Các pp sử dụng BĐT côsi.

Mt s phng phỏp s dng bt ng thc cụsi Nội dung đề tài: I- Tên Đề tài: Một số phơng pháp sử dụng bất đẳng thức côsi II. Lý do chọn đề tài: Trong chơng trình toán THPT bất đẳng thức là phần gây cho học sinh, ngay cả học sinh khá và giỏi nhiều bối rối nhất. Tuy nhiên đây là phần quyến rũ những học sinh say mê với Toán học và mong giỏi Toán vì nó đòi hỏi học sinh phải động não, tìm tòi và sáng tạo. Để giúp các em làm quen và đi đến thích thú các bài toán bất đẳng thức nên tôi viết "Một số phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi" với mục đích cung cấp cho các em học sinh một số phơng pháp và kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức Côsi. III- Những biện pháp thực hiện : A- Kiến thức cơ bản * Bất đẳng thức cô si 1- Dạng tổng quát (nsố) x 1 ; x 2 ; x 3 x n > 0 ta có n n n xxx n xxxx 21 321 ++++ hoặc (x 1 +x 2 + +x n ) > n n n xxx 21 hoặc ( m n n xxx n xxxx ) 21 321 ++++ Dấu "=" xảy ra x 1 = x 2 = = x n * HQ 1: nếu x 1 + x 2 + +x n = S (không đổi) thì Max(x 1 x 2 x n ) = 2 n S Dấu "=" xảy ra x 1 = x 2 = = x n * HQ2: Nếu x 1 x 2 x n = P (không đổi) thì Min(x 1 +x 2 + +x n ) = n n P Dấu "=" xảy ra x 1 = x 2 = = x n 2- Dạng cụ thể cho 2 số: x, y > 0 ta có xy yx + 2 Dấu "=" xảy ra x = y 3- Dạng cụ thể cho 3 số: x, y, z > 0 ta có 3 2 xyz zyx ++ Dấu "=" xảy ra x = y = z B- Một số phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi 1- Phơng pháp đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân: VD : CMR (a 2 + 2 ) (b 2 +c 2 ) (c 2 + a 2 ) > 8 a 2 b 2 c 2 a, b, c R Sai lầm thờng gặp là: x, y thì (x - y) 2 > 0 x 2 + y 2 > 2xy Do đó ta có: ì + + + acac bccb abba 2 2 2 22 22 22 (a 2 + 2 ) (b 2 +c 2 ) (c 2 + a 2 ) > 8 a 2 b 2 c 2 (sai) Trn Khỏnh Long NH: 2010-2011 1 Đúng Đúng Đúng Đúng Đúng Đúng Mt s phng phỏp s dng bt ng thc cụsi Chẳng hạn: 4 > - 4 2 > - 6 3 > 2 4.2.3 > (- 4)(- 6).2 (sai) Nhận xét: chỉ nhân các vế của bất đẳng thức cùng chiều (kết quả nhận đợc bất đẳng thức cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm. Nh vậy ta có lời giải đúng nh sau: =+ =+ =+ cacaac bccbcb abbaba 22 22 22 2222 2222 2222 (a 2 + 2 ) (b 2 +c 2 ) (c 2 + a 2 ) > 8 222 cba = 8 a 2 b 2 c 2 * Thông thờng ta ít gặp các bài toán sử dụng ngay bất đẳng thức Cô si nh bài toán trên mà phải biến đổi bài toán đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳng thức Cô si. Bài toán 1: 0, ba , chứng minh rằng ( ) 2 8 )(64 baabba ++ Giải: Ta có : ( ) 42 8 ])[( baba +=+ = [ ] 4 2)( abba ++ 2 224 4 )(.64 2.).(2 2).(2 baab abba abba Cosi + + + Bài toán 2: Cho a 1 a 2 > 0 , a 1 c 1 > b 1 2 , a 2 c 2 > b 2 2 . Chứng minh rằng : (a 1 + a 2 ) (c 1 + c 2 ) > (b 1 + b 2 ) 2 Giải: Từ giả thiết ta có: a 1 , a 2 , c 1 , c 2 cùng dấu a 1 c 2 > 0 ; a 2 c 1 > 0 Ta có: (a 1 +a 2 ) (c 1 +c 2 ) = a 1 c 1 + a 1 c 2 +a 2 c 1 +a 2 c 2 > b 1 2 + a 1 c 2 +a 2 c 1 +b 2 2 2 21 2 21 2 2 2 2 2 1 2 1 2 22121 2 1 )( )( 2 2 bb bb bbbb bccaab Cosi + + ++ ++ Bài toán 3:Chứng minh (1+a+b)(a+b+ab) > 9ab Bài toán 4: Cho a, b,c,d > 0 và 3 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + dcba ; Chứng minh rằng: abcd < 81 1 Giải:Từ giả thiết ta có: Trn Khỏnh Long NH: 2010-2011 2 Mt s phng phỏp s dng bt ng thc cụsi 3 111 3 111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ))()(( )()()( dcb bcd d d c c b b dcba +++ + + + + + + + + + + + Ta có 0 )1)(1)(1( 3 1 1 3 +++ + dcb bcd a Tơng tự ta có: 0 )1)(1)(1( 3 1 1 3 +++ + dca acd b 0 )1)(1)(1( 3 1 1 3 +++ + dba abd c 0 )1)(1)(1( 3 1 1 3 +++ + cba abc d ;Nhân vế ta đợc: abcd dcba abcd dcba ++++ ++++ 81 1 )1)(1)(1)(1( 81 )1)(1)(1)(1( 1 Bài toán5: Cho 81 1 1 1 1 1 1 0 =++ > ))()((: ,, cba CMR cba cba Giải: VT= c ba b ac a cb c c b b a a +++ = ))()(( 111 8 2 = abc abcabc Cosi Bài tập áp dụng: 1) + ++ + + + > 1 1 1 1 1 1 1 30 21 21 n aaa Nnnaaacho n n ,,, , Chứng minh rằng a 1 a 2 a n < nn )( 1 1 2) CMR: Nnmababnmbnam nmnm ++ + ,;)( 10 3) Cho =+++ > 1 0 21 21 n n aaa aaa , , CMR: n n n aaa )( 11 1 1 1 1 1 21 (tự giải) 2. Phơng pháp tách nghịch đảo * Kỹ thuật tách nghịch đảo là kỹ thuật tách phần nguyên theo mẫu số đề khi chuyển sang trung bình nhân thì các phần chứa biến số bị triệt tiêu chỉ còn lại hằng số. Bài toán 1: CMR: Ra a a + + 2 1 2 2 2 Giải: Trn Khỏnh Long NH: 2010-2011 3 Mt s phng phỏp s dng bt ng thc cụsi 1 1 1 1 11 1 2 2 2 2 2 2 2 + ++= + ++ = + + a a a a a a )( 2 1 1 12 2 2 = + + a a Cosi . Bài toán 2: CMR: 1a.bvà => + ba ba ba 22 22 Bài toán 3: CMR: 03 1 > + ba bab a )( Bài toán 4: CMR: 22 1 2 + )( bab a Giải: 22 1 22 4 1 22 4 2 2 = + + += )( . )( . )( . )( baa baba b aba baba bVT 3. Phơng pháp đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Bài toán 1: CMR: 0>+++ cbadbcacdab ,,))(( Giải: Bất đẳng thức tơng đơng với 1 ++ + ++ ))(())(( dbca cd dbca ab Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 1 2 1 2 1 2 1 = + + + + + = + + + + + + + db db ca ca db b ca c db b ca a VT Bài toán 2: Chứng minh : 00 >>>>+ cbcaabcbccac ;)()( Bài toán 3: CMR: 010111 3 3 >++++ cbacbaabc ,,)()(( Bài toán 4: Tổng quát: ( )( ) ( ) n nn n n n n babababbbaaa ++++ 22112121 Với a i ; b i >0 ; i = 1,n Bài toán 5:CMR: 16ab(a-b) 2 < (a+b) 4 0 ba, Bài toán 6: CMR: 2 1 11 1 2 1 22 ++ + ))(( ))(( ba abba Giải: Trn Khỏnh Long NH: 2010-2011 4 Mt s phng phỏp s dng bt ng thc cụsi ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 11 1 2 1 11 1 22 22 ba abba ba abba ++ + ++ + ( ) ( ) ( ) abbaabba abba abbaVT Cosi 21 2 2 2 1 1 2222 2 2 22 ++++ ++ += )( ( )( ) pcm)Đ 2 11 22 (VP ba = ++ Bài toán 7: Cho baabcCMR cba cba + =++ > 16 1 0 : ,, Giải: ( ) ba cbadoba cba bacbaba c ba abcVT Cosi Cosi + =+++ ++ +++ + = 1 2 1 4 2 44 2 1616 2 2 2 )).(( ] )( )[(.)( .)( Bài toán 10: 729 8 1 0 +++ =++ ))()((: ,, accbbaabcCMR cba cbaCho Bài toán 11: 27 8 1 0 ++ =++ abccabcabCMR cba cbaCho : ,, 4. Phơng pháp thêm hằng số Để sử dụng bất đẳng thức Cô si từ trung bình nhân sang trung bình cộng ta cần chú ý: Chỉ số căn thức là bao nhiêu thì số các số hạng ở trong căn là bấy nhiêu. Nếu số các số hạng nhỏ hơn chỉ số căn thì ta phải thêm hằng số để số các số hạng bằng chỉ số căn. Bài toán 1: CMR: 111 + abababba Giải: Ta có: ( ) 22 11 111 ab b ababa = + = .).( Trn Khỏnh Long NH: 2010-2011 5 Mt s phng phỏp s dng bt ng thc cụsi 22 11 111 aba babab = + = )( .).( Cộng vế ababba + 11 (đpcm) Bài toán 2: 6 1 0 +++++ =++ )()()(: ,, accbbaCMR cba cbaCho Bài toán 3: Cho 2 4 3 c b a Tìm Max abc bcaabcab f 432 ++ = Bài toán 4: Cho 40 30 y x tìm Max A = (3-x)(4-y)(2x+3y) Giải: A = (3-x)(4- y)(2x+3y) = 6 1 (6-2x)(12-3y)(2x+3y) 36 6 1 3 3231226 3 = +++ . )()()( yxyx Cosi Dấu "=" xảy ra 6-2x=12-3y=2x+3y=6 = = 2 0 y x Vậy Max A = 36 Bài toán 5: Cho x, y > 0. Tìm Min 2 3 xy yx yxf )( ),( + = 5. Phơng pháp ghép đối xứng * Chú ý Phơng pháp cộng: + + + + + =++ +++++=++ 222 2 xzzyyx zyx xzzyyxzyx )()()()( Phơng nhân: = = zxyzxyxyz zxyzxyzyx )).().(( 222 với x,y, z >0 Bài toán 1: CMR: 0>++++ cbacba c ab b ca a ba ,, Giải: áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có c ab abc b ca a bc = + 2 2 1 Trn Khỏnh Long NH: 2010-2011 6 Mt s phng phỏp s dng bt ng thc cụsi c c ab b ca c ab b ca = + . 2 1 b a bc c ab a bc c ab = + . 2 1 Cộng vế cba b ca c ab a bc ++++ Bài toán 2: CMR: 0 2 2 2 2 2 2 >++++ cba a b b c c a a c c b b a ,, Giải: áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: c a c a c b b a c b b a = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . ; a b a b a c c b a c c b = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . b c b c b a a c b a a c = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . ;Cộng vế ta đợc: a b b c c a a c c b b a ++++ 2 2 2 2 2 2 Bài toán 3:CMR: a 3 +b 3 +c 3 > a 2 0 22 ++ cbaabcacbbc ,, Bài toán 4: Cho ABC CMR: 1) (p-a)(p-b)(p-c) < 8 abc 2) )( cbacpbpap 111 2 111 ++ + + 6. Phơng pháp ghép cặp nghịch đảo 3 số: Chú ý ta có: (x+y+z)( 09 111 >++ zyx zyx ,,(*)) Thật vậy VT > 3 9 1 3 3 3 = xyz xyz Bất đẳng thức trên có ý nghĩa rất lớn trong vai trò nhận dạng và đa các bài toán xa lạ trở thành bài toán quen thuộc. Các ví dụ sau chứng tỏ điều đó. Bài toán 1: CMR: h a + h b + h c > 9r ABC (1) Giải: Ta có : S ABC = a S hha aa 2 2 1 =. ;Tơng tự: b S h b 2 = và c S h c 2 = mà S =p.r Nên (*) p S c S b S a S 9 222 ++ 1 1 1 1 1 1 2 ( ) 9 ( )( ) 9p a b c a b c a b c + + + + + + Theo (*) đúng ddcpcm Bài toán 2: CMR: r a +r b +r c > 9 r ABC Trn Khỏnh Long NH: 2010-2011 7 Mt s phng phỏp s dng bt ng thc cụsi Chú ý: cp S r bp S r ap S r cba = = = ;; (S là diện tích ABC ) mà S =p.r Bài toán 3: CMR 6 + + + + + c ba b ac c ab với 0> cba ,, Bài toán 4: CMR: a) 0 9222 > ++ + + + + + cba cbabaaccb ,, b) 0 2 3 > + + + + + cba ba c ac b cb a ,, Bài toán 5: CMR: 0 2 222 > ++ + + + + + cba cba ba c ac b cb a ,, Gợi ý: )( cba ba c c ac b b cb a a ++ + ++ + ++ + + 2 3 222 Bài toán 6: Cho 2 9111 1 0 + + + + + =++ baaccb CMR cba cba ,, Bài toán 7: Cho 9 2 1 2 1 2 1 1 0 222 + + + + + ++ abccabbca CMR cba cba ,, 7. Ph ơng pháp đánh giá mẫu số: Bài toán 1: CMR 0 2 111 222 > ++ + + + + + cba abc cba abcacbbca ,, Giải: áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có 2 2 2 1 ( ) 1 1 1 1 2 2 2 4 2 2 b c bc b c a bc abc abc a bc abc a bc a bc + + = = + + Tơng tự: abc ca cab 4 1 2 + + ; abc ba abc 4 1 2 + + ; Cộng vế abc cba abccabbca 2 111 222 ++ + + + + + 8. Phơng pháp đổi biến số:Đổi biến số nhằm mục đích chuyển bài toán từ tình thế khó biến đổi đại số (với các biến ban đầu) sang trạng thái dễ biến đổi đại số hơn với biến mới Bài toán 1: CMR: 01 2 3 > + + + + + cba ba c ac b cb a ,,)( Trn Khỏnh Long NH: 2010-2011 8 Mt s phng phỏp s dng bt ng thc cụsi Giải: Đặt + = + = + = >=+ >=+ >=+ z zyx c z yxz b xzy a zab yca xcb 0 0 0 (1) 3 222 + + + + + z zyx y yxz x xzy 6 +++++ z x z x y x y z x z x y ;Thật vậy: VT = ++ ++ + z y y z z x x z y x x y 6222 =++ Cosi đpcm Bài toán 2: Cho ABC có các cạnh a, b, c CMR: cba cba c bac b acb a ++ + + + + + 222 Bài toán 3: Cho ABC có các cạnh a, b, c CMR:(b+c+-a)(c+a-b)(a+b-c) abc (1) Bài toán 4: Cho ABC có các cạnh a, b, c ; diện tích S. CMR: )(1 2 33111 4 S bacacbcba + + + + + HD:Đặt >=+ >=+ >=+ 0 0 0 zcba ybac xacb C. Lời kết: Trong đề tài này chủ yếu tôi đa ra một số phơng pháp phân tích, đánh giá để có đợc lời giải các bài toán bất đẳng thức liên quan đến bất đẳng thức Cô si cùng với các ví dụ minh hoạ cơ bản đợc su tập chủ yếu trong bộ đề thi tuyển sinh đại học. Tuy nhiên trong quá trình thực hiện đề tài chắc sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong muốn có đợc sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp, bạn đọc về nội dung đề tài, tôi xin chân thành cảm ơn! Krụngpk, ngày 19/2/2011. Trn Khỏnh Long NH: 2010-2011 9 . sáng tạo. Để giúp các em làm quen và đi đến thích thú các bài toán bất đẳng thức nên tôi viết "Một số phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi& quot; với mục đích cung cấp cho các em học sinh. a 2 b 2 c 2 * Thông thờng ta ít gặp các bài toán sử dụng ngay bất đẳng thức Cô si nh bài toán trên mà phải biến đổi bài toán đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳng thức Cô si. Bài toán. thêm hằng số Để sử dụng bất đẳng thức Cô si từ trung bình nhân sang trung bình cộng ta cần chú ý: Chỉ số căn thức là bao nhiêu thì số các số hạng ở trong căn là bấy nhiêu. Nếu số các số hạng nhỏ