TL TOÁN SÔ 13

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1. Tam giác ABC có 1 b c c m b m = ≠ . CMR: 2cot cot cotA B C= + 2. b c c m b m = và 0 60A = . CMR: Tam giác ABC đều 3. Tam giác ABC có 1 tan tan 2 2 3 A B = . CMR: 2 a b c + = 4. ABC∀∆ hãy CMR: cot cot cot 2 2 2 A B C p r + + = 5. ABC∀∆ hãy CMR: tan tan tan tan tan tan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A + + = 6. Cho 2 2 2 2 3; 1; 4 5a x x b x c x x= + + = + = + + a) Tìm x để , ,a b c là ba cạnh của một tam giác b) CMR: tam giác đó bán kính đường tròn nội tiếp ( ) ( ) 2 2 3 2 1 6 7 6 r x x x x= − − + + 7. Cho 2 2 1; 2 1; 1a x x b x c x= + + = + = + a) Tìm x để , ,a b c là ba cạnh của một tam giác b) CMR tam giác đó có một góc bằng 0 120 8. Tam giác ABC có tính chất gì nếu: a) ( ) ( ) 1 4 S a b c a b c= + − − + b) 2 2 1 cos 2 sin 4 B a c B a c + + = − 9. CMR tam giác ABC cân nếu ( ) 2 2 2 2 2 2 os os 1 cot cot sin sin 2 c A c B A B A B + = + + 10. Cho tam giác ABC nhọn CMR: sin , sin , sina A b B c C là ba cạnh của một tam giác 11. ABC∀∆ hãy CMR: 2 2 2 cot cot cot 4 a b c A B C S + + + + = 12. Tam giác ABC có 4 4 4 a b c= + CMR: tam giác ABC nhọn và 2 2sin tan tanA B C= 13. Tam giác ABC có hai trung tuyến 1 1 ,AA BB CMR: ( ) 1 1 cot 2 cot cotAA BB A B C⊥ ⇔ = + 14. Tam giác ABC có trọng tâm G a) M là điểm bất kỳ CMR: 2 2 2 2 2 2 2 3MA MB MC MG GA GB GC+ + = + + + b) CMR 2 2 2 2 9a b c R+ + ≤ c) CMR: 2 2 2 9 sin sin sin 4 A B C+ + ≤ 15. ABC∆ có B > C, α là góc hợp bởi trung tuyến AM và đường thẳng BC hãy CMR: 2cot cot cotC B α = − 16. M là điểm trong ABC∆ và các góc MAB MBC MCA α = = = . Cmr: cot cot cot cotA B C α = + + 17. ABC∆ có trọng tâm G ; các góc , ,GAB GBC GCA α β γ = = = Cmr: ( ) 2 2 2 3 cot cot cot 4 a b c S α β γ + + + + = 18. ABC∀∆ hãy CMR: ( ) ( ) ( ) cot cot cot 0 2 2 2 C A B a b b c c a− + − + − = 19. ABC∆ có 2a c b+ = hãy CMR: a) 6ac Rr= b) 1 tan tan 2 2 3 A B = ; c) 3 tan tan 2 2 C A c a r   − = −  ÷   20. CMR ABC∆ đều nếu ( ) 2 2 2 3 3 3 1 cos 2 sin 4 C a b C a b a b c a b c a + +  =  −   + − = + −  21. ABC∆ đều . Trên cung nhỏ AB của đường tròn ngoại tiếp ABC∆ lấy điểm M sao cho 1, 2MA MB= = tính MC 22. CMR tam giác ABC cân nếu sin sin sin cot cot sin sin sin 2 2 A B C A C A B C + + = + − 23. ABC∆ có trung tuyến AM. Đặt góc AMB = α ; AB = c; AC = b a) CMR: 2 2 cot 4 b c S α − = ; b) Nếu 0 45 α = CMR: 2 cot cotC B= − 24. ABC∆ hãy CMR: 9 2 a b c R m m m+ + ≤ 25. Trong tất cả các tam giác nội tiếp một đường tròn cho trước , tìm tam giác có a) ( ) 2 2 2 axa b c m+ + ; b) axSm 26. Trong tất cả các tam giác ngoại tiếp một đường tròn cho trước, tìm tam giác có minS 27. CMR ABC∆ đều 1 1 1 sin sin sin cot cot cot cot cot cot A B C A B B C C A ⇔ + + = + + + + + 28. CMR ABC∆ đều 2 2 2 2 36a b c r⇔ + + = 29. ABC∆ hãy CMR: 3 27 . . 8 a b c R m m m ≤ 30. Trong tam gi¸c ABC h·y CMR : ab+bc+ca = rRrp 4 22 ++ 31. Trên các cạnh AB,BC,CA của tam giác ABC lấy lần lượt ba điểm M,N,P sao cho MA NB PC MB NC PA = = . Cho tam giác ABC cố định .Hãy tìm min của diện tích tam giác MNP 1. Tam giác ABC có các đường cao ' ' ' , ,AA BB CC và trực tâm H CMR: ' ' ' . . .HA HA HB HB HC HC= = 2. Tam giác ABC không cân tại A. AM, AD lần lượt là các trung tuyến và phân giác. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD cắt AB, AC tại E và F CMR: BE = CF 3. Cho nửa đường tròn đường kính AB; M là điểm trên nửa đường tròn đó . Hạ MH AB⊥ tại H . Đường tròn đường kính MH cắt nửa đường tròn trên tại N , cắt MA, MB tại E và F a) CMR: ABEF là tứ giác nội tiếp b) CMR: AB, EF, MN đồng quy 4. Tam giác ABC nhọn có các đường cao ' ' ' , ,AA BB CC và trực tâm H CMR: ( ) ' ' ' 2 2 2 1 . . . 2 AA AH BB BH CC CH BC CA AB+ + = + + 5. Tam giác ABC đều cạnh a. Một đường tròn cắt các cạnh AB tại H và F, cạnh BC tại I và G, cạnh CA tại K và E ( AH < AF , BI < BG , CK < CE) CMR: AH BI CK AE BF CG+ + = + + 6. Cho đường tròn tâm O bán kính R cố định . d là đường thẳng cố định không cắt (O) ; A là điểm di chuyển trên d . Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với (O) (B, C là các tiếp điểm) Hạ OK d⊥ tại K; OK BC E∩ = a) Tính OE.OK b) CMR đường thẳng BC đi qua một điểm cố định . C S + + + + = 12. Tam giác ABC có 4 4 4 a b c= + CMR: tam giác ABC nhọn và 2 2sin tan tanA B C= 13. Tam giác ABC có hai trung tuyến 1 1 ,AA BB CMR: ( ) 1 1 cot 2 cot cotAA BB A B C⊥ ⇔ = + 14.