đề thi môn:môn toán 9 Thời gian làm bài: 150 Họ tên ngời ra đề: Nguyễn Mạnh Hà *** Phản biện: II. Ma trận đề: Chủ đề Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Tổng TNKQ TL TNKQ TL TNKQ TL Căn bậc hai,biến đổi biểu thức,PT vô tỉ,hệ PT 2 3 2 3,5 4 6,5 Bất đẳng thức,chứng minh BĐT 1 1 2 4 1 2 4 7 Đờng tròn 1 2 2 4,5 3 6,5 Tổng 3 4 3 6 5 10 11 20 Đề bài: Bài1. (3đ) Cho biểu thức: 1 1 1 1 1 2 ++ + + + = xxx x xx x A 1. Tìm x để biểu thức A có nghĩa. Hãy rút gọn A 2. Tính A khi 2833 =x 3. Chứng minh rằng: 3 1 <A Bài2. (4đ) Giải các phơng trình, hệ phơng trình sau 1. 1111 423 +=++++ xxxxx 2. =+ =+ =+ 14 14 14 yxz xzy zyx Bài3. (6,5đ) 1. Cho , , ,a b c d là bốn số nguyên dơng bất kì, chứng minh rằng số a b c d A a b c a b d b c d a c d = + + + + + + + + + + + không phải là một số nguyên 2. Giả sử yx , là những số không âm thay đổi thoả mãn điều kiện 1 22 =+ yx a. Chứng minh rằng 21 + yx 3. Cho cba ,, là ba số dơng. Chứng minh rằng: + + + + + ++ accbbacba 2 1 2 1 2 1 3 111 Bài4. (3,5đ) Cho ABC đều cạnh a . Điểm Q di động trên cạnh AC , điểm P di động trên tia đối của tia CB sao cho 2 .AQ BP a= . Đờng thẳng AP cắt đờng thẳng BQ tại M a. CM tứ giác ABCM nội tiếp đợc b. Tìm giá trị lớn nhất của MA MC+ theo a Trờng thcs định liên 1 đề thi môn:môn toán 9 Thời gian làm bài: 150 Họ tên ngời ra đề: Nguyễn Mạnh Hà *** Phản biện: Bài5. (3đ) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn ( ) O , điểm M thuộc cung BC không chứa A . Gọi MKMIMH ,, theo thứ tự là các đờng vuông góc kẻ từ M đến ACABBC ,, . Chứng minh rằng MK AC MI AB MH BC += Đáp án thang điểm. B ài1. (4đ) 1. (2đ) A có nghĩa khi và chỉ khi 1 0 01 0 x x x x (0,5đ) * Rút gọn 1 1 1 1 1 2 ++ + + + = xxx x xx x A = ( )( ) 1 1 1 1 11 2 ++ + + ++ + xxx x xxx x (0,25đ) = ( )( ) ( ) ( )( ) 11 1112 ++ +++++ xxx xxxxx (0,25đ) = ( )( ) ( ) ( )( ) 111 1 11 ++ = ++ = ++ xx x xxx xx xxx xx (0,75đ) 2.(1đ) Theo giả thiết ( ) 1241242833 2 === xx (0,5đ) Do đó 2433 124 11242833 124 = ++ =A (0,5đ) 3.(1đ) Ta có 0 3 1 3 1 << AA hay 0 3 1 1 < ++ xx x (0,25đ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 13 1 13 12 13 13 2 < ++ = ++ + = ++ xx x xx xx xx xxx , đúng (0,5đ) Vì ( ) ( ) 01;013 2 >>++ xxx , vì 1 x Kết luận: Với 10 x thì 3 1 <A (0,25đ) Bài2. (3,5đ) 1.(1,5đ) ĐK: 1 01 01 01 4 23 +++ x x xxx x (0,5đ) Đặt 1;1 23 +++== xxxbxa với 0,0 ba Ta có ( ) ( ) baxxxxx .111 234 =+++= Trờng thcs định liên 2 đề thi môn:môn toán 9 Thời gian làm bài: 150 Họ tên ngời ra đề: Nguyễn Mạnh Hà *** Phản biện: Khi đó PT đã cho trở thành: ( )( ) 10111 ==+=+ abaabba hoặc 1 = b (0,25đ) * Với 1 = a thì 211 == xx (thoả mãn) (0,25đ) * Với 1 = b thì ( ) 011111 22323 =++=+++=+++ xxxxxxxxx 0 = x (loại) hoặc 01 2 =++ xx (vô nghiệm) (0,25đ) KL: PT đã cho có nghiệm duy nhất 2=x (0,25đ) 2.(2đ) ĐK: 4 1 4 1 4 1 014 014 014 z y x y x z (0, 5đ) Ta có =+ =+ =+ =+ =+ =+ 14222 14222 14222 14 14 14 yxz xzy zyx yxz xzy zyx (0,25đ) Cộng theo từng vế ba pt của hệ trên và biến đổi ta đợc: ( ) ( ) ( ) 0142414241424 =++ zzyyxx (0,25đ) ( ) ( ) ( ) 0114214114214114214 =+++++ zzyyxx (0,25đ) ( ) ( ) ( ) 0114114114 222 =++ zyx (0,25đ) = = = = = = = = = 114 114 114 114 114 114 0114 0114 0114 z y x z y x z y x = = = = = = 2 1 2 1 2 1 24 24 24 z y x z y x (tmđk) (0,25đ) KL: Hệ pt có nghiệm duy nhất ( ) = 2 1 ; 2 1 ; 2 1 ;; zyx (0,25đ) Bài3. (6,0đ) 1.(2,5) Vì , , ,a b c d dơng nên ; dcba a cba a +++ > ++ ; dcba b dba b +++ > ++ ; dcba c dcb c +++ > ++ ; dcba d dca d +++ > ++ (0, 5đ) Cộng tất cả các BĐT cùng chiều trên ta đợc a b c d A a b c a b d b c d a c d = + + + + + + + + + + + + +++ > dcba a dcba b +++ + dcba c +++ + dcba d +++ = 1= +++ +++ dcba dcba (1) (0,5đ) Trờng thcs định liên 3 đề thi môn:môn toán 9 Thời gian làm bài: 150 Họ tên ngời ra đề: Nguyễn Mạnh Hà *** Phản biện: Mặt khác, ta có BĐT zy zx y x + + < với yx < và 0,, >zyx (*) Thật vậy, ta xét hiệu ( ) ( ) ( ) 0< + = + + = + + zyy yxz zyy yzxyxzxy zy zx y x (vì yx < ) (0,25đ) Bây giờ ta áp dụng BĐT (*) ta có các BĐT ; dcba da cba a +++ + < ++ ; dcba cb dba b +++ + < ++ ; dcba ac dcb c +++ + < ++ ; dcba bd dca d +++ + < ++ (0, 5đ) Cộng các BĐT cùng chiều trên ta đợc a b c d A a b c a b d b c d a c d = + + + + + + + + + + + + +++ + < dcba da + +++ + dcba cb dcba ac +++ + dcba bd +++ + + = ( ) 2 2 = +++ +++ dcba dcba (2) (0,5đ) Kết hợp (1) và (2) ta đợc 21 << A hay A không phải là số nguyên (0,25đ) 2.(1,5đ) a. Trớc tiên ta chứng minh BĐT ( ) ( ) 22 2 2 yxyx ++ Thật vậy, ta xét hiệu ( ) ( ) ( ) 02222 2 2222 2 22 =+=++ yxyxyxyxyxyx , đúng hay ( ) ( ) 22 2 2 yxyx ++ . Đẳng thức xảu ra khi và chỉ khi yx = (0,25đ) áp dụng ( ) ( ) 22 22 2 =++ yxyx (vì 1 22 =+ yx ). Suy ra 2+ yx (1) (0,5đ) Ta lại có: ( ) ( ) ( ) ( ) yyxxyyxx +=+ 11 22 Vì 0, yx và 1 22 =+ yx nên 10;10 yx . Do đó ( ) ( ) 01;01 yyxx Suy ra 1 22 =++ yxyx (2) (0,5đ) Từ (1) và (2) ta có 21 + yx (0,25đ) 3.(2đ) Với 0,, >zyx , ta có 3 3 xyzzyx ++ ; 3 3111 xyz zyx ++ Suy ra ( ) zyxzyxzyx zyx ++ ++ ++++ 9111 9 111 (*) (0,25đ) (Chú ý là đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi zyx == ) áp dụng (*) ta có babba 2 9111 + ++ ; cbccb 2 9111 + ++ ; acaac 2 9111 + ++ (0,5đ) Cộng từng vế ba BĐT cùng chiều trên ta đợc: + + + + + ++ accbbacba 2 1 2 1 2 1 9 111 3 (0,25đ) + + + + + ++ accbbacba 2 1 2 1 2 1 3 111 (0,25đ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cba == Trờng thcs định liên 4 A B PC Q M E đề thi môn:môn toán 9 Thời gian làm bài: 150 Họ tên ngời ra đề: Nguyễn Mạnh Hà *** Phản biện: Bài4. (4đ) 1.(2đ) Theo giả thiết 2 .AQ BP a= suy ra BP AB AB AQ = ; 0 60== ABPBAQ (0,75đ) Vậy ( ) cgcBAPAQB ~ . Suy ra CAMBAPAQB +== 0 60 (0,75đ) Mà QBCQCBQBCAQB +=+= 0 60 Do đó MBCMAC = (hai góc cùng chắn một cung). Nên tứ giác ABCM nội tiếp (0,5đ) 2. (2đ) Trên MB lấy điểm E sao cho MAME = (0,25đ) Do 0 60== ACBAME , vì thế tam giác AME là tam giác đều Suy ra AMAE = và 0 60=MAE , từ đó ( ) EACMACBAE == 0 60 Lại có aACAB == nên ( ) cgcCAMBAE = , suy ra CMBE = (0,5đ) Vậy MBEBMEMCMA =+=+ (0,25đ) Do đó MA MC+ lớn nhất khi và chỉ khi MB lớn nhất khi và chỉ khi MB là đờng kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC (0,25đ) Gọi h và R lần lợt là chiều cao và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC thì 2 3a h = và 3 3 2 3 . 3 2 3 2 aa hR === . Do đó 3 32 2 a RMB == (0,5đ) Vậy giá trị lớn nhất của MA MC+ = 3 32a (0,25đ) Bài 5. (2,5đ) Giả sử ABAC . Ta có MK AK MI AI MK KCAK MI BIAI MK AC MI AB += + + =+ (1) (0,5đ) (Vì MK KC MI BI MCKgMBIgMCKMBI === cotcot ) (0,25đ) Trờng thcs định liên 5 A K B C H M I đề thi môn:môn toán 9 Thời gian làm bài: 150 Họ tên ngời ra đề: Nguyễn Mạnh Hà *** Phản biện: Do MCBMAB = (cùng chắn cung MB ) nên MCBgMABg = cotcot , (0,25đ) Suy ra MH CH MI AI = (2) (0,5đ) Do MBCMAC = (cùng chắn cung MC ) nên MBCgMACg = cotcot , (0,25đ) Suy ra MH BH MK AK = (3) (0,5đ) Từ (1), (2), (3) suy ra MH BC MH BH MH CH MK AC MI AB =+=+ (0,25đ) Trờng thcs định liên 6 . đợc a b c d A a b c a b d b c d a c d = + + + + + + + + + + + + ++ + + < dcba da + ++ + + dcba cb dcba ac ++ + + dcba bd ++ + + + = ( ) 2 2 = ++ + ++ + dcba dcba (2) (0,5đ) Kết hợp (1) và (2) ta đợc. d a c d = + + + + + + + + + + + + ++ + > dcba a dcba b ++ + + dcba c ++ + + dcba d ++ + = 1= ++ + ++ + dcba dcba (1) (0,5đ) Trờng thcs định liên 3 đề thi môn:môn toán 9 Thời gian làm bài: 150 Họ. ; dcba da cba a ++ + + < ++ ; dcba cb dba b ++ + + < ++ ; dcba ac dcb c ++ + + < ++ ; dcba bd dca d ++ + + < ++ (0, 5đ) Cộng các BĐT cùng chiều trên ta đợc a b c d A a b c a b d b c d a c d = + + + +