Biên soạn: Tăng Văn Thi – ĐT: 0968 761460 CHƯƠNG II Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng Các kiến thức cần nhớ 1. Các tính chất thừa nhận Tính chất 1. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. Tính chất 2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Tính chất 3. Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó. Tính chất 4. Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Tính chất 5. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. Tính chất 6. Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng. 2. Cách xác định mặt phẳng Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết: Nó đi qua ba điểm không thẳng hàng; Nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó; Nó chứa hai đường thẳng cắt nhau. Bài tập áp dụng Tự luận 1. Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD. Gọi I và J tương ứng là hai điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD. a. Hãy xác định hai giao tuyến của hai mặt phẳng (IJM) và (ACD). b. Lấy N là điểm thuộc miền trong của tam giác ABD sao cho JN cắt đoạn AB tại L. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNJ) và (ABC). Trang 1 A. .C .B M . d d 1 d 2 mp(ABC) mp(M, d) mp(d 1 , d 2 ) Biên soạn: Tăng Văn Thi – ĐT: 0968 761460 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện không song song. Lấy điểm M thuộc miền trong của tam giác SCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: a. (SBM) và (SCD); b. (ABM) và (SCD); c. (ABM) và (SAC). 3. Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB và SC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K. Chứng minh rằng ba điểm I, J, K thẳng hàng. 4. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d. Trong (P) lấy hai điểm A và B sao cho AB cắt d tại I. O là một điểm nằm ngoài (P) và (Q) sao cho OA và OB lần lượt cắt (Q) tại A ’ và B ’ . a. Chứng minh ba điểm I, A ’ , B ’ thẳng hàng. b. Trong (P) lấy điểm C sao cho A, B, C không thẳng hàng. Giả sử OC cắt (Q) tại C ’ , BC cắt B ’ C ’ tại J, CA cắt C ’ A ’ tại K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng. 5. Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm AC, BC và G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (P) qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M, N. Một mặt phẳng (Q) qua BC cắt SD và SA lần lượt tại H và R. a. Gọi I là giao điểm của AM và DN, J là giao điểm của BH và ER. CMR bốn điểm S, I, J, G thẳng hàng. b. Giả sử K là giao điểm của AN và DM, L là giao điểm của BR và EH. CMR ba điểm S, K, L thẳng hàng. Trắc nghiệm 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? a. Hình tứ diện có bốn cạnh b. Nếu hai mặt phẳng có ba điểm chung phân biệt thì chúng trùng nhau c. Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại A; nếu M thuộc d thì M thuộc mặt phẳng (P) d. Hai mặt phẳng có ba điểm chung không thẳng hàng thì chúng trùng nhau. 2. Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh của tam giác ABC ? a. 4 b. 3 c. 2 d. 1 3. Cho tứ diện ABCD. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa bốn đỉnh của tứ diện ? a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 4. Cho hình chóp S.ABCD có AC cắt BD tại O. Mệnh đề nào sau đây là sai? a. SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD) Trang 2 Biên soạn: Tăng Văn Thi – ĐT: 0968 761460 b. SA là giao tuyến của (SOC) và (SAD) c. CD thuộc mặt phẳng (ABO) d. SO và AD cắt nhau. 5. Cho hình chóp S.ABCD với đáy là tứ giác ABCD. Thiết diện của mặt phẳng (P) tùy ý với hình chóp không thể là ? a. Lục giác b. Ngũ giác c. Tứ giác d.Tam giác 6. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Xét bốn mệnh đề . (1) mp( ABC) trùng với mp(ABD) (2) AC thuộc mp(BCD) (3) D không thuộc mp(ABC) (4) O thuộc mp(BCD) Kết luận nào sau đây là đúng ? a. Chỉ có (2) là đúng b. Chỉ có (3) là sai c. chỉ có (1) và (4) là đúng d. Bốn mệnh đề đều đúng 7. Cho tứ diện S.ABC, lấy M trên cạnh SB. Trong các mệnh đề sau thì mệnh đề nào đúng ? a. (SBC) cắt AM tại SA b. (SBC) cắt AM tại BC c. (SBC) cắt AM tại SM d. (SBC) cắt AM tại M 8. Cho hình chóp S.MNPQ đáy là tứ giác MNPQ có các cạnh đôi một không song song. Gọi O là giao điểm của MP và NQ, I là giao điểm MQ và NP. Giao tuyến của (SMP) và (SNQ) là: a. SP b. SN c. SO d. SI 9. Cho hình chóp S.MNPQ đáy là hình bình hành tâm O. Gọi I là trung điểm của SP. Giao điểm của MI và (SNQ) là a. Giao điểm của SN và MI b. Giao điểm của SQ và MI c. Giao điểm của SO và MI d. Giao điểm của NQ và MI 10. Cho tứ diện ABCD và ba điểm I, J, K lần lượt nằm trên ba cạnh AB, BC, CD mà không trùng với các đỉnh. Thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (IJK) là : a. Một tam giác b. Một tứ giác c. Một hình thang d. Một ngũ giác 11. Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất: a. Ba điểm b. Một điểm và một mặt phẳng c. Hai đường thẳng cắt nhau d. Bốn điểm 12. Cho hình bình hành ABCD. Lấy M trên cạnh DC kéo dài. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng. Trang 3 Biên soạn: Tăng Văn Thi – ĐT: 0968 761460 a. ( ) ABDM ∉ b. ( ) BCMAD ⊄ c. ( ) ABCAM ⊂ d. ( ) ( ) ABCACD ≠ 13. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua một đường thẳng và một điểm ở ngoài đường thẳng đó? a. Hai b. Một c. Không có d. vô số 14. Có ít nhất mấy điểm không cùng thuộc một mặt phẳng ? a. Một b. Hai c. Ba d. Bốn 15. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là mệnh đề sai? a. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau. b. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt. c. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng đó. d. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung và tất cả các điểm chung này nằm trên một đường thẳng. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song Các kiến thức cần nhớ 1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Hai đường thẳng trong không gian có bốn vị trí tương đối: Hai đường thẳng trùng nhau Hai đường thẳng song song ( hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung ) Hai đường thẳng cắt nhau Hai đường thẳng chéo nhau ( không có một mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng ) 2. Tính chất Định lí 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm ngoài đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Định lí 2: Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau. Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng ( nếu có ) cũng song song hoặc trùng với hai đường thẳng đó. Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. Bài tập áp dụng Trang 4 Biên soạn: Tăng Văn Thi – ĐT: 0968 761460 Tự luận 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R và S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC và BD. CMR tứ giác MNPQ là hình bình hành. Từ đó suy ra ba đoạn thẳng MN, PQ và RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn. 2. Cho tứ diện ABCD có I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. CMR IJ // CD 3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD. CMR: a. MQ // NP b. MP // AC c. Ba đường thẳng MP, NQ và SO đồng quy. 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AD // BC). Biết AD = a, BC = b. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng ( ADJ ) cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng ( BCI ) cắt SA, SD lần lượt tại P, Q. a. Chứng minh MN song song với PQ b. Giả sử AM cắt BP tại E; CQ cắt DN tại F. Chứng minh rằng EF song song với MN và PQ. Tính EF theo a và b. Trắc nghiệm 1. Xét các mệnh đề: ( 1 ) Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song hoặc chéo nhau. ( 2 ) Hai đường thẳng phân biệt song song hoặc cắt nhau thì đồng phẳng. Kết luận nào đúng ? a. ( 1 ) và ( 2 ) đều sai b. ( 1 ) đúng và ( 2 ) sai c. ( 1 ) sai và ( 2 ) đúng d. ( 1 ) và ( 2 ) đều đúng 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? a. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung b. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau c. Hai đường thẳng chéo nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng d. Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau. 3. Cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =∩+ =∩+ =∩+ c b a αγ γβ βα Thì ( a ), ( b ), ( c ) có thể. Trang 5 Biên soạn: Tăng Văn Thi – ĐT: 0968 761460 a. Song song b. Đồng quy c. Cả a, b đều đúng d. Cả a, b đều sai 4. Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Lấy M, N trên a và P, Q trên b. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ? a. MN và PQ đồng phẳng b. MNPQ là một tứ diện c. MN // PQ d. MP // NQ 5. Cho tứ diện SMNP. Lấy I, J trên SM và R, T trên NP. Mệnh đề nào sau đây là đúng ? a. MN và IR chéo nhau b. IT và RJ chéo nhau c. JT và SP chéo nhau d. Ba mệnh đề trên đều đúng 6. Cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =∩+ + ⊂+ ⊂+ d ba b a βα β α // thì ( d ) sẽ: a. Song song với ( a ), ( b ) b. Trùng với ( a ) hoặc ( b ) c. Cả a, b đều đúng d. Cả a, b đều sai 7. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng ? a. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng. b. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau thì cả ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng. c. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì cả ba đường thẳng đó đồng phẳng. d. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo nhau thì ba đường thẳng đó đồng phẳng. 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Lấy I thuộc SC, J thuộc SD. Sao cho 4 1 == SD SJ SC SI . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ? a. IJ // CD b. AI cắt BJ c. BJ và SA chéo nhau d. Ba mệnh đề trên đều đúng. 9. Cho hai mặt phẳng phân biệt ( ) ( ) βα và . Hai đường thẳng phân biệt a, b. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ? a. ( ) ( ) αα ⊄⊂ bvàa thì a và b chéo nhau b. ∅=∩ ba và a không song song b thì a và b chéo nhau. c. ( ) ( ) βα ⊂⊂ ba ; thì a và b chéo nhau Trang 6 Biên soạn: Tăng Văn Thi – ĐT: 0968 761460 b. a, b chéo nhau và ( ) ( ) αα ⊄⊂ bthìa 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAD ) và ( SBC ) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây ? a. AC b. BD c. AD d. SC 11. Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng có bao nhiêu vị trí tương đối? a. Một b. Hai c. Ba d. Bốn 12. Nếu ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng đôi một cắt nhau thì ba đường thẳng đó: a. Đồng quy b. Tạo thành một tam giác c. Trùng nhau d. Cùng song song với một mặt phẳng 13. Hai đường thẳng chéo nhau thì có bao nhiêu điểm chung? a. Không có b. Một c. Hai d. Vô số 14. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi BCADKCDABJBDACI ∩=∩=∩= ;; . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? a. ( ) ( ) SISBDSAC =∩ b. ( ) ( ) SJSCDSAB =∩ c. ( ) ( ) SKSBCSAD =∩ d. ( ) ( ) ABSADSAC =∩ 15. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là mệnh đề đúng? a. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì đồng quy b. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì đồng phẳng c. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không đồng phẳng thì đồng quy d. Ba đường thẳng đồng quy thì đồng phẳng. Đường thẳng và mặt phẳng song song Kiến thức cần nhớ 1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Có ba trường hợp: Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng ( ) ( ) αα ⊂a: Đường thẳng a cắt mặt phẳng ( ) α tại A: ( ) Aa =∩ α Đường thẳng a song song mặt phẳng ( ) ( ) αα //: a 2. Tính chất Trang 7 Biên soạn: Tăng Văn Thi – ĐT: 0968 761460 Định lí 1: Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng ( ) α và d song song với d ’ nằm trong ( ) α thì d song song với ( ) α . Định lí 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( ) α . Nếu mặt phẳng ( ) β chứa a và cắt ( ) α theo giao tuyến b thì b song song với a. Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng ( nếu có ) cũng song song với đường thẳng đó. Định lí 3: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. Bài tập áp dụng Tự luận 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G 1 và G 2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. CMR G 1 G 2 song song với các mặt phẳng ( ABC ) và ( ABD ). 2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Gọi O là giao điểm của AC và BD, O ’ là giao điểm của AE và BF. a. CMR OO ’ song song với hai mặt phẳng ( ADF ) và ( BCE ). b. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE. CMR MN // ( CEF ). 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và I là trung điểm của AB. Lấy M trên đoạn AD sao cho AD = 3AM. a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAD ) và ( SBC ). b. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N. CMR NG // ( SCD ) c. CMR MG // ( SCD ) 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, đáy lớn là AD và AD = 2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD. a. CMR OG // ( SBC ) b. Cho M là trung điểm của SD. CMR CM // ( SAB ). c. Giả sử điểm I nằm trong đoạn SC sao cho SISC 2 3 = . CMR SA // ( BID ). 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng ( ) α với hình chóp S.ABCD nếu ( ) α qua M và đồng thời song song với SC và AD. Trắc nghiệm 1. Khi một đường thẳng (d) song song với một mặt phẳng ( P ) thì kết luận nào đúng? a. ( d ) song song với mọi đường trong ( P ) Trang 8 Biên soạn: Tăng Văn Thi – ĐT: 0968 761460 b. ( d ) và ( P ) không có điểm chung c. Mặt phẳng nào chứa ( d ) đều song song ( P ) d. Tất cả đều đúng. 2. Cho đường thẳng a và mặt phẳng ( ) α . Mệnh đề nào sau đây là đúng? a. Nếu a // ( ) α và đường thẳng b // ( ) α thì a // b b. Nếu a // ( ) α và đường thẳng b // a thì b // ( ) α c. Có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( ) α và b // a d. Nếu a // ( ) α và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng ( ) α thì ∅=∩ ab 3. Cho hai đường thẳng song song a, b. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? a. Nếu mặt phẳng ( ) α cắt a thì cũng cắt b b. Nếu mặt phẳng ( ) α song song vớI a thì cũng song song vớI b c. Nếu mặt phẳng ( ) α song song với a thì mặt phẳng ( ) α song song với b hoặc chứa b d. Nếu mặt phẳng ( ) α chứa đường thẳng a thì cũng có thể chứa đường thẳng b. 4. Cho a, b là các đường thẳng và ( P ), ( Q ) là các mặt phẳng, mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau đây ? a. a // b và a // ( P ) ⇒ b // ( P ) b. a // b và b ⊂ ( P ) ⇒ a // ( P ) c. a // ( P ) và ( Q ) // ( P ) ⇒ a // ( Q ) d. Ba mệnh đề trên đều sai. 5. Cho hình chóp S.ABCD, có ABCD là hình bình hành. Gọi M, N là trung điểm của SA và SD. Đường thẳng MN song song với mặt phẳng nào ? a. ( ABCD ) b. ( SBD ) c. ( SAD ) d. Cả ba đều đúng. 6. Trang 9 . trên đều đúng 6. Cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =∩+ + ⊂+ ⊂+ d ba b a βα β α // thì ( d ) sẽ: a. Song song với ( a ), ( b ) b. Trùng với ( a ) hoặc ( b ) c. Cả a, b đều đúng. phẳng d. Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau. 3. Cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =∩+ =∩+ =∩+ c b a αγ γβ βα Thì ( a ), ( b ), ( c ) có thể. Trang 5 Biên soạn: Tăng. song song hoặc chéo nhau. ( 2 ) Hai đường thẳng phân biệt song song hoặc cắt nhau thì đồng phẳng. Kết luận nào đúng ? a. ( 1 ) và ( 2 ) đều sai b. ( 1 ) đúng và ( 2 ) sai c. ( 1 ) sai và ( 2