Thông tin tài liệu
Phương trình đường thẳng trong không gian 91 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN: 1. Véctơ ( ) 1 2 3 ; ; a a a a = là véc tơ chỉ phương (VTCP) của ( ∆ ) ⇔ ( ∆ ) // giá của a 2. Nhận xét: Nếu a là một VTCP của ( ∆ ) thì ka ( k ≠ 0) cũng là VTCP của ( ∆ ) tức là ( ∆ ) có vô số VTCP. II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Phương trình tham số: Phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) và có VTCP ( ) 1 2 3 ; ; a a a a = : ( ) 0 1 0 2 0 3 x x a t y y a t t z z a t = + = + ∈ = + » 2. Phương trình chính tắc: Phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) và có VTCP ( ) 1 2 3 ; ; a a a a = : 0 0 0 1 2 3 x x y y z z a a a − − − = = 3. Phương trình tổng quát: Phương trình đường thẳng ( ∆ ) tổng quát là giao tuyến của hai mặt phẳng 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 A x B y C z D A x B y C z D + + + = + + + = với 1 1 1 2 2 2 : : : : A B C A B C ≠ 4. Phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua 2 điểm M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ), M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ): 1 1 1 2 1 2 1 2 1 x x y y z z x x y y z z − − − = = − − − 5. Chuyển dạng phương trình tổng quát sang dạng tham số, chính tắc: Cho ( ∆ ): ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 : 0 : 0 A x B y C z D A x B y C z D α + + + = β + + + = ( 1 1 1 2 2 2 : : : : A B C A B C ≠ ) ⇒ VTPT của hai mặt phẳng là ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 , , , , n A B C n A B C = = ⇒ VTCP 1 2 , a n n = Tìm điểm M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ ( α ) ∩ ( β ) ⇒ 0 0 0 1 2 3 x x y y z z a a a − − − = = . Đặt tỉ số này bằng t suy ra dạng tham số. Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 92 III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng : Cho ( ∆ 1 ) đi qua M 1 ( x 1 ; y 1 , z 1 ) với VTCP ( ) 1 2 3 , , u a a a = , ( ∆ 2 ) đi qua M 2 ( x 2 ; y 2 , z 2 ) với VTCP là ( ) 1 2 3 , , v b b b = Nếu [ ] 1 2 , 0 u v M M ⋅ ≠ thì ( ) ( ) 1 2 , ∆ ∆ chéo nhau. Nếu [ ] 1 2 , 0 u v M M ⋅ = và 1 2 3 1 2 3 : : : : a a a b b b ≠ thì ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) cắt nhau. Nếu [ ] 1 2 1 2 3 1 2 3 , 0 : : : : u v M M a a a b b b ⋅ = = và hệ phương trình của ( ) ( ) 1 2 ∆ ∆ vô nghiệm thì ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) song song nhau. Nếu [ ] 1 2 1 2 3 1 2 3 , 0 : : : : u v M M a a a b b b ⋅ = = và hệ phương trình của ( ) ( ) 1 2 ∆ ∆ có nghiệm thì ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) trùng nhau. 2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng: Cho ( ∆ ) đi qua M 0 ( x 0 ; y 0 , z 0 ) với VTCP ( ) , , u a b c = và mp( α ): 0 Ax By Cz D + + + = với VTPT ( ) , , n A B C = Nếu 0 n u ⋅ ≠ 0 Aa Bb Cc ⇔ + + ≠ thì ( ∆ ) cắt ( α ). Nếu // n u : : : : a b c A B C ⇔ = thì ( ∆ ) ⊥ ( α ). Nếu ( ) 0 0 n u M ⋅ = ∉ α ⇔ 0 0 0 0 0 Aa Bb Cc Ax By Cz D + + = + + + ≠ thì ( ∆ ) // ( α ). Nếu ( ) 0 0 n u M ⋅ = ∈ α ⇔ 0 0 0 0 0 Aa Bb Cc Ax By Cz D + + = + + + = thì ( ∆ ) ⊂ ( α ). Phương trình đường thẳng trong không gian 93 IV. GÓC GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Góc giữa 2 đường thẳng: Cho ( ∆ 1 ) đi qua M 1 ( x 1 ; y 1 , z 1 ) với VTCP ( ) 1 2 3 , , u a a a = , ( ∆ 2 ) đi qua M 2 ( x 2 ; y 2 , z 2 ) với VTCP là ( ) 1 2 3 , , v b b b = Góc giữa ( ) ( ) ( ) [ ] 1 2 , 0,90 ∆ ∆ = ϕ∈ ° xác định bởi: 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 cos a b a b a b u v u v a a a b b b + + ⋅ ϕ = = ⋅ + + + + 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho ( ∆ ) đi qua M 0 ( x 0 ; y 0 , z 0 ) với VTCP ( ) , , u a b c = và mp( α ): 0 Ax By Cz D + + + = với VTPT ( ) , , n A B C = Góc giữa ( ) ( ) ( ) [ ] , 0,90 ∆ α = ϕ∈ ° xác định bởi: 2 2 2 2 2 2 sin u n aA bB cC u n a b c A B C ⋅ + + ϕ = = ⋅ + + + + 3. Góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa 2 mặt phẳng ( α 1 ): 1 1 1 1 0 A x B y C z D + + + = và ( α 2 ): 2 2 2 2 0 A x B y C z D + + + = là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90 ° ) thỏa mãn: 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 . cos n n A A B B C C n n A B C A B C + + ϕ = = + + + + với 1 2 , n n là 2 VTPT của ( α 1 ), ( α 2 ). V. KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng: Cho ( ∆ ) đi qua M 0 ( x 0 ; y 0 , z 0 ) với VTCP ( ) , , u a b c = . Khoảng cách từ điểm M 1 ( x 1 ; y 1 , z 1 ) đến đường thẳng ( ∆ ) là: ( ) ( ) 0 1 1 , u M M d M u ⋅ ∆ = 2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: Cho ( ∆ 1 ) đi qua M 1 ( x 1 ; y 1 , z 1 ) với VTCP ( ) 1 2 3 , , u a a a = , ( ∆ 2 ) đi qua M 2 ( x 2 ; y 2 , z 2 ) với VTCP là ( ) 1 2 3 , , v b b b = Giả sử ( ) ( ) 1 2 , ∆ ∆ chéo nhau, khi đó ( ) [ ] [ ] 1 2 1 2 , ( ),( ) , u v M M d u v ⋅ ∆ ∆ = Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 94 3. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) đến mặt phẳng ( α ): 0 Ax By Cz D + + + = là: ( ) 0 0 0 2 2 2 , Ax By Cz D d M A B C + + + α = + + VI. CÁC DẠNG BÀI TẬP 1. Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp: Giải hệ PT tạo bởi ( ) ( ) 1 2 ∆ ∆ ; ( ) ( ) ∆ α hoặc sử dụng dấu hiệu nhận biết qua hệ thức của các véctơ Bài 1. Xét vị trí tương đối bằng 2 cách khác nhau: ( ) ( ) 1 2 9 2 3 3 9 0 : 5 : 2 3 0 3 x t x y z y t x y z z t = − − − = ∆ = ∆ − + + = = − + ; ( ) ( ) 1 2 2 3 0 2 8 0 : : 2 3 0 8 0 x y y z x y x z − + = + − = ∆ ∆ + = + − = Bài 2. Xác định giao điểm của đường thẳng ( ) ( ) 1 2 : 1 1 x t y t t z t = + ∆ = − ∈ = + » với mặt phẳng ( ) : 2 2 0 x y z α + − − = Bài 3. Xác định giao điểm của đường thẳng ( ) 2 0 : 2 1 0 x y z x y z + + − = ∆ + − − = với mặt phẳng ( ) : 2 1 0 x y z α + + − = Bài 4. Cho 3 đường thẳng: ( ) ( ) ( ) 1 2 3 3 3 3 0 2 1 2 : 1 , : , : 1 4 3 2 1 0 5 x t x y z y x z y t x y z z t = − + − = + − − ∆ = − ∆ = = ∆ − + + = = + a. Xét vị trí tương đối của các cặp 2 đường thẳng với nhau. b. Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) song song với ( ∆ 1 ), cắt ( ∆ 2 ) và ( ∆ 3 ) Phương trình đường thẳng trong không gian 95 2. Dạng 2: Xác định hình chiếu vuông góc của 1 điểm M lên mặt phẳng ( α αα α ) Phương pháp: Viết phương trình tham số của đường thẳng ( ∆ ) qua M và ( ∆ ) ⊥ ( α ) Giao điểm H của ( ∆ ) và ( α ) là hình chiếu vuông góc của M lên ( α ) Bài 1. Tìm hình chiếu vuông góc của M(1; 2; − 3) lên ( ) : 3 5 0 x y z α + − + = 3. Dạng 3: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua mặt phẳng ( α αα α ) Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên ( α ). Giả sử M(x 1 , y 1 , z 1 ), H(x 0 , y 0 , z 0 ), khi đó điểm M’ đối xứng M qua ( α ) là ( ) 0 1 0 1 0 1 2 , 2 ,2 M x x y y z z ′ − − − Bài 1. Xác định điểm đối xứng với điểm M(13; 2; 3) qua mặt phẳng ( α ): x + y – 3 z + 5 = 0 4. Dạng 4: Xác định hình chiếu vuông góc của 1 điểm M lên đường thẳng ( ∆ ∆∆ ∆ ) Phương pháp 1: Viết PT mặt phẳng ( α ) qua M và ( α ) ⊥ ( ∆ ). Giao điểm H của ( ∆ ) và ( α ) là hình chiếu vuông góc của M lên ( ∆ ) Phương pháp 2: Viết PT tham số của ( ∆ ) ⇒ Tọa độ H theo tham số t. MH u ⊥ là véctơ chỉ phương của ( ∆ ). GPT 0 MH u ⋅ = ⇒ tham số t ⇒ Tọa độ H Bài 1. Xác định hình chiếu vuông góc của M( − 1; − 1; 1) lên đường thẳng ( ∆ ): { } 1 ; 2 ; 3 3 x t y t z t = + = + = − − 5. Dạng 5: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua đường thẳng ( ∆ ∆∆ ∆ ) Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên ( ∆ ) Giả sử M(x 1 , y 1 , z 1 ), H(x 0 , y 0 , z 0 ), khi đó điểm M’ đối xứng M qua ( ∆ ) là ( ) 0 1 0 1 0 1 2 , 2 ,2 M x x y y z z ′ − − − Bài 1. Xác định điểm đối xứng với điểm M(0; 2; − 1) lên đường thẳng ( ∆ ): { } 1 ; 2 ; 3 3 x t y t z t = + = + = − 6. Dạng 6: Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng ( ∆ ∆∆ ∆ ) lên mặt phẳng ( α αα α ) Phương pháp: TH1: ( ∆ ) ⊥ ( α ) ⇒ Hình chiếu vuông góc của ( ∆ ) lên ( α ) là điểm H ≡ ( ∆ ) ∩ ( α ) Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 96 TH2: ( ∆ ) ⊂ ( α ) ⇒ Hình chiếu vuông góc của ( ∆ ) lên ( α ) là đường thẳng ( ∆ ) TH3: ( ∆ ) không vuông góc với ( α ), ( ∆ ) ⊄ ( α ): C1: Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa ( ∆ ) và ( β ) ⊥ ( α ). Hình chiếu vuông góc của ( ∆ ) lên ( α ) là đường thẳng ( ∆ ’) = ( β ) ∩ ( α ). C2: Lấy 2 điểm A, B phân biệt thuộc ( ∆ ). Xác định hình chiếu vuông góc của A, B lên ( α ) là H 1 , H 2 . Hình chiếu vuông góc của ( ∆ ) lên ( α ) là đường thẳng ( ∆ ’) ≡ H 1 H 2 C3: Nếu ( ∆ ) cắt ( α ): Xác định A ≡ ( ∆ ) ∩ ( α ). Lấy M bất kì ∉ ( ∆ ) và M ≠ A. Xác định hình chiếu vuông góc H của M lên ( α ). Hình chiếu vuông góc của ( ∆ ) lên ( α ) là ( ∆ ’) ≡ AH Bài 1. Xác định hình chiếu vuông góc của ( ∆ ): 5 4 2 5 0 2 2 0 x y z x z − − − = + − = lên mặt phẳng ( α ): 2 x – y + z – 1 = 0 7. Dạng 7: Xác định hình chiếu song song của đường thẳng ( ∆ ∆∆ ∆ 1 ) lên ( α αα α ) theo phương ( ∆ ∆∆ ∆ 2 ) cắt ( α αα α ) Phương pháp: TH1: ( ∆ 1 ) // ( ∆ 2 ) ⇒ Hình chiếu song song của ( ∆ 1 ) lên ( α ) theo phương ( ∆ 2 ) là điểm H ≡ ( ∆ 1 ) ∩ ( α ) TH2: ( ∆ 1 ) và ( ∆ 2 ) không song song: Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa ( ∆ 1 ) và // ( ∆ 2 ) Hình chiếu song song của ( ∆ 1 ) lên ( α ) theo phương ( ∆ 2 ) là ( ∆ ) = ( β ) ∩ ( α ) Bài 1. Xác định hình chiếu song song của đt ( ∆ 1 ): 7 1 0 2 1 0 x y z x y z + − − = + + + = lên ( α ): 2 2 3 0 x y z − + − = theo phương ( ∆ 2 ): 1 1 2 2 1 3 y x z + − + = = 8. Dạng 8: VPT đường thẳng ( ∆ ∆∆ ∆ ) qua M và cắt ( ∆ ∆∆ ∆ 1 ), ( ∆ ∆∆ ∆ 2 ) với ( ∆ ∆∆ ∆ 1 ), ( ∆ ∆∆ ∆ 2 ) chéo nhau và không đi qua M Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua M chứa ( ∆ 1 ) Nếu cho ( ∆ 1 ) dưới dạng tổng quát thì nên viết phương trình ( α ) dưới dạng chùm Nếu ( ∆ 1 ) dạng tham số thì lấy 2 điểm A, B ∈ ( ∆ 1 ) Phương trình đường thẳng trong không gian 97 ⇒ Phương trình ( α ) qua 3 điểm A, B, M. Nếu ( α ) // ( ∆ 2 ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu ( α ) cắt ( ∆ 2 ) thì tìm N = ( ∆ 2 ) ∩ ( α ) Nếu MN // ( ∆ 1 ) thì bài toán vô nghiệm, nếu MN cắt ( ∆ 1 ) suy ra đường thẳng cần tìm là ( ∆ ) ≡ MN. Phương pháp 2: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua M chứa ( ∆ 1 ), mặt phẳng ( β ) qua M chứa ( ∆ 2 ) Xét ( ∆ ) = ( α ) ∩ ( β ). Nếu ( ∆ ) cắt ( ∆ 1 ) và ( ∆ 2 ) thì đường thẳng ( ∆ ) là đường thẳng cần tìm. Nếu ( ∆ ) // ( ∆ 1 ) hoặc ( ∆ 2 ) thì bài toán vô nghiệm. Bài 1. VPT ĐT ( ∆ ) qua M(1; 3; 0) và ( ∆ ) cắt ( ∆ 1 ): 2 0 2 5 0 y x z − = − − = , ( ∆ 2 ): { } 1 2 , 3 , 4 x t y t z t = + = − = + 9. Dạng 9: VPT đường thẳng ( ∆ ∆∆ ∆ ) cắt ( ∆ ∆∆ ∆ 1 ), ( ∆ ∆∆ ∆ 2 ) và song song với ( ∆ ∆∆ ∆ 3 ) Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa ( ∆ 1 ) và // ( ∆ 3 ), mặt phẳng ( β ) chứa ( ∆ 2 ) và // ( ∆ 3 ) Nếu ( α ) // ( β ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu ( α ) cắt ( β ) thì xét ( ∆ ) = ( α ) ∩ ( β ). Nếu ( ∆ ) cắt ( ∆ 1 ) và ( ∆ 2 ) thì đường thẳng ( ∆ ) là đường thẳng cần tìm. Nếu ( ∆ ) // ( ∆ 1 ) hoặc ( ∆ 2 ) thì bài toán vô nghiệm. Phương pháp 2: Viết phương trình tham số của ( ∆ 1 ) theo t 1 , của ( ∆ 2 ) theo t 2 . Lấy M ∉ ( ∆ 1 ), N ∉ ( ∆ 2 ) ⇒ Tọa độ M, N theo t 1 , t 2 . ⇒ MN theo t 1 , t 2 . Xác định t 1 , t 2 sao cho MN // ( ∆ 3 ) ⇒ Đường thẳng ( ∆ ) cắt ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) và song song với ( ∆ 3 ) là ( ∆ ) ≡ MN Phương pháp 3: Gọi M(x 0 , y 0 , z 0 ) là giao điểm của ( ∆ ) và ( ∆ 1 ). ( ∆ ) nhận VTCP của ( ∆ 3 ) làm VTCP ⇒ Phương trình tham số của ( ∆ ) theo x 0 , y 0 , z 0 . ( ∆ ) cắt ( ∆ 2 ) suy ra hệ ( ) ( ) 2 ∆ ∆ có nghiệm ⇒ x 0 , y 0 , z 0 . ⇒ Phương trình ( ∆ ) Bài 1. VPT đường thẳng ( ∆ ) cắt ( ∆ 1 ): 2 0 2 5 0 y x z − = − − = , ( ∆ 2 ): { } 1 2 , 3 , 4 x t y t z t = + = − = + và // với trục O z . Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 98 Bài 2. VPT ĐT ( ∆ ) cắt ( ∆ 1 ): 2 2 1 3 4 1 y x z + − − = = , ( ∆ 2 ): 3 7 9 1 2 1 y x z − − − = = và // ( ∆ 3 ): 3 1 2 3 2 1 y x z + + − = = − 10. Dạng 10: VPT đường thẳng ( ∆ ∆∆ ∆ ) qua M và vuông góc ( ∆ ∆∆ ∆ 1 ), cắt ( ∆ ∆∆ ∆ 2 ) trong đó M ∉ ∉∉ ∉ ( ∆ ∆∆ ∆ 1 ), ( ∆ ∆∆ ∆ 2 ) Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua M và ⊥ ( ∆ 1 ), mặt phẳng ( β ) qua M chứa ( ∆ 2 ) Nếu ( α ) // ( β ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu ( α ) cắt ( β ) thì xét ( ∆ ) = ( α ) ∩ ( β ). Nếu ( ∆ ) cắt ( ∆ 2 ) thì đường thẳng ( ∆ ) là đường thẳng cần tìm. Nếu ( ∆ ) // ( ∆ 2 ) thì bài toán vô nghiệm. Bài 1. VPT đường thẳng ( ∆ ) qua M(1; 2; 0) và ⊥ ( ∆ 1 ): 1 1 2 2 2 1 y x z + − + = = , cắt ( ∆ 2 ): 7 1 0 2 1 0 x y z x y z + − − = + + + = 11. Dạng 11: VPT đường vuông góc chung của 2 đường thẳng ( ∆ ∆∆ ∆ 1 ), ( ∆ ∆∆ ∆ 2 ) chéo nhau a. TH đặc biệt: ( ∆ ∆∆ ∆ 1 ) ⊥ ⊥⊥ ⊥ ( ∆ ∆∆ ∆ 2 ): Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa ( ∆ 1 ) và ( α ) ⊥ ( ∆ 2 ) Tìm ( ) ( ) 2 M = ∆ α ∩ , H là hình chiếu vuông góc của M lên ( ∆ 1 ) ⇒ MH là đường vuông góc chung của ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) b. Phương pháp 1: Viết phương trình ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) dưới dạng tham số Lấy M ∈ ( ∆ 1 ), N ∈ ( ∆ 2 ) ⇒ Tọa độ M, N theo 1 2 , t t ⇒ MN theo 1 2 , t t . MN là đường vuông góc chung của ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) ⇒ ( ) ( ) 1 2 ,MN MN ⊥ ∆ ⊥ ∆ ⇒ 1 2 , t t ⇒ MN. c. Phương pháp 2: Gọi 1 2 , a a là VTCP của ( ∆ 1 ) và ( ∆ 2 ) ⇒ Đường vuông góc chung ( ∆ ) có VTCP 1 2 , a a a = Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa ( ∆ 1 ) và // ( ∆ ), mặt phẳng ( β ) chứa ( ∆ 2 ) và // ( ∆ ) ⇒ ( ∆ ) = ( α ) ∩ ( β ). Phương trình đường thẳng trong không gian 99 Bài 1. Cho A(6; 3; 0), B( − 2; 9; 1), S(0; 5; 8). Viết phương trình đường vuông góc chung của SB, OA. Bài 2. Viết phương trình đường vuông góc chung của ( ) 1 3 0 : 1 0 x y z y z + + − = ∆ + − = và ( ) 2 2 2 9 0 : 1 0 x y z y z − − + = ∆ − + = Bài 3. Viết phương trình đường vuông góc chung của ( ) 1 1 1 1 1 2 : 2 3 3 x t y t z t = + ∆ = + = − + và ( ) 2 2 2 2 2 : 3 2 1 3 x t y t z t = + ∆ = − + = + Bài 4. VPT đường vuông góc chung của ( ) 1 3 2 8 0 : 5 2 12 0 x y x z − − = ∆ + − = và ( ) { } 2 : 1 3 ; 3 2 ; 2 x t y t z t ∆ = − + = − − = − Bài 5. Cho ( ) 1 2 : 1 2 x t y t z t = + ∆ = − = và ( ) 2 2 2 0 : 3 0 x z y + − = ∆ − = . Viết phương trình mặt phẳng cách đều ( ∆ 1 ) và ( ∆ 2 ). 12. Dạng 12: Các bài toán về khoảng cách 12.1. Tính khoảng cách: Bài 1. Tính khoảng cách từ M(1; 2; 3) đến ( ) 1 1 1 : 2 1 3 y x z + − − ∆ = = Bài 2. Cho A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(4; − 1; 1). Tính khoảng cách từ A đến BC. Bài 3. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng ( ) ( ) { } 1 2 0 : : 1 3 ; ; 2 4 0 x y x t y t z t x y z + = ∆ ∆ = + = − = + − + − = Bài 4. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng ( ) ( ) 1 2 2 0 2 1 3 : , : 1 2 3 2 3 5 0 x y z y x z x y z + − = − − − ∆ = = ∆ − + − = Bài 5. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng ( ) ( ) 1 2 8 23 0 2 3 0 : , : 4 10 0 2 2 0 x z x z y z y z + + = − − = ∆ ∆ − + = + + = Bài 6. Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng ( α ): 2 x + y + z – 1 = 0 và ( β ):2 x + y + z + 10 = 0. Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 100 Bài 7. Cho A(5; 7; − 2), B(3;1;1), C(9; 4; − 4). Tính khoảng cách từ D( − 1; 5; 0) đến (ABC) 12.2. Tìm điểm biết khoảng cách cho trước: Bài 1. Cho ( α ): x + 2 y – 2 z – 2 = 0. Tìm M ∈ O y sao cho khoảng cách từ M đến ( α ) bằng 4. Bài 2. Cho A(1; − 2; 0). Tìm M ∈ O z sao cho khoảng cách từ M đến ( α ): 3 x – 2 y + 6 z + 9 = 0 bằng MA. Bài 3. Cho ( α ): x + y + z + 5 = 0. Tìm M ∈ ( ∆ ): 2 1 0 2 3 0 x y z x y z + + − = + + + = sao cho ( ) ( ) , 3 d M α = . Bài 4. Cho ( α ): 12 x – 16 y + 15 z + 1 = 0 và ( β ): 2 x + 2 y – z – 1 = 0. Tìm M ∈ O x cách đều ( α ) và ( β ) 12.3. Các bài toán về tổng, hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất: a. Dạng 1: Cho 2 điểm ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 , , ; , , A x y z B x y z . Tìm M ∈ (P): 0 ax by cz d + + + = để (MA + MB) min. Phương pháp: Xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng cách tính các đại lượng: 1 1 1 2 2 2 ; A B t ax by cz d t ax by cz d = + + + = + + + Nếu 0 A B t t < ⇔ A, B khác phía đối với (P). Gọi M 0 ≡ (AB) ∩ (P), khi đó MA + MB ≥ AB = M 0 A + M 0 B. Nếu 0 A B t t > ⇔ A, B cùng phía đối với (P). Lấy A 1 đối xứng A qua (P). Gọi M 0 ≡ (A 1 B) ∩ (P). Khi đó MA + MB = MA 1 + MB ≥ A 1 B = M 0 A 1 + M 0 B. b. Dạng 2: Cho 2 điểm ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 , , ; , , A x y z B x y z . Tìm M ∈ (P): 0 ax by cz d + + + = để |MA – MB| max. Phương pháp: Xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng cách tính các đại lượng: 1 1 1 2 2 2 ; A B t ax by cz d t ax by cz d = + + + = + + + Nếu 0 A B t t > ⇔ A, B cùng phía đối với (P). Gọi M 0 ≡ (AB) ∩ (P), khi đó |MA – MB| ≤ AB = | M 0 A – M 0 B|. Nếu 0 A B t t < ⇔ A, B khác phía đối với (P) Lấy A 1 đối xứng A qua (P). Gọi M 0 ≡ (A 1 B) ∩ (P).Khi đó |MA – MB| = |MA 1 – MB| ≤ A 1 B = | M 0 A 1 – M 0 B| [...].. .Phương trình ư ng th ng trong không gian b D ng 3: Cho 2 i m A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) Tìm M∈(∆) cho trư c sao cho (MA + MB) min Phương pháp: Xác nh t a các i m A’, B’ là hình chi u tương ng c a các i m A, B lên (∆ ) G i M0 là i m chia o n A’B’ theo t s k=... nh t 5 Trong s các ư ng th ng i qua A và c t ư ng th ng (d), vi t phương trình các ư ng th ng sao cho kho ng cách t B n nó là l n nh t? nh nh t? Gi i 1 M (1 − t ; − 2 + t ; 2t ) ∈ d ⇒ MA = ( t ; 6 − t ; 2 − 2t ) , MB = ( −2 + t ; 4 − t ; 4 − 2t ) 2 a MA + MB = ( −2 + 2t ; 10 − 2t ; 6 − 4t ) Suy ra MA + MB = 24 ( t − 2 ) + 44 Do ó MA + MB nh nh t khi t = 2 và lúc ó M ( −1; 0; 4 ) 102 Phương trình ư... sánh hai trư ng h p ta có Max d ( A; ( P ) ) = 2 35 khi b = 4 , lúc ó 5 6 phương trình (P) có d ng x + 13 y − 4 z + 21 = 0 , hay ( P ) : 5 x + 13 y − 4 z + 21 = 0 5 5 5 3 Do (Q) ch a (d) nên PT (Q): a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 v i a 2 + b 2 ≠ 0 M t ph ng (xOy) có phương trình z = 0 103 Chương IV Hình gi i tích – Tr n Phương • N u a = 0 thì (Q): 2 y − z + 4 = 0 và khi ó cos α = 1 5 • N u... = ( −2 + t ; 4 − t ; 4 − 2t ) 2 a MA + MB = ( −2 + 2t ; 10 − 2t ; 6 − 4t ) Suy ra MA + MB = 24 ( t − 2 ) + 44 Do ó MA + MB nh nh t khi t = 2 và lúc ó M ( −1; 0; 4 ) 102 Phương trình ư ng th ng trong không gian 2 b Ta có MA 2 + MB 2 = 12t 2 − 48t + 76 = 12 ( t − 2 ) + 28 V y MA 2 + MB 2 nh nh t khi t = 2 và khi ó M ( −1; 0; 4 ) c Ta s xác nh hình chi u A1 , B1 c a hai i m A, B lên ư ng th ng (d) )... 2 2 2 304 = 19 , khi ó M − 12 ; 5 ; 38 D th y S AMB nh nh t khi t = 112 7 7 7 7 x + y + 1 = 0 2 PT t ng quát c a (d) là Vì m t ph ng (P) ch a ư ng th ng 2 y − z + 4 = 0 ) ( (d) nên (P) có phương trình a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 v i a 2 + b 2 ≠ 0 • N u a ≠ 0 thì có th gi s Suy ra d ( A; ( P ) ) = 2 5b + 3 2.4 − 2 + 4 = 10 = 2 5 5 2 + ( −1) a = 1 Khi ó ( P ) : x + (1 + 2b ) y −... + 2 ) ( ) Do h ( 2 ) = 5 ; h − 1 = 0 ; lim h ( b ) = 4 nên sin β l n nh t b ng 5 , khi b = 2 b →±∞ 6 6 2 5 K t lu n: So sánh hai trư ng h p ta th y sin β l n nh t khi b = 2 Khi ó m t ph ng (R) có phương trình x + 5 y − 2 z + 9 = 0 5 Gi s d 2 là ư ng th ng b t kì i qua A và c t d t i M (1 − t ; − 2 + t ; 2t ) Khi ó d ( B; d 2 ) = AM ; AB AM = 56t 2 − 304t + 416 6t 2 − 20t + 40 2 = 28t 2 −... 2 3t − 10t + 20 ( 3t − 10t + 20 ) ( ) Do u ( −2 ) = 48; u 30 = 4 ; lim u ( t ) = 28 nên kho ng cách t B 11 35 b→∞ 3 nh t b ng 48 khi t = −2 và nh nh t b ng 4 khi t = 30 Khi ó 35 11 y−4 z−2 y−4 có phương trình là d 2 : x − 1 = = và d 2 : x − 1 = = 1 −4 −3 15 18 104 n d2 l n d 2 tương ng z−2 −19 ... sao cho (MA + MB) min = 3 2 −2 B ( 7; −2;3) Bài 8 Cho A(2; 3; 0) và B ( 0; − 2; 0 ) x + y + z − 2 = 0 Tìm M∈ ( ∆ ) : sao cho (MA + MB) min x − y + z − 2 = 0 101 Chương IV Hình gi i tích – Tr n Phương 13 D ng 13: Các bài toán v góc Bài 1 Xác nh góc gi a 2 m t ph ng ( P ) : x + y + 2z + 4 = 0, ( P2 ) : 2x + y + z + 1 = 0 1 Bài 2 Cho t di n ABCD v i A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(−1; 0;−2), D(−2; 1;... v i (∆2) bi t r ng (P) ⊥ (∆1) ( ) Bài 5 Cho A(0;−2; −2), B(−1; −1; 0), C(−2; −2; 0), D − 1 ; −1; 0 2 a Tính góc gi a ((ABC); (ABD)) b Tính góc và kho ng cách gi a 2 ư ng th ng (AD) và (BC) 14 Bài m u Trong h Oxyz cho A(1; 4; 2); B(−1; 2; 4) và ( d ) : x − 1 = −1 1 Tìm t a y+2 z = 1 2 i m M thu c ư ng th ng (d) sao cho: a) MA + MB nh nh t; b) MA 2 + MB 2 nh nh t; c) MA + MB nh nh t d) Di n tích tam . Phương trình đường thẳng trong không gian 91 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN: 1. Véctơ ( ) 1 2. + = thì ( ∆ ) ⊂ ( α ). Phương trình đường thẳng trong không gian 93 IV. GÓC GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Góc giữa 2 đường thẳng: Cho ( ∆ 1 ) đi qua M 1 ( x 1 ;. tương đối của các cặp 2 đường thẳng với nhau. b. Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) song song với ( ∆ 1 ), cắt ( ∆ 2 ) và ( ∆ 3 ) Phương trình đường thẳng trong không gian 95 2. Dạng 2:
Ngày đăng: 02/06/2015, 15:18
Xem thêm: Phương trình đường thẳng trong không gian, Phương trình đường thẳng trong không gian