = 12 Theo (1) ta có b  { 2; 4; ;8 } a > b => a=8; b=4 thỏa mãn ĐK Vậy ông bé Bi năm 84 tuổi Bài 9: a/ Tìm ba cs khác khác 0, biết tổng số tự nhiên có ba cs gồm ba cs 1554 b/ Tìm ba cs khác khác 0, biết tổng số tự nhiên có ba cs gồm ba cs 2886 hiệu số lớn số nhỏ 495 c/ Có ba tờ bìa ghi số 23; 79; ab Xếp ba tờ bìa thành hàng số có cs, cộng tất số có cs lại ( cách đổi chỗ tờ bìa) 989 896 Tìm số ab ? HD giải: a/ Gọi ba số phải tìm a,b,c Theo ta có a  b  c  abc + bca + cab + acb + bac + cba = 1554 => 222a + 222b + 222 c = 1554 => a + b + c = ; Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Vì a  b  c  Khơng làm tính tổng quát giả sử a > b > c ta có c=1; b=2; a=4 Vậy ba cs khác 1; 2; Gọi ba số phải tìm a,b,c Theo ta có a  b  c  a > b > c abc + bca + cab + acb + bac + cba = 2886 Và abc - cba = 495 Từ abc + bca + cab + acb + bac + cba = 2886 => 222a + 222b + 222c = 2886 => a + b + c = 13 Lại có abc - cba = 495  99a – 99c = 495 a – c = => a  { 6, 7, 8, } Tương ứng c  { 1, 2, 3, } +/ Nếu a = 6; c = => b = ( loại -> b = a ) +/ Nếu a = 7; c = => b = Được số 742 thỏa mãn 742 – 247 = 495 +/ Nếu a = 8; c = => b = ( loại -> b < c) +/ Nếu a = 9; c = => b = ( loại) Vậy ba cs phải tìm 7; 4; c/ Tương tự phần a b, ta có 2379ab + 23ab79 + 7923ab + 79ab23 + ab2379 + ab7923 = 989 896 => ababab + ( 237900+ 230079+ 792300+ 790023+ 2379+ 7923) = 989 896 => 2.10101 ab = 2989896 – 060 604 => 2.10101 ab = 929 292 => ab = 46 Bài 10 Tìm số tự nhiên x, biết tổng cs x y, tổng cs y z x + y + z = 60 HD giải Dễ thấy x số có hai cs Đặt x = ab = 10 a + b Khi y = a + b Có hai trường hợp xảy z +/ Trường hợp y = a + b  z = a + b +/ Trường hợp y = a + b  10 z = a + b – b/ - Xét trường hợp y = a + b  9: Ta có x + y + z = 10a + b + (a + b) + (a + b) = 60 => 12a + 3b = 60 => 4a + b = 20 => b  Vậy b  { 0; 4; } Tương ứng a  { 5; 4; } Với a = 3; b = a + b > ( loại) Ta số thỏa mãn ĐK 50; 44 Xét trường hợp y = a + b  10 Ta có x + y + z = 10a + b + (a + b) + (a + b – ) = 60 => 12a + 3b -9 = 60 => 12a + 3b = 69 => 4a + b = 23 =>  a  hay a  { 4; } +/ Với a = => b = ta số 47 +/ Với a = => b = => a+b < ( loại ) Vậy số thỏa mãn ĐK là; 44 ; 47 ; 50 - Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ III/ PHƯƠNG PHÁP GIẢ THIẾT TẠM */ Phương pháp giả thiêt tạm phương pháp giải toán độc đáo, thường áp dụng cho tốn đề cập đến hai đối tượng ( người, vật, việc…) có t/c biểu thị số lượng chênh lệch Để giải toán, ta đưa giả thiết nhằm chuyển toán toán quen thuộc biết cách giải dựa giả thiết tạm thời để suy luận tìm lời giải Các cách giả thiết tạm đa dạng: + Coi tất đố tượng thuộc loại + Thay đối tượng đối tượng khác có số thuộc tính giữ nguyên số thuộc tính thay đổi + Hình dung đối tượng có thuộc tính định… Vấn đề phải biết chọn cách giả thiết tạm cách hợp lý */ Các ví dụ VD1: Bài tốn cổ “ Vừa gà, vừa chó Bó lại cho tròn, Ba mươi sáu Một trăm chân chẵn” Hỏi có gà, chó ? GIẢI: + Phân tích : Đây toán cổ phổ biến Rõ ràng 36 khơng thể tồn chó tồn gà được, số chân ( 36.4=144) ( 36.2= 72) không phù hợp với giả thiết toán Song ta lại giả thiết có trường hợp ấy, để từ chênh lệch số chân TS vật với số chân gà, chó mà suy số vật loại +/ Lời giải: Giả sử 36 gà Khi tổng số chân : 36 = 72 ( chân) So với bị hụt 100- 72 = 28 ( chân) Sở dĩ bị hụt số vật có chó Nếu thay gà chó lần thay thêm : – = ( chân) Vậy số chó : 28 : = 14 ( con) Số gà 36 – 14 =22 ( con) VD2 : Bạn Nam xe đạp từ A đến B với vận tốc 10 km/h, tiếp từ B đến C với vận tốc 15 km/h Biết quãng đường BC ngắn quãng đương AB km thời gian quãng đường BC thời gian quãng đường AB 16 phút Tính quãng đường AB ? Giải: Ta giả sử từ B bạn Nam với thời gian thời gian quãng đường AB đến D C 16 15 = ( km) A _B _C _E _D 60 Quãng đường BD dài quãng đường AB – = (km) Vận tốc quãng đường BD lớn vận tốc quãng đường AB 15 – 10 = ( km/h) Thời gian Nam quãng đường AB : : = ( h) Quãng đường AB dài : 10 : = (km) Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ */ Bài tập áp dụng: Bài 1: Một số học sinh xếp hàng 12 thừa học sinh, xếp hàng 15 thừa học sinh trước hàng Tính số học sinh HD giải: Giả thiết tạm số HS xếp hang 15 số hàng xếp hàng 12, nghĩa ta phải có thêm hàng Khi có thêm: 15 = 60 (HS) Trong hai trường hợp số HS hàng chênh lệch : 15 – 12 = (HS) Số hàng xếp hàng 12 : 60 : = 20 ( hàng) Số HS là: 20 12 + = 245 ( HS) Bài 2: An vào cửa hàng mua 12 bút chì hết 36000 đồng Bích mua bút chì loại hết 27500 đồng Tính giá bút chì HD giải: Giả sử An mua gấp đôi số hàng mua 24 bút chì hết 36 000 = 72 000 đ, Bích mua gấp ba số hàng mua 24 15 bút chì hết 27 500 = 82 500 đ, Như Bích mua nhiều An 15 – = ( bút chì) Số tiền chênh lệch 82 500 - 72 000 = 10 500 đ, Vậy giá tiền bút chì 10 500 : = 500 đ, Giá tiền ( 36 000 – 500) : 12 = 500 đ, Bài 3: Người ta bơm nước vào bể: dùng máy I 30 phút, dùng máy II 20 phút Tính xem phút máy bơm lít nước, biết phút máy II bơm nhiều máy I 50 lít tổng cộng hai máy bơm 21000 lít nước HD giải: Mỗi phút máy II bơm nhiều máy I 50 lít, 20 phút , máy II bơm nhiều máy I 50 20 = 1000 (l) Giả sử mõi phút , máy II máy I bơm số lít nước Khi thời gian 50 phút hai máy bơm được: 21 000 – 1000 = 20 000 (l) Vậy phút máy I bơm 20 000: 50 = 400 (l) phút máy II bơm 400 + 50 = 450 (l) Bài 4: Một tổ may phải may 1800 quần áo 13 Trong đầu tổ may áo thời gian lại tổ may quần Biết giờ, tổ may số áo nhiều số quần 30 Tính số áo số quần tổ may HD giải: Giả sử thời gian lại tổ may áo Khi số áo may thêm là: (13 – 8) 30 = 150 ( chiếc) Số áo tổ may 13 : 800 + 150 = 950 ( chiếc) Số áo tổ may (1950 : 13) = 200 ( chiếc) Số quần tổ may là: 1800 – 1200 = 600 ( chiếc) Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Bài 5: Năm trước, hai nông trường có 500 bò Năm sau, số bò nơng trường I tăng 25%, số bò nơng trường II tăng 12,5%, số bò hai nơng trường tăng 20% Tính số bò năm trước nơng trường HD giải: Giả sử số bò nơng trường II năm sau tăng 25% Khi TS bò hai nơng trường tăng thêm so với mức tăng thực tế là: 500 ( 25% – 20% ) = 25 ( con) Sở dĩ tăng thêm ta tính tăng thêm cho nơng trường II 25% – 12,5% = 12,5 % Vậy số bò năm trước nông trường II : 25 : 12.5% = 200 ( con) số bò năm trước nơng trường I : 500 -200 =300 ( con) Bài 6: Quýt, cam mười bảy tươi Đem chia cho trăm người vui Chia ba quýt rồi, Còn cam chia mười vừa xinh Trăm người, trăm miếng lành, Quýt, cam tính rành bao? HD giải Giả sử 17 Quýt Khi số miếng quýt : 17 = 51 (miếng) So với bị hụt : 100 – 51 = 49 (miếng) có cam Nếu thay qt cam lần thay thêm vào 10 – = ( miếng) Vậy số cam : 49 : = (quả) Số quýt 17 – = 10 (quả) Bài 7: Khối trường có 366 học sinh, gồm lớp Mỗi lớp gồm số tổ, tổ người 10 người Biết số tổ lớp nhau, tính số tổ có người, số tổ có 10 người khối HD giải: Mỗi lớp gồm số tổ tổ người 10 người, Trước hết ta nhận thấy 366 : 10 = 36 dư 366 : = 40 dư Do số tổ lớp nằm khoảng từ 37 đến 40 Mặt khác số tổ chia hết cho => Số tổ khối lớp 40 tổ Giả sử 40 tổ tổ 10 người Khi số HS khối là: 40 10 = 400 (HS) So với thừa 400 – 366 = 34 (HS) có tổ người Nếu thay tổ 10 người tổ người lần thay bớt : 10 – =1 Vậy số tổ có người 34 : = 34 ( tổ) Số tổ có 10 người 40 – 34 = (tổ) Bài 8: Một đội bóng thi đấu 25 trận, có thắng hòa, trận thắng điểm, trận hòa điểm, kết đội 59 điểm Tính số trận thắng, số trận hòa độ bóng HD giải Giả sử 25 trận thắng Khi dó số diểm đội có : 25 = 75 (điểm) So với thừa 75 – 59 = 16 ( điểm) –> có trận hòa Chênh lệch điểm số trận thắng trận hòa : 3-1 = Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Như thay trận thắng trận hòa lần thay giảm điểm => Số trận hòa 16 : = ( trận) Số trận thắng 25 – = 17 ( trận) Bài 9: câu lạc có 22 ghế gồm loại: ghế ba chân, ghế bốn chân, ghế sáu chân Tính số ghế loại, biết tổng số chân ghế 100 số ghế sáu chân gấp đôi số ghế ba chân HD giải: Giả sử tất 22 ghế ghế chân Khi số chân ghế 22 = 88 (chân) So với bị hụt 100 – 88 = 12 ( chân) -> có ghế chân ghế chân Để không bị hụt ta thay ghế chân hai loai ghế theo quy luật : Một ghế chân, ghế chân cho ghế chân, số ghế khơng thay đổi, quan hệ ghế chân ghế chân đảm bảo Mỗi lần thay, số chân ghế tăng thêm 2.6 + – 3.4 = ( chân) Số lần thay : 12 : = (lần) Vậy số ghế chân : = (ghế) Số ghế chân = (ghế) Số ghế chân 22 – ( + ) = 10 ( ghế) Bài 10: Có 25 gói đường gồm ba loại: gói lạng, gói lạng, gói lạng, có khối lượng tổng cộng 56 lạng Biết số gói lạng gấp đơi số gói lạng Tính số gói loại HD giải Giả sử 25 gói đường gói lạng Khi khối lượng tổng cộng 25 = 50 (lạng) So với hụt 56 – 50 = ( lạng) có gói lạng gói lạng Để khơng bi hụt ta thay gói lạng gói lạng lạng theo quy luật gói lạng, gói lạng cho gói lạng số gói khơng thay đổi, quan hệ gói lạng gói lạng đảm bảo Mỗi lần thay tăng thêm được: 1.5 + 2.1 – 3.2 = (lạng) Số lần thay 6: = (lần) Vậy số gói đường lạng 6.1 = ( gói) Số gói đường lạng = 12 ( gói) Số gói đường lạng : 25 – ( 6+ 12) = ( gói) Bài 11: Một hộp chứa vừa vặn 25 gói bánh 30 gói kẹo Người ta xếp 28 gói bánh kẹo vừa đầy hộp Biết giá tiền bánh kẹo 36000 đồng Tính giá gói bánh, gói kẹo HD giải: Một hộp chứa vừa vặn 25 gói bánh 30 gói kẹo => Thể tích 25 gói bánh = thể tích 30 gói kẹo  Thể tích gói bánh = thể tích gói kẹo Giả sử hộp đựng 30 gói kẹo So với thừa : 30 – 28 = ( gói) Để khơng bị thừa ta thay gói kẹo gói bánh theo quy luật thay gói kẹo gói bánh Mỗi lần thay tổng thể tích gói khơng thay đổi, số gói bớt 6-5 = ( gói) Số lần thay: : =2 ( lần) Vậy số gói bánh hộp : 2.5 = 10 (gói) Số gói kẹo hộp là: 28 – 10 = 18 ( gói) Giá tiền gói bánh là: 36 000 : 10 = 600 đ, Giá tiền gói kẹo : 36 000 : 18 = 000 đ, Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ IV/ TỐN GIẢI BẰNG CÁCH TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI Có câu châm ngơn hay: “ Người khơn chỗ kết thúc kẻ ngu kết thúc chỗ bắt đầu” Ví dụ 1: Một người chợ bán cam Lần thứ bán 1/2 số cam cộng thêm 1/2 Lần thứ hai bán 1/2 số lại cộng thêm 1/2 Lần thứ ba bán 1/2 số lại cộng thêm 1/2 Lần thứ tư bán 1/2 số lại cộng thêm 1/2 vừa hết Tính số cam người đem bán Giải: Ta tính ngược từ cuối lên Lần thứ tư bán ½ số cam lại ½ vừa hết nên theo quy luật tốn ½ ½ số cam lại => số cam lại sau lần bán thứ ba ½ : ½ = ( quả) Lần thứ ba bán 1/2 số lại cộng thêm 1/2 nên 1+1/2 = ½ số lại sau lần bán thứ hai => số cam lại sau lần bán thứ hai là: 1 : = (quả) 2 1 Lần thứ hai bán 1/2 số lại cộng thêm 1/2 nên + =3 2 ½ số cam lại sau lần bán thứ => số cam lại sau lần bán 1 thứ : = (quả) 2 Lần thứ bán 1/2 số cam mang cộng thêm 1/2 nên + = ½ số cam mang bán 1 Vậy người mang chợ TS cam : = 15 ( quả) 2 : Ví dụ 2: Một công trường giao công việc sửa đoạn đường cho đội lao động sau: đội nhận 150 m 1/9 phần lại, đội nhận 200 m 1/9 phần lại, đội nhận 250 m 1/9 phần lại.Cứ chia đội cuối vừa hết phần đất đội Tính số đội tham gia sửa chưa đường chiều dài toàn quãng đường cần sửa Giải: Ta xét hai đội cuối đội thứ n – đội thứ n Đội thứ n – nhận A mét 1/9 phần lại , tức A + 1/9 B Đội thứ n nhận B mét 1/9 phần lại, song đội thứ n đội cuối nên nhận nốt 8/9 B hay theo quy luật toán, đội thứ n nhận A + 50 ( m) ( Không số lại ) Vì đội nhận số mét đường nên ta có A + 1/9 B = A + 50 => 1/9 B = 50 Đội thứ n nhận 8/9 B hay phần đất mà đội thứ n nhận là: 50 = 400 (m) Vì đội nhận số mét đường nên 400 m phần đất đội nhận 1/9 phần lại sau đội nhận 150 m : 400 - 150 = 250 (m) Vậy đoạn đương cần sửa chữa dài: 250 + 150 = 2400 (m) Số đội tham gia sửa chữa là: 2400 : 400 = ( đội) Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Bài tập áp dụng Bài 1: Một số học sinh chơi trò chơi, chia làm hai nhóm A B Lần thứ nhất, nhóm A chuyển sang nhóm B số người gấp đơi số người nhóm B Lần thứ hai, nhóm B chuyển sang nhóm A số người gấp đơi số người nhóm A lại lúc Sau lần chuyển nhóm có 18 người Tính số người nhóm lúc đầu HD giải Gọi số HS ban đầu nhóm A a Gọi số HS ban đầu nhóm B b Theo ta có : Số người lại nhóm A sau chuyển a – 2b Số người nhóm B sau nhận b + 2b = b Lân thứ hai Số người lại nhóm B sau chuyển 3b – ( a-2b)= 7b – 2a Số người nhóm A sau nhận a - 2b + 2( a- 2b) = 3( a – 2b) Khi dó nhóm có 18 người Nghĩa là: 7b – 2a = 18 (1) 3( a – 2b)= 18  a- 2b =  2a – 4b = 12 (2) Cộng vế hai đẳng thức (1) và(2) => 3b = 30 => b = 10 a = 26 Vậy số HS ban đầu nhóm A 26 (HS) số HS ban đầu nhóm B 10 (HS) Bài 2: Một cửa hàng bán trứng số số ngày Ngày thứ bán 50 cộng 0.1 số lại, ngày thứ bán 100 cộng 0.1 số lại, ngày thứ bán 150 cộng 0.1 số lại, … Cứ bán vừa hết trứng số trứng mối ngày bán Tính số trứng số ngày cửa hàng bán HD giải Ta xét hai ngày cuối ngày thứ n-1 ngày thứ n Giả sử ngày thứ n-1 bán A qủa trứng cộng với 0,1 số lại (B) A + 0,1 B Ngày thứ n bán vừa hết trứng nên ngày thứ n bán 0,9 B Theo quy luật toán ngày thứ n bán A + 50 ( khơng trứng nào) Vì số trứng bán ngày nên ta có: A + 0,1 B = A + 50 => 0,1B = 50 => B = 500 Ngày thứ n bán 0,9 B = 0,9 500 = 450 ( quả) Vì số trứng bán ngày nên 450 số trứng bán ngày thứ Do 0,1 số trứng lại sau lần bán thứ là: 450 – 50 = 400 ( quả) Vậy số trứng cửa hàng có ban đầu : 400 10 + 50 = 4050 ( quả) Số ngày bán 4050: 450 = ( ngày) Bài 3: Một người chợ bán trứng Người khách thứ mua 1/2 số trứng mua thêm quả, người thứ hai mua 1/2 số lại mua thêm quả, người thứ ba mua 1/2 số Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ lại mua thêm quả, người thứ tư mua 1/2 số lại mua thêm hết Hỏi người bán hàng bán tiền trứng biết giá chục trứng 4000 đồng? HD giải: Ta xét từ cuối lên: người thứ tư mua 1/2 số lại mua thêm hết => ½ số trứng lại lần thứ ba Số trứng lại sau lần bán thứ ba là: 2: ½ = ( quả) người thứ ba mua 1/2 số lại mua thêm nên 2+ =6 (quả) ½ số trứng lại sau lần bán thứ hai Số trứng lại sau lần bán thứ hai : ½ = 12 người thứ hai mua 1/2 số lại mua thêm 12 nên 12 + = 14 số trứng lại sau người thứ mua Số trứng lại sau lần bán thứ : 14+ ½ = 28 (quả) Người thứ mua 1/2 số trứng mua thêm lại 28 nên 28 + = 30 (quả) ½ số trứng người bán hàng mang chợ bán Vậy số trứng người mang bán 30 : ½ = 60 ( quả) Số tiền người dó thu 4000 6= 24 000 đ, Bài 4: a, Có 100 viên bi Hai người lấy số bi từ đến viên, người lấy viên bi cuối người thắng cuộc, Hỏi người trước hay sau thắng cách lấy số bi để đảm bảo phần thắng thuộc mình? b, Cũng hỏi câu a, người lấy từ đến 10 viên bi c, Cũng hỏi câu a, người lấy từ đến 10 viên bi người lấy viên bi cuối người thua HD giải a/ Ta xét lần lấy bi gần cuối , lần lấy từ => viên bi nên dể lại cho đối thủ viên bi cuối sễ thắng Bao có cách để số bi lúc sau lúc trước + = viên Do cần để lại cho đối thủ số bi 5;10; 15; 20; 25; …; Tức số bi để lại bội Từ tìm quy luật chơi: Khi người trước lấy k viên bi (  k  ) người sau lấy – k viên bi => người sau thắng b/ Nếu người lấy từ đến 10 viên bi người muốn thắng phải để lại 11 viên bi cho đối thủ Bao có cách để số bi lúc sau lúc trước + 10 = 15 viên Do cần để lại cho đối thủ số bi 11; 26 (=11+ 15); 41 (= 11+ 2.15) ; 56 ( = 11+ 15); 71 ( = 11+ 4.15); 86 ( = 11+ 5.15) Người sau thắng nắm quy luật: Bước 1: Khi người trước lấy k viên bi (  k  10 ) người sau lấy 14 – k viên bi => lúc 86 viên bi Bước 2: : Khi người trước lấy m viên bi người sau lấy 15-m viên số bi lại 71; 56; 41; 26; 11 Bước 3: Khi 11 viên bi người trước lấy số bi bất kỳ, người sau lấy nốt số bi lại.=> thắng c/ người lấy từ đến 10 viên bi người lấy viên bi cuối người thua cuộc.=> người trước người thắng cách Bước 1: lấy viên bi Bước 2: người sau lấy k viên bi người trước lấy 15 – k viên bi để lại cho người sau số bi 80; 65; 50; 35; 20; Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Bài 5: Trong dịp Tết trồng cây, khối phân chia số cho lớp đem trồng sau: Lớp A trông 10 1/ số lại, lớp 6B trồng 15 1/8 sơ lại, lớp 6B trồng 20 1/8 sơ lại, … Cứ chia lớp cuối vừa hết số số lớp chia đem trồng Hỏi có lớp 6, lớp chia đem trồng HD giải: Ta xét hai lớp cuối lớp thứ n-1 lớp thứ n Giả sử lớp thứ n-1 trồng X 1/8 số lại ( Y) Ta có X + 1/8 Y Lớp thứ n trồng nốt số lại => Lớp thứ n trồng 7/8 Y Theo quy luật toán , lớp thứ n trồng X + ( cây) khơng lại cậy nào.Vì số lớp trồng nên : X + 1/8 Y = X + => 1/8 Y = Vậy số mà lớp thứ n trồng 7.5 = 35 số lớp tròng 1/8 số lại sau lớp 6A trồng 10 35 – 10 = 25 ( cây) Số cay mà khối phải trồng : 25 + 10 = 210 ( cây) Số lớp là: 210 : 35 = ( lớp) Bài 6: Một gói kẹo chia cho em bé Em thứ 1/5 số kẹo lại, đến em thứ hai 1/5 số kẹo lại, tiếp đến em thứ ba 1/5 số kẹo lại v.v…Cứ theo cách mà chia số kẹo chia cho em khơng thừa kẹo Hỏi có em bé gói kẹo có ? HD giải Ta xét hai em bé chia cuối bé thứ n-1 bé thứ n Giả sử bé thứ n-1 chia A kẹo 1/5 số kẹo lại ( B) tức là: A + 1/5 B Vẫn chia theo quy luật đến bé thứ n vừa hết => bé thứ n chia 4/5 B Theo quy luật toán , bé thứ n chia A + ( kẹo) (khơng kẹo nào) Vì số kẹo bé chia nên: A + 1/5 B = A + => 1/5 B = Vậy số kẹo mà bé thứ n chia là: 4.3 = 12 số kẹo mà bé chia 1/5 số kẹo lại sau bé thứ chia 12 – = ( chiếc) Do gói kẹo có : + = 48 ( chiếc) Số em bé chia kẹo là: 48 : 12 = ( bé) Bài Một bác nông dân mang trứng chợ bán Bác bán cho người thứ nửa số trứng bớt quả; bán cho người thứ hai 1/3 số trứng lại bớt quả, bán cho người thứ ba 1/4 số trứng lại bớt quả, mà bác nửa số trứng khơng bán được, mang Hãy tính xem bác nơng dân mang chợ trứng bán cho người ? HD giải: Gọi số trứng ban đầu người nông dân mang chợ bán x ( quả) x  N* Lần thứ người bán: x–6 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 1 x – 6) = x+6 2 1 Lần thứ hai người bán: ( x + 6) – = x -4 1 Số trứng lại sau lần ( x + 6) - ( x -4) = x + 10 1 Lần thứ ba người bán : ( x + 10) – = x4 12 1 27 Số trứng lại sau lần ( x + 10) - ( x - ) = x+ 12 Theo , sau lần bán thứ ba người nơng dân nửa số trứng phải mang => ta có 27 x 1 27 x+ = => ( - ) x = 2 27 => x= => x = 54 Vậy số trứng người nông dân mang chợ bán 54 Người thứ mua : 54 – = 21 (quả) Người thứ hai mua : ( 54 -21 ) – = (quả) Người thứ ba mua : ( 54 – 21 – 5) – = ( quả) Bài 8: Thực phép tính 3 a/ 1+ b/ + c/ + 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 1 HD giải Ta tính từ lên, chẳng hạn: a/ 1+ = 5 Số trứng lại sau lần x – ( 15 23 = 1+ = 8 24 47 1+ =1+ = 23 23 23 69 116 1+ = 1+ = # 47 47 47 23 Phần b, c, làm tương tự 1+ _ Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ V/ PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐƠN VỊ QUY ƯỚC */ Trong số tốn, giá trị phải tìm khơng phụ thuộc vào đại lượng ta chọn đại lượng làm đơn vị quy ước */ Ví dụ : VD1: Có hai xe tơ khởi hành lúc 7h , xe thứ từ A đến B lúc 9h, xe thứ hai từ B đến A lúc 10h Hỏi hai xe gặp đường lúc ? Giải Trước hêt ta có nhận xét hai c/đ ngược chiều, để tìm thời gian gặp c/đ ngược chiều ta lấy quãng đường chia cho tổng vận tốc Bài toán chưa cho biết quãng đường nên chưa biết vận tốc xe, song ta biểu thị vận tốc xe theo quãng đường AB mà ta chọn làm đơn vị quy ước Xe thứ quãng đường AB hết – = (h) Xe thứ hai quãng đường BA hết 10 – = (h) Trong xe thứ ½ quãng đường Trong xe thứ hai 1/3 quãng đường Trong hai xe ½ + 1/3 = 5/6 (quãng đường) ( gần thêm) Hai xe găp sau : = ( giờ) = 12 phút Đó thời điểm h + h 12 ‘ = h 12’ VD2: Hai xe ô tô khởi hành lúc: xe thứ từ A đến B, xe thứ hai từ B đến A Sau 1h30 phút, chúng cách 108 km Tính qng đường AB biết xe thứ quãng đương AB hết giờ, xe thứ hai quãng đương BA hết Giải Lấy quãng đường AB làm đơn vị quy ước Trong xe thứ quãng đường AB _ xe thứ hai quãng đường AB 1 11 _ hai xe + = quãng đường AB 30 11 11 Trong 1h30’ hai xe : = quãng đường AB 20 30 11 Quãng đường lại : = quãng đường AB tương ứng với 108 km 20 20 Vậy quãng đường AB dài : 108 : = 240 (km) 20 */ Bài tập: Bài 1: Hai người làm cơng việc xong Riêng người thứ làm cơng việc 3h 20’ xong Hỏi người thứ hai làm xong cơng việc ? HD giải: Chọn khối lượng công việc làm đơn vị quy ước 10 Ta có 3h 20’ = h = h 3 10 Trong h người thứ làm : 1: = công việc 10 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ công việc Riêng người thứ hai làm xong cơng việc thời gian: 1: ( ) = : = (h) 10 Trong h hai người làm được: Bài 2: Ba công nhân làm cơng việc người thứ hồn thành cơng việc ba tuần người thứ hai hồn thành cơng việc nhiều gấp ba cơng việc tuần, người thứ ba hồn thành cơng việc nhiều gấp năm cơng việc 12 tuần Nếu ba người làm cơng việc ban đầu họ kết thúc cơng việc ? HD giải Chọn khối lượng công việc làm đơn vị quy ước Trong tuần người thứ làm công việc 3 người thứ hai làm được: công việc người thứ ba làm công việc 12 Như làm, tuần họ làm được: + + = công việc 12 Vậy ba người làm công việc ban đầu họ kết thúc cơng việc thời gian: 1: = tuần Bài 3: Một máy cày cày xong cánh đồng cần , máy cày thứ hai cày xong cánh đồng cần Người ta cho máy thứ cày 1h30’ nghỉ máy thứ hai cày tiếp xong công việc Hỏi máy thứ hai làm bao lâu? HD giải: Chọn khối lượng công việc làm đơn vị quy ước Trong h máy cày thứ làm công việc Trong h máy cày thứ hai làm công việc 3 Trong 1h30’ máy cày thứ cày = công việc Phần việc lại máy cày thứ hai phải làm - = công việc 8 5 Thờ gian máy cày thứ hai làm : : = h = h = 1h 15’ 4 Bài 4: Một cơng nhân làm xong cơng việc 10 ngày, người thứ hai làm xong công việc 15 ngày, người thứ ba muốn hồn thành cơng việc nói cần số ngày gấp lần số ngày hai người làm để hồn thành cơng việc Hỏi ba người làm cơng việc ngày xong? Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ HD giải: Chọn khối lượng công việc làm đơn vị quy ước Trong ngày người thứ làm công việc 10 Trong ngày người thứ hai làm công việc 15 1 Trong ngày hai người làm + = công việc 10 15 Nếu hai người làm hồn thành cơng việc thời gian là: 1; = (ngày) Từ suy người thứ ba hồn thành cơng việc 5.6 = 30 (ngày) Trong ngày người thứ ba làm công việc 30 1 Trong ngày ba người làm + + = = công việc 10 15 30 30 Nếu ba người làm hồn thành cơng việc thời gian là: 1 ; = (ngày) Bài 5: Một công việc giao cho đội thứ làm 15 xong, giao cho đội thứ hai làm xong Người ta giao cho đội thứ làm thời gian nghỉ đội thứ hai làm tiếp Tổng cộng hai đội làm xong cơng việc Hỏi đội làm giờ? HD giải: Chọn khối lượng công việc làm đơn vị quy ước Trong đọi thứ làm công việc 15 Trong đọi thứ hai làm công việc Gọi thời gian đội làm x (h) => phần công việc đội làm x 15 Khi thời gian đội làm – x (h) => phần công việc đội làm (9-x) 1 + (9-x) = 15 => 2x + 45 – 5x = 30 => 3x = 15 => x = Vậy đọi thứ làm _đội thứ hai làm – = Theo ta có x Bài 6: Ba máy cày cày cánh đồng Lúc đầu có hai máy thứ thứ hai cày giờ, sau máy thứ hai nghỉ, máy thứ vào làm thay với suất gấp đoi máy thứ hai hai máy cày xong cánh đồng Hỏi máy cày xong cánh đơng Biết máy thứ máy thứ hai làm sau 12 xong công việc HD giải Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Chọn khối lượng công việc làm đơn vị quy ước Gọi thời gian máy I làm xong cơng việc x ( giờ) _ thời gian máy II làm xong cơng việc y ( giờ) Trong máy I làm : công việc x Trong máy II làm : công việc y Theo ta có : 1 + = (*) x 12 y Trong ba hai máy làm được: 3    công việc x y 12 cơng việc lại máy I máy III có suất gấp đơi máy II làm 5 5.2 => Hay ta có (**)     x z x y 5 Từ (*) =>   x y 12 10 Từ (**) => Trừ tưng vế hai đẳng thức ta được:    x y 12 => y = 15; Từ dễ dàng suy x = 60; z =  y 12 Vậy máy I cày 60 xong cơng việc Vậy máy II cày 15 xong cơng việc Vậy máy III cày 7h 30’ xong cơng việc Bài 7: Một cửa hàng cần đóng gói số thùng hàng Nếu hai người làm sau xong.Nếu người thứ làm sau 12 xong Hỏi: a, Nếu người thứ hai làm sau xong? b, Nếu hai người đóng gói tổng cộng 216 thùng hàng người đóng gói thùng hàng? HD giải: Coi cơng việc cần hồn thành đơn vị quy ước a, Trong hai người làm công việc Trong người thứ làm công việc 12 1 => Trong người thứ hai làm = cơng việc Do thời gian 12 24 để người thứ hai hoàn thành cơng việc : = 24 ( giờ) 24 1 b, Theo suất người thứ : = lần suất 12 24 người thứ hai, số lượng thùng hàng người thứ đóng gấp đơi số lượng thùng hàng người thứ hai đóng số thùng hàng người thứ hai đóng 216 : = 72 (thùng) Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ số thùng hàng người thứ đóng 216 - 72 = 144 (thùng) Bài 8: Ba máy bơm bơm nước vào bể bơi, máy A máy B chạy sau 1h20’ đầy; máy B máy C chạy sau 1h30’ đầy; máy C máy A chạy sau 2h24’ đầy Hỏi máy bơm chạy sau đầy bể? HD giải 12 h; 1h30’ = h ; 2h24’ = h Lấy dung tích bể bơi làm đơn vị quy ước Trong ba máy bơm được: 11 4  (bể)    :2  12  12  11 Trong máy C bơm được: (bể)   12 11 Trong máy A bơm được: (bể)   12 11 11 Trong máy B bơm được: (bể)   12 Vậy thời gian để máy bơm A, B, C bơm đầy bể là: 4h; 6h; 2h Ta có: 1h20’ = Bài 9: Một xe tải khởi hành từ A lúc đến B lúc 12 Một xe khởi hành từ B lúc rưỡi đến A lúc 11 rưỡi a, Hỏi hai xe gặp lúc giờ? b, Biết vận tốc xe vận tốc xe tải 10 km/h, tính quãng đường AB HD giải a, Thời gian xe tải từ A đến B giờ; xe từ B đến A 1 1 Trong hai xe được:     ( quãng đường AB)   20 Khi xe khởi hành xe cách xe tải là: 1 (quãng đường AB) 1  Thời gian xe phải để gặp xe tải là: 7 (giờ) = 30 phút :  Hai xe gặp lúc 7h30’ + 3h30’ = 11h 1 b, 10 km là: (quãng đường AB)   20 10 :  200 (km) Vậy quãng đường AB dài là: 20 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ VI/ TỐN SỬ DỤNG NGUN LÝ DIRICLET */ “Có số thìa để số cốc; Nếu số thìa nhiều số cốc có cốc chứa khơng thìa.” Như có n+1 thìa để n cốc phải có cốc đựng khơng thìa */ Ta có : = 3.2 +1 Ta thấy nhốt thỏ vào lồng có lồng nhốt nhiều thỏ Đó nguyên lý Điriclet phát biểu dạng đơn giản TQ: Nếu nhốt a thỏ vào b lồng mà : a = bq + r (0 < r < b) Thì có lồng nhốt từ q +1 thỏ trở lên VD1: Một lớp học có 40 học sinh Chứng minh có học sinh có tháng sinh giống Giải Một năm có 12 tháng Ta phân chia 40 học sinh vào 12 tháng Nếu tháng khơng q học sinh sinh số học sinh không 3.12 = 36 Mà 36 < 40, vơ lý Vậy tồn tháng có học sinh trùng tháng sinh ( 40 thỏ 40 học sinh, 12 lồng 12 tên tháng) VD2: Chứng minh tồn số tự nhiên k cho 3k tận 001 Giải Trong phép chia cho 1000 có 1000 số dư là: 0; 1; 2; … ; 999 Ta xét 1001 số có dạng 3; 32; 33; … ; 31001 Theo Điriclet tồn số có dư phép chia cho 1000 Giả sử 3m 3n (1  n  m  1001) Như 3m – 3n  1000 => 3n ( 3m-n – 1)  1000 Mà ( 3n ; 1000) = => 3m-n –  1000 m-n Hay có tận 001 Đặt m – n = k =>đpcm */ Bài tập áp dụng Bài 1: Người ta thả 130 viên súc sắc vào bàn cờ quốc tế có 64 vng Chứng tỏ tồn ô vuông bàn cờ chứa từ ba viên súc sắc trở lên (kể trường hợp viên súc sắc nằm cạnh ô vuông) HD giải: Bàn cờ có 64 Ta phân 130 viên súc sắc vào 64 Nếu có khơng q viên súc sắc 64 chứa khơng q: 64.2 = 128 < 130 => vô lý Vậy tồn ô bàn cờ chứa từ viên súc sắc trở lên Bài 2: Chứng tỏ sáu số tự nhiên bất kì, tìm hai số có hiệu chia hết cho HD giải: Một số chia cho có số dư là: 0; 1; 2; 3; Theo ra, có số mà có số dư => Tồn số có số dư => Hiệu số chia hết cho Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Bài 3: Chứng tỏ tồn bội 1989 viết toàn chữ số HD giải: Xét dãy số: 1; 11; 111; …; 11 … 111 1990 cs Có 1990 số mà có 1989 số dư => Tồn hai số có số dư phép chia cho 1989 Hiệu hai số gồm chữ số chia hết cho 1989 Bài 4: Chứng minh 11 số tự nhiên có hai số có chữ số tận giống HD giải: Lấy 11 số tự nhiên Khi chia số cho 10 có số dư: 0; 1; … ; Có 11 số mà có 10 số dư => Luôn tồn hai số dư chia cho 10 Hiệu hai số chia hết cho 10 => Hai số phải có chữ só tạn giống Bài 5: Chứng minh tồn bội 13 gồm toàn chữ số HD giải: Xét dãy số: 2; 22; 222; …; 22 … 14cs Có 14 chữ số mà có 13 số dư phép chia cho 13 => Ln tồn hai số có số dư chia cho 13 Giả sử số là: 22 … 22 … (1 ≤ n ≤ m ≤ 14) m cs n cs Hiệu hai số là: 22 … 00 …  13 (m-n cs2) (n cs 0) Hay 22 … 10n  13 Mà ( 10n; 13) = => 22 …  13 m-n cs2 m-n cs2 Tức tồn bội 13 gồm tồn chữ số */ Bài tốn thay số số Bài 6: Cho dãy số : 10; 102; 103; …; 1020 Chứng minh tồn số chia cho 19 dư HD giải: Dãy số 10; 102; 103; …; 1020 (1) có tất 20 số Khi chia số dãy cho 19 ta số dư: 0; 1; 2; …; 18 Có 20 số mà có 19 số dư Do theo Điriclet tồn hai số có số dư Giả sử hai số 10m 10n (1 ≤ n ≤ m ≤ 20) Như 10m – 10n  19 Hay 10n( 10m-n – 1)  19 Mà (10n ; 9) = => 10m-n -1  19 Hay 10m-n  19 dư Mặt khác, dễ thấy 10m-n thuộc dãy (1) Vì ≤ n ≤ m ≤ 20 */ Luôn tồn k  N ; k > cho 10k –  19 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Bài 7: Chứng minh tồn số bội 19 có tổng chữ số 19 HD giải: Ta có : 10k –  19 ( k > 1) 102k –  19 103k –  19 ……………… 1019k –  19 => ( 10k + 102k + … +1019k) – 19  19 => 10k + 102k + … +1019k  19 Hay 10 … + 10 … + … +10 …0  19 k cs 2k cs0 19k cs Tổng có 19 số hạng Tổng cs 19 # Bài 8: Cho ba số lẻ Chứng minh tồn hai số có tổng hiêu chia hết cho HD giải: Một số lẻ chia cho có số dư: 1; 3; 5; Chia số dư thành nhóm: Nhóm I: số lẻ chia cho dư dư Nhóm II: Các số lẻ chia cho dư dư Theo ra, có ba số lẻ mà có hai nhóm số dư => Tồn hai số thuộc nhóm - Nếu hai số có số dư hiệu chúng chia hết cho - Nếu hai số có số dư khác tổng chúng chia hết cho Bài 9: Cho ba số nguyên tố lớn Chứng minh tồn hai số có tổng hiêu chia hết cho 12 HD giải: Một số nguyên tố lớn chia cho 12 số dư số: 1; 5; 7; 11 Ta chia số dư thành hai nhóm: Nhóm I: Số chia cho 12 dư dư 11 Nhóm II: Số chia cho 12 dư dư Theo có ba số nguyên tố mà có hai nhóm số dư Do ln tồn hai số thuộc nhóm - Nếu hai số có số dư hiệu chúng chia hết cho 12 - Nếu hai số có số dư khác tổng chúng chia hết cho 12 Bài 10: Cho năm số tự nhiên lẻ bất kì, chứng minh ta ln chọn bốn số có tổng chia hết cho HD giải: Một số lẻ chia cho số dư 3, nghĩa số lẻ có dạng: 4k + 4k + - Nếu có bốn số thuộc dạng tổng bốn số chia hết cho - Nếu khơng dạng có số; ta chọn số dạng hai số dạng tổng chúng chia hết cho Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Bài 11: Trong lớp có 33 học sinh Tỏng số tuổi chúng 430 Liệu tìm 20 học sinh mà tổng số tuổi chúng lớn 260 không HD giải: Giả sử tổng số tuổi 20 học sinh không lớn 260 trung bình em khơng q: 260 : 20 = 13 (Tuổi) Còn lại 13 học sinh nhỏ thuổi Tổng số tuổi chúng không quá: 13.13 = 169 (Tuổi) Khi tổng số tuổi lớp không vượt quá: 260 + 169 = 429 (Tuổi) < 430 (Tuổi) theo Vậy chọn 20 học sinh mà tổng số tuổi chúng lớn 260 Bài 12: Chứng minh số tự nhiên có chữ số chọn số mà viết liền số có sáu chữ số chia hết cho HD giải: Lấy số cho chia cho số dư giá trị: 0; 1; 2; 3; … ; Theo Điriclet có số mà lại có số dư nên ln tồn hai số có số dư Giả sử số là: abc def Ta có: abc = 7k + r (với  r < 7) def = 7q + r Khi viết hai số liền ta số có sáu chữ số: abcdef = 1000 abc + def = 1000.( 7k + r) +7q +r = 7.1000k +7q + 1001r  7 7 => đpcm Bài 13: Trong thùng có đựng 105 táo thuộc loại táo CMR số táo ta tìm 27 táo loại HD giải: */ Ta có 105 = 26 + => Theo Đỉiclet ta ln có loại táo có nhiều 26 */ Có thể c/m phản chứng Giả sử khơng có loại táo có 27 Khi số táo loại khơng nhiều 26 quả, nên thùng táo có: 26 = 104 ( (quả) < 105 (quả) theo => >< Vậy ta ln tìm 27 táo loại Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ ... thiết toán Song ta lại giả thiết có trường hợp ấy, để từ chênh lệch số chân TS vật với số chân gà, chó mà suy số vật loại +/ Lời giải: Giả sử 36 gà Khi tổng số chân : 36 = 72 ( chân) So với bị... đội có : 25 = 75 (điểm) So với thừa 75 – 59 = 16 ( điểm) –> có trận hòa Chênh lệch điểm số trận thắng trận hòa : 3-1 = Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Như thay trận... 2b a + b + c  hay 3b  => b   b  { 3; 6; } Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Với b = 6; a > 10 ( loại) Vậy b = 3; a = 6; c = Ta số 630 +/ Với c = ta có a + = 2b =>