bài giảng trường điện từ vật dẫn điện, điện môi, điện trở và điện dung

l Xét 1 điện môi bị phân cực, nếu có nlà số lưỡng cực điện trong 1 đơn vị thểtích, thì trong thể tích ∆v, có N = n∆v lưỡng cực điện Fig C6.2; và tổng moment phân cực điện trong ∆v là: wh

VẬT DẪN ĐIỆN, ĐIỆN MÔI, ĐIỆN TRỞ

VÀ ĐIỆN DUNG

Figure C 6.1

5.6 VẬT LIỆU CÁCH ĐIỆN (ĐIỆN MÔI)

1 Vectơ phân cực điện P (C/m2)

l Fig C6.1a: để đơn giản, ta xem 1 nguyên tử của điện môi là hai miền điện tích bằng nhau và trái dấu + Q and – Q xếp chồng lên nhau

l Fig C6.1b: Khi bị tác động của E-field, +Q bị kéo theo hướng của E, and –Q theo hướng ngược lại Điện môi bị phân cực

trong điện trường.

l Fig C6.1c: Sự phân cực này tạo thành một lưỡng cực điện có

mômen lưỡng cực điện là p.

(1)

where d is the vector from the negative to the positive charge.

p = Q d (C.m)

l Xét 1 điện môi bị phân cực, nếu có n

là số lưỡng cực điện trong 1 đơn vị thểtích, thì trong thể tích ∆v, có N = n∆v

lưỡng cực điện (Fig C6.2); và tổng moment phân cực điện trong ∆v là:

where pi là momen phân cực thứ i.

l Vectơ phân cực điện trung bình trong ∆v là:

l Nếu cho ∆v tiến tới zero Thì vectơ phân cực điện P xác định

tại từng điểm của điện môi bị phân cực trong trường E.

Figure C 6.3

(a) Trong không gian (Fig C 6.3a), we have

2 Mật độ điện thông D và định luật Gauss trong điện môi.

where Q is the điện tích tự do chứa in S

4 Maxwell’s First Equation in a dielectric

∇.D = ρv

where ρv is the volume density of free charges

5 Độ điện thẩm tuyệt đối và tương đối.

Ta chỉ xét cá vật liệu tuyến tính và đẳng hướng trong đó P cùng

chiều và tỉ lệ thuận với ε0E:

Hằng số trong ngoặc được ký hiệu là:

εr = χe + 1Đây gọi là độ điện thẩm tương đối, or hằng số điện môi củavật liệu

Vậy D = εrεoE = ε E (11)

Được gọi độ điện thẩm tuyệt đối của vật liệu

EXAMPLE 6.1. The region 0 ≤ x ≤ a is a dielectric (ε r = 2.1), andoutside this region is free space, giả sử bên ngòai điện môi có

field Eo = E o ax (V/m) Find D, E, and P every where (Fig 6.4).

Figure 6.4

SOLUTION. We consider two regions: outside the slab and

inside the slab

• Outside: we have Do = εoEoax Ngòai ra vì chân không

DRILL PROBLEM 6.1 A slab of dielectric material has a

relative permittivity of 3.8 and contains a uniform electric fluxdensity of 8 (nC/m2) If the material is lossless, find: (a) E; (b) P;

(c) the average number of dipoles per cubic meter if the average dipole moment is 10−29 (C.m)

ANSWERS: (a) 238(V/m); (b) 5.89(nC/m2); (c) 5.89×1020(m−3)

5.7 ĐiỀU KiỆN BIÊN ĐỐI VỚI ĐiỆN MÔI LÝ TƯỞNG

Xét mặt phẳng S phân chia 2 điện môi lý tưởng 1 and 2 có độ điện thẩm ε 1 and ε 2, and chiếm 2 miền 1 and 2 (Fig 6.3)

l Gọi P is a point on S; P 1 and P 2 are two points vô cùng gần P

and located in the regions 1 and 2

l aN is the unit vector normal to S at P hướng form 1 to 2.

l E1, D1, E2, D2 là E-field and D-field at P1 and P2

l E t1 , E N1 , D t1 , D N1 , E t2 , E N2 , D t2 , D N2 là thành phần tiếp tuyến

and thành phần pháp tuyến of E1, D1, E2, and D2

We have:

(C7)(C8)(C9)(C10)(C11)(C12)

a Điều kiện biên của E.

l Thành phần tiếp tuyến của E liên tục khi vượt qua biên giới

giữa hai điện môi E

D D

ε ε

l Thành phần tiếp tuyến của D liên tục khi vượt qua biên giới.

If ρS is the surface charge density at P on S, then

l Thành phần pháp tuyến của E không liên tục khi vượt qua biên

N N

E E

ε ε

c Định luật khúc xạ đường sức điện

Các đường sức E1 (and D1) góc θ1 with aN; E2 (and D2) make anangle θ2 with aN (Fig 6.3) From (16) and (14), we have

D 1 cos θ1 = D2cos θ2 (18)

sin sin

D D

θ ε

θ  ε

ε2D1sin θ1 = ε1D2sin θ2 (19)Định luật khúc xạ đường sức

tan tan

θ ε

or

l Eq (20) gives the change in the direction of E (or D, because

D = ε E) at the interface S i

! In Figure 6.3, we have assumed that ε1 < ε2, and therefore θ1 < θ2

d Quan hệ giữa biên độ của E và D khi vượt qua biên giới

Using (18) and (19), we have:

l If ε1 < ε2 then D1 < D2 (unless θ1 = θ2 = 0o where D1 = D2)

l If ε 1 < ε2 then E1 > E2 (unless θ1 = θ2 = 90o where E1 = E2)

! Từ (13) to (22) giúp ta tìm nhanh E và D ở một phía của biên

giới nếu đã nếu E và D ở phía bên kia

EXAMPLE 6.2 Giải tiếp Example 6.1 bằng cách xác định E và

D, biết điện trường đều trong chân không bên ngòai là: Eo = E oax

(Fig 6.4)

SOLUTION. Chúng nhớ lại rằng ta có một tấm điện môi trong

miền 0 ≤ x ≤ a, bên ngòai là chân không đối với điện trường đều Eo = E oax Vì vậy ta có Do = εo E oax and Po = 0

Giữa điện môi và chân không, điều kiện liên tục của D N tại biên

(the interface x = 0 or x = a) cho ta trường trong điện môi:

Di = Do = εo E oax

From (C5): Ei = Di / 2.1εo = εo E oax / 2.1εo = 0.476E oax

From (C6): Pi = 1.1εoEi = 0.524εo E oax

Summarizing then gives (Fig 6.4)

e Điều kiện biên ở mặt phân chia vật dẫn và điện môi

Điều kiện biên vật dẫn - chân không đãtrình bày trong Section 5.4, Fig C5.6

Điều kiện biên vật dẫn-điện môi hòantoàn tương tự khi thay ε o bỡi ε = ε r ε o

Figure C6.4

In Fig C 6.4:

l D and E cả hai đều ở bên ngòai vật dẫn

l Thành phần tiếp tuyến of D and E trong điện môi bằng zero:

l D and E trong điện môi vuông góc với bề mặt S của vật dẫn và

có thành phần pháp tuyến cho bỡi:

l If aN là là vectơ pháp đơn vị hướng ngọai of S, then

D = εE = ρ SaN (C14)

DRILL PROBLEM 6.2 Let the region 1 (z < 0) be composed of a

uniform dielectric for which ε r1 = 3.2, while the region 2 (z > 0) is

characterized by ε r2 = 2 Let D1 = −30ax + 50ay + 70az (nC/m 2 ) and find: (a) D N1; (b) Dt1; (c) D t1; (d) D 1; (e) θ1; (f) P1

ANSWERS (a) 70 (nC/m 2 ); (b) −30ax + 50ay (nC/m 2 );

(c) 58.3 (nC/m 2 ); (d) 91.1 (nC/m 2 ); (e) 39.8 o ;

(f) −20.6ax + 34.4ay + 48.1az (nC/m2)

DRILL PROBLEM 6.3. Continue Problem 6.2 by finding:

(a) DN2; (b) Dt2; (c) D2; (d) P2; (e) θ2.

ANSWERS (a) 70 az (nC/m2); (b) −18.75az + 31.25ay (nC/m2);

(c) −18.75ax + 31.25ay + 70az (nC/m 2 );

(d) −9.38ax + 15.63ay + 35az (nC/m2); (e) 27.5o.

5.8 TỤ ĐiỆN VÀ ĐiỆN DUNG

1 Tụ điện. Gồm hai vật dẫn mang điện tích trái dấu Ma (mangQ) and Mb (mang – Q) đặt trong điện môi ε (Fig 6.5)

l M a carries a total positive

charge + Q.

l M b carries a total negative

charge − Q.

l Không còn vật dẫn nàokhác

l The total charge of thesystem is zero

l This two-conductor system

is called a capacitor.

Figure 6.5

l Tổng điện tích + Q phân bố trên toàn bộ mặt S a của vật dẫn M a

l If aNa and aNb là vectơ pháp đơn vị hướng ngoại of S a and S b,

thì tại các điểm a and b trên M a and M b (Fig 6.5), the fields E and D are given by (C 14) (Fig C 6.4):

D = ε E = ρSaaNa (on S a)

D = ε E = rSbaNb (on S a)

(C 15)(C 16)

l Hai mặt dẫn S a and S b là hai mặt đẳng thế Vì E and D hướng

từ M a to M b , nên M a có điện thế cao hơn M b

l If V a and V b là điện thế of M a and M b, thì hiệu điện thế

(25)

Q C

V



(26)

Ta có thể tính giá trị của C nếu biết E-field.

l On the surface Sa of the conductor Ma, we have

ε

a

S a

a ab

b

d Q

Q C

b

V V  E Ld

l Điện dung C không phụ thuộc điện tích tổng Q hoặc hiệu điện thế V, bỡi vì mật độ điện tích ρ Sa and ρ Sb tăng lên k lần, thì E,

Q, and V cũng tăng lên k (theo định luật Gauss), và tỉ số Q/V là không đổi

l Điện dung C chỉ phụ thuộc vào kích thước hình học của hệ thống hai vật dẫn và độ điện thẩm của điện môi bao quanh

3 Điện dung của tụ điện phẳng (Fig 6.6)

l Giữa hai bản là điện môi có độ điện thẩm ε.

l Vật dẫn M a là mặt phẳng z = 0 và mang điện tích duơng phân bốđều với mật độ + ρS

l Vật dẫn M b là mặt phẳng z = d và mang điện tích âm phân bố đềuvới mật độ – ρS

l Theo ví dụ C 2 2 [Section 2.5, Eq (22)], thì E và D trong tụ điện

đều hướng từ bản dương sang bản âm và cho bỡi:

n Trong tụ điện phẳng:

l Hai vật dẫn M a and M b

là hai mặt phẳng dẫnđiện song song rộng vôtận đặt các nhau một

khỏang d.

Figure 6.6

S z

S z

ρ ε ρ

l Trên mặt phẳng M a , độ lớn của thành phần pháp tuyến D N of

D bằng surface charge density ρS there:

ε



n Trong thực tế, tụ điện phẳng gồm hai bản song song có diện

tích S, và có kích thước khá lớn so với d Các đại lượng ρs, E, D

gần như đều tại các điểm xa, do đó điện tích tổng trên bản dươnglà:

EXAMPLE 6.3. Tính điện dung của một tụ điện phẳng có điện môi mica với εr = 6, diện tích bản 10(in2) và khỏang cách giữa hai bản 0.01(in).

SOLUTION. We know that 1 in = 0.0254 (m) Thus:

S = 10 × 0.02542 = 6.45 × 10−3 (m2)

d = 0.01 × 0.0254 = 2.54 × 10−4 (m)

(nF)

ε ε ε

4 Năng lượng tích lũy trong tụ điện.

l Xét tụ điện tổng quát in Fig 6.5 gồm phân bố điện tích mặt: ρSa ở điện

1

2 Ωε E

W   E dv (C26)

parallel-plate capacitor in Fig 5.6 by using Eq (45) of Section 4.8.

SOLUTION. Replacing ε o by ε in Eq (45) of Section 4.8, we

obtain

where Ω is the region in which E ≠ 0

For a paralled – plate capacitor, E ≠ 0 inside the volume v of the

DRILL PROBLEM 6.4. Find the relative permittivity ε r of thedielectric material present in a parallel-plate capacitor if:

(a) S = 0.12 (m2); d = 80 (µm); V = 12 (V), and the capacitor

5.9 ĐiỆN DUNG CỦA MỘT SỐ TỤ ĐiỆN

1 Tụ điện trụ (Section 3.3, Fig 3.5)

Q = ρS2πaL = ρLL (C27)where ρ = 2πaρ is the charge per unit length of M

n Trong tụ điện trụ (coaxial capacitor):

l Ma and Mb are two vật dẫn mặt trụ

l The surfaces Sa and Sb of Ma and Mb are cylindrical surfaces of radius a and b ( 0 < a < b) and length L.

l The độ điện thẩm ( permittivity) của điện môi

ln2

L b V

a

ρ πε

2 Tụ điện cầu (Fig C 6.5).

n Trong tụ điện cầu:

l M a and M b are two mặt cầu dẫn điện đồng tâm

l The surfaces S a and S b of M a and M b are spherical surfaces

of radius a and b (0 < a < b).

Figure C6.5

1/16/2013 Châu Văn Bảo - ĐHCN TP.HCM

5.9 ĐiỆN DUNG CỦA MỘT SỐ TỤ ĐiỆN

l Vùng giữa mặt cầu và điện môi có độ điện thẩm ε.

l Mặt cầu trong S a mang positive charge + Q.

l Mặt cầu ngoài S b mang negative charge – Q.

l Điện trường E chỉ khác không trong miền giữa hai mặt S a and

S b được cho bỡi Gauss’s Law:

l Hiệu điện thế V = V ab between S a and S b được tìm từ E bỡi tích

phân đường (Fig C6.6):

1 1

Q C

! Nếu cho mặt cầu ngoài trở thành vô cùng lớn

(b → ∞), ta được điện dung của một hình cầu cô lập có bán

kính là a

Chẳng hạn, một hình cầu bán kính 1 (cm) trong không gian, có

C = 1 (pF)

5.9 ĐiỆN DUNG CỦA MỘT SỐ TỤ ĐiỆN

3 Tụ điện phẳng hai điện môi, biên giới song song với bản

(Fig 6.7)

n Xét tụ điện phẳng gồmhai bản cực song song có

area S and spacing d.

l Giữa M a and M b có điện

môi có bề dày d1, d2 and

độ thẩm điện ε1, ε2

l Mặt phẳng S i giữa haiđiện môi song song với

mặt phẳng dẫn điện

Figure 6.7

l Q is the total positive charge trên bề mặt vật dẫn M a.

l −Q is the total negative charge trên bề mặt vật dẫn M b

l ρS = Q/S is surface charge density phân bố đều on S a (ρS > 0)

l −ρS = − Q/S is surface charge density phân bố đều on S b (−ρS < 0)

l Gỉa sử charge Q on Sa

l The surface charge density on S a is ρS = Q/S.

l D1 is normal to S a and D2 is normal to S b They are both directed

from S a to S b ; and normal to the interface S i

l At the interface S of two dielectrics, D N continuous : D N1 = D N2

l At the surface S a, D = ρSaN = ρSaz

1 2

1 2

1

Q C

4 Tụ điện phẳng hai điện môi, biên giới vuông góc với bản

(Fig C 6.6)

n Xét tụ điện phẳng gồm 2 bảnsong song có area S and spacing d.

l Giữa bản điện M a and M b Điệnmôi gồm hai tấm có bề dày d, độthẩm điện ε1, ε2 va chiếm các diện

tích S1, S2

l Mặt phẳng S i giữa hai điện môi

vuông góc với bản điện

! We shall show that the equivalent capacitance can be obtained

by treating the arrangement as two capacitors in parallel

Figure C6.7

5.9 ĐiỆN DUNG CỦA MỘT SỐ TỤ ĐiỆN

l thành lập hiệu điện thế V between M a and M b

l E1 is normal to S a1 and E2 is normal to S a2 They are both

directed from S a to S b ; i.e parallel to the interface S i

l At the interface S i of two dielectrics, E t is continuous : E t1 = E t2.Thus E1 = E2 = E = V/d

l The total charge Q on S a in then

Q = Qa = Q1 + Q2 = V(ε1S1/d + ε2S2/d)

l The capacitance is

1 1S 2 2S

Q C

5.9 ĐiỆN DUNG CỦA MỘT SỐ TỤ ĐiỆN

(a) A 1(ft) length of a coaxial cable, which has an inner conductor 0.1045 (in) in diameter, a dielectric (εr = 2.26) and an

outer conductor which has an inner diameter of 0.68 (in);

(b) a conducting sphere of radius 2.5 (mm), covered with adielectric layer 2 (mm) thick, which has a relative permittivity of

εr = 2.26, surrounded by a conducting sphere of radius 4.5 (mm)

(c) two rectangular conducting plates, 1 (cm) by 4 (cm), withnegligible thickness, between which are three sheets ofdielectrics, each 1(cm) by 4 (cm), and 0.1(mm) thick, havingrelative permittivities of 1.5, 2.5, and 6

ANSWERS (a) 20.5 (pF) ; (b) 1.41 (pF) ; (c) 28.7 (pF)

Chapter 5 2 Quizzes