Đề thi vào 10 chuyên Bình Định - đề số 7

SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đề số 7 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Năm học 2009 – 2010 Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi: 19/06/2009 Bài 1: (1,5 điểm) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c b c c a a b 1 2< + + < + + + Bài 2: (2 điểm) Cho 3 số phân biệt m, n, p. Chứng minh rằng phương trình x m x n x p 1 1 1 0+ + = − − − có hai nghiệm phân biệt. Bài 3: (2 điểm) Với số tự nhiên n (n ≥ 3), đặt ( ) ( ) ( ) n S n n n 1 1 1 3 1 2 5 2 3 (2 1) 1 = + + + + + + + + . Chứng minh rằng n S 1 2 < . Bài 4: (3 điểm) Cho ∆ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O có độ dài các cạnh BC = a, AC = b, AB = c. E là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A sao cho cung EB bằng cung EC. Nối AE cắt cạnh BC tại D. a) Chứng minh: AD AB AC DB DC 2 . .= − . b) Tính độ dài đoạn AD theo a, b, c. Bài 5: (1,5 điểm) Chứng minh rằng: ( ) m n n 2 1 2 3 2 − ≥ + với mọi số nguyên dương m, n. Hết Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1 HƯỚNG DẪN GIẢI ========== Bài 1: • Ta có: m m k n n k + < + (với 0 < m < n, k > 0) (1) Thật vậy, (1) ⇔ m n k n m k mk nk m n( ) ( ) 0 0+ < + ⇔ < < ⇔ < < (0 < m < n, k > 0) • Áp dụng: a a a b c b c a b c 2 0 < < + ⇒ < + + + b b b c a c a a b c 2 0 < < + ⇔ < + + + c c c a b a b a b c 2 0 < < + ⇔ < + + + Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta được: a b c a b c b c c a a b a b c 2( ) 2 + + + + < = + + + + + (2) • Chứng minh BĐT phụ: x y z x y z 1 1 1 ( ) 9   + + + + ≥  ÷   (x, y, z > 0) Ta có: x y y z z x x y z x y z y x z y x z 1 1 1 ( ) 3 3 2 2 2 9         + + + + = + + + + + + ≥ + + + =  ÷  ÷  ÷  ÷         • Thay x a b y b c z c a, ,= + = + = + vào (2) ta được: a b c a b c a b b c c a a b b c c a 1 1 1 1 1 1 9 2( ) 9 ( ) 2     + + + + ≥ ⇔ + + + + ≥  ÷  ÷ + + + + + +     ⇔ c a b a b c a b b c c a b c c a a b 9 9 3 1 1 1 3 1 2 2 2 + + + + + ≥ ⇔ + + ≥ − = > + + + + + + (3) Từ (2) và (3) suy ra: a b c b c c a a b 1 2< + + < + + + . Bài 2: Xét phương trình: x m x n x p 1 1 1 0+ + = − − − (1) • Điều kiện xác định của (1): x m n p, , ≠ . • Biến đổi (1) ⇔ x n x p x m x p x m x n( )( ) ( )( ) ( )( ) 0− − + − − + − − = ⇔ x m n p x mn np mp 2 3 2( ) 0− + + + + + = ∆′ = m n p mn np mp m n p mn np mp 2 2 2 2 ( ) 3( )+ + − + + = + + − − − = m n n p m p 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 0 2   − + − + − ≥   (vì m ≠ n ≠ p). Vậy (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Bài 3: ( ) ( ) ( ) n S n n n 1 1 1 3 1 2 5 2 3 (2 1) 1 = + + + + + + + + • Với k nguyên dương, ta có: k k k2 1 2 ( 1)+ > + (1) Thật vậy, (1) ⇔ k k k k k k k 2 2 2 (2 1) 4 ( 1) 4 4 1 4 4+ > + ⇔ + + > + (BĐT đúng) • Do đó: ( ) ( ) k k k k k k k k k k k k k 1 1 1 1 2 ( 1 ) ( 1) (2 1) 1 2 1 . ( 1)   + − < =   + − +   + + + + + +   = k k 1 1 1 2 1   −   +   (2) • Cho k lần lượt lấy các giá trị từ 1 đến n, thay vào (2), rồi cộng các BĐT, vế theo vế, ta được: 2 ( ) ( ) ( ) n S n n n 1 1 1 3 1 2 5 2 3 (2 1) 1 = + + + + + + + + < n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 3 1 1     − + − + + − = − <  ÷  ÷ + +     Bài 4: a) Chứng minh: AD AB AC DB DC 2 . .= − . Xét hai tam giác ABD và AEC, ta có: µ ¶ · · A A ABD AEC 1 2 ,= = ⇒ ∆ABD ∼ ∆AEC ⇒ AD AB AD A E AB AC AC AE . .= ⇒ = Mạt khác, ∆ABD ∼ ∆CED ⇒ BD DA BD DC DA DE DE DC . .= ⇒ = ⇒ AB.AC – BD.DC = AD.AE – DA.DE = AD(AE – DE) = AD 2 Vậy: AD AB AC DB DC 2 . .= − (1) b) Tính AD Theo tính chất đường phân giác của tam giác, ta có: DB DC DB DC DB DC BC a AB AC c b c b c b b c + = ⇒ = = = = + + + ⇒ DB DC DB DC a a DB DC bc c b bc b c b c 2 2 . . . .     = = ⇒ =  ÷  ÷ + +     (2) Thay (2) vào (1), ta được: a a a b c a b c a AD bc bc bc bc b c b c b c b c 2 2 2 ( )( ) . 1 1 . ( )      + − + + = − = − + =  ÷  ÷ ÷ + + +      + Vậy: AD = bc b c a b c a b c ( )( )+ − + + + . Bài 5: Chứng minh: ( ) m n n 2 1 2 3 2 − ≥ + Trước hết, ta cần chứng minh: ( ) n n 2 1 1 2 3 2 − ≥ + , với ∀ n ∈ N * (1) Thật vậy, (1) ⇔ n n 2 1 3 2 2 − − ≥ (2). Đặt t t n 1 (0 1)= < ≤ , ta có: (2) ⇔ ( ) t t 2 3 2 2 0− + − ≤ ⇔ ( ) ( ) ( ) t t t t 2 3 2 3 2 3 2 2 0− − − + − + − ≤ ⇔ ( ) ( ) t t t3 2 ( 1) 3 2 1 2 0− − + − + − ≤ ⇔ ( ) ( ) t t t3 2 ( 1) 3 2 1 ( 1) 3 2 2 1 0− − + − + − + − + ≤ (3) Vì 0 < t ≤ 1 và 3 2 2 1 0− + ≤ nên (3) đúng ⇒ (2) đúng. Mặt khác, m n n 1 2 2− ≥ − , ∀m ∈ N * , nên ( ) m n n 2 1 2 3 2 − ≥ + , ∀m, n ∈ N * . ========================= 3 A B C D E / / 1 2 bc a . O . SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đề số 7 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Năm học 2009 – 2 010 Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi: 19/06/2009 Bài 1: (1,5. < + + + Bài 2: (2 điểm) Cho 3 số phân biệt m, n, p. Chứng minh rằng phương trình x m x n x p 1 1 1 0+ + = − − − có hai nghiệm phân biệt. Bài 3: (2 điểm) Với số tự nhiên n (n ≥ 3), đặt (. dài đoạn AD theo a, b, c. Bài 5: (1,5 điểm) Chứng minh rằng: ( ) m n n 2 1 2 3 2 − ≥ + với mọi số nguyên dương m, n. Hết Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .