PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG - QUANG HỌC GẦN TRỤC BÀI 3

PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Nhắc lại một số kết quả đạt được đối với hệ tạo ảnh gần trục Nếu gọi y 1 , V 1 là hai thông số đặc trưng cho ánh sáng đi vào hệ và y 2 , V 2 là hai thông số đặc trưng cho ánh sáng đi ra khỏi hệ thì mối liên hệ giữa 2 cặp thông số này được diễn tả bằng hệ phương trình:    += += 112 112 DVCyV BVAyy hay    += += 11122 1112 vDnCyvn vBnAyy (1) Hệ phương trình trên có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau:             =       1 1 2 2 V y DC BA V y hay             =       11 1 22 2 vn y DC BA vn y Bảng 1: Một số ma trận truyền tia thường sử dụng trong các hệ quang học STT Mô tả Sơ đồ quang học Ma trận truyền tia 1 Truyền qua (Ma trận T)       =         10 1 10 1 T n t 2 Khúc xạ tại một bề mặt (Ma trận R) ( )       − =         −− 1 01 1 01 12 P r nn 3 Phản xạ tại một bề mặt       − =         1 01 1 2 01 P r n 4 Thấu kính mỏng trong không khí (tiêu cự f, độ tụ P) ( )         − =                 −−− 1 1 01 1 11 1 01 21 f rr n 5 Giữa 2 mặt phẳng chính của hệ thấu kính trong không khí (tiêu cự f)       − =         − 1 01 1 1 01 P f GVHD: TS. Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh 1 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC 6 Giữa 2 mặt phẳng tiêu của hệ thấu kính trong không khí (tiêu cự f)         − 0 1 0 f f 7 Sự tạo ảnh giữa 2 mặt phẳng liên hợp với độ khuyếch đại m và tiêu cự f         − mf m 11 0 8 Một hệ hội tụ với độ khuyếch đại m         m m 1 0 0 2. Mô tả sự lan truyền sóng trong Quang hình học Khảo sát một chùm sáng hay tập hợp của nhiều tia sáng phát ra từ cùng một điểm. Đối với mỗi tia sáng trong chùm, gọi r 1 là tỷ số giữa độ cao y 1 của tia và góc v 1 của tia, tức: 1 1 1 v y r = . Nếu chúng ta thừa nhận mỗi tia sáng trong chùm tia là pháp tuyến của một mặt sóng, mặt sóng thu được sẽ có dạng mặt cầu. GVHD: TS. Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh 2 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC Sử dụng lại hệ phương trình (1) đã dẫn ra ở trên:    += += 112 112 DVCyV BVAyy Chia phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai: D V y C B V y A DVCy BVAy V y +         +         = + + = 1 1 1 1 11 11 2 2 (2) Đặt 2 2 2 1 1 1 ; V y R V y R == R 1 , R 2 mang ý nghĩa là bán kính rút gọn của mặt sóng trước khi đi vào hệ và sau khi rời khỏi hệ. Việc sử dụng bán kính rút gọn sẽ rất thuận tiện, bất cứ khi nào một tia sáng đi qua một mặt phẳng biên giữa hai môi trường, thì không có sự thay đổi giá trị R của mặt sóng. Biểu thức (2) được viết lại: DCR BAR R + + = 1 1 2 GVHD: TS. Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh 3 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC Đây là nội dung của định luật ABCD. Nó cho phép chúng ta tính toán đơn giản bằng cách nào độ cong của mặt sóng cầu ở tâm thay đổi tử mặt phẳng quy chiếu này đến mặt phẳng quy chiếu tiếp theo. 3. Đặc trưng ma trận của một hệ cộng hưởng quang học Hệ cộng hưởng quang học là một bộ phận quan trọng trong máy phát laser, giúp tạo môi trường mật độ đảo lộn để ánh sáng phát ra có cường độ lớn, độ đơn sắc cao, tính kết hợp cao và tính định hướng lớn. Cấu tạo cơ bản của hệ cộng hưởng bao gồm một môi trường hoạt tính đặt giữa hai gương có độ phản xạ cao: một gương phản xạ hoàn toàn và một gương phản xạ một phần. Ánh sáng phát ra từ môi trường hoạt tính sẽ bị phản xạ nhiều lần giữa hai gương, dẫn đến sự tăng mạnh về cường độ. Chúng ta sẽ khảo sát một hệ cộng hưởng laser tiêu biểu có sơ đồ minh họa như hình bên dưới: Một thỏi khuyếch đại laser (môi trường hoạt tính) chiều dài L được đặt giữa hai gương phản xạ cách nhau một khoảng b. Vì thỏi laser tương đương với một bản phẳng song song, ma trận dịch chuyển đặc trưng cho khoảng trống giữa 2 gương sẽ có độ dày rút gọn: ( ) n Ln b n LLb T 1 1 − −=+ − = Với n là chiết suất của vật liệu laser. GVHD: TS. Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh 4 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC Đặt mặt phẳng quy chiếu RP 1 tại mặt phẳng gương phản xạ một phần và xem như tia tới đầu tiên       1 1 V y đi tới RP 1 theo hướng +z sau khi phát ra từ môi trường khuyếch đại. Sau đó, một phần của tia sáng sẽ bị phản xạ trở lại bởi gương phát (gương phản xạ một phần), đi qua môi trường khuyếch đại đến gương phản xạ hoàn toàn, bị phản xạ ngược trở lại, đi qua môi trường khuyếch đại một lần nữa, rồi đến gương phát. Quá trình cứ thế tiếp diễn. Nếu chúng ta đặt mặt phẳng quy chiếu RP 2 tại vị trí ngẫu nhiên so với RP 1 , chúng ta có thể viết được ma trận truyền tia tổng hợp M liên hệ với 2 mặt phẳng quy chiếu này và đặc trưng cho “chuyến đi xoay vòng” qua hệ cộng hưởng. Gọi P 1 , P 2 là độ tụ của hai gương phản xạ ở hai đầu, chúng ta có: ( )             =       =             −+−− −+−− =             −             −       =       1 1 1 1 1 1 12121 1 2 2121 1 1 212 2 1 221 1 01 10 1 1 01 10 1 V y DC BA V y M V y TPTPPPP TPTTPPTPTP V y P T P T V y Để xác định trị riêng λ 1 và λ 2 , chúng ta tính tổng (A + D) của ma trận: ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2114 222 121 21 21 1 2 2121 −         −         −= −−−= −++−−=+ r T r T TPTP TPTPPTPTPDA Bây giờ, chúng ta sẽ tìm θ và t theo: • Nếu ( ) 2 2 cos4cos2 2 −       ==+ θ θ DA thì θθ λλ ii ee − == 21 , • Nếu ( ) 2 2 cosh4cosh2 2 −       ==+ t tDA thì tt ee − == 21 , λλ • Nếu ( ) ( ) 2 2 sinh4cosh2 2 −       −−=−−=+ t tDA thì tt ee − −=−= 21 , λλ GVHD: TS. Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh 5 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC Để xác định công thức nào sẽ được dùng, chúng ta tính giá trị của biểu thức         −         − 21 11 r T r T và xét xem nó nằm trong khoảng nào: trong khoảng từ 0 đến 1, trên khoảng này hoặc dưới khoảng này. Nếu λ 1 và λ 2 là trị riêng của ma trận đơn trị (unimodular)       DC BA thì một trong những vector riêng của nó sẽ có các thành phần nằm trong tỷ số C D− 1 λ và C D− 2 λ . Những tỷ số này là các giá trị V y hay các giá trị R, chúng không thay đổi khi lan truyền trong hệ cộng hưởng. Nếu một mặt sóng với độ cong này tồn tại trong hệ cộng hưởng, nó sẽ tái sản sinh chính nó. Nếu một giá trị R không thay đổi khi lan truyền, chúng ta có 2 phương trình: DCR BAR R + + = 1 1 2 và 21 RR = Khử R 2 chúng ta nhận được phương trình bậc 2 theo R 1 : ( ) 0 1 2 1 =−−+ BRADCR Lời giải của phương trình: ( ) ( ) C DDADA C BCDADA R 2 24)( 2 4)( 2 2 1 −−+±+ = +−±− = 4. Sự lan truyền của chùm Gauss và thông số độ cong phức của nó Chùm Gauss là một thuật ngữ để chỉ một chùm bức xạ kết hợp bị giới hạn nhiễu xạ, năng lượng của nó chỉ tập trung gần trục lan truyền và giảm nhanh khi xa trục theo hàm Gauss. Cách thức chùm Gauss lan truyền trong không gian tự do xuất phát từ phương trình GVHD: TS. Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh 6 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC sóng. Gần trục quang học, sự phân bố biên độ A(r,z) của mode Gauss cơ bản được mô tả bởi: ( )             −−       +       = R i r z iAzrA λ π ω φ λ π ω ω 2 212 exp, 2 2 0 0 Trong biểu thức này, số hạng λ π z2 thể hiện sự thay đổi pha dọc theo trục lan truyền, số hạng φ thể hiện sự lệch pha bé phụ thuộc vào z theo biểu thức 2 0 tan πω λ φ z = (Ở đây: λ là bước sóng của ánh sáng) Hệ số r 2 chứa phần thực và phần ảo. Phần thực 2 1 ω diễn tả, theo hướng bán kính, độ lớn của biên độ thay đổi theo hàm Gauss         − 2 2 exp ω r . Vì vậy, bán kính ω là “bán kính vết”, tại đó biên độ ánh sáng giảm đi e 1 lần và cường độ bức xạ giảm đi 2 1 e giá trị tại trung tâm. Phần ảo R i λ π 2 2 − mô tả sự dao động bậc hai pha của trường sóng theo bán kính và số hạng R đặc trưng cho bán kính cong của bề mặt có pha không đổi, các mặt sóng lan truyền theo hướng +z. Khi chùm Gauss lan truyền trong không gian, hiệu ứng nhiễu xạ làm cho nó giãn rộng và phân tán đi một ít, vì vậy cả bán kính vết ω và bán kính cong R thay đổi ít theo trục z. Xuất phát từ phương trình sóng, quy luật kiểm soát hai thông số này là: ( ) ( )                 +=                 += z zzR z z λ πω πω λ ωω 2 0 2 2 0 2 0 2 1 1 GVHD: TS. Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh 7 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC Hình trên minh họa tính chất của các thông số này khi được vẽ trong mặt phẳng yz. Người ta thấy rằng đường cong thể hiện quỹ tích bán kính 2 1 e là một hyperbol, có khoảng cách gần trục z nhất là ω 0 tại z = 0 và đường tiệm cận của nó tại góc 0 πω λ ±= S V . Các bề mặt có pha không đổi là những mặt phẳng gần “cổ” của chùm Gauss và chúng có độ cong cực đại tại khoảng cách λ πω 2 0 0 ±=± z tính từ tâm. Vùng chính giữa có chiều dài 2z 0 , có tiết diện của chùm gần như là hằng số và đôi khi được nhắc tới như là “trường gần” (near field) và vùng tiệm cận phân kỳ như là “trường xa” (far field). GVHD: TS. Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh 8 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC Số hạng ban đầu ω ω 0 diễn tả sự thật là cường độ điện trường ở vùng cổ chùm hay tâm chùm lớn hơn ở vùng “trường xa”, nơi mà chùm bị giãn rộng. Nhưng năng lượng tổng cộng trong chùm là như nhau tại mọi giá trị của z, 86% năng lượng nằm lại bên trong contours 2 1 e . Phương trình xác định bán kính vết ω(z) và bán kính cong R(z) ở trên cho phép chúng ta tính toán cách thức chùm Gauss lan truyền trong không gian tự do hay băng qua khoảng trống. Rõ ràng rằng, nếu một chùm Gauss gặp phải một thấu kính mỏng hay một bề mặt hội tụ có độ tụ P, thì bán kính vết của nó sẽ không thay đổi, nhưng R 1 của nó sẽ bị giảm còn P R − 1 . Một phương pháp chặt chẽ giúp cả hai thông số chùm này có thể cùng được xác định là chúng ta kết hợp chúng thành một “thông số cong phức” a(z). Thay vì viết hệ số r 2 trong biểu thức biên độ R i λ π ω 2 21 2 − , chúng ta đơn giản viết q i λ π 2 2 − , với q được hiểu là số phức. Từ định nghĩa này, chúng ta có: 2 11 πω λ i Rq += Phần thực q 1 thể hiện sự phân kỳ của các bề mặt có pha hằng số và phần ảo là biểu thức của 2 1 ω , độ hội tụ công suất tại vùng trục chính của chùm. Bằng cách thế vào công thức biểu thức R(z) và ω(z) đã biết, đối với sự lan truyền trong không gian tự do, không khó để xác định q(z) = q 0 + z, với 1 2 0 0 −         = πω λ i q là giá trị q GVHD: TS. Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh 9 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC nhận được tại cổ chùm (z = 0). Đối với sự lan truyền băng qua khoảng trống có độ rộng, chúng ta có: q 2 = q 1 + T. Đối với sự khúc xạ bởi thấu kính mỏng hay bề mặt có độ tụ P, chúng ta có 4 phương trình. Theo định nghĩa: 2 2 22 11 πω λ i Rq += và 2 1 11 11 πω λ i Rq += Thứ ba, P RR −= 12 11 thể hiện sự thay đổi của độ phân tán và cuối cùng, ω 1 = ω 2 thể hiện tính bất biến của bán kính vết. Kết hợp những phương trình này, chúng ta tìm được P qq −= 12 11 . Ngoài ra, chúng ta còn có thể sử dụng định luật ABCD với DCq BAq q + + = 1 1 2 để tìm các thông số đặc trưng cho chùm như: bán kính vết, bán kính cong, vị trí cổ chùm, bán kính cổ chùm, (Bảng 2) Bảng 2: Mối liên hệ giữa các ma trận của một hệ cộng hưởng và các tính chất quang của nó. Ma trận đặc trưng cho quá trình dao động của ánh sáng trong hệ cộng hưởng là       DC BA với AD – BC = 1 Hệ không bền Tính chất khảo sát Hệ bền 1 2 > + DA : cho hệ cộng hưởng không bền (nhánh dương) 1 2 −< + DA : cho hệ cộng hưởng không bền (nhánh âm) Số hạng ma trận (A + D) 1 2 1 < + <− DA : cho hệ cộng hưởng bền λ 1 = exp(t) = cosht + sinht : cho nhánh dương Trong đó: Trị riêng chính λ 1 (t được chọn là dương và θ nằm trong khoảng từ 0 đến π) λ 1 = exp(iθ) = cosθ + isinθ Trong đó: GVHD: TS. Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh 10 [...]... Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC 15 2 Ty so vector rieng: tyso1 = 3 tyso2 = 0 .33 33 Ban kinh cong cua he: R= 3 Bài toán nghịch:  Trường hợp 1: Nhập vào các dữ kiện: Hệ cộng hưởng không bền nhánh dương; Khoảng cách L (L = 1m) giữa hai gương phản xạ; Chiết suất môi trường n (n = 1) giữa hai gương và Bán kính cong R (R = 3m) Xác định bán kính r1 của gương... tran M m=(A+D)/2; if (m >-1 )&(m . Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh 14 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC 2 Ty so vector rieng: tyso1 = 3 tyso2 = 0 .33 33 Ban kinh cong cua he: R = 3 Bài toán nghịch:  Trường hợp 1: Nhập. Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh 6 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC sóng. Gần trục quang học, sự phân bố biên độ A(r,z) của mode Gauss cơ bản được mô tả bởi: ( )             −−       +       = R i r z iAzrA λ π ω φ λ π ω ω 2 212 exp, 2 2 0 0 Trong. Lê Vũ Tuấn Hùng SVTH: Phan Trung Vĩnh 16 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG HỆ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC % % BAI LAP TRINH 3 - BAI TAP 1 - HINH III.9 - BAI TOAN NGHICH - TRUONG HOP 2 clc clear all syms P1 % % ******************************************************************************** %