tai lieu on tap chuong 2 cuc hot

Chương II – Tổ hợp và xác suất Biên soạn : Tăng Văn Thi CHƯƠNG II TỔ HỢP – XÁC SUẤT Bài 1. Quy tắc đếm 1. Quy tắc cộng Giả sử 1 công việc có thể tiến hành theo 1 trong k phương án k AAA , ,, 21 . • Phương án 1 A có thể thực hiện theo 1 n cách • Phương án 2 A có thể thực hiện theo 2 n cách • Phương án k A có thể thực hiện theo k n cách Khi đó công việc có thể thực hiện theo n 1 + n 2 + +n k cách Ví dụ 1. Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu sự lựa chọn ( về màu và cỡ áo ) ? 2. Quy tắc nhân Nếu 1 công việc phải trải qua k giai đoạn, trong đó: • Giai đoạn 1 có 1 n cách thực hiện • Giai đoạn 2 có 2 n cách thực hiện • Giai đoạn k có k n cách thực hiện Suy ra có k nnn 21 cách thực hiện công việc ấy. Ví dụ 2. Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các đường như hình dưới đây. Hỏi: a. Có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần ? b. Có bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi quay lại A ? Trang 1 A B C D Chương II – Tổ hợp và xác suất Biên soạn : Tăng Văn Thi Ví dụ 3. Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay ( vuông, tròn, elip ) và bón kiểu dây ( kim loại, da, vải và nhựa ). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây ? Bài tập thực hành 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn ? 2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm: a. Một chữ số ? b. Hai chữ số ? c. Hai chữ số khác nhau ? 3. Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên a. Có 4 chữ số ( không nhất thiết khác nhau ) ? b. Có 4 chữ số khác nhau ? 4. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100 ? 5. Trong một trường, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. a. Nhà trường cần chọn một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. b. Nhà trường cần chọn hai học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự trại hè, có bao nhiêu cách chọn. Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp 1. Hoán vị Một hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó. Số hoán vị của n phần tử là: nnP n 2.1! == Ví dụ 1. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau ? Ví dụ 2. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 người khách vào 10 ghế kê thành một dãy ? Trang 2 Chương II – Tổ hợp và xác suất Biên soạn : Tăng Văn Thi Ví dụ 3. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 người vào một bàn tròn có 10 ghế ? 2. Chỉnh hợp Cho một tập hợp A có n phần tử Một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó là một cách sắp xếp k phần tử của tập hợp A theo một thứ tự nhất định ( ) nk ≤<0 . Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là: ( ) ! ! kn n A k n − = Chú ý:  Quy ước 1!0 =  n nn AP = Ví dụ 4. Giả sử có 8 vận động viên tham gia chạy thi. Nếu không kể trường hợp có hai vận động viên về đích cùng một lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí thứ nhất, thứ nhì và thứ ba ? Ví dụ 5. Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau ? 3. Tổ hợp Cho một tập hợp A có n phần tử Một tổ hợp chập k của n phần tử đó là một tập hợp con của A có k phần tử ( ) nk ≤≤0 Số tổ hợp chập k của n phần tử là: ( ) !! ! knk n C k n − = Một số công thức về tổ hợp • ( ) nkCC kn n k n ≤≤= − 0 • ( ) nkCCC k n k n k n ≤≤=+ + − 0 1 1 • n k n k n PCA .= Ví dụ 6. Trong mặt phẳng, cho 6 điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập hợp điểm đã cho ? Trang 3 Chương II – Tổ hợp và xác suất Biên soạn : Tăng Văn Thi Ví dụ 7. Trong một Ban Chấp hành Đoàn gồm 7 người cần chọn 3 người vào Ban Thường vụ. a. Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong Ban Thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn ? b. Nếu cần chọn 3 người vào Ban Thường vụ với các chức vụ: Bí thư, Phó bí thư, Ủy viên Thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn ? Ví dụ 8. Một tổ có 8 em nam và 2 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong tổ tham dự cuộc thi thanh lịch của trường. Yêu cầu trong các em được chọn, phải có ít nhất một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Bài tập thực hành 1. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau. Hỏi: a. Có tất cả bao nhiêu số ? b. Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ ? c. Có bao nhiêu số bé hơn 432000 ? 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số chia hết cho 5 ? 3. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu chữ số chẵn có ba chữ số khác nhau ? 4. Giả sử có 7 bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 3 lọ đã cho ( mỗi lọ cắm 1 bông ) ? Trang 4 Chương II – Tổ hợp và xác suất Biên soạn : Tăng Văn Thi 5. Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau ( mỗi lọ cắm không quá một bông ) nếu : a. Các bông khác nhau ? b. Các bông như nhau ? 6. Có 5 tem thư khác nhau và có 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư và 3 bì thư, mỗi bì thư dán một tem thư ? 7. Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu. Mỗi câu có 4 phương án trả lời. Hỏi bài thi đó có bao nhiêu phương án trả lời ? 8. Xét mạng đường nối các tỉnh A, B, C, D, E, F, G trong đó số viết trên một cạnh cho biết số con đường nối hai tỉnh nằm ở hai đầu mút của cạnh. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh G ? 9. Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau. a. Nếu kết quả cuộc thi là việc chọn ra 4 người điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra ? b. Nếu kết quả cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể ? 10. Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có bốn giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi: a. Có bao nhiêu kết quả có thể ? b. Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng người giữ vé số 47 được giải nhất ? c. Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải? Trang 5 2 2 2 2 5 4 3 3 A B C F E D G Chương II – Tổ hợp và xác suất Biên soạn : Tăng Văn Thi 11. Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham gia đồng diễn thể dục. Trong 5 em được chọn, yêu cầu không có quá một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? 12. Nhóm 45 học sinh, trong đó có 15 nữ. Có bao nhiêu cách lập tốp ca 6 học sinh mà có ít nhất 2 nữ ? 13. Một tổ học sinh có 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. a. Có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau? b. Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có học sinh nào cùng giới đứng kề nhau? ( ĐH Đà Nẵng – 2000 ) 14. Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. a. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ? b. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ? ( ĐH Cần Thơ – 2000 ) 15. Một tổ sinh viên có 20 em, trong đó 8 em chỉ biết nói tiếng Anh, 7 em chỉ biết nói tiếng Pháp, 5 em chỉ biết nói tiếng Đức. Cần lập một nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp, 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm? ( ĐH Sư Phạm Vinh – Khối D – 1999 ) Bài 3. Nhị thức Niu – Tơn 1. Công thức nhị thức Niu – Tơn ( ) ∑ = −−− =+++++=+ n k kknk n nn n kknk n n n n n n baCbCbaCbaCaCba 0 110  Khai triển ( ) n ba + được 1+n số hạng Số hạng tổng quát của khai triển là: ( ) nkbaCT kknk nk ,,2,1,0 1 == − + 2. Tam giác Pa – xcan 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Trang 6 Chương II – Tổ hợp và xác suất Biên soạn : Tăng Văn Thi 1 6 15 20 15 6 1 Nhận xét Các số ở hàng thứ n trong tam giác Pa – xcan là dãy gồm n + 1 số n n n nnn CCCC ,, ,, 110 − Ví dụ 1. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu – Tơn các biểu thức sau: a. ( ) 5 2ba + b. ( ) 6 2−a c. 13 1       − x x Ví dụ 2. Tìm hệ số của 3 x trong khai triển biểu thức 6 2 2       + x x Bài tập thực hành 1. Tìm hệ số của 99101 yx trong khai triển ( ) 200 32 yx − 2. Tìm hệ số của 85 yx trong khai triển ( ) 13 yx + 3. Tìm hệ số của 7 x trong khai triển ( ) 11 1 x+ 4. Tìm hệ số của 9 x trong khai triển ( ) 19 2 x− 5. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 8 3 1       + x x 6. Khai triển ( ) 10 13 +x cho tới 3 x 7. Tìm hệ số của 7 x trong khai triển ( ) 15 23 x− 8. Tìm hệ số của 1025 yx trong khai triển của ( ) 15 3 xyx + 9. Biết rằng hệ số của 2−n x trong khai triển n x       − 4 1 bằng 31. Tìm n. Trang 7 Chương II – Tổ hợp và xác suất Biên soạn : Tăng Văn Thi 10. Từ khai triển biểu thức ( ) 17 43 −x thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được. 11.Chứng minh rằng : a. 111 10 − chia hết cho 100 b. 1101 100 − chia hết cho 10000 c. ( ) ( ) [ ] 100100 10110110 −−+ là một số nguyên. Bài 4. Biến cố và xác suất của biến cố 1. Phép thử và không gian mẫu a. Phép thử ( T ): là một thí nghiệm hay một hành động mà: • Kết quả của nó không đoán trước được • Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó. b. Không gian mẫu ( Ω ): Là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử. Ví dụ 1. Không gian mẫu của phép thử “Gieo một con súc sắc” là tập hợp : Ω = 2. Biến cố a. Định nghĩa:  Biến cố là một tập con của không gian mẫu  Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T  Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A. Tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là A Ω . Ví dụ 2. Đối với phép thử là “Gieo một con súc sắc” . Xét sự kiện A: “Xuất hiện số chấm lẻ” thì khi đó A được gọi là một biến cố. b. Các loại biến cố  Biến cố chắc chắn: là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T. Biến cố chắc chắn được mô tả bởi tập Ω .  Biến cố không thể: là biến cố không bao giờ xảy ra khi phép thử T được thực hiện. Biến cố không thể được mô tả bởi tập ∅ .  Biến cố tổng ( hợp ): Sự kiện C được gọi là tổng của hai sự kiện A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra. Kí hiệu BACBAC ∪=+= , Trang 8 Chương II – Tổ hợp và xác suất Biên soạn : Tăng Văn Thi  Biến cố tích ( giao ): Sự kiện C được gọi là tích của hai sự kiện A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khi đồng thời A xảy ra và B xảy ra. Kí hiệu BACBAC ∩== ,.  Biến cố xung khắc: Hai sự kiện A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu A xảy ra thì B không xảy ra và B xảy ra thì A không xảy ra. Kí hiệu ∅=∩∅= BABA ,.  Biến cố đối: Biến cố B được gọi là đối lập với sự kiện A nếu A xảy ra thì B không xảy, A không xảy ra thì B xảy ra. Kí hiệu AB = ( hoặc A\Ω được gọi là biến cố đối của biến cố A )  Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia. Ví dụ 3. Gieo một đồng tiền ba lần. a. Mô tả không gian mẫu b. Xác định các biến cố: A: “Lần đầu xuất hiện mặt sấp”; B: “Mặt sấp xảy ra đúng một lần”; C: “Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần”. Ví dụ 4. Từ một hộp chứa 10 cái thẻ, trong đó các thẻ đánh số 1, 2, 3, 4, 5 màu đỏ, thẻ đánh số 6 màu xanh và các thẻ đánh số 7, 8, 9, 10 màu trắng. Lấy ngẫu nhiên một thẻ. a. Mô tả không gian mẫu b. Kí hiệu A, B, C là các biến cố sau: A: “Lấy được thẻ màu đỏ”; B: “Lấy được thẻ màu trắng”; C: “Lấy được thẻ ghi số chẵn”. Bài tập thực hành Trang 9 Chương II – Tổ hợp và xác suất Biên soạn : Tăng Văn Thi 1. Gieo một con súc sắc hai lần. a. Mô tả không gian mẫu b. Phát biểu các biến cố sau dưới dạng mệnh đề: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 6,6,5,6,4,6,3,6,2,6,1,6=A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 4,4,3,5,5,3,2,6,6,2=B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1=C 2. Một hộp chứa bốn cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. a. Mô tả không gian mẫu b. Xác định các biến cố sau: A: “Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn” B: “Tích các số trên hai thẻ là số chẵn” 3. Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Kí hiệu k A là biến cố: “người thứ k bắn trúng”, k = 1, 2. a. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua biến cố 21 , AA : A: “Không ai bắn trúng” B: “Cả hai đều bắn trúng” C: “Có đúng một người bắn trúng” D: “Có ít nhất một người bắn trúng” b. Chứng tỏ rằng DA = ; B và C xung khắc. 4. Gieo một đồng tiền liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp hoặc cả bốn lần ngửa thì dừng lại. a. Mô tả không gian mẫu b. Xác định các biến cố: A: “Số lần gieo không vượt quá ba” B: “Số lần gieo là bốn” 5. Từ một hộp chứa năm quả cầu được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi lần một quả và xếp theo thứ tự từ trái sang phải. a. Mô tả không gian mẫu b. Xác định biến cố sau: A: “Chữ số sau lớn hơn chữ số trước”; B: “Chữ số trước gấp đôi chữ số sau”; Trang 10 [...]... ) 2 k k k b C14 + C14 +2 = 2C14+1 ( CĐ Sư Phạm TPHCM – 1999 ) 23 .Giải phương trình sau: 2 3 a C 1 + 6C x + 6C x = 9 x 2 − 14 x ( ĐH Ngoại ngữ Hà Nội – 1998 ) ) x ( ) 2 2 b Px Ax + 72 = 6 Ax + 2 Px ( ĐH Quốc Gia Hà Nội ) 4 An 24 = c ( ĐH An Ninh – 1998 ) 3 n−4 23 An+1 − Cn n−1 n 24 Giải bất phương trình Cn +2 + Cn+ 2 > 5 2 An ( Tốt nghiệp THPT 20 05 ) 2 25.Giải các phương trình: a 2 Ax C xx−1 = 48 c 1 1... Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm Xét phương trình x 2 + bx + 2 = 0 Tính xác suất sao cho: a Phương trình có nghiệm; b Phương trình vô nghiệm; c Phương trình có nghiệm nguyên 6 Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc bốn con Tính xác suất sao cho: a Cả bốn con đều là át; b Được ít nhất một con át; c Được hai con át và hai con K 7 Hai... tính E ( X ) 4 Phương sai và độ lệch chuẩn a Phương sai V ( X ) n V ( X ) = ( x1 − µ ) p1 + ( x2 − µ ) p2 +  + ( xn − µ ) pn = ∑ ( xi − µ ) pi 2 2 2 2 i =1 n 2 Hoặc V ( X ) = ∑ xi pi − µ 2 i =1 Trong đó: pi = P( X = xi ) , với i = 1, 2, , n và µ = E ( X ) Ý nghĩa: Phương sai là một số không âm Nó thể hiện mức độ phân tán các giá trị của X xung quanh giá trị trung... E ( X ) 20 Một nhóm có 7 người, trong đó có 4 nam và 3 nữ Chọn ngẫu nhiên 3 người Gọi X là số nữ trong 3 người được chọn a Lập bảng phân bố xác suất của X b Tính E ( X ) và V ( X ) ( tính chính xác đến hàng phần trăm ) 21 Tìm số tự nhiên n: 5 ( n + 1) ! n! − = 5( n − 2 ) n + 1 ( n − 3) !4 ! 24 ( n − 3)( n − 4 ) ! 22 .Giải các phương trình: 2 3 a C 1 + C x + C x = x 7 x ( CĐ Hải Quan – 1998 ) 2 k k k... 2 Các quy tắc tính xác suất a Quy tắc cộng • Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì: P( A ∪ B ) = P ( A) + P( B ) • Nếu A1 , A2 ,  , Ak là các biến cố đôi một xung P( A1 ∪ A2 ∪  ∪ Ak ) = P( A1 ) + P( A2 ) +  + P( Ak ) Ví dụ 6 Rút ngẫu nhiên 13 con bài từ bộ bài 52 con Tính xác suất các sự kiện sau: A: Rút được 4 con bài số 9 B: Rút được ít nhất 1 con bài số 9 C: Không rút được con bài số... Tính xác suất sao cho: a Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn; b Tích các số chấm trên hai con súc sắc là số lẻ 14 Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 quân bài Tính xác suất để trong 5 quân bài này có quân rô 2, quân bích 3, quân 6 cơ, quân 10 nhép và quân K cơ 15 Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 quân bài Tính xác suất để trong 5 quân bài này có ít nhất... x2 p2 xn pn Trang 15 Chương II – Tổ hợp và xác suất Biên soạn : Tăng Văn Thi Trong đó : P( X = xk ) = pk , với k = 1, 2, , n p1 + p2 +  + pn = 1 Ví dụ 2 Chọn ngẫu nhiên một gia đình trong số các gia đình có ba con Gọi X là số con trai trong gia đình đó Hãy lập bảng phân bố xác suất của X ( giả thiết rằng xác suất sinh con trai là 0,5 ) ... xác suất để trong hai thẻ rút ra có ít nhất một thẻ đánh số 12 21 Cho hai biến cố A và B với P( A) = 0,3 ; P( B ) = 0,4 và P( AB ) = 0 ,2 Hỏi hai biến cố A và B có: a Xung khắc hay không ? b Độc lập với nhau hay không ? 22 Trong một trò chơi điện tử, xác suất để game thỉ thắng trong một trận là 0,4 ( không có hòa ) Hỏi phải chơi tối thiểu bao nhiêu trận để xác suất thắng ít nhất một trận trong loạt chơi... quả cầu Tính xác suất để trong bốn quả cầu đó có cả 2 màu 14 Chiếc kim của bánh xe trong trò chơi “Chiếc nón kì diệu” có thể dừng lại ở 1 trong 7 vị trí với khả năng như nhau Tính xác suất để trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe đó dừng lại ở ba vị trí khác nhau 15 Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối Tính xác suất để số chấm xuất hiện trên hai con súc sắc hơn kém nhau 2 16 Gieo ba đồng xu cân... gọi đến một tổng đài trong khoảng thời gian 1 phút vào buổi trưa ( từ 12 giờ đến 13 giờ ) là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất sau: X P 0 0,3 1 0 ,2 2 0,15 3 0,15 4 0,1 5 0,1 Tính xác suất để trong khoảng thời gian từ 12 giờ 30 phút đến 12 giờ 31 phút có nhiều hơn 1 cuộc gọi Tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X ( tính chính xác đến hàng phần trăm ) 2 Tính kì vọng, phương . ( ) ( ) ( ) ∑ = −=−++−+−= n i iinn pxpxpxpxXV 1 22 2 2 21 2 1 µµµµ  Hoặc ( ) ∑ = −= n i ii pxXV 1 2 2 µ Trong đó: ( ) ii xXPp == , với ni , ,2, 1= và ( ) XE= µ Ý nghĩa: Phương sai là một. dụ 2. Tìm hệ số của 3 x trong khai triển biểu thức 6 2 2       + x x Bài tập thực hành 1. Tìm hệ số của 99101 yx trong khai triển ( ) 20 0 32 yx − 2. Tìm hệ số của 85 yx trong. +++=∪∪∪  21 21 Ví dụ 6. Rút ngẫu nhiên 13 con bài từ bộ bài 52 con. Tính xác suất các sự kiện sau: A: Rút được 4 con bài số 9. B: Rút được ít nhất 1 con bài số 9. C: Không rút được con bài số