Số phức Gv: Cao Đức Đệ 1 Chương IV : SỐ PHỨC 1. SỐ PHỨC Giới thiệu về số phức : . Số i: Xét phương trình : x 2 + 1= 0 (*) ( vô nghiệm trong R) Đặt i 2 =1. Khi đó phương trình (*) có hai nghiệm x = i Gọi i là một số phức . . Căn bậc hai của một số âm : + coi 2i là căn bậc hai của 4 + 3 i là căn bậc hai của 3 . Phương trình bậc hai với biệt số âm : Ví dụ : Xét phương trình : x 2 2x+10=0 <=> (x1) 2 =9 Giá trò : x1 = 3i <=> x =1 3i là nghiệm của pt Bài tập : 1. Tìm căn bậc hai của : a) 16 b) 11 c) 12 2. Tìm nghiệm của mỗi phương trình sau : a) x 2 +x+1 = 0 b) x 2 3x+3 =0 c) x 2 +2 =0 1. Đònh nghóa số phức : + Xét tập hợp C ={a+bi / a,bR, i 2 =1 } Mỗi phần tử z =a+bi C được gọi là số phức ; a được gọi là phần thực ; b được gọi là phần ảo của z . Ví dụ : 2+3i ; 5+ 3 i ; 3i … Chú ý : N Z R C ; Mỗi số thực được coi như một số phức với phần tử ảo bằng 0 + Hai số phức bằng nhau: a+bi = c+di <=> a c b d 2. Biểu diễn hình học số phức : + Số phức z =a+bi tương ứng biểu diễn điểm M(a;b) trên mp Oxy + Mặt phẳng biểu diễn các số phức được gọi là mặt phẳng phức : trục Ox gọi là trục thực ; trục Oy gọi là trục ảo 3. Phép cộng. Phép trừ : (a+bi) (c+di) = (a c) +(b d)i Ví dụ : (3+2i) + (5+8i) ; (76i) (1+ 3 i) 4. Phép nhân : như nhân hai nhò thức chú ý i 2 =1 (a+bi).(c+di) = (acbd) +(ad+bc)i Ví dụ : (52i)(4+3i) = ? ; ( 23i)(2+3i) = ? ; (47i)(25i) = ? Ví dụ : cho z= 2i 2 . Tính z 2 ; z 3 ? Số phức Gv: Cao Đức Đệ 2 5. Số phức liên hợp , Mô đun của số phức : Cho số phức z =a+bi ; số phức liên hợp z =abi + Biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục thực Chú ý : z = z ; z z + Môn đun của số phức : z = OM = 2 2 a b = z.z Ví dụ : Tính mô đun của các số phức sau : a) 23i b) 12i c) 3 +i d) 11 e) 7i 6. Phép chia cho số phức khác 0 Nghòch đảo của số phức : Cho số phức z khác 0 . Khi đó z là số thực khác 0 Từ công thức : z. z = 2 z => 1 z = 2 z z ;Vậy z =a+bi thì 1 z = 2 2 a a b 2 2 b a b i Chú ý : 2 z ≠ 2 z ; 2 z ≠ z 2 Ví dụ : Cho số phức z = 34i . Tìm 1 z =? Phép chia :Cho hai số phức : c+di và a+bi ≠ 0 . Phép chia c+di cho a+bi là phép nhân c+di với nghòc đảo của a+bi . c di a bi =(c+di).( 2 2 a a b 2 2 b a b i)= 2 2 ac bd a b + 2 2 ad bc i a b Ví dụ : Tính : 1 i 2 3i ; 6 3i 5i ; 4 2i 3 2i 7. Một số kết quả khác a) Các lũy thừa của i: Ta có : i 2 =1 ; i 3 = i 2 .i =i …. Suy ra : i 4n =1 ; i 4n+1 =i ; i 4n+2 =1 ; i 4n+3 =i … b). Tổng và tích của hai số phức liên hợp : Cho số phức z= a+bi C thì z =abi Ta có : z + z = 2a và z. z = a 2 +b 2 = 2 z Ví dụ : cho z = 32i . Tính z+ z = ? ; z. z = ? c) Liên hợp của tổng, hiệu, tích,thương các số phức : z 1 , z 2 C ta có các tính chất sau : 1 2 z z = 1 z + 2 z 1 2 z z = 1 z 2 z Số phức Gv: Cao Đức Đệ 3 1 2 z .z = 1 z . 2 z 1 2 z z = 1 2 z z ( z 2 ≠ 0) Ví dụ : cho z 1 = 3+2i , z 2 = 43i . Tính 1 2 z z ; 1 2 z z ; 1 2 z .z ; 1 2 z z Bài tập : 1) Tìm các số thực x, y biết : a) (3x9)+3i =12+(5y7)i b) (2x3)(3y+1)i=(2y+1)+(3x7)i 2) Tính môn đun của số phức z : a)z=2i 3 b) z= 2 2i c) z =11 d) z =7i 3. Thực hiện các phép tính : a) (35i) +(2+4i) b) (116i)(24i) c) (3i)(2+5i) d) 2i(74i) e) 5 i 4 3i f) 5 2i 3i g) (3i)(4+2i)(2+3i) h) 2i(6+i) 11i i) (3 i) 2i(5 6i) 4. Thực hiện các phép tính : a) (3+2i)(1i) +(32i)(1+i) b) 1 2i 1 2i + 1 2i 1 2i c) (2 i)(1 2i) (2 i)(1 2i) 2 i 2 i d) (1+i) 2 e) (1+i) 3 f) (1i) 2009 g) i 17 h) (1+i) 2008 i) 3 4 (1 i) (1 i) h) i 2008 = ? 5. Cho z= 1 2 + 3 2 i. Hãy tính : 1 z ; z ; z 2 ; 3 z ; 1+z +z 2 6. Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa ĐK : a) Phần thực của z bằng 2 b) phần ảo của z bằng 2 c) Phần thực của z thuộc khoảng (1;2) d) Phần ảo thuọc đoạn [1;2] 7. Xác đònh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn từng điều kiện sau : a) z i =1 b) z i z i =1 c) z = z 3 4i d) z 2 là số thực âm e) z 2 = 2 z f) 1 z i là số ảo Số phức Gv: Cao Đức Đệ 4 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Căn bậc hai của số phức : Cho số phức w . Nếu số phức z sao cho z 2 = w thì z được gọi là căn bậc hai của số w. Nói cách khác mỗi căn bậc hai là nghiệm của pt : z 2 w =0 Ví dụ : i là căn bậc hai của số 1 vì i 2 =1 và (i) 2 =1 (2+3i) là căn bậc hai của 5 +12i vì (2+3i) 2 = 5+12i a) Trường hợp w là số thực : khi đó w =a + Nếu a= 0 ; căn bậc hai của số 0 là 0 + Nếu a > 0 ; thì z 2 a= (z a )(z+ a ) . Do đó z 2 a =0 <=> z a z a + Nếu a < 0 ; thì z 2 a= (z a .i)(z+ a .i).Do đó : z 2 a =0 <=> z i a z i a Ví dụ : 5 =5i 2 . Căn bậc hai của số 5 là i 5 + Tìm căn bậc hai của số 16 ? b.Trường hợp w=a+bi : ( a,b R , b 0) Cho số phức w = a+bi . Hãy tìm các căn bậc hai của số w Giải : z =x+yi là căn bậc hai của số w Theo đònh nghóa : (x+yi) 2 = a+bi 2 2 x y a 2xy b Nếu b ≥ 0 thì z = 2 2 2 2 a a b a a b i 2 2 Nếu b < 0 thì z = 2 2 2 2 a a b a a b i 2 2 Ví dụ : Tìm căn bậc hai của các số sau : a) 3+4i b) 5+12i c) 8+6i d) 1+i 3 2. Phương trình bậc hai : az 2 +bz +c =0 C 1 : Biến đổi : a(z+ b 2a ) 2 + c 2 b 4a =0 <=>(z+ b 2a ) 2 = 2 2 b 4a c a …. C 2 : Tính = b 2 4ac = (x+iy) 2 . Suy ra theo công thức nghiệm … Ví dụ : giải phương trình : z 2 z +3 =0 ; 3x 2 4x +5=0 ; 3x 2 12x 7=0 Số phức Gv: Cao Đức Đệ 5 Bài tập : 1. Tính căn bậc hai của số phức : a) 8 +6i b) 1+2 2 i c) 1630i d) i e) 1i e) 5 2. Giải phương trình : a) 2z 2 +3z +5 =0 b) z 2 (2+i)z+(1+7i) =0 c) z 2 +(32i)z+(55i)=0 d) z 4 3z 2 +4 =0 3. Cho z 1 và z 2 là hai nghiệm của phương trình : x 2 +(2i)x +3+5i =0 . Không giải phương trình hãy tính : a) 2 1 z + 2 2 z b) 4 1 z + 4 2 z c) 1 2 z z + 2 1 z z d) 4 1 z z 2 + 4 2 z z 1 4. Giải các phương trình sau :a) z 3 1 =0 b) z 3 +1 =0 c) z 4 1=0 d) z 4 +1=0 e) z 4 +4= 0 f) 8z 4 +8z 3 =z+1 5. a) Tìm các số thực b,c để phương trình ẩn z : z 2 +bz +c =0 nhận z =1+i là nghiệm b) Tìm các số thực a, c để phương trình : a.z 2 5z +c =0 nhận z =23i làm nghiệm c) Chứng minh rằng : ( cos +i.sin) 2 = cos 2+ i.sin2 3. DẠNG LƯNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG 1. Số phức dưới dạng lượng giác : a) argumen của số phức z 0 : Giả sử z= a+bi là một số phức khác 0 . M là điểm biểu diễn z trên mặt phẳng phức . Điểm M hòan toàn xác đònh véc tơ OM =(a;b) + argumen của số phức z ký hiệu arg z là góc tạo bởi Ox và OM Chú ý : +Mọi acgumen của z có dạng + k2 , k Z b) Dạng lượng giác của số phức : Giả sử z= a+bi là một số phức khác 0 . Ký hiệu: r là mô đun của z và là một acgumen của z Ta có : a= r .cos , b = r.sin. Viết lại : z = r.(cos +i.sin) + Cho số phức z =a+bi : dạng đại số z= r.(cos +i.sin) : dạng lượng giác Nếu r và tương ứng là môn đun và arumen của số phức z thì : Số phức Gv: Cao Đức Đệ 6 y a b r x M O 2 2 r a b a cos r b sin r Ví dụ1: a)Viết z = 1+ i dưới dạng lượng giác b) Viết số phức : 1i 3 ; 3 i dưới dạng lượng giác . c) Tìm mô đun và acgumen của các số phưc sau : 1+i. 3 ; 3 i ; 3 +3i Chú ý: Cho z = r.(cos +i.sin) , z ≠ 0. Dạng lượng giác của các số phức : 1 z = 1 r [cos() +i.sin()] z = r [cos +i.sin] = r [cos(+) +i.sin(+) ] z = r [cos i.sin ]= r [cos() +i.sin()] 2. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác : a) Mô đun và argumen của hai số phức bằng nhau : Giả sử z 1 = r 1 ( cos 1 +i.sin 1 ) , z 2 = r 1 (cos 2 +i.sin 2 ) z 1 = z 2 <=> 1 2 1 2 r r k2 b) Nhân và chia : Tích của hai số phức dạng lượng giác : Giả sử z 1 = r 1 ( cos 1 +i.sin 1 ) , z 2 = r 1 (cos 2 +i.sin 2 ) Khi đó z 1 .z 2 = r 1 .r 2 [cos( 1 + 2 )+i.sin( 1 + 2 )] Ví dụ : cho z 1 = 2 cos i.sin 3 3 và z 2 = 2 cos i.sin 4 4 . Tính z 1 .z 2 =? Nghòch đảo và thương của hai số phức dưới dạng lượng giác : + Cho số phức : z = r.(cos +i.sin) thì 1 z = 1 r [cos() +i.sin()] + Giả sử z 1 = r 1 ( cos 1 +i.sin 1 ) , z 2 = r 1 (cos 2 +i.sin 2 ) 1 2 z z = 1 2 r r [cos( 1 2 )+i.sin( 1 2 )] Ví dụ : a) Cho z = 1 2 cos i.sin 3 3 => 1 z = ? Số phức Gv: Cao Đức Đệ 7 b) cho z 1 = 6 cos i.sin 6 6 ; z 2 = 3 cos i.sin 3 3 . Tính 1 2 z z Bài tập : 1. Biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác : a) 1+i b) 1i c) 1i d) 1 e) 8i g) 4 2. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác : a) 2 cos i.sin 6 6 b) 3 cos i.sin 3 3 c) 2 cos i.sin 4 4 d) ( cos i.sin ) 3. Tìm phần ảo và phần thực của các số phức sau : a) 2 cos i.sin 6 6 b) 4(cos120 0 +i.sin120 0 ) c) 2 (cos 315 0 +i.sin315 0 ) d) cos240 0 +i.sin240 0 3. Công thức Moavrơ và ứng dụng a) Công thức Moavrơ: n r.(cos +i.sin ) = r n ( cos n+i.sin n ) với mọi n nguyên dương Đặc biệt : khi r =1 thì (cos +i.sin) n = cos n+i.sin n Ví dụ : Tính (1+i 3 ) 15 = ? ; (1+i) 20 = ? b) Ứng dụng : Tính sin n ; cos n ( cos +i.sin ) 3 = …. ( cos +i.sin ) 3 = ( cos 3+i.sin 3 ) Suy ra : cos 3 = ? ; sin3= ? c) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác : + Với số phức z = r.(cos+ i.sin ) , r >0 có hai căn bậc hai là : r cos i.sin 2 2 và r cos i.sin 2 2 = r cos( ) i.sin( ) 2 2 Bài tập : 4. a) Cho z = 1+ 3 i. Tìm dạng lượng giác của các số phức : z ; z ; 1 z b) Cho z = 3 i .Tìm dạng lượng giác của các số phức : z ; z ; 1 z ; z 2 5. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác : Số phức Gv: Cao Đức Đệ 8 a) 1i. 3 b) (1i. 3 )(1+i) c) 3i( 3 i) d) 1+ 3 i e) 1i.tan 5 f) tan 5 8 + i g) 1 cos i.sin 6. a) Sử dụng công thức Moavrơ để tính sin 4 và cos4 theo sin và cos b)Tính (1+cos +i.sin) n 7. Tính : a) 6 3 i ; b) 2004 i 1 i c (1+i) 25 d) 24 3 i 1 2 e) 20 3 i g) Cho z= 1 (1 i 3) 2 , Tìm n để z n là số thực 8. Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z trong các trường hợp sau : a) z =3 và acgumen của iz là 5 4 b) z = 1 3 và một acgumen của z 1 i là 3 4 9. a) Dùng khai triển (1+i) 19 . Tính 0 2 4 16 18 19 19 19 19 19 C C C C C b) Tính tổng : 1 2 4 6 n n n C C C +… =? ; 1 3 5 7 n n n n C C C C +…. =? c) Chứng minh rằng :1+ 4 8 12 n n n C C C + …. = n n 1 2 1 n 2 2 cos 2 4 d) Chứng minh rằng : 1 n C + 5 9 13 n n n C C C + …. = n n 1 2 1 n 2 2 sin 2 4 10. Giải các phương trình : a) z 2 3z +3+i= 0 b) z 2 (cos +i.sin ) z +i.sin cos =0 c) z z =1+2i d) z +z =2+i e) Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4 11. a) Nếu z + 1 z =2cos . CM rằng : m m 1 z z =2cos m Soỏ phửực Gv: Cao ẹửực ẹeọ 9 b) CMR : n 1 i.tan 1 i.tan = 1 i.tan(n ) 1 i.tan(n ) c) Giaỷi heọ pt : (3 i)x (4 2i)y 2 6i (4 2i)x (2 3i)y 5 4i . bằng 3 và tích của chúng bằng 4 11. a) Nếu z + 1 z =2cos . CM rằng : m m 1 z z =2cos m So phửực Gv: Cao ẹửực ẹeọ 9 b) CMR : n 1 i.tan 1 i.tan = 1 i.tan(n ) 1 i.tan(n )