http://myschool.vn info@myschool.vn VẤN ĐỀ 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC • Định lý cosin trong tam giác: 2 2 2 2 2 2 2 cos ; 2 cos ;a b c bc A b c a ca B= + − = + − 2 2 2 2 cos .c a b ab C= + − 1. Cho tam giác ABC. Chứng minh các khẳng định sau a) Góc A nhọn khi và chỉ khi a 2 < b 2 + c 2 ; Hướng dẫn : A nhọn cos 0.A⇔ > b) Góc A tù khi và chỉ khi a 2 > b 2 + c 2 Hướng dẫn : A tù cos 0.A⇔ < c) Góc A vuông khi và chỉ khi a 2 = b 2 + c 2 . Hướng dẫn : A vuông cos 0.A⇔ = 2. a) Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 60 o . Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ, tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau 2 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? Đáp số : Xấp xỉ 36 hải lí. b) Các cạnh của tam giác ABC là a = 7, b = 24, c = 23. Tính góc A. Đáp số : 16 o 58’. • Định lý sin trong tam giác: 2 . sin sin sin a b c R A B C = = = 3. a) Cho tam giác ABC có góc A = 60 o , a = 6 . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác b) Cho tam giác ABC có a = 4, b = 5, c = 6. Chứng minh rằng sinA – 2sinB + sinC = 0. 4. a) Từ hai vị trí A, B của một toà nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi. Biết rằng độ cao AB = 70m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30 o , phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15 o 30’. Hỏi ngọn núi đó cao bao nhiêu mét so với mặt đất (độ dài đoạn thẳng CH trong hình 1)? Hướng dẫn: Sử dụng định lý sin trong tam giác ABC để tính AC sau đó sử dụng tỷ số lượng giác trong tam giác vuông ACH để tính CH. Đáp số: 135m. 5. Cho ba điểm A, B, C trong đó BC = a. Gọi I là trung điểm của BC, biết AI = m. Hãy tính AB 2 + AC 2 theo a và m. Hướng dẫn: Hãy viết ,AB AI IB AC AI IC= + = + uuur uur uur uuur uur uur rồi tính 2 2 .AB AC+ uuur uuur Đáp số: 2 2 2 2 2 . 2 a AB AC m+ = + . 6. Cho hai điểm phân biệt P, Q và PQ = a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MP 2 + MQ 2 = k 2 , trong đó k là số cho trước. Hướng dẫn: Gọi I là trung điểm của PQ và áp dụng bài trên. Đáp số: 2 2 2 . 2 4 k a MI = − 15 o 30’ A B C H 30 o 70 Hình 1 http://myschool.vn info@myschool.vn • Công thức đường trung tuyến: Cho tam giác ABC. Gọi m a , m b , m c là độ dài các đường trung tuyến lần lượt ứng với các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Khi đó: 2 2 2 2 , 2 4 a b c a m + = − 2 2 2 2 , 2 4 b a c b m + = − 2 2 2 2 . 2 4 c a b c m + = − 7. Tam giác ABC có a = 7, b = 8, c = 6. Tính độ dài các đường trung tuyến m a , m b , m c lần lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB của tam giác. 8. a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi 5m a 2 = m b 2 + m c 2 . b) Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương của hai đường chéo. 9. Biết hai lực cùng tác dụng vào một vật và tạo với nhau góc 40 o . Cường độ của hai lực đó là 3N và 4N. Tính cường độ của lực tổng hợp. 10. Hãy nêu tất cả các công thức tính diện tích tam giác và chứng minh các công thức đó. 11. Tính diện tích của tam giác ABC có ba cạnh AB = 13, BC = 14, CA = 15 theo các công thức khác nhau trong bài trên. 12. Gọi S là diện tích và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng S = 2R 2 .sinA.sinB.sinC. 13. Giải tam giác là gì? Hãy giải tam giác ABC trong các trường hợp sau a) a = 17,4; góc B = 44 o 30’; góc C = 64 o . Đáp số: góc A = 71 o 30’, b = 12,9, c = 16,5 b) a = 49,4; b = 26,4; góc C = 47 o 20’. Đáp số: c = 37; A = 101 o 2’; B = 31 o 38’. c) a = 24, b = 13, c = 15. Đáp số: A = 117 o 49’, B = 28 o 38’, C = 33 o 33’ 14. a) Đường dây cao thế nối thẳng từ vị trí A đến vị trí B dài 10 km, từ vị trí A đến vị trí C dài 8 km, góc tạo bởi hai đường dây trên là 75 0 . Tính khoảng cách từ vị trí B đến vị trí C. Đáp số: xấp xỉ 11km. b) Một người ngồi trên tàu hoả đi từ ga A đến ga B. Khi tàu đỗ ở ga A qua ống nhòm người đó nhìn thấy một tháp C. Hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng đi của tàu một góc 60 o . Khi tàu đỗ ở ga B người đó nhìn lại vẫn thấy tháp C, hướng nhìn từ người đó đến tháp ngược với hướng đi của tàu một góc 45 o . Biết rằng đoạn đường AB dài 8 km. Hỏi khoảng cách từ ga A đến tháp C là bao nhiêu?. Đáp số: 6km. 15. Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giácc ABC thoả mãn hệ thức: sinA = 2sinB.cosC thì ABC là tam giác cân. 16. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Chứng minh rằng bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, HBC, HCA, HAB bằng nhau 17. a) Tam giác ABC có a = 5, b = 4, c = 3. Lấy điểm D đối xứng với B qua C. Tính độ dài AD b) Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, BC = 5, BD = 7. Tính AC. 18. Tam giác ABC có b = 6,12, c = 5,35, góc A bằng 84 o . Tính diện tích tam giác đó. http://myschool.vn info@myschool.vn 19. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh rằng AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 + AC 2 + BD 2 + 4MN 2 . 20. Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bằng nửa tích hai đường chéo và sin của góc hợp bởi hai đường chéo đó. . Hướng dẫn : A vuông cos 0.A⇔ = 2. a) Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 60 o . Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ, tàu C chạy với. điểm A, B, C trong đó BC = a. Gọi I là trung điểm của BC, biết AI = m. Hãy tính AB 2 + AC 2 theo a và m. Hướng dẫn: Hãy viết ,AB AI IB AC AI IC= + = + uuur uur uur uuur uur uur rồi tính 2. minh các công thức đó. 11. Tính diện tích của tam giác ABC có ba cạnh AB = 13, BC = 14, CA = 15 theo các công thức khác nhau trong bài trên. 12. Gọi S là diện tích và R là bán kính đường tròn ngoại