Đề số 13 ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ II Môn TOÁN Lớp 10 Câu 1. a) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a b c b c a 1 1 1 8 + + + ≥ ÷ ÷ ÷ b) Giải bất phương trình: x x x x 2 2 2 5 5 4 7 10 < − + − + Câu 2. Cho phương trình: − + + + − + =x m x m m 2 2 2( 1) 8 15 0 a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m . b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu . Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆ABC với A(1; 2), B(2; –3), C(3; 5). a) Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A. b) Viết phương trình đường tròn tâm B và tiếp xúc với đường thẳng AC. c) Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với AB và tạo với 2 trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 10. Câu 4. Điểm trung bình kiểm tra của 2 nhóm học sinh lớp 10 được cho như sau: Nhóm 1: (9 học sinh) 1, 2, 3, 5, 6, 6, 7, 8, 9 Nhóm 2: (11 học sinh) 1, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 10 a) Hãy lập các bảng phân bố tần số và tuần suất ghép lớp với các lớp [1, 4]; [5, 6]; [7, 8]; [9, 10] của 2 nhóm. b) Tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn ở 2 bảng phân bố. c) Nêu nhận xét về kết quả làm bài của hai nhóm. d) Vẽ biểu đồ tần suất hình cột của 2 nhóm. Câu 5. a) Chứng minh: ( ) α α α α α α π α + = + + + ≠ ∈k k 2 3 3 cos sin 1 cot cot cot , . sin ¢ b) Rút gọn biểu thức: A 2 tan2 cot2 1 cot 2 α α α + = + . Sau đó tính giá trị của biểu thức khi 8 π α = . Hết Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1 Đề số 13 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ II Môn TOÁN Lớp 10 Câu 1: a) Do a, b, c > 0 nên a a b a c c b b c b a a 1 2 , 1 2 , 1 2 + ≥ + ≥ + ≥ ÷ ÷ ÷ Nhân các bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta được: a b c a b c b c a b c a 1 1 1 8 8 + + + ≥ = ÷ ÷ ÷ b) Giải bất phương trình: x x x x x x x x 2 2 2 2 2 5 2 5 0 5 4 7 10 5 4 7 10 < ⇔ − < − + − + − + − + x x x x x x x x x x x x x x 2 2 2( 7 10) 5( 5 4) (3 11) 0 0 ( 1)( 4)( 2)( 5) ( 1)( 2)( 4)( 5) − + − − + − − ⇔ < ⇔ < − − − − − − − − x 11 ( ;0) (1;2) ;4 (5; ) 3 ⇔ ∈ −∞ ∪ ∪ ∪ +∞ ÷ Câu 2: Cho phương trình: x m x m m 2 2 2( 1) 8 15 0− + + + − + = ⇔ x m x m m 2 2 2( 1) 8 15 0− + − + − = a) m m m m m m m R 2 2 2 2 1 23 ( 1) 8 15 2 6 16 (2 3) 0, 2 2 ∆ ′ = + + − + = − + = − + > ∀ ∈ Vậy phương trình bậc hai đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu . PT có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0 ( ) m m m m m 2 2 1(( 8 15) 0 8 15 0 ( ;3) 5;⇔ − + − < ⇔ − + > ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆ABC với A(1; 2), B(2; –3), C(3; 5). a) Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A. • A VTPT BC(1;2), : (1;8)= ⇒ uuur PT đường cao kẻ từ A là x y x y1 8( 2) 0 8 17 0− + − = ⇔ + − = b) Viết phương trình đường tròn tâm B và tiếp xúc với đường thẳng AC. • Tâm B(2; –3), Phương trình AC: x y x y 1 2 3 2 1 0 2 3 − − = ⇔ − + = , Bán kính R d B AC 3.2 2.( 3) 1 ( , ) 13 9 4 − − + = = = + Vậy phương trình đường tròn đó là x y 2 2 ( 2) ( 3) 13− + + = c) Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với AB và tạo với 2 trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 10. Giả sử Ox M m Oy N n( ;0), (0; ) ∆ ∆ ∩ = ∩ = . AB (1; 5)= − uur , MN m n( ; )= − uuur . Phương trình MN: x y nx my mn m n 1 0+ = ⇔ + − = . Diện tích tam giác MON là: ABC S m n mn 1 . 10 20 2 ∆ = = ⇔ = (1) Mặt khác MN AB MN AB m n m n. 0 5 0 5⊥ ⇒ = ⇔ − − = ⇔ = − uuuur uuur (2) Từ (1) và (2) ⇒ m n 10 2 = − = hoặc m n 10 2 = = − ⇒ Phương trình ∆ là: x y5 10 0− + = hoặc x y5 10 0− − = 2 Câu 4: Câu 5: a) cos 2 2 3 2 2 cos sin 1 1 . cot .(1 cot ) 1 cot sin sin sin sin α α α α α α α α α α + = + = + + + 2 3 1 cot cot cot α α α = + + + (đpcm) b) A 2 2 tan2 cot2 1 .sin 2 tan2 sin2 .cos2 1 cot 2 α α α α α α α + = = = + Khi 8 π α = thì A tan2. tan 1 8 4 π π = = = Hết 3 . b) Giải bất phương trình: x x x x x x x x 2 2 2 2 2 5 2 5 0 5 4 7 10 5 4 7 10 < ⇔ − < − + − + − + − + x x x x x x x x x x x x x x 2 2 2( 7 10) 5( 5 4) (3 11) 0 0 ( 1)( 4)( 2) ( 5) ( 1)( 2) (. . SBD :. . . . . . . . . . 1 Đề số 13 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ II Môn TOÁN Lớp 10 Câu 1: a) Do a, b, c > 0 nên a a b a c c b b c b a a 1 2 , 1 2 , 1 2 + ≥ + ≥ + ≥ ÷. ;0) (1 ;2) ;4 (5; ) 3 ⇔ ∈ −∞ ∪ ∪ ∪ +∞ ÷ Câu 2: Cho phương trình: x m x m m 2 2 2( 1) 8 15 0− + + + − + = ⇔ x m x m m 2 2 2( 1) 8 15 0− + − + − = a) m m m m m m m R 2 2 2 2 1 23 ( 1)