BÀI TẬP ÔN CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của hàm số hợp ( )u u x= dx x C= + ∫ du u C= + ∫ 1 1 . ( 1) 1 x dx x C α α α α + = + ≠ − + ∫ 1 1 . ( 1) 1 u du u C α α α α + = + ≠ − + ∫ ln dx x C x = + ∫ ( 0x ≠ ) ln du u C u = + ∫ ( 0u ≠ ) 2 dx x C x = + ∫ 2 du u C u = + ∫ x x e dx e C= + ∫ u u e du e C= + ∫ (0 1). ln x x a a dx C a a = + < ≠ ∫ (0 1). ln u u a a du C a a = + < ≠ ∫ cos sinxdx x C= + ∫ cos sinudu u C= + ∫ sin cosxdx x C= − + ∫ sin cosudu u C= − + ∫ 2 tan cos dx x C x = + ∫ ; 2 cot sin dx x C x = − + ∫ . 2 tan cos du u C u = + ∫ ; 2 cot sin du u C u = − + ∫ Ngoài ra còn một số công thức thường gặp là. 1 1 ln ax , 0. ax dx b C a b a = + + ≠ + ∫ ax ax 1 ; b b e dx e C a + + = + ∫ 1 sin(ax ) os(ax )b dx c b C a + = − + + ∫ 1 os(ax ) sin(ax )c b dx b C a + = + + ∫ 2 1 tan( ) cos ( ) dx ax b C ax b a = + + + ∫ 2 1 cot( ) sin ( ) dx ax b C ax b a = − + + + ∫ 2 1 1 dx C x x = − + ∫ ( ) 2 1 1 dx C x a x a = − + ± ± ∫ 1. Tích phân hàm phân thức hữu tỉ: Bài 1: Tính các tích phân sau: 1 1 0 2x 9 I dx x 3 + = + ∫ 4 2 3ln 3 + 1 2 2 0 x 3x 2 I dx x 3 + + = + ∫ 1 4 2ln 2 3 + 2 2 3 1 2x 3x 1 I dx 2x 1 − + = + ∫ 1 3 5 ln 2 2 3 − + 3 4 2 2x 3 I dx (x 1)(x 2) + = − + ∫ 5 1 5 ln 2 ln 3 3 4 + 1 5 2 0 2x 1 I dx 4 x − = − ∫ 3 5 3 ln 2 ln 4 4 2 − 1 6 2 0 3 I dx x 4x 5 = − − ∫ 1 2 ln 2 5 3 7 2 2 x 1 I dx x 2x 3 − − = + − ∫ 1 5 ln 2 12 1 2 8 2 0 x 2x 3 I dx x 4 − + = − ∫ 11 3 3 1 ln ln 2 4 2 4 − − 2 9 2 1 5 I dx x 6x 9 = − + ∫ 5 2 1 10 2 0 x 3 I dx x 2x 1 + = + + ∫ 1 ln 2+ 2. Phương pháp đổi biến số: a. Đổi biến số dạng 1: Bài 2: Tính các tích phân sau: 3 2 1 0 I x 1.xdx= + ∫ 7 3 1 2 0 I x 3x 1dx= + ∫ 116 135 1 3 2 3 0 I x 1 x dx= − ∫ 2 5 3 5 2 4 0 I x x 1dx= + ∫ 848 105 1 5 0 2x 1 I dx x 3 − = + ∫ 52 10 3 3 − 7 6 2 1 I dx 2 x 1 = + + ∫ 4 2 2ln 3 − 9 3 7 1 I x 1 xdx= − ∫ 468 7 − 2 8 1 x I dx 1 x 1 = + − ∫ 11 4ln 2 3 − 4 9 0 2x 1 I dx 1 2x 1 + = + + ∫ 2 ln 2+ 2 10 0 x 1 I dx 4x 1 + = + ∫ 11 6 7 11 3 0 x 2 I dx x 1 + = + ∫ 231 10 1 3 12 2 0 x dx I 4 x = − ∫ 16 3 3 3 − 4 13 0 4x 1 I dx 2x 1 2 − = + + ∫ 34 5 10ln 3 3 − 2 3 14 2 5 dx I x x 4 = + ∫ 1 5 ln 4 3 4 15 2 7 dx I x 9 x = + ∫ 1 7 ln 6 4 3 16 1 x 3 I dx 3 x 1 x 3 − − = + + + ∫ 8 6 ln 3 − + 10 17 5 dx I x 2 x 1 = − − ∫ 1 2ln 2+ 6 18 2 dx I 2x 1 4x 1 = + + + ∫ 1 3 ln 12 2 − + 1 3 19 2 0 x I dx x 1 x = + + ∫ 2 2 1 15 − 2 2 20 0 x I dx 2 x 2 x = + + − ∫ 16 15 ( ) 1 2 21 0 I x x 3x 1 dx= + + ∫ 599 540 Bài 3: Tính các tích phân sau: ln8 x 2x 1 ln3 I e 1.e dx= + ∫ 1076 15 ln5 2x 2 x ln 2 e I dx e 1 = − ∫ 20 3 1 3 x x 0 dx I e 4e − = − ∫ 1 2 1 1 ln ln 4 2 4 3 e e − − ÷ + 3 4 x 1 dx I e 1 = − ∫ ( ) 2 ln 1 2e e+ + − ln5 5 x x ln3 dx I e 2e 3 − = + − ∫ 3 ln 2 1 2 x 2 x 6 x 0 x e 2x e I dx 1 2e + + = + ∫ Bài 4: Tính các tích phân sau: e 1 1 1 3ln x I ln xdx x + = ∫ 116 135 3 e 2 2 1 ln x I dx x ln x 1 = + ∫ 76 15 e 3 1 3 2 ln x I dx x 1 2ln x − = + ∫ 10 2 11 3 − ( ) e 4 2 1 ln x I dx x 2 ln x = + ∫ 1 3 ln 3 2 − + e 5 1 ln x 2 I dx x ln x x − = + ∫ 1 3ln 2− ( ) 7 2 e 6 e ln x I dx x 2 ln x 1 = + + ∫ 17 4 2ln 3 3 + Bài 5: Tính các tích phân sau: /2 1 0 sin 1 3cos x I dx x = + ∫ π 1 ln 4 3 /4 2 2 0 1 2sin 1 sin 2 x I dx x π − = + ∫ 1 ln 2 2 /2 3 0 sin 2 cos 1 x I dx x = + ∫ π 2 2ln 2 − /2 4 0 cos3 sin 1 x I dx x = + ∫ π 3 3ln 2 − /2 5 0 sin 2 sin 1 3cos x x I dx x π + = + ∫ 34 27 /2 6 0 sin x cos cos sinx 2 x x I dx + = + ∫ π 3 1 ln 2 − /2 3 7 0 4sin 1 cos x I dx x = + ∫ π 2 /6 8 2 0 cos 6 5sin sin x I dx x x = − + ∫ π 10 ln 9 /2 9 2 0 cos 7 5sin cos x dx I x x = − − ∫ π 4 ln 3 /2 10 0 sin 2 cos 1 cos x x I dx x π = + ∫ 1 2 ln 2− + /2 11 0 sin 2 3 4sin cos 2 x dx I x x π = + − ∫ 1 ln 2 2 − + /2 12 2 2 0 sin 2 cos 4sin x I dx x x π = + ∫ 2 3 /2 5 13 0 cosI xdx= ∫ π 8 15 ( ) /2 3 2 14 0 cos 1 osI x c xdx π = − ∫ 8 15 4 π − /4 15 0 (sin cos )cos dx I x x x = + ∫ π ln 2 /2 16 /4 sin cos 1 sin 2 x x I dx x − = + ∫ π π ln 2 /2 17 3 0 cos 2 (sin cos 3) x I dx x x = − + ∫ π 1 32 ( ) 4 18 0 sin 4 sin 2 2 1 sin cos x dx I x x x π π − ÷ = + + + ∫ 4 3 2 4 − b. Đổi biến số dạng 2: Bài 6: Tính các tích phân sau: 1 2 1 0 1I x dx= + ∫ 4 π 2 2 2 0 4I x dx= − ∫ π 1 2 2 3 0 1I x x dx= − ∫ 16 π 1 2 4 2 0 4 x I dx x = − ∫ 3 3 2 π − 1 5 2 0 1 1 I dx x = + ∫ 4 π 3 2 6 2 0 1 x I dx x = + ∫ 3 3 3 π − 3. Phương pháp tích phân từng phần: Bài 7: Tính các tích phân sau: 2 1 0 I (2x 1) cos xdx π = − ∫ 3 π − 2 2 0 I (x 1)sin 2xdx π = + ∫ 1 4 π + 2 3 0 I (2x 1)sin 3xdx π = − ∫ 5 9 − 4 4 0 I x(1 sin 2x)dx π = + ∫ 2 1 32 4 π + 2 2 5 0 I x s dxinx π = ∫ 2 π − 2 2 6 0 I (x 1)c xdxos π = + ∫ 2 1 16 4 4 π π + − 3 7 0 I x sin xdx π = ∫ 2 3 π 2 x 8 1 I (2x 1)e dx= − ∫ 2 e e + ( ) 1 3x 9 0 I x 1 e dx= − ∫ 3 4 9 e − 1 2x 10 0 I (x 2)e dx= − ∫ 2 5 3 4 e − ( ) 1 x 11 0 I 2x 1 e dx − = + ∫ 5 3 e − ( ) 1 2x x 12 0 I e x e dx − = + ∫ 1 2 e − 1 2 x 14 0 I (x 1)e dx= + ∫ 2 3e − ( ) 1 2 3 15 0 1 x I x e x dx= + − ∫ 2 1 1 4 14 e − e 16 1 I x ln x dx= ∫ 2 1 4 e + e 2 17 1 I (x 2x) ln x dx= + ∫ 3 2 2 11 9 2 8 e e + + 2 18 1 I (x 2)ln x dx= − ∫ 5 2ln 2 4 − + 3 2 19 2 I ln(x x) dx= − ∫ 2 3ln 3 − + 3 20 2 1 3 ln x I dx (x 1) + = + ∫ 1 27 3 ln 4 16 + ÷ e 21 1 3 I 2x ln xdx x = − ÷ ∫ 2 1 2 e − 3 22 2 1 1 ln(x 1) I dx x + + = ∫ 2 2 ln 2 ln 3 3 3 − + e 3 23 1 x 1 I ln xdx x + = ∫ 3 4 11 18 e + 1 2 24 0 I x ln(1 x )dx= + ∫ 1 ln 2 2 − + e 3 25 1 x 1 I ( ).ln x dx x + = ∫ 3 4 11 18 e + e 26 2 1 ln x I dx x = ∫ 2 1 e − 2 27 3 1 ln x I dx x = ∫ 3 2 ln 2 16 − 2 28 2 1 ln(1 x) I dx x + = ∫ 8 1 ln ln 3 13 2 − e 2 2 29 1 I x ln x dx= ∫ 2 5 2 27 e − 3 2 30 1 .ln e I x xdx= ∫ 4 5 1 32 e − /4 31 2 0 cos x I dx x = ∫ π 2 ln 4 2 π + /4 32 0 1 cos 2 x I dx x = + ∫ π 1 2 ln 2 4 2 π + ÷ ÷ 3 33 2 0 1 sin cos x x I dx x π + = ∫ ( ) 2 3 ln 2 3 3 π + + − . + + ∫ 2 1 1 dx C x x = − + ∫ ( ) 2 1 1 dx C x a x a = − + ± ± ∫ 1. Tích phân hàm phân thức hữu tỉ: Bài 1: Tính các tích phân sau: 1 1 0 2x 9 I dx x 3 + = + ∫ 4 2 3ln 3 + 1 2 2 0 x 3x 2 I. 2 π − 1 5 2 0 1 1 I dx x = + ∫ 4 π 3 2 6 2 0 1 x I dx x = + ∫ 3 3 3 π − 3. Phương pháp tích phân từng phần: Bài 7: Tính các tích phân sau: 2 1 0 I (2x 1) cos xdx π = − ∫ 3 π − 2 2 0 I (x 1)sin 2xdx π =. BÀI TẬP ÔN CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của hàm số hợp ( )u u x= dx