Hướng dẫn giải bài tập HHKG 11 theo đề cương của Sở GD-ĐT Tây Ninh năm học 2010-211

HƯ NG D N GI I M T S BÀI T P HÌNH KHƠNG GIAN THEO ð CƯƠNG TỐN 11 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng c nh a , SA vng góc v i ñáy , SA = a a) b) c) d) e) Ch ng minh r ng m t bên hình chóp nh ng tam giác vng CMR (SAC) ⊥ (SBD) Tính góc gi a SC mp ( SAB ) Tính góc gi a hai m t ph ng ( SBD ) ( ABCD) Tính d(A, (SCD)) Gi i a) Ch ng minh r ng m t bên hình chóp nh ng tam giác vng Ta có : SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ AD, SA ⊥ AB S ⇒ ∆SAD , ∆SAB vuông t i A Ch ng minh ∆SBC vng : Ta có : BC ⊥ AB ( Hai c nh k c a hình vng ABCD ) BC ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABCD ) ) H a ⇒ BC ⊥ ( SAB ) , mà SB ⊂ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông t i B Ch ng minh ∆SCD vng : Ta có : CD ⊥ AD ( Hai c nh k c a hình vng ABCD ) CD ⊥ SA (Vì SA ⊥ ( ABCD ) ) A D O ⇒ CD ⊥ ( SAD ) , mà SD ⊂ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆SCD vuông t i D b) CMR (SAC) ⊥ (SBD) : BD ⊥ AC (Hai ñư ng chéo c a hình vng ABCD ) BD ⊥ SA ( Vì SA ⊥ ( ABCD ) ) B a C ⇒ BD ⊥ ( SAC ) , mà BD ⊂ ( SBD ) ⇒ ( SAC ) ⊥ ( SBD ) c) Tính góc gi a SC mp ( SAB ) : Do BC ⊥ ( SAB ) t i B nên hình chi u c a C lên (SAB) B ⇒ Hình chi u c a SC lên (SAB) SB ( ) ( ) ⇒ SC , ( SAB ) = SC , SB = CSB Trong ∆SAB vuông t i A, ta có : SB = SA2 + AB = Trong ∆SBC vng t i B, ta có : tan CSB = ( ) (a ) + a2 = a BC a = = ⇒ CSB = 300 SB a 3 V y SC , ( SAB ) = 300 d) Tính góc gi a hai m t ph ng ( SBD ) ( ABCD) : Ta có : ( SBD ) ∩ ( ABCD ) = BD G i O tâm c a hình vng ABCD, O ∈ BD Theo ch ng minh câu b) BD ⊥ ( SAC ) , mà SO ⊂ ( SAC ) ⇒ SO ⊥ BD M c khác, AO ⊥ BD V y (( SBD ) , ( ABCD ) ) = ( SO, AO ) = AOS (do AOS góc nh n) AC = a ⇒ AO = a Trong ∆SAO vuông t i A, ta có : tan AOS = ⇒ (( SBD ) , ( ABCD )) = AOS = arctan SA a = = ⇒ AOS = arctan AO a 2 Nh n xét : ð xác đ nh góc gi a (α ) ( β ) ta có th làm theo cách sau : ( ) ( ) Cách : Tìm a, b cho a ⊥ (α ) , b ⊥ ( β ) ⇒ (α ) , ( β ) = a, b Cách : N u (α ) ∩ ( β ) = ∆ tìm O ∈ ∆ T O, (α ) v a ⊥ ∆ t i O ; ( β ) v b ⊥ ∆ t i O Suy ((α ) , ( β )) = ( a, b ) (đã trình bày câu d) ) Cách : Trong trư ng h p t ng quát : Tìm (α ) ∩ ( β ) = ∆ ; Tìm ( γ ) cho ( γ ) ⊥ ∆ ; Tìm ( γ ) ∩ (α ) = a , ( γ ) ∩ ( β ) = b ; K t lu n : ( (α ) , ( β ) ) = ( a, b ) Câu d) ta có th trình bày cách sau : Ta có : ( SBD ) ∩ ( ABCD ) = BD ; BD ⊥ ( SAC ) (theo ch ng minh câu b) ) ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO , ( SAC ) ∩ ( ABCD ) = AC ; V y (( SBD ) , ( ABCD ) ) = ( AC, SO ) = AOS ( Vì AOS góc nh n) e) Tính d(A, (SCD)) : G i H hình chi u c a A lên SD Ta có : AH ⊥ SD CD ⊥ AD ( Hai c nh k c a hình vng ABCD) ; CD ⊥ SA (Vì SA ⊥ ( ABCD ) ) (1) ⇒ CD ⊥ ( SAD ) , mà AH ⊂ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ AH (2) T (1), (2) ⇒ AH ⊥ ( SCD ) t i H ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = AH Xét ∆SAD vng t i A có AH ñư ng cao : 1 1 2a a Ta có : = + = + = ⇒ AH = ⇒ AH = 2 2 AH AS AD a 2a 3 a ( ) a Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng t i C SB ⊥ (ABC), bi t AC = a , BC = a, SB = 3a V y d ( A, ( SCD ) ) = AH = a) Ch ng minh: AC ⊥ (SBC) b) G i BH ñư ng cao c a tam giác SBC Ch ng minh: SA ⊥ BH c) Tính góc gi a ñư ng th ng SA m t ph ng (ABC) Gi i a) Ch ng minh : AC ⊥ (SBC) Ta có : AC ⊥ BC (gt) ; AC ⊥ SB (Vì SB ⊥ ( ABC ) ) ; S ⇒ AC ⊥ ( SBC ) b) Ch ng minh : SA ⊥ BH ð ch ng minh SA ⊥ BH ta ch ng minh BH ⊥ ( SAC ) 3a H Ta có : BH ⊥ SC (gt) (1) Theo ch ng minh , AC ⊥ ( SBC ) mà BH ⊂ ( SBC ) ⇒ BH ⊥ AC (2) B T (1) (2) ⇒ BH ⊥ ( SAC ) , mà SA ⊂ ( SAC ) ⇒ BH ⊥ SA c) Tính góc gi a đư ng th ng SA m t ph ng (ABC) Do SB ⊥ ( ABC ) t i B nên hình chi u c a S lên (ABC) B A a ⇒ Hình chi u c a SA lên (ABC) BA ) ( ( a C ) ⇒ SA, ( ABC ) = SA, BA = SAB Trong ∆ABC vuông t i C, ta có : AB = BC + AC = a + a = a SB 3a Trong ∆SBA vuông t i B, ta có : tan SAB = = = ⇒ SAB = 600 AB a ( ) V y SA, ( ABC ) = SAB = 600 Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi c nh a có góc BAD = 600 SA=SB = SD = a S a) Ch ng minh (SAC) vng góc v i (ABCD) b) Ch ng minh tam giác SAC vng c) Tính kho ng cách t S ñ n (ABCD) Gi i a) Ch ng minh (SAC) vng góc v i (ABCD) G i O tâm c a hình thoi ABCD Ta có : ∆SBD cân t i S có O trung ñi m c a BD nên SO ⊥ BD ; ABCD hình thoi nên BD ⊥ AC ; ⇒ BD ⊥ ( SAC ) , mà BD ⊂ ( ABCD ) ⇒ ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) b) Ch ng minh tam giác SAC vuông Ta ch ng minh SO = AO = OC Do ∆ABD cân t i A có BAD = 600 ⇒ ∆ABD ñ u ∆ABD ñ u c nh a có AO ñư ng trung n a ⇒ AO = a a a A D 60° H a O B C 3a a a Xét ∆SOD vng t i O, ta có : SO = SD − OD = a −   = = 2 2 a , mà SO ñư ng trung n c a ∆SAC ⇒ ∆SAC vuông t i S B Chú ý : Cho tam giác ABC có AM ñư ng trung n ∆ABC vuông t i A ⇔ AM = MB = MC ⇒ SO = AO = OC = M “Trong m t tam giác vng đư ng trung n ng v i c nh huy n b ng m t n a c nh huy n” A C c) Tính kho ng cách t S đ n (ABCD) Xét hình chóp S.ABD : Ta có : SA = SB = SD = a, AB = BD = DA = a nên S.ABD hình chóp đ u G i H tr ng tâm c a ∆ABD ⇒ SH ⊥ ( ABD ) (Theo tính ch t c a hình chóp đ u) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) t i H ⇒ d ( S , ( ABCD ) ) = SH Vì H tr ng tâm ∆ABD nên AH = 2 a a AO = = 3 Trong ∆SHA vuông t i H, ta có : 2 a 3 a 3 2a a SH = SA − AH = a −  = a2 −  = =       3     2 a Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng c nh a, m t bên (SAB) tam giác ñ u G i E, F trung ñi m c a AB CD ⇒ d ( S , ( ABCD ) ) = SH = a) Cho bi t tam giác SCD vuông cân t i S Ch ng minh: SE ⊥ (SCD) SF ⊥ (SAB) b) G i H hình chi u vng góc c a S EF Ch ng minh: SH ⊥ AC c) Tính góc gi a ñư ng th ng BD m t ph ng (SAD) S Gi i a) Ch ng minh SE ⊥ (SCD) SF ⊥ (SAB) Ch ng minh SE ⊥ (SCD) : Do ∆SCD cân t i S có F trung ñi m c a CD ⇒ CD ⊥ SF Mà CD ⊥ EF (theo tính ch t c a hình vng) ⇒ CD ⊥ ( SEF ) , mà SE ⊂ ( SEF ) ⇒ SE ⊥ CD (1) Ta ch ng minh ∆SEF vuông t i S b ng cách s d ng ñ nh lý Pytago sau : ∆SCD vng t i S có SF ñư ng trung n nên a SF = CD = 2 a ∆SAB đ u c nh a có SE trung n nên SE = EF = a Q P A K E O B  a   a  3a a 2 Ta có : SE + SF =     +   = + = a = EF     V y ∆SEF vuông t i S ⇒ SE ⊥ SF (2) T (1) (2) ⇒ SE ⊥ ( SCD ) 2 Ch ng minh SF ⊥ (SAB) : Theo ch ng minh trên, SF ⊥ SE CD ⊥ ( SEF ) , mà AB // CD ⇒ AB ⊥ ( SEF ) ⇒ SF ⊥ AB D M a H F C (3) (4) T (3) (4) ⇒ SF ⊥ ( SAB ) b) Ch ng minh SH ⊥ AC Ta có : CD ⊥ ( SEF ) (theo ch ng minh trên), mà SH ⊂ ( SEF ) ⇒ SH ⊥ CD Hơn n a, SH ⊥ EF (gt) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Mà AC ⊂ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ AC c) Tính góc gi a ñư ng th ng BD m t ph ng (SAD) (câu khó - em h c sinh ñ c tham kh o) G i O tâm c a hình vng ABCD Theo tính ch t c a hình vng ABCD, ta có AC, BD EF ñ ng quy t i O Vì SE > SF nên H thu c ño n OF Trong m t ph ng (ABCD), qua H v ñư ng th ng song song v i CD c t AD, OD l n lư t t i M K V y góc gi a BD m t ph ng (SAD) góc gi a KD (SAD) Ta tìm hình chi u c a K lên (SAD) Ta có : AD ⊥ MH , AD ⊥ SH (do SH ⊥ ( ABCD ) ) ⇒ AD ⊥ ( SHM ) ⇒ ( SAD ) ⊥ ( SHM ) ( SAD ) ∩ ( SHM ) = SM V KP ⊥ SM ( P ∈ SM ) ⇒ KP ⊥ ( SAD ) t i P Nh n xét : N u hai m t ph ng vuông góc v i đư ng th ng n m m t ph ng vuông góc v i giao n vng góc v i m t ph ng ⇒ Hình chi u c a K lên (SAD) P ⇒ Hình chi u c a KD lên (SAD) PD ) ( ( ) ( ) ⇒ BD, ( SAD ) = KD, ( SAD ) = KD, PD = KDP ð tìm góc KDP ta tìm KD KP ∆SEF vng t i S có SH đư ng cao nên ta có : 1 1 1 4 16 3a a = + = + = + = + = ⇒ SH = ⇒ SH = 2 2 3a a SH SE SF 3a a 3a 16 a 3 a   2 4     3a 3a 9a 3a − = = 16 16 3a a a a a a OH = EH − OE = − = ⇒ HF = OF − OH = − = 4 4 ⇒ H trung ñi m c a OF, mà HK // DF nên HK ñư ng trung bình c a ∆FOD 1 a a (do BD = a ) ⇒ K trung ñi m c a OD ⇒ KD = OD = = 2 1 a a a a a HK = DF = = , MK = MH − HK = − = ⇒ K trung ñi m c a MH 2 4 Trong (SHM), v HQ ⊥ SM ( Q ∈ SM ), mà KP ⊥ SM ⇒ KP / / HQ mà K trung ñi m c a MH nên KP đư ng trung bình c a ∆MHQ ⇒ KP = HQ ∆SHM vuông t i H có HQ đư ng cao, ta có : 1 1 1 16 28 3a a = + = + = + = + = ⇒ HQ = ⇒ HQ = 2 2 3a a HQ HS HM 3a a 3a 28 a 3 a   2 16     ∆SEH vuông t i H nên ta có : EH = SE − SH = ⇒ KP = a a = 2 7 a KP Trong ∆KPD vuông t i P, ta có : sin KDP = = = ⇒ KDP ≈ 27 035' KD a 14 ( ) V y BD, ( SAD ) = KDP ≈ 27 035' Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng c nh a, SA ⊥ ( ABCD ) SA = 2a a) Ch ng minh (SAC ) ⊥ (SBD ) ; (SCD ) ⊥ ( SAD ) b) Tính góc gi a SD (ABCD); SB (SAD) ; SB (SAC); c) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC)) S Gi i a) Ch ng minh (SAC ) ⊥ (SBD ) ; (SCD ) ⊥ ( SAD ) Ch ng minh ( SAC ) ⊥ ( SBD ) : H Ta có : BD ⊥ AC (Hai đư ng chéo c a hình vng ABCD) ; BD ⊥ SA (do SA ⊥ ( ABCD ) ) ; 2a ⇒ BD ⊥ ( SAC ) , mà BD ⊂ ( SBD ) ⇒ ( SAC ) ⊥ ( SBD ) A D Ch ng minh ( SCD ) ⊥ ( SAD ) : Ta có : CD ⊥ AD (Hai c nh k c a hình vng ABCD) ; CD ⊥ SA (do SA ⊥ ( ABCD ) ; ⇒ CD ⊥ ( SAD ) , mà CD ⊂ ( SCD ) ⇒ ( SCD ) ⊥ ( SAD ) b) Tính góc gi a SD (ABCD); SB (SAD) ; SB (SAC) Tính góc gi a SD (ABCD) O B a C Ta có : SA ⊥ ( ABCD ) t i A nên hình chi u c a S lên mp (ABCD) A ⇒ Hình chi u c a SD lên m t ph ng (ABCD) AD ) ( ( ) ⇒ SD, ( ABCD ) = SD, AD = SDA Trong ∆SAD vuông t i A, tan SDA = ) ( SA 2a = = ⇒ SDA = arctan AD a V y SD, ( ABCD ) = SDA = arctan Tính góc gi a SB (SAD) Ta có : BA ⊥ SA, BA ⊥ AD ⇒ BA ⊥ ( SAD ) t i A nên hình chi u c a B lên (SAD) A ⇒ Hình chi u c a SB lên m t ph ng (SAD) SA ) ( ( ) ⇒ SB, ( SAD ) = SB, SA = BSA Trong ∆SAB vuông t i A, tan BSA = ( ) AB a 1 = = ⇒ BSA = arctan SA 2a 2 V y SB, ( SAD ) = BSA = arctan Tính góc gi a SB (SAC) G i O tâm c a hình vng ABCD Theo ch ng minh BD ⊥ ( SAC ) t i O nên hình chi u c a B lên (SAC) O ⇒ Hình chi u c a SB lên (SAC) SO ( ) ( ) ⇒ SB, ( SAC ) = SB, SO = BSO BD = a ⇒ BO = a BD = 2 ∆SAB vuông t i A nên SB = SA2 + AD = ( 2a ) + a2 = a a 2 1 BO Trong ∆SOB vuông t i O, ta có : sin BSO = = = = ⇒ BSO = arcsin SB a 5 10 10 V y SB, ( SAC ) = BSO = arcsin 10 ( ) c) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC)) Tính d(A, (SCD)) G i H hình chi u vng góc c a A SD Ta có : AH ⊥ SD Theo ch ng minh câu a, CD ⊥ ( SAD ) mà AH ⊂ ( SAD ) ⇒ AH ⊥ CD ⇒ AH ⊥ ( SCD ) t i H ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = AH ∆SAD vng t i A có AH đư ng cao, ta có : 1 1 4a 2a = + = + = ⇒ AH = ⇒ AH = 2 AH AD AS a 4a 4a 5 2a Nh n xét : N u hai m t ph ng vng góc v i đư ng th ng n m m t ph ng vng góc v i giao n vng góc v i m t ph ng Trong ý trên, (SAD) ⊥ (SCD) có giao n SD nên k AH ⊥ SD AH ⊥ ( SCD ) V y d ( A, ( SCD ) ) = AH = Tính d(B,(SAC)) Theo ch ng minh BD ⊥ ( SAC ) t i O nên hình chi u c a B lên (SAC) O ⇒ d ( B, ( SAC ) ) = BO = a Bài Hình chóp S.ABC ∆ABC vng t i A, góc B = 600 , AB = a, hai m t bên (SAB) (SBC) vng góc v i đáy; SB = a H BH ⊥ SA (H ∈ SA); BK ⊥ SC (K ∈ SC) a) CM: SB ⊥ (ABC) b) CM: mp(BHK) ⊥ SC c) CM: ∆BHK vuông d) Tính cosin c a góc t o b i SA (BHK) Gi i Nh n xét : Hai m t ph ng vng góc v i m t m t ph ng giao n c a chúng (n u có) vng góc v i m t ph ng đó, t c : Ta có :  (α ) ∩ ( β ) = d   ⇒ d ⊥ (γ ) (α ) ⊥ ( γ ) ; ( β ) ⊥ ( γ )   a) CM SB ⊥ (ABC) :  ( SAB ) ∩ ( SBC ) = SB  Ta có :  ⇒ SB ⊥ ( ABC ) ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ; ( SBC ) ⊥ ( ABC )   b) CM (BHK) ⊥ SC : SC ⊥ BK (gt) AC ⊥ AB ( ∆ABC vuông t i A) ; AC ⊥ SB (do SB ⊥ ( ABC ) ) ⇒ AC ⊥ ( SAB ) S (1) K 2a mà BH ⊂ ( SAB ) ⇒ BH ⊥ AC , m c khác BH ⊥ SA (gt) ⇒ BH ⊥ ( SAC ) mà SC ⊂ ( SAC ) ⇒ SC ⊥ BH (2) (1) (2) ⇒ SC ⊥ ( BHK ) T H B c) CM ∆BHK vuông : Theo ch ng minh câu b, BH ⊥ ( SAC ) mà HK ⊂ ( SAC ) ⇒ BH ⊥ HK V y ∆BHK vng t i H d) Tính cosin c a góc t o b i SA (BHK) : ) ( ( a ) A Vì H ∈ SA nên SA, ( BHK ) = SH , ( BHK ) Theo ch ng minh câu b, SC ⊥ ( BHK ) t i K nên hình chi u c a S lên (BHK) K ⇒ Hình chi u c a SH lên (BHK) KH ) ( ( C 60° ) ( ) ⇒ SA, ( BHK ) = SH , ( BHK ) = SH , SK = HSK = ASC ∆BAC vuông t i A, cos 600 = AB AB a ⇒ BC = = = 2a BC cos 60 ∆SBC vuông t i B nên SC = BS + BC = 4a + 4a = 2a ∆SBA vuông t i B nên SA = BS + BA2 = 4a + a = a Trong ∆SAC vuông t i A, ta có : cos ASC = ( ) V y cos SA, ( BHK ) = cos ASC = SA a 5 10 = = = SC 2a 2 10 Bài Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD, c nh đáy b ng a, c nh bên b ng a G i O tâm c a hình vng ABCD Và M trung ñi m c a SC a) b) c) d) Ch ng minh: (MBD) ⊥ (SAC) Tính góc gi a SA mp(ABCD) Tính góc gi a hai m t ph ng ( MBD) (ABCD) Tính góc gi a hai m t ph ng ( SAB) (ABCD) Nh c l i : Hình chóp đ u hình chóp có c nh bên b ng có đáy đa giác đ u Do đó, hình chóp đ u, tâm c a đa giác đáy trùng v i hình chi u c a ñ nh S lên m t ñáy a) Ch ng minh : (MBD) ⊥ (SAC) : Vì hình chóp S.ABCD đ u nên SO ⊥ ( ABCD ) ; mà BD ⊂ ( ABCD ) ⇒ BD ⊥ SO ; Hơn n a, BD ⊥ AC (Hai đư ng chéo c a hình vng ABCD); ⇒ BD ⊥ ( SAC ) mà BD ⊂ ( MBD ) ⇒ ( MBD ) ⊥ ( SAC ) b) Tính góc gi a SA mp(ABCD) : Ta có : SO ⊥ ( ABCD ) nên hình chi u c a S lên (ABCD) O ⇒ Hình chi u c a SA lên (ABCD) OA ) ( ( ) ⇒ SA, ( ABCD ) = SA, OA = SAO S a a SA = ; AC = a ⇒ AO = 2 Trong ∆SOA vng t i O, ta có : a 2 AO cos SAO = = = ⇒ SAO = arc cos SA a 5 2 V y SA, ( ABCD ) = SAO = arc cos c) Tính góc gi a hai m t ph ng ( MBD) (ABCD) : Ta có : ( MBD ) ∩ ( ABCD ) = BD ; ( a M ) A E F O B BD ⊥ ( SAC ) ; D a C ( SAC ) ∩ ( ABCD ) = AC ; ( SAC ) ∩ ( MBD ) = MO ; ⇒ (( MBD ) , ( ABCD )) = ( AC, MO ) = COM ( Vì COM góc nh n ) Trong ∆SOC vng t i O có OM đư ng trung n nên OM = 1 a a SC = = 2 a a ; MC = SC = 2 Áp d ng đ nh lí cosin tam giác COM, ta có : CM = OM + OC − 2OM OC.cos COM OC = 2 a 5 a 2 a 5 a   +  −  2 OM + OC − CM       = = ⇒ COM = arccos ⇒ cos COM = = 2OM OC a a a 5 2 V y ( MBD ) , ( ABCD ) = COM = arccos Cách : 1 a a Trong ∆SOC vng t i O có OM ñư ng trung n nên OM = SC = = = CM 2 ⇒ ∆COM cân t i M ⇒ COM = MCO M c khác, MCO = SAO ( Vì ∆SAC cân t i S) ⇒ COM = SAO Theo câu b, SAO = arccos ( T ñó suy ) (( MBD ) , ( ABCD )) = COM = arccos Nh n xét : Trong vi c xác đ nh góc gi a hai m t ph ng ( MBD) (ABCD) ta có th dùng cách nói t p Cách khơng đơn gi n tìm m thu c BD đ t v (ABCD) (MBD) hai ñư ng th ng l n lư t vng góc v i BD t i ñi m ñó khó Th c ch t, ngư i ta thư ng dùng cách đ t trình bày cách cho đơn gi n d) Tính góc gi a hai m t ph ng ( SAB) (ABCD) : Ta có : ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB ; G i E, F l n lư t trung ñi m c a AB CD AB ⊥ EF ; AB ⊥ SO (do SO ⊥ ( ABCD ) ) ⇒ AB ⊥ ( SEF ) ( SEF ) ∩ ( ABCD ) = EF ; ( SEF ) ∩ ( SAB ) = SE ; ⇒ (( SAB ) , ( ABCD )) = ( SE, EF ) = SEF ( Vì SEF góc nh n ) 2 a 5 a 2 5a 2 a a ∆SOC vuông t i O nên SO = SC − OC =  − = − =       4     2 a SO = = ⇒ SEF = 600 Trong ∆SEO vuông t i O, ta có : tan SEF = a OE V y (( SAB ) , ( ABCD )) = SEF = 60 Bài Cho hình lăng tr ABC.A′B′C′ có AA′ ⊥ (ABC) AA′ = a, đáy ABC tam giác vng t i A có BC = 2a, AB = a a) Tính kho ng cách t AA′ đ n m t ph ng (BCC′B′) b) Tính kho ng cách t A ñ n (A′BC) c) Ch ng minh r ng AB ⊥ (ACC′A′) tính kho ng cách t A′ đ n m t ph ng (ABC′) Gi i 2a C a) Tính kho ng cách t AA′ đ n m t ph ng (BCC′B′) Vì AA '/ / BB ' nên AA '/ / ( BCC ' B ' ) a ⇒ d ( AA ', ( BB ' C ' C ) ) = d ( A, ( BCC ' B ' ) ) G i H hình chi u vng góc c a A lên BC T H, v ñư ng th ng song song v i AA’ c t B’C’ t i H’ Do AA '/ / HH ' , AA ' ⊥ ( ABC ) ⇒ HH ' ⊥ ( ABC ) ⇒ HH ' ⊥ AH  AH ⊥ BC Ta có :  ⇒ AH ⊥ ( BCC ' B ') t i H  AH ⊥ HH ' ⇒ d ( A, ( BCC ' B ' ) ) = AH K A O a ∆ABC vuông t i A nên AC = BC − AB = 4a − 3a = a C' ∆ABC vuông t i A có AH đư ng cao nên 1 1 3a a = + = + = ⇒ AH = ⇒ AH = 2 AH AC AB a 3a 3a a ⇒ d ( AA ', ( BB ' C ' C ) ) = AH = A' b) Tính kho ng cách t A ñ n (A′BC) AB ⊥ AA ' (do AA ' ⊥ ( ABC ) ) ; AB ⊥ AC (gt) ⇒ AB ⊥ ( A ' ACC ' ) ⇒ AB ⊥ A ' C Ta có : A’A = AC = a nên A’ACC’ hình vng G i O tâm c a hình vuông A’ACC’ A ' C ⊥ AC ' Do  ⇒ A ' C ⊥ ( ABC ' ) mà A ' C ⊂ ( A ' BC ) ⇒ ( ABC ' ) ⊥ ( A ' BC ) A ' C ⊥ AB  2 B H 2 B' H' Hai m t ph ng ( A ' BC ) , ( ABC ') có giao n OB Trong ( ABC ' ) k AK ⊥ OB ( K ∈ OB ) ⇒ AK ⊥ ( A ' BC ) t i K 10 ⇒ d ( A, ( A ' BC ) ) = AK ∆AOB vuông t i A có AK đư ng cao nên 1 1 1 1+ 3a a = + = 2+ = + = = ⇒ AK = ⇒ AK = 2 2 AK AB AO 3a  a  3a a 3a 3a 7     V y d ( A, ( A ' BC ) ) = AK = a Cách : Vì BC ⊥ AH , BC ⊥ AA ' ⇒ BC ⊥ ( AA ' H ) ⇒ ( A ' BC ) ⊥ ( AA ' H ) Hai m t ph ng c t theo giao n A’H Trong m t ph ng (AA’H), k AI ⊥ A ' H ( I ∈ A ' H ) ⇒ AI ⊥ ( A ' BC ) t i I ⇒ d ( A, ( A ' BC ) ) = AI ∆AA ' H vng t i A có AI ñư ng cao nên 1 1 a = + = + = + = ⇒ AI = 2 3a AI AH AA ' a 3a a 3a ⇒ d ( A, ( A ' BC ) ) = AI = a Nh n xét : Hai ñi m I K hi n nhiên trùng c) Ch ng minh r ng AB ⊥ (ACC′A′) tính kho ng cách t A′ ñ n m t ph ng (ABC′) Ch ng minh r ng AB ⊥ (ACC′A′) : Ta có : AB ⊥ AC , AB ⊥ AA ' (do AA ' ⊥ ( ABC ) ) ⇒ AB ⊥ ( ACC ' A ' ) Tính kho ng cách t A′ ñ n m t ph ng (ABC′) : Theo ch ng minh trên, A ' C ⊥ ( ABC ' ) t i O nên d ( A ', ( ABC ' ) ) = A ' O Ta có : A ' C = a ⇒ A ' O = a a ⇒ d ( A ', ( ABC ' ) ) = 2 Nh n xét : ð tính kho ng cách t M đ n (α ) , n u đ cho khơng xác đ nh tr c ti p đư c hình chi u c a M lên (α ) ta làm sau : Tìm mp ( β ) qua M ( β ) ⊥ (α ) ; Tìm giao n ∆ = (α ) ∩ ( β ) ; K MH ⊥ ∆ ( H ∈ ∆ ) ⇒ MH ⊥ (α ) ⇒ d ( M , (α ) ) = MH Chúc em thi ñ t k t qu th t t t ! Biên so n : GV Tr n Qu c Dũng 11 ... ⊥ (SAB) : Theo ch ng minh trên, SF ⊥ SE CD ⊥ ( SEF ) , mà AB // CD ⇒ AB ⊥ ( SEF ) ⇒ SF ⊥ AB D M a H F C (3) (4) T (3) (4) ⇒ SF ⊥ ( SAB ) b) Ch ng minh SH ⊥ AC Ta có : CD ⊥ ( SEF ) (theo ch ng... ) V y d ( A, ( SCD ) ) = AH = Tính d(B,(SAC)) Theo ch ng minh BD ⊥ ( SAC ) t i O nên hình chi u c a B lên (SAC) O ⇒ d ( B, ( SAC ) ) = BO = a Bài Hình chóp S.ABC ∆ABC vng t i A, góc B = 600... vuông : Theo ch ng minh câu b, BH ⊥ ( SAC ) mà HK ⊂ ( SAC ) ⇒ BH ⊥ HK V y ∆BHK vuông t i H d) Tính cosin c a góc t o b i SA (BHK) : ) ( ( a ) A Vì H ∈ SA nên SA, ( BHK ) = SH , ( BHK ) Theo ch