Phương trình đường thẳng trong không gian

Phương trình đường thẳng trong không gian 91 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN: 1. Véctơ ( ) 1 2 3 ; ; a a a a =  là véc tơ chỉ phương (VTCP) của ( ∆ ) ⇔ ( ∆ ) // giá của a  2. Nhận xét: Nếu a  là một VTCP của ( ∆ ) thì ka  ( k ≠ 0) cũng là VTCP của ( ∆ ) tức là ( ∆ ) có vô số VTCP. II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Phương trình tham số: Phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) và có VTCP ( ) 1 2 3 ; ; a a a a =  : ( ) 0 1 0 2 0 3 x x a t y y a t t z z a t = +    = + ∈   = +   » 2. Phương trình chính tắc: Phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) và có VTCP ( ) 1 2 3 ; ; a a a a =  : 0 0 0 1 2 3 x x y y z z a a a − − − = = 3. Phương trình tổng quát: Phương trình đường thẳng ( ∆ ) tổng quát là giao tuyến của hai mặt phẳng 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 A x B y C z D A x B y C z D + + + =    + + + =   với 1 1 1 2 2 2 : : : : A B C A B C ≠ 4. Phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua 2 điểm M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ), M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ): 1 1 1 2 1 2 1 2 1 x x y y z z x x y y z z − − − = = − − − 5. Chuyển dạng phương trình tổng quát sang dạng tham số, chính tắc: Cho ( ∆ ): ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 : 0 : 0 A x B y C z D A x B y C z D  α + + + =   β + + + =   ( 1 1 1 2 2 2 : : : : A B C A B C ≠ ) ⇒ VTPT của hai mặt phẳng là ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 , , , , n A B C n A B C  =   =     ⇒ VTCP 1 2 , a n n =        Tìm điểm M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ ( α ) ∩ ( β ) ⇒ 0 0 0 1 2 3 x x y y z z a a a − − − = = . Đặt tỉ số này bằng t suy ra dạng tham số. Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 92 III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng : Cho ( ∆ 1 ) đi qua M 1 ( x 1 ; y 1 , z 1 ) với VTCP ( ) 1 2 3 , , u a a a =  , ( ∆ 2 ) đi qua M 2 ( x 2 ; y 2 , z 2 ) với VTCP là ( ) 1 2 3 , , v b b b =   Nếu [ ] 1 2 , 0 u v M M ⋅ ≠    thì ( ) ( ) 1 2 , ∆ ∆ chéo nhau.  Nếu [ ] 1 2 , 0 u v M M ⋅ =    và 1 2 3 1 2 3 : : : : a a a b b b ≠ thì ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) cắt nhau.  Nếu [ ] 1 2 1 2 3 1 2 3 , 0 : : : : u v M M a a a b b b  ⋅ =    =     và hệ phương trình của ( ) ( ) 1 2  ∆   ∆   vô nghiệm thì ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) song song nhau.  Nếu [ ] 1 2 1 2 3 1 2 3 , 0 : : : : u v M M a a a b b b  ⋅ =    =     và hệ phương trình của ( ) ( ) 1 2  ∆   ∆   có nghiệm thì ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) trùng nhau. 2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng: Cho ( ∆ ) đi qua M 0 ( x 0 ; y 0 , z 0 ) với VTCP ( ) , , u a b c =  và mp( α ): 0 Ax By Cz D + + + = với VTPT ( ) , , n A B C =   Nếu 0 n u ⋅ ≠   0 Aa Bb Cc ⇔ + + ≠ thì ( ∆ ) cắt ( α ).  Nếu // n u   : : : : a b c A B C ⇔ = thì ( ∆ ) ⊥ ( α ).  Nếu ( ) 0 0 n u M ⋅ =    ∉ α     ⇔ 0 0 0 0 0 Aa Bb Cc Ax By Cz D + + =    + + + ≠   thì ( ∆ ) // ( α ).  Nếu ( ) 0 0 n u M ⋅ =    ∈ α     ⇔ 0 0 0 0 0 Aa Bb Cc Ax By Cz D + + =    + + + =   thì ( ∆ ) ⊂ ( α ). Phương trình đường thẳng trong không gian 93 IV. GÓC GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Góc giữa 2 đường thẳng: Cho ( ∆ 1 ) đi qua M 1 ( x 1 ; y 1 , z 1 ) với VTCP ( ) 1 2 3 , , u a a a =  , ( ∆ 2 ) đi qua M 2 ( x 2 ; y 2 , z 2 ) với VTCP là ( ) 1 2 3 , , v b b b =  Góc giữa ( ) ( ) ( ) [ ] 1 2 , 0,90 ∆ ∆ = ϕ∈ ° xác định bởi: 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 cos a b a b a b u v u v a a a b b b + + ⋅ ϕ = = ⋅ + + + +     2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho ( ∆ ) đi qua M 0 ( x 0 ; y 0 , z 0 ) với VTCP ( ) , , u a b c =  và mp( α ): 0 Ax By Cz D + + + = với VTPT ( ) , , n A B C =  Góc giữa ( ) ( ) ( ) [ ] , 0,90 ∆ α = ϕ∈ ° xác định bởi: 2 2 2 2 2 2 sin u n aA bB cC u n a b c A B C ⋅ + + ϕ = = ⋅ + + + +     3. Góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa 2 mặt phẳng ( α 1 ): 1 1 1 1 0 A x B y C z D + + + = và ( α 2 ): 2 2 2 2 0 A x B y C z D + + + = là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90 ° ) thỏa mãn: 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 . cos n n A A B B C C n n A B C A B C + + ϕ = = + + + +     với 1 2 , n n   là 2 VTPT của ( α 1 ), ( α 2 ). V. KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng: Cho ( ∆ ) đi qua M 0 ( x 0 ; y 0 , z 0 ) với VTCP ( ) , , u a b c =  . Khoảng cách từ điểm M 1 ( x 1 ; y 1 , z 1 ) đến đường thẳng ( ∆ ) là: ( ) ( ) 0 1 1 , u M M d M u   ⋅   ∆ =    2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: Cho ( ∆ 1 ) đi qua M 1 ( x 1 ; y 1 , z 1 ) với VTCP ( ) 1 2 3 , , u a a a =  , ( ∆ 2 ) đi qua M 2 ( x 2 ; y 2 , z 2 ) với VTCP là ( ) 1 2 3 , , v b b b =  Giả sử ( ) ( ) 1 2 , ∆ ∆ chéo nhau, khi đó ( ) [ ] [ ] 1 2 1 2 , ( ),( ) , u v M M d u v ⋅ ∆ ∆ =      Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 94 3. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) đến mặt phẳng ( α ): 0 Ax By Cz D + + + = là: ( ) 0 0 0 2 2 2 , Ax By Cz D d M A B C + + + α = + + VI. CÁC DẠNG BÀI TẬP 1. Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp: Giải hệ PT tạo bởi ( ) ( ) 1 2  ∆   ∆   ; ( ) ( )  ∆   α   hoặc sử dụng dấu hiệu nhận biết qua hệ thức của các véctơ Bài 1. Xét vị trí tương đối bằng 2 cách khác nhau: ( ) ( ) 1 2 9 2 3 3 9 0 : 5 : 2 3 0 3 x t x y z y t x y z z t =   − − − =    ∆ = ∆   − + + =    = − +   ; ( ) ( ) 1 2 2 3 0 2 8 0 : : 2 3 0 8 0 x y y z x y x z − + = + − =     ∆ ∆   + = + − =     Bài 2. Xác định giao điểm của đường thẳng ( ) ( ) 1 2 : 1 1 x t y t t z t = +    ∆ = − ∈   = +   » với mặt phẳng ( ) : 2 2 0 x y z α + − − = Bài 3. Xác định giao điểm của đường thẳng ( ) 2 0 : 2 1 0 x y z x y z + + − =   ∆  + − − =   với mặt phẳng ( ) : 2 1 0 x y z α + + − = Bài 4. Cho 3 đường thẳng: ( ) ( ) ( ) 1 2 3 3 3 3 0 2 1 2 : 1 , : , : 1 4 3 2 1 0 5 x t x y z y x z y t x y z z t =  − + − =  +   − − ∆ = − ∆ = = ∆   − + + =    = +  a. Xét vị trí tương đối của các cặp 2 đường thẳng với nhau. b. Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) song song với ( ∆ 1 ), cắt ( ∆ 2 ) và ( ∆ 3 ) Phương trình đường thẳng trong không gian 95 2. Dạng 2: Xác định hình chiếu vuông góc của 1 điểm M lên mặt phẳng ( α αα α ) Phương pháp: Viết phương trình tham số của đường thẳng ( ∆ ) qua M và ( ∆ ) ⊥ ( α ) Giao điểm H của ( ∆ ) và ( α ) là hình chiếu vuông góc của M lên ( α ) Bài 1. Tìm hình chiếu vuông góc của M(1; 2; − 3) lên ( ) : 3 5 0 x y z α + − + = 3. Dạng 3: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua mặt phẳng ( α αα α ) Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên ( α ). Giả sử M(x 1 , y 1 , z 1 ), H(x 0 , y 0 , z 0 ), khi đó điểm M’ đối xứng M qua ( α ) là ( ) 0 1 0 1 0 1 2 , 2 ,2 M x x y y z z ′ − − − Bài 1. Xác định điểm đối xứng với điểm M(13; 2; 3) qua mặt phẳng ( α ): x + y – 3 z + 5 = 0 4. Dạng 4: Xác định hình chiếu vuông góc của 1 điểm M lên đường thẳng ( ∆ ∆∆ ∆ ) Phương pháp 1: Viết PT mặt phẳng ( α ) qua M và ( α ) ⊥ ( ∆ ). Giao điểm H của ( ∆ ) và ( α ) là hình chiếu vuông góc của M lên ( ∆ ) Phương pháp 2: Viết PT tham số của ( ∆ ) ⇒ Tọa độ H theo tham số t. MH u ⊥   là véctơ chỉ phương của ( ∆ ). GPT 0 MH u ⋅ =   ⇒ tham số t ⇒ Tọa độ H Bài 1. Xác định hình chiếu vuông góc của M( − 1; − 1; 1) lên đường thẳng ( ∆ ): { } 1 ; 2 ; 3 3 x t y t z t = + = + = − − 5. Dạng 5: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua đường thẳng ( ∆ ∆∆ ∆ ) Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên ( ∆ ) Giả sử M(x 1 , y 1 , z 1 ), H(x 0 , y 0 , z 0 ), khi đó điểm M’ đối xứng M qua ( ∆ ) là ( ) 0 1 0 1 0 1 2 , 2 ,2 M x x y y z z ′ − − − Bài 1. Xác định điểm đối xứng với điểm M(0; 2; − 1) lên đường thẳng ( ∆ ): { } 1 ; 2 ; 3 3 x t y t z t = + = + = − 6. Dạng 6: Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng ( ∆ ∆∆ ∆ ) lên mặt phẳng ( α αα α ) Phương pháp: TH1: ( ∆ ) ⊥ ( α ) ⇒ Hình chiếu vuông góc của ( ∆ ) lên ( α ) là điểm H ≡ ( ∆ ) ∩ ( α ) Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 96 TH2: ( ∆ ) ⊂ ( α ) ⇒ Hình chiếu vuông góc của ( ∆ ) lên ( α ) là đường thẳng ( ∆ ) TH3: ( ∆ ) không vuông góc với ( α ), ( ∆ ) ⊄ ( α ): C1: Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa ( ∆ ) và ( β ) ⊥ ( α ). Hình chiếu vuông góc của ( ∆ ) lên ( α ) là đường thẳng ( ∆ ’) = ( β ) ∩ ( α ). C2: Lấy 2 điểm A, B phân biệt thuộc ( ∆ ). Xác định hình chiếu vuông góc của A, B lên ( α ) là H 1 , H 2 . Hình chiếu vuông góc của ( ∆ ) lên ( α ) là đường thẳng ( ∆ ’) ≡ H 1 H 2 C3: Nếu ( ∆ ) cắt ( α ): Xác định A ≡ ( ∆ ) ∩ ( α ). Lấy M bất kì ∉ ( ∆ ) và M ≠ A. Xác định hình chiếu vuông góc H của M lên ( α ). Hình chiếu vuông góc của ( ∆ ) lên ( α ) là ( ∆ ’) ≡ AH Bài 1. Xác định hình chiếu vuông góc của ( ∆ ): 5 4 2 5 0 2 2 0 x y z x z − − − =    + − =   lên mặt phẳng ( α ): 2 x – y + z – 1 = 0 7. Dạng 7: Xác định hình chiếu song song của đường thẳng ( ∆ ∆∆ ∆ 1 ) lên ( α αα α ) theo phương ( ∆ ∆∆ ∆ 2 ) cắt ( α αα α ) Phương pháp: TH1: ( ∆ 1 ) // ( ∆ 2 ) ⇒ Hình chiếu song song của ( ∆ 1 ) lên ( α ) theo phương ( ∆ 2 ) là điểm H ≡ ( ∆ 1 ) ∩ ( α ) TH2: ( ∆ 1 ) và ( ∆ 2 ) không song song: Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa ( ∆ 1 ) và // ( ∆ 2 ) Hình chiếu song song của ( ∆ 1 ) lên ( α ) theo phương ( ∆ 2 ) là ( ∆ ) = ( β ) ∩ ( α ) Bài 1. Xác định hình chiếu song song của đt ( ∆ 1 ): 7 1 0 2 1 0 x y z x y z + − − =    + + + =   lên ( α ): 2 2 3 0 x y z − + − = theo phương ( ∆ 2 ): 1 1 2 2 1 3 y x z + − + = = 8. Dạng 8: VPT đường thẳng ( ∆ ∆∆ ∆ ) qua M và cắt ( ∆ ∆∆ ∆ 1 ), ( ∆ ∆∆ ∆ 2 ) với ( ∆ ∆∆ ∆ 1 ), ( ∆ ∆∆ ∆ 2 ) chéo nhau và không đi qua M Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua M chứa ( ∆ 1 ) Nếu cho ( ∆ 1 ) dưới dạng tổng quát thì nên viết phương trình ( α ) dưới dạng chùm Nếu ( ∆ 1 ) dạng tham số thì lấy 2 điểm A, B ∈ ( ∆ 1 ) Phương trình đường thẳng trong không gian 97 ⇒ Phương trình ( α ) qua 3 điểm A, B, M.  Nếu ( α ) // ( ∆ 2 ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu ( α ) cắt ( ∆ 2 ) thì tìm N = ( ∆ 2 ) ∩ ( α ) Nếu MN // ( ∆ 1 ) thì bài toán vô nghiệm, nếu MN cắt ( ∆ 1 ) suy ra đường thẳng cần tìm là ( ∆ ) ≡ MN. Phương pháp 2: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua M chứa ( ∆ 1 ), mặt phẳng ( β ) qua M chứa ( ∆ 2 )  Xét ( ∆ ) = ( α ) ∩ ( β ). Nếu ( ∆ ) cắt ( ∆ 1 ) và ( ∆ 2 ) thì đường thẳng ( ∆ ) là đường thẳng cần tìm. Nếu ( ∆ ) // ( ∆ 1 ) hoặc ( ∆ 2 ) thì bài toán vô nghiệm. Bài 1. VPT ĐT ( ∆ ) qua M(1; 3; 0) và ( ∆ ) cắt ( ∆ 1 ): 2 0 2 5 0 y x z − =    − − =   , ( ∆ 2 ): { } 1 2 , 3 , 4 x t y t z t = + = − = + 9. Dạng 9: VPT đường thẳng ( ∆ ∆∆ ∆ ) cắt ( ∆ ∆∆ ∆ 1 ), ( ∆ ∆∆ ∆ 2 ) và song song với ( ∆ ∆∆ ∆ 3 ) Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa ( ∆ 1 ) và // ( ∆ 3 ), mặt phẳng ( β ) chứa ( ∆ 2 ) và // ( ∆ 3 ) Nếu ( α ) // ( β ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu ( α ) cắt ( β ) thì xét ( ∆ ) = ( α ) ∩ ( β ). Nếu ( ∆ ) cắt ( ∆ 1 ) và ( ∆ 2 ) thì đường thẳng ( ∆ ) là đường thẳng cần tìm. Nếu ( ∆ ) // ( ∆ 1 ) hoặc ( ∆ 2 ) thì bài toán vô nghiệm. Phương pháp 2: Viết phương trình tham số của ( ∆ 1 ) theo t 1 , của ( ∆ 2 ) theo t 2 . Lấy M ∉ ( ∆ 1 ), N ∉ ( ∆ 2 ) ⇒ Tọa độ M, N theo t 1 , t 2 . ⇒ MN  theo t 1 , t 2 . Xác định t 1 , t 2 sao cho MN // ( ∆ 3 ) ⇒ Đường thẳng ( ∆ ) cắt ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) và song song với ( ∆ 3 ) là ( ∆ ) ≡ MN Phương pháp 3: Gọi M(x 0 , y 0 , z 0 ) là giao điểm của ( ∆ ) và ( ∆ 1 ). ( ∆ ) nhận VTCP của ( ∆ 3 ) làm VTCP ⇒ Phương trình tham số của ( ∆ ) theo x 0 , y 0 , z 0 . ( ∆ ) cắt ( ∆ 2 ) suy ra hệ ( ) ( ) 2  ∆   ∆   có nghiệm ⇒ x 0 , y 0 , z 0 . ⇒ Phương trình ( ∆ ) Bài 1. VPT đường thẳng ( ∆ ) cắt ( ∆ 1 ): 2 0 2 5 0 y x z − =    − − =   , ( ∆ 2 ): { } 1 2 , 3 , 4 x t y t z t = + = − = + và // với trục O z . Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 98 Bài 2. VPT ĐT ( ∆ ) cắt ( ∆ 1 ): 2 2 1 3 4 1 y x z + − − = = , ( ∆ 2 ): 3 7 9 1 2 1 y x z − − − = = và // ( ∆ 3 ): 3 1 2 3 2 1 y x z + + − = = − 10. Dạng 10: VPT đường thẳng ( ∆ ∆∆ ∆ ) qua M và vuông góc ( ∆ ∆∆ ∆ 1 ), cắt ( ∆ ∆∆ ∆ 2 ) trong đó M ∉ ∉∉ ∉ ( ∆ ∆∆ ∆ 1 ), ( ∆ ∆∆ ∆ 2 ) Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua M và ⊥ ( ∆ 1 ), mặt phẳng ( β ) qua M chứa ( ∆ 2 ) Nếu ( α ) // ( β ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu ( α ) cắt ( β ) thì xét ( ∆ ) = ( α ) ∩ ( β ). Nếu ( ∆ ) cắt ( ∆ 2 ) thì đường thẳng ( ∆ ) là đường thẳng cần tìm. Nếu ( ∆ ) // ( ∆ 2 ) thì bài toán vô nghiệm. Bài 1. VPT đường thẳng ( ∆ ) qua M(1; 2; 0) và ⊥ ( ∆ 1 ): 1 1 2 2 2 1 y x z + − + = = , cắt ( ∆ 2 ): 7 1 0 2 1 0 x y z x y z + − − =    + + + =   11. Dạng 11: VPT đường vuông góc chung của 2 đường thẳng ( ∆ ∆∆ ∆ 1 ), ( ∆ ∆∆ ∆ 2 ) chéo nhau a. TH đặc biệt: ( ∆ ∆∆ ∆ 1 ) ⊥ ⊥⊥ ⊥ ( ∆ ∆∆ ∆ 2 ): Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa ( ∆ 1 ) và ( α ) ⊥ ( ∆ 2 ) Tìm ( ) ( ) 2 M = ∆ α ∩ , H là hình chiếu vuông góc của M lên ( ∆ 1 ) ⇒ MH là đường vuông góc chung của ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) b. Phương pháp 1: Viết phương trình ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) dưới dạng tham số Lấy M ∈ ( ∆ 1 ), N ∈ ( ∆ 2 ) ⇒ Tọa độ M, N theo 1 2 , t t ⇒ MN  theo 1 2 , t t . MN là đường vuông góc chung của ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) ⇒ ( ) ( ) 1 2 ,MN MN ⊥ ∆ ⊥ ∆ ⇒ 1 2 , t t ⇒ MN. c. Phương pháp 2: Gọi 1 2 , a a   là VTCP của ( ∆ 1 ) và ( ∆ 2 ) ⇒ Đường vuông góc chung ( ∆ ) có VTCP 1 2 , a a a =        Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa ( ∆ 1 ) và // ( ∆ ), mặt phẳng ( β ) chứa ( ∆ 2 ) và // ( ∆ ) ⇒ ( ∆ ) = ( α ) ∩ ( β ). Phương trình đường thẳng trong không gian 99 Bài 1. Cho A(6; 3; 0), B( − 2; 9; 1), S(0; 5; 8). Viết phương trình đường vuông góc chung của SB, OA. Bài 2. Viết phương trình đường vuông góc chung của ( ) 1 3 0 : 1 0 x y z y z + + − =  ∆  + − =  và ( ) 2 2 2 9 0 : 1 0 x y z y z − − + =  ∆  − + =  Bài 3. Viết phương trình đường vuông góc chung của ( ) 1 1 1 1 1 2 : 2 3 3 x t y t z t = +   ∆ = +   = − +  và ( ) 2 2 2 2 2 : 3 2 1 3 x t y t z t = +   ∆ = − +   = +  Bài 4. VPT đường vuông góc chung của ( ) 1 3 2 8 0 : 5 2 12 0 x y x z − − =  ∆  + − =  và ( ) { } 2 : 1 3 ; 3 2 ; 2 x t y t z t ∆ = − + = − − = − Bài 5. Cho ( ) 1 2 : 1 2 x t y t z t = +   ∆ = −   =  và ( ) 2 2 2 0 : 3 0 x z y + − =  ∆  − =  . Viết phương trình mặt phẳng cách đều ( ∆ 1 ) và ( ∆ 2 ). 12. Dạng 12: Các bài toán về khoảng cách 12.1. Tính khoảng cách: Bài 1. Tính khoảng cách từ M(1; 2; 3) đến ( ) 1 1 1 : 2 1 3 y x z + − − ∆ = = Bài 2. Cho A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(4; − 1; 1). Tính khoảng cách từ A đến BC. Bài 3. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng ( ) ( ) { } 1 2 0 : : 1 3 ; ; 2 4 0 x y x t y t z t x y z + =  ∆ ∆ = + = − = +  − + − =  Bài 4. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng ( ) ( ) 1 2 2 0 2 1 3 : , : 1 2 3 2 3 5 0 x y z y x z x y z + − =  − − − ∆ = = ∆  − + − =  Bài 5. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng ( ) ( ) 1 2 8 23 0 2 3 0 : , : 4 10 0 2 2 0 x z x z y z y z + + = − − =   ∆ ∆   − + = + + =   Bài 6. Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng ( α ): 2 x + y + z – 1 = 0 và ( β ):2 x + y + z + 10 = 0. Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 100 Bài 7. Cho A(5; 7; − 2), B(3;1;1), C(9; 4; − 4). Tính khoảng cách từ D( − 1; 5; 0) đến (ABC) 12.2. Tìm điểm biết khoảng cách cho trước: Bài 1. Cho ( α ): x + 2 y – 2 z – 2 = 0. Tìm M ∈ O y sao cho khoảng cách từ M đến ( α ) bằng 4. Bài 2. Cho A(1; − 2; 0). Tìm M ∈ O z sao cho khoảng cách từ M đến ( α ): 3 x – 2 y + 6 z + 9 = 0 bằng MA. Bài 3. Cho ( α ): x + y + z + 5 = 0. Tìm M ∈ ( ∆ ): 2 1 0 2 3 0 x y z x y z + + − =   + + + =  sao cho ( ) ( ) , 3 d M α = . Bài 4. Cho ( α ): 12 x – 16 y + 15 z + 1 = 0 và ( β ): 2 x + 2 y – z – 1 = 0. Tìm M ∈ O x cách đều ( α ) và ( β ) 12.3. Các bài toán về tổng, hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất: a. Dạng 1: Cho 2 điểm ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 , , ; , , A x y z B x y z . Tìm M ∈ (P): 0 ax by cz d + + + = để (MA + MB) min. Phương pháp: Xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng cách tính các đại lượng: 1 1 1 2 2 2 ; A B t ax by cz d t ax by cz d = + + + = + + +  Nếu 0 A B t t < ⇔ A, B khác phía đối với (P). Gọi M 0 ≡ (AB) ∩ (P), khi đó MA + MB ≥ AB = M 0 A + M 0 B.  Nếu 0 A B t t > ⇔ A, B cùng phía đối với (P). Lấy A 1 đối xứng A qua (P). Gọi M 0 ≡ (A 1 B) ∩ (P). Khi đó MA + MB = MA 1 + MB ≥ A 1 B = M 0 A 1 + M 0 B. b. Dạng 2: Cho 2 điểm ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 , , ; , , A x y z B x y z . Tìm M ∈ (P): 0 ax by cz d + + + = để |MA – MB| max. Phương pháp: Xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng cách tính các đại lượng: 1 1 1 2 2 2 ; A B t ax by cz d t ax by cz d = + + + = + + +  Nếu 0 A B t t > ⇔ A, B cùng phía đối với (P). Gọi M 0 ≡ (AB) ∩ (P), khi đó |MA – MB| ≤ AB = | M 0 A – M 0 B|.  Nếu 0 A B t t < ⇔ A, B khác phía đối với (P) Lấy A 1 đối xứng A qua (P). Gọi M 0 ≡ (A 1 B) ∩ (P).Khi đó |MA – MB| = |MA 1 – MB| ≤ A 1 B = | M 0 A 1 – M 0 B| [...].. .Phương trình ư ng th ng trong không gian b D ng 3: Cho 2 i m A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) Tìm M∈(∆) cho trư c sao cho (MA + MB) min Phương pháp: Xác nh t a các i m A’, B’ là hình chi u tương ng c a các i m A, B lên (∆ ) G i M0 là i m chia o n A’B’ theo t s k=... nh t 5 Trong s các ư ng th ng i qua A và c t ư ng th ng (d), vi t phương trình các ư ng th ng sao cho kho ng cách t B n nó là l n nh t? nh nh t? Gi i 1 M (1 − t ; − 2 + t ; 2t ) ∈ d ⇒ MA = ( t ; 6 − t ; 2 − 2t ) , MB = ( −2 + t ; 4 − t ; 4 − 2t ) 2 a MA + MB = ( −2 + 2t ; 10 − 2t ; 6 − 4t ) Suy ra MA + MB = 24 ( t − 2 ) + 44 Do ó MA + MB nh nh t khi t = 2 và lúc ó M ( −1; 0; 4 ) 102 Phương trình ư... sánh hai trư ng h p ta có Max d ( A; ( P ) ) = 2 35 khi b = 4 , lúc ó 5 6 phương trình (P) có d ng x + 13 y − 4 z + 21 = 0 , hay ( P ) : 5 x + 13 y − 4 z + 21 = 0 5 5 5 3 Do (Q) ch a (d) nên PT (Q): a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 v i a 2 + b 2 ≠ 0 M t ph ng (xOy) có phương trình z = 0 103 Chương IV Hình gi i tích – Tr n Phương • N u a = 0 thì (Q): 2 y − z + 4 = 0 và khi ó cos α = 1 5 • N u... = ( −2 + t ; 4 − t ; 4 − 2t ) 2 a MA + MB = ( −2 + 2t ; 10 − 2t ; 6 − 4t ) Suy ra MA + MB = 24 ( t − 2 ) + 44 Do ó MA + MB nh nh t khi t = 2 và lúc ó M ( −1; 0; 4 ) 102 Phương trình ư ng th ng trong không gian 2 b Ta có MA 2 + MB 2 = 12t 2 − 48t + 76 = 12 ( t − 2 ) + 28 V y MA 2 + MB 2 nh nh t khi t = 2 và khi ó M ( −1; 0; 4 ) c Ta s xác nh hình chi u A1 , B1 c a hai i m A, B lên ư ng th ng (d) )... 2 2 2 304 = 19 , khi ó M − 12 ; 5 ; 38 D th y S AMB nh nh t khi t = 112 7 7 7 7 x + y + 1 = 0  2 PT t ng quát c a (d) là  Vì m t ph ng (P) ch a ư ng th ng 2 y − z + 4 = 0  ) ( (d) nên (P) có phương trình a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 v i a 2 + b 2 ≠ 0 • N u a ≠ 0 thì có th gi s Suy ra d ( A; ( P ) ) = 2 5b + 3 2.4 − 2 + 4 = 10 = 2 5 5 2 + ( −1) a = 1 Khi ó ( P ) : x + (1 + 2b ) y −... + 2 ) ( ) Do h ( 2 ) = 5 ; h − 1 = 0 ; lim h ( b ) = 4 nên sin β l n nh t b ng 5 , khi b = 2 b →±∞ 6 6 2 5 K t lu n: So sánh hai trư ng h p ta th y sin β l n nh t khi b = 2 Khi ó m t ph ng (R) có phương trình x + 5 y − 2 z + 9 = 0 5 Gi s d 2 là ư ng th ng b t kì i qua A và c t d t i M (1 − t ; − 2 + t ; 2t ) Khi ó d ( B; d 2 ) =  AM ; AB    AM = 56t 2 − 304t + 416 6t 2 − 20t + 40 2 = 28t 2 −... 2 3t − 10t + 20 ( 3t − 10t + 20 ) ( ) Do u ( −2 ) = 48; u 30 = 4 ; lim u ( t ) = 28 nên kho ng cách t B 11 35 b→∞ 3 nh t b ng 48 khi t = −2 và nh nh t b ng 4 khi t = 30 Khi ó 35 11 y−4 z−2 y−4 có phương trình là d 2 : x − 1 = = và d 2 : x − 1 = = 1 −4 −3 15 18 104 n d2 l n d 2 tương ng z−2 −19 ... sao cho (MA + MB) min = 3 2 −2 B ( 7; −2;3)  Bài 8 Cho A(2; 3; 0) và B ( 0; − 2; 0 ) x + y + z − 2 = 0 Tìm M∈ ( ∆ ) :  sao cho (MA + MB) min x − y + z − 2 = 0 101 Chương IV Hình gi i tích – Tr n Phương 13 D ng 13: Các bài toán v góc Bài 1 Xác nh góc gi a 2 m t ph ng ( P ) : x + y + 2z + 4 = 0, ( P2 ) : 2x + y + z + 1 = 0 1 Bài 2 Cho t di n ABCD v i A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(−1; 0;−2), D(−2; 1;... v i (∆2) bi t r ng (P) ⊥ (∆1) ( ) Bài 5 Cho A(0;−2; −2), B(−1; −1; 0), C(−2; −2; 0), D − 1 ; −1; 0 2 a Tính góc gi a ((ABC); (ABD)) b Tính góc và kho ng cách gi a 2 ư ng th ng (AD) và (BC) 14 Bài m u Trong h Oxyz cho A(1; 4; 2); B(−1; 2; 4) và ( d ) : x − 1 = −1 1 Tìm t a y+2 z = 1 2 i m M thu c ư ng th ng (d) sao cho: a) MA + MB nh nh t; b) MA 2 + MB 2 nh nh t; c) MA + MB nh nh t d) Di n tích tam . Phương trình đường thẳng trong không gian 91 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN: 1. Véctơ ( ) 1 2. + =   thì ( ∆ ) ⊂ ( α ). Phương trình đường thẳng trong không gian 93 IV. GÓC GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Góc giữa 2 đường thẳng: Cho ( ∆ 1 ) đi qua M 1 ( x 1 ;. tương đối của các cặp 2 đường thẳng với nhau. b. Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) song song với ( ∆ 1 ), cắt ( ∆ 2 ) và ( ∆ 3 ) Phương trình đường thẳng trong không gian 95 2. Dạng 2: