1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

On giai phuong trinh mu

11 1,6K 2

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 11
Dung lượng 163,33 KB

Nội dung

A. Phương trình mũ: Dạng 1: Đưa về cùng cơ số :  f(x) a = g(x) a <=> f(x) = g(x) ( với a >0 , a  1 )  f(x) a = b <=>      a b 0 f(x) log b  v(x) u =1 <=>            u(x) 0 u 1 v 0 Bài 1: Giải các pt sau : a) 2 x4 = 5 <=> x4 =log 2 5 <=> x=4+log 2 5 b) 2 x3 =   2 x 3x 5 4 <=> x3=2(x 2 +3x5) <=> 2x 2 +5x7=0 <=> x 1 7 x 2        c) 9 3x1 = 3 8x2 <=> 2 3x 1  =8x2 <=> 3x 1  =4x1 <=> 4x 1 0 3x 1 4x 1 3x 1 (4x 1)                  <=> 1 x 4 x 0 2 x 7                (loại) <=> x= 2 7 d) 5 2x =3 2x +2.5 x +2.3 x <=>5 2x 3 2x =2.5 x +2.3 x <=> (5 x 3 x )(5 x +3 x ) =2(5 x +3 x ) <=> 5 x 3 x =2 <=> 5 x =3 x +2 <=>1= x 3 5       +2. x 1 5       (*) C 1 : + Ta thấy x=1 là nghiệm của pt (*) + Nếu x >1 thì x 3 5       < 3 5 2. x 1 5       <2. 1 5 => x 3 5       +2. x 1 5       < 1 . Phương trình (*) vô nghiệm + Nếu x <1 thì x 3 5       > 3 5 2. x 1 5       >2. 1 5 => x 3 5       +2. x 1 5       > 1 . Phương trình (*) vô nghiệm Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của pt C 2 : Xét hàm số f(x) = x 3 5       +2. x 1 5       Đạo hàm : f’(x) = x 3 5       .ln 3 5 +2. x 1 5       .ln 1 5 <0 ,  x  R => hàm số nghòch biến trên R Và f(1) =1 Khi đó pt (*): f(1) = f(x) <=> x=1 e) 2 x + 2 x1 +2 x2 = 3 x 3 x1 +3 x2 <=>2 x (1+ 1 2 + 1 4 ) = 3 x ( 1 1 3 + 1 9 ) <=> 7 4 .2 x = 7 9 .3 x <=> x 2 3       = 4 9 <=> x=2 f)   x 1/ 2 x (0,2) (0,04) 5 25 <=>     ( x 1/ 2) 2x 2 5 5 5 5 <=>5 x3/2 = 5 2x2 <=>x 3 2 =2x2 <=> x= 1 2 g)  2 3 log x 1 2 64 . Đk x > 0 <=>   2 3 log x 6 2 2 <=> 2 3 log x =6 <=>log 2 x = 1 2 <=>x= 1 2 2  = 1 2 h) 2 x .3 x1 .5 x2 =12<=> x x x 2 2 .3 .5 3.5 =12 <=>30 x = 900 <=>x=2 i)   2 x 6x 5/ 2 2 = 16 2 <=>   2 x 6x 5/ 2 2 =2 9/2 <=>x 2 6x  5 2 = 9 2 <=>x 2 6x 7=0 <=> x=1 x=7 k)    2 2 4 x (x 2x 2) =1. Đk : 4x 2 ≥0 <=> 2 ≤ x ≤ 2 pt : 2 2 x 2x 2 1 4 x        <=> x 1 x 2       ( thỏa) l) 7 3x +9.5 2x = 5 2x +9.7 3x <=> 9.5 2x  5 2x =9.7 3x 7 3x <=>8.5 2x =8.7 3x <=>5 2x =7 3x <=> x 2 3 5 7       =1 <=>x =0 Dạng 2: Đặt ẩn phụ:  . 2.f(x) a +. f(x) a +  = 0 . Đặt t = f(x) a đk t > 0 Bài 2: Giải các phương trình : a)  2 x 1 9 36.  2 x 1 3 +243 = 0 . Đặt t=  2 x 1 3 , đk t > 0 Phương trình : t 2 36t +243 =0 <=> t 27 t 9      Khi t=27 <=>  2 x 1 3 =27 <=>x 2 1=3 <=> x=2 Khi t=9 <=>  2 x 1 3 =9 <=>x 2 1=2 <=> x= 3 Vậy pt đã cho có 4 nghiệm là : x=  2 ; x= 3 b)   x 5 3 +    x 10 10 3  84=0 <=>   x 5 3 +     x 10 10 10 3 3  84=0 Đặt t=   x 10 3 , đk t >0 Pt : t 2 + t 3 84=0 <=> t 9 28 t 3         (loại) . Khi t= 9 <=>   x 10 3 =3 2 <=> x 10 =2 <=> x=20 c)   2 x x 2 4 5.    2 x 1 x 2 2 =6 <=>   2 x x 2 4  5 2 .   2 x x 2 2 =6 Đk : x 2 2 ≥0 <=> x≤ 2  x≥ 2 Đặt t=   2 x x 2 2 , đk t > 0 Pt : t 2  5 2 t 6=0 <=> t=4  t= 3 2 ( loại) Khi t=4 <=>   2 x x 2 2 =2 2 <=>x+ 2 x 2  =2 <=> 2 x 2  =2x <=> 2 2 2 x 0 x 2 (2 x)         <=> 2 x 3 x 2        <=> x= 3 2 d)  4x 8 3 4.  2x 5 3 +28 =2 2 log 2 <=>  2(2x 4) 3 4.3.  2x 4 3 +28 =1 Đặt t=  2x 4 3 , đk t >0 Pt : t 2 12t +27=0 <=> t =9  t=3 Khi t=9 <=>  2x 4 3 =3 2 <=>2x+4=2 <=> x=1 Khi t=3 <=>  2x 4 3 =3 <=>2x+4=1 <=> x= 3 2 Vậy pt có hai nghiệm x=1 ; x= 3 2 e)    x 2 3 +    x 2 3 =4 ; vì    x 2 3 .    x 2 3 =1 Đặt t=    x 2 3 , đk t >0 Pt : t + 1 t =4 <=>t 2 4t +1=0 <=> t 2 3 t 2 3         Khi t= 2 3 <=>    x 2 3 =(2+ 3 ) 1 <=> x=1 Khi t= 2+ 3 <=>    x 2 3 =(2+ 3 ) <=> x=1 Vậy phương trình có hai nghiệm là x=1; x=1 f)    x 3 5 + 16.    x 3 5 =  x 3 2 Chia hai vế cho 2 x ta có :          x 3 5 2 +16.          x 3 5 2 =8 Đặt t=          x 3 5 2 , đk t >0 P. trình : t + 16 t =8 <=>t 2 8t +16=0 <=>t=4 <=>          x 3 5 2 =4 <=>x= 3 5 2 log 4  g) (7+ 4 3 ) x 3(2 3 ) x +2 = 0 . Chú ý : (2+ 3 ) 2 =7+4 3 Đặt t=    x 2 3 , đk t >0 Pt : t 2  3 t +2=0 <=>t 3 +2t 3=0 <=>(t1)(t 2 +t+3)=0 <=>t=1 Khi t= 1<=>    x 2 3 =1 <=> x=0 h)    x 5 24 +    x 5 24 =10 Đặt t=    x 5 24 ; đk t > 0 Pt : t + 1 t =10 <=> t 2 10t +1=0 <=> t 5 24 t 5 24         Khi t= 5 24 <=>    x 5 24 =(5+ 24 ) 1 <=> x 2 =1 <=> x=2 Khi t= 5+ 24 <=>    x 5 24 =(5+ 24 ) <=> x 2 =1 <=> x=2 Phương trình có hai nghiệm là : x=  2 i) 5.4 x 7.10 x + 2.25 x =0 <=> 5. x 4 25       7. x 10 25       +2=0 <=>5. 2x 2 5       7. x 2 5       +2=0 . Đặt t= x 2 5       ; đk t > 0 Ptrình : 5t 2 7t +2=0 <=> t=1  t = 2 5 Khi t=1 <=> x 2 5       =1 <=> x=0 Khi t= 2 5 <=> x 2 5       = 2 5 <=> x=1 Phương trình có hai nghiệm là : x= 0; x=1 k) 4 x +4 x + 2 x +2 x = 10 <=>4 x + x 1 4 +2 x + x 1 2 =0 Đặt t=2 x + x 1 2 ; đk t ≥ 2 và t 2 =4 x + x 1 4 +2.2 x . x 1 2 => 4 x + x 1 4 =t 2 2 Pt : t 2 2 +t =10 <=> t 2 +t12=0 <=> t=3  t=4 ( loại) Khi t=3 <=>2 x + x 1 2 =3 <=> 2 2x 3.2 x +1=0 <=> 2 x = 3 5 2  (thỏa) <=>x= log 2 3 5 2  Bài 3: Giải phương trình : a) 5 2x 7 x 35.5 2x +35.7 x = 0<=> 34.5 2x +34.7 x =0 <=> 7 x =5 2x <=> x =0 b) x 2 .2 x+1 +2 x3+2 = x 2 .2 x3+4 + 2 x1 <=> x 2 .2 2 (2 x1 2 x3+2 ) +2 x3+2 2 x1 =0 <=>(2 x1 2 x3+2 )(x 2 .4 1) =0 <=> 2 x 3 2 x 1 4x 1 0 2 2 0            <=> 1 x 2 x 3 2 x 1            <=> 1 x 2 x 3 x 3           <=> 1 x 2 x 3 0         <=> 1 x 2 x 3        c) 2x.5 x 3 = 6x 5 x <=> 2x(5 x 3) +5 x 3=0 <=> (5 x 3)(2x+1)=0 <=> x 5 3 0 2x 1 0        <=> 5 x 3 1 x 2 log         d) (x 2 +x)2 x = 2 x+1 +6 3x 2 3x <=> (x 2 +x2)2 x +3(x 2 +x2) =0 <=> (x 2 +x2)(2 x +3)=0 <=> x 2 +x2=0 ( vì 2 x +3 > 0 ) <=> x=1  x=2 Dạng 3: Logarít hóa hai vế A = B <=>  a a log A log B A> 0 , B > 0 Bài 4: Giải phương trình : a)   x 5 x 7 32 = 0,25.   x 7 x 3 128 Giải : Đk : x≠ 7; x≠ 3 Pt : x 5 5 x 7 2         =2 2 . x 7 7 x 3 2         <=> x 5 5 x 7 2         = x 7 7 2 x 3 2          <=> 5(x 5) x 7   = 7(x 7) x 3   2 <=> (5x+25)(x3) =(7x+49)(x7) 2(x7)(x3) <=> 5x 2 +10x75 = 7x 2 343 2( x 2 10x +21) <=> 10x =310 <=> x=31 b)   2 x 2x x 3 2 .3 2 Lấy logarít cơ số 2 hai vế : log 2 (  2 x 2x x 2 .3 ) =log 2 3 2 <=> log 2 (  2 x 2x 2 ) + log 2 x 3 =log 2 3 log 2 2 <=> x 2 2x +x.log 2 3 = log 2 3 1 <=> x 2 +(2+log 2 3).x +1log 2 3 =0 Ta có  =(2+log 2 3) 2 4(1log 2 3) = 44.log 2 3 + (log 2 3) 2 4 +4log 2 3=(log 2 3) 2 Pt có hai nghiệm là : x=1  x=1log 2 3 c) 5 x .  x 1 x 8 =500 ; đk x ≠ 0 Lấy logarít cơ số 2 hai vế : log 2 5 x + log 2  x 1 x 8 =log 2 (5 3 .2 2 ) <=> x.log 2 5 +3. x 1 x  =3log 2 5 +2 <=>x 2 .log 2 5 +3x3 =3x.log 2 5+2x <=> x 2 .log 2 5 +(13log 2 5).x 3=0 Ta có  =(13log 2 5) 2 4(3)log 2 5 =16.log 2 5+9.(log 2 5) 2 +12.log 2 5 =(1+3log 2 5) 2 Pt có hai nghiệm là : 2 2 2 2 2 2 1 3 5 1 3 5 x 2 5 1 3 5 1 3 5 x 2 5 log ( log ) .log log ( log ) .log                 <=> 2 1 x 5 x 3 log         <=> x= log 5 2  x=3 d)    3 log x 1 x =3 . Đk x> 0 Lấy logarit cơ số 3 hai vế : log 3    3 log x 1 x =log 3 3 <=> (log 3 x 1).log 3 x =1<=> 1 2 (log 3 x 1).log 3 x =1 <=> (log 3 x) 2 log 3 x 2=0 <=> 3 3 x 1 x 2 log log       <=> 1 x 3 x 9        e)  2 log x 4 x =32 ; đk x >0 Lấy logarit cơ số 2 hai vế : log 2  2 log x 4 x =log 2 32 <=>(log 2 x +4).log 2 x=5 <=> (log 2 x) 2 +4.log 2 x 5=0 <=> 2 2 x 1 x 5 log log       <=> 5 x 2 x 2       <=> x 2 1 x 32        f) 2 2log x x =10x 3 ; đk x >0 Lấy logarit cơ số 10 hai vế : log 2 2log x x =log(10x 3 )<=>2(logx) 3 =1+3.logx <=>2(logx) 3 3.logx1=0 <=>(logx+1)(2log 2 x 2logx 1) =0 <=> 2 x 1 0 2 x 2 x 1 0 log log log         <=> x 1 1 3 x 2 log log          <=> 1 3 2 1 x 10 x 10          g) 2 x+3 .5 34x =16 Lấy logarit cơ số 2 hai vế : log 2 2 x+3 + log 2 5 34x =log 2 16 <=> x+3 +(34x)log 2 5 =4 <=> (14.log 2 5).x = 13log 2 5 <=> x= 2 2 1 3 5 1 4 5 log log   h) 3 x .  x x 2 8 =6 <=> log 3 (3 x . x x 2 8  )=log 3 6 đk x ≠ 2 <=> log 3 3 x + log 3 x x 2 8  = log 3 2 + log 3 3 <=> x+ 3x x 2  log 3 2 = log 3 2 +1 <=> x 2 +2x + 3x.log 3 2 =(x+2)( log 3 2 +1) <=> x 2 +(1+2log 3 2)x 2log 3 2 2=0 Ta có  = ( 1+2log 3 2) 2 4( 2log 3 2 2) = 1+ 4log 3 2 +4   2 3 log 2 + 8log 3 2 +8 = (3+ 2.log 3 2 ) 2 Suy ra nghiệm phương trình là : x= 3 3 (1 2log 2) (3 2log 2) 2     =2  3 2log 2 hoặc x=1 Dạng 4: Đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất : Bài 5: Giải các phương trình sau : a) 3 x +4 x =5 x Giải : Viết lại : x 3 5       + x 4 5       =1 (*) Xét hàm số f(x) = x 3 5       + x 4 5       , x  (∞ ; +∞ ) Đạo hàm : f’(x) = x 3 5       ln 3 5 + x 4 5       ln 4 5 < 0 => hàm số nghòch biến trên (∞ ;+∞ ) và f(2) =1 Phương trình (*) <=> f(x) =f(2) => x=2 b) 1+ x 2 3 =2 x <=> 1= x 3 2         + x 1 2       <=> x 3 2         + x 1 2       1=0 . Đặt f(x) = x 3 2         + x 1 2       1 Ta có : f ‘(x) = x 3 2         ln 3 2 + x 1 2       ln 1 2 < 0 Hàm số nghòch biến trên R và f(2) = 0 Phương trình viết lại là : f(x) = f(2) <=> x=2 c) 2 x +3 x = 5 x <=> x 2 5       + x 3 5       =1 (*) Xét hàm số f(x) = x 2 5       + x 3 5       , x  (∞ ; +∞ ) Đạo hàm : f’(x) = x 2 5       ln 2 5 + x 3 5       ln 3 5 < 0 => hàm số nghòch biến trên (∞ ;+∞ ) và f(1) =1 Phương trình viết lại là : f(x) = f(1) <=> x=1 d) 3 x = cos x . Đk x 0 Khi đó : VT =3 x  3 0 =1 ; VP = cos x  1 Vậy pt <=> x 3 1 x 1 cos        <=> x =0 e) 3 x = 63x<=> 3 x +3x =6 (*) Đặt f(x) =3 x +3x ; f’(x) = 3 x .ln3 +3 >0 , x  R và f(1) =6 Phương trình (*) viết lại là : f(x) = f(1) <=> x=1 f)   2 3 log (1 x) log x ; đk x  0 Đặt t= log 3 x =t <=> x =3 t (1) Và khi đó :  2 log (1 x) =t <=> 1+ x =2 t (2) Thay (1) vào (2) ta có : 1+ t 3 =2 t <=> t 3 2         + t 1 2       =1 Đặt f(t) = t 3 2         + t 1 2       Ta có : f ‘(t) = t 3 2         ln 3 2 + t 1 2       ln 1 2 < 0 Hàm số nghòch biến trên R và f(2) = 1 Phương trình viết lại là : f(t) = f(2) <=> t=2 . Suy ra x=3 2 =9 Bài 6: Giải phương trình : a)   2 log x logx 10 x 20 . Đk x>0 . Chú ý : 2 log x 10 =   logx logx 10 =x logx Pt <=> 2. 2 log x 10 =20 <=> 2 log x 10 =10 <=> log 2 x =1 <=> x 1 x 1 log log       <=> x 10 1 x 10        b) 2 3 log x 3 + 3 log x x =162. Đk x>0 . Chú ý : 2 3 log x 3 =   3 3 log x log x 3 = 3 log x x Ptrình <=> 2. 2 3 log x 3 =162 <=> 2 3 log x 3 =3 4 <=> 2 3 x log =4 <=> 3 3 x 2 x 2 log log       <=> x 9 1 x 9        c) x 2 +(32 x )x +2(12 x ) = 0 <=> x 2 +3x+2 2 x (x+2) =0 <=> (x+1)(x+2) 2 x (x+2) =0 <=> (x+2)(x+12 x ) =0 <=> x x 2 0 x 1 2 0         TH1: x+2 =0 <=> x =2 TH2: x+12 x =0 Đặt f(x) =x+1 2 x ; f’(x) =1 2 x .ln2 ; f’’(x) = 2 x (ln2) 2 < 0 => hàm số f’(x) nghòch biến trên R Vì f ’(0) =1ln2 > 0 ; f ‘(1) =12ln2 <0 Nên trong khoảng (0;1) phương trình f ‘(x) =0 có duy nhất nghiệm x= α Bảng biến thiên : x ∞ 0 α 1 +∞ f ‘(x) + 0  f(x) CT ∞ ∞ Từ bảng biến thiên suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm Mặt khác : f(0) =0 ; f(1) = 0 => phương trình (2) có hai nghiệm là x=0 ; x=1 Vậy pt ban đầu có 3 nghiệm là x =2; x=0 ; x=1 c) 27 x 13.9 x +13.3 x+1 27 = 0 <=>27 x 13.9 x +13.3.3 x 27 = 0 Đặt t= 3 x , đĐk t >0 Phương trình : t 3 13t 2 +39.t 27 =0 <=> t 9 t 1 t 3         <=> x 2 x x 3 3 3 1 3 3          <=> x 2 x 0 x 1         Phương trình có 3 nghiệm là : {0;1;2} d)    2 x 8x 7 x 3 = (x3) 2 . Đk : x 3  >0 <=> x≠ 3 Phương trình : 2 x 3 1 x 8x 7 2          <=> 2 x 3 1 x 3 1 x 8x 9 0              <=> x 4 x 2 x 1 x 9            Phương trình ban đđầu có nghiệm là : x  {1;2;4;9} e) 2 3x  3x 8 2 6.(2 x  x 2 2 ) =1 . Hằng đđẳng thức : (ab) 3 = a 3 b 3 3ab(ab) Đặt t= 2 x  x 2 2 ; t 3 =2 3x  3x 8 2 3.2 x . x 2 2 (2 x  x 2 2 ) =2 3x  3x 8 2 6t Suy ra : 2 3x  3x 8 2 =t 3 +6t Phương trình trở thành: t 3 +6t 6t =1 <=> t=1 <=>2 x  x 2 2 =1 <=> 2 2x +2 x 2=0 <=> 2 x =1  2 x =2 ( loại) <=> 2 x =1 <=> x=0 . => hàm số f’(x) nghòch biến trên R Vì f ’(0) =1ln2 > 0 ; f ‘(1) =12ln2 <0 Nên trong khoảng (0;1) phương trình f ‘(x) =0 có duy nhất nghiệm x= α Bảng biến thiên : x ∞ 0 α 1

Ngày đăng: 31/05/2015, 04:00

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w