Ba phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Trang 1BA PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ,BIỂU THỨC
Do LAISAC Biên soạn
A.BÀI TOÁN MỞ ĐẦU :
Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số: y= (x + 1)2 + (x – 3)2
Giải Hàm số viết lại: y = (x2 + 2x + 1) + (x2 – 6x + 9) = 2x2 – 4x + 10
Cách 1.(Dùng Bất đẳng thức )(BĐT)
Ta có y = 2x2 – 4x + 10 = 2(x2 – 2x + 1) + 8 = 2(x - 1)2 + 8 8≥ ∀x ∈ R
Đẳng thức xảy ra khi x = 1 Vậy GTNN = 8 khi và chỉ khi x = 1
Cách 2.(Dùng điều kiện phương trình có nghiệm)(PT)
Gọi y là giá trị hàm số nên phương trình y = 2x2 – 4x + 10 có nghiệm ( ẩn là x)
Phương trình tương đương 2x2 – 4x +10 – y = 0 có nghiệm khi và chỉ khi
8 0
2 20
4
≥
Δ y y Đẳng thức xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x = 1
Do đó GTNN y = 8 khi và chỉ khi x = 1
Cách 3 (Dùng phương pháp đạo hàm)( ĐH)
Xét hàm số y = 2x2 – 4x + 10 có đạo hàm y’ = 4x - 4 khi y ‘ = 0 ⇔ x=1
Ta có bảng biến thiên : x 1
y’ - 0 +
y -∞ +∞
8
Dựa vào bảng biến thiên ta có GTNN y = 8 khi và chỉ khi x = 1
B.NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
Nội dung bài viết này chỉ nêu lên ba phương pháp cơ bản nhất mà ta thường sử dung để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số hay biểu thức nào đó Tuỳ theo bài toán cụ thể mà ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp trên một cách tối ưu hơn.( Đôi lúc có nhiều bài sử dụng vectơ, phương pháp tọa độ, lượng giác hóa…)
Lưu ý: Khi tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất ta luôn chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy
ra
Ta hay nhầm lẫn trong trường hợp đánh giá không đúng cho một bất đẳng thức
Ví dụ trên, nếu không thận trọng ta nói : y= (x + 1)2 + (x – 3)2 ≥0… thì hỏng rồi!
BÀI TẬP MINH HOẠ
Ví dụ 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất : S= sin +x cosx
HD.cách 1.( BDT) Ta có 1 = sin 2 x+ cos 2 x≤ sinx + cosx =S⇒minS=1
2 2 2
2 ) 4 sin(
2 2 ) cos )(sin
1 1 ( cos
Cách 2.( ĐH) S= sinx+ cosx ⇒S2 =sinx cos+ x+2 sinx.cosx
Đặt t = sinx + cosx Dùng phương pháp đạo hàm để giải
Ví dụ 2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
4 sin cos 2
3 sin 2 cos
+
−
+ +
=
x x
x x
S trong khoảng( −π π; ) HD.cách 1.(PT) Để tồn tại giá trị S thì phương trình
4 sin cos 2
3 sin 2 cos
+
−
+ +
=
x x
x x
x S x
S
2 11
2 ) 3 4 ( ) 2 1 (
)
2
( + 2 + − 2 ≥ − 2 ⇒ ≤ ≤
Trang 2Cách 2.( ĐH) Đặt 2 22
1
1 cos
; 1
2 sin
t x t
t x
x tg t
+
−
= +
=
⇒
t.Dùng phương pháp đạo hàm hoặc điều kiện phương trình bậc hai có nghiệm ,suy ra kết quả
Ví dụ 3 Tìm gíá trị lớn nhất của biểu thức : f = x+ 2−x2 +x 2−x2
HD.cách 1(ĐH).Dùng đạo hàm trực tiếp ,chú ý hàm số liên tục trong đoạn [− 2 ; 2]
Cách 2.Đặt t =x+ 2−x2 ⇒ñieàu kieän t.Dùng phương pháp đạo hàm, hoặc PT
Cách 3.( Vevtơ) Đặt u=(x;1; 2−x2),v=(1; 2−x2;x) ⇒u.v= x+ 2−x2 +x 2−x2 và
3 3 3 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1
.v = x2 + + −x2 + −x2 +x2 = =
u
Ta có : u.v≤ u.v ⇔ x+ 2−x2 +x 2−x2 ≤3
2
2 1
2
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
−
−
=
=
x kx x
x k
k x
Ví dụ 4 Cho hai số thực x , y thay đổi và thỏa mãn điều kiện: x.(1−y)= y 4−x2
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tỉ số
y
x
HD.Điều kiện −2≤x≤2.Để tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
y
x
thì x≠ 0 ;y≠ 0
Biến đổi .( 1 ) 4 2 (x 4 x2)
y
x x
y y
y
x = (h≠ 0 ).Biểu thức viết lại :
2
4 x
x
h= + − là một hàm số liên tục trong đoạn [−2;2]
Ví dụ 5.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 22 22
y xy x
y xy x S
+ +
+
−
= (x ∈,y R)
HD Lí luận x ≠0chia tử và mẫu cho x2 Đặt
x
y
t = .Khảo sát hàm số S ẩn t,hoặc đkpt
Ví dụ 6 Cho các số thực x,y thoả mãn điều kiện: x 2 + y 2 = 1
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
3 2 2
1 2 4
2
2
+
−
− +
=
y xy
xy x
HD.Cách 1.Thế điều kiện x 2 + y 2 = 1 vào S giải như bài trên
Cách 2.Đặt x = sinα ⇒ y= cosα Đưa hàm số S= S(sin 2α, cos 2α).Dùng đkpt
Ví dụ 7.Cho hai số thực x,y ≠0thay đổi và thỏa mãn điều kiện : x 2 + y 2 = 2x 2 y + y 2 x
Tính giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức
y x
S= 2 +1
HD.Đặ y = tx, thế vào điều kiện và biểu thức S ,khảo sát hàm số S ẩn t
Ví dụ 8 Cho hai số thực dương x,y thoả điều kiện :x+y = 1
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
1
y x
x f
−
+
−
=
HD.Đặt x=sin2α ⇒y=cos2α , ∈⎢⎣⎡0;2 ⎥⎦⎤
π
Ví dụ 9.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
2 sin )
HD.Dùng phương pháp đạo hàm
Ví dụ 10.(1993 bảng A) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Trang 3) 2009 2007
(
)
f = + − trong miền xác định của nó
Lời giải :Miền xác định của hàm số D=[− 2009 ; 2009].Nhận thấy f(x) là hàm số lẻ nên ta xét hàm số trong D'=[0 ; 2009].Áp dụng bất đẳng thức BCS ta có
2 2
2009 2007
(
)
2008 2008 2
2009 2007
Vậy GTLN = 2008.2008 khi và chỉ khi x = 2008
GTNN=− 2008.2008 khi và chỉ khi x =− 2008
Ví dụ 10.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :Q = sin 2 A + sin 2 B – sin 2 C
trong đó A,B,C là ba góc của một tam giác
HD.(BĐT) Đưa về tổng bình phương
Hoặc đưa về một biến x = sin
2
C
Dùng phương pháp ĐH để giải
Ví dụ 11.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 sin
1 2
sin
1 2
sin
1
2 2
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
3
cos 3
cos 3
HD.Chú ý Dùng phương pháp giải như báo Toán học ,Tuổi trẻ (tháng 3-20007)
Giải bài 12.Cách 1.Giả sử A=Max{A;B;C} 0
3 2
cos
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + +
⇒
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + +
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + +
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
3 2 cos 2 2
cos 3 2 cos 2 3
cos 3
B
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
≥ +
2 2 ) ( ) (A f B f A B
Tương tự
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
3
2 3 cos
2 3 3
cos 3
π π
π
Cộng (1) và (2) ta có :
3
2 cos 4 3 3
cos 3
cos 3
cos 3
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
2
3 3
2 cos 3 3
cos 3
cos 3
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
3 2
cos
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + +
⇒
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + +
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + +
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
3 2 cos 2 2
cos 3 2 cos 2 3
cos 3
B
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
≥ +
2 2 ) ( ) (A f B f A B
⇒
2
3 3
2 cos 3 ) 3 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3
cos 3
cos 3
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
f C f B f A f C
B
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều
Cách 3.Đưa về tổng bình phương ,hoặc tam thức bậc hai
Ví dụ 13 Cho a,b,c là ba số không âm thoảđiều kiện : a + b + c = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của (a 3 + b 3 + c 3 )
Trang 4HD: a3 + 1 + 1 ≥ 3a…
Ví dụ 14.Cho x,y,z là ba số dương thoả mãn điều kiện : x.y.z = 1
Chứng minh rằng : +
+
+
y y
x
1 1
2 2
2
3 1
2
≥
+ x
z
4
1
1
2
x
x x
z
≥
+ +
+
Ví dụ 15 Cho các số thực dương x,y,z thỏa điều kiện : x+y+z≥ 6
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
y x
z z x
y z y
x S
+
+ +
+ +
z y
x
3 2 2
3
≥ +
+ +
Cách 2: S(y+z+x+z+x+y)≥(x3 + y3 +z3)2
Ví dụ 16 Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 + c 2 ≤ 12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
ab ab
ab
P
+
+ +
+ +
=
1
1 1
1 1
HD :Áp dụng
5
2 25
1 1
+
ab
ab (1) Đẳng thức xảy ra khi ab = 4 Tương tự
5
2 25
1 1
+
bc
bc (2) ;
5
2 25
1 1
+
ca
Lấy (1) + (2) + (3) ta có
5
6 25
25
3 5
6 25
1 25
1 25
1
≥ + + + +
⇔
≥
+ +
+ +
+
P
5
3 5
6 25
12 25
3 5
6 25
25
≥
⇒
≥ + +
⇔
≥ + + +
+
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2
Ví dụ 17 Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn : .
4
3
= + +b c a
Chứng minh rằng :3 a+3b+3 b+3c+3 c+3a ≤3
HD : Ta có
3
1 1 3 3
b
Ví dụ 18 Cho x,y,z là ba số thỏa x + y + z = 0
Chứng minh rằng : 3+4x + 3+4y + 3+4z ≥6
HD:Cách 1.Ta có 3+4x ≥ 441.1.1.4x =28 4x …
Cách 2 Dùng phương pháp vectơ
Thí dụ 19 Cho x,y,z các số dương thỏa mãn1 +1 +1 =4
z y
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thưcù:S=
z y x z y x z y
x+ + + + + +2 + +
1 2
1 2
1
HD
z y x z y x x z y
x + + = + + + ≥ 2 + +
16 1
1 1 1 1 1
2
…
Ví dụ 20 Chứng minh rằng với mọi x,y > 0 ta có:(1+ )(1+ )(1+ 9 )2 ≥256
y x
y x
3
6 2
4
3
3 19 )
9 1 ( ) (
27 4 ) 3 3 3
1
(
y y
y y
y
Trang 529 3
3
3 3
3
Ví dụ 21 Giả sử x,y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện
4
5
=
+ y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
4
1 4
y x
S = +
HD: Cách 1 Thay y= −x
4
5
4
5 0
; 4 5
1
4 < <
− +
=
x x
+Ta sử dụng khảo sát hàm số
5
25 4 5
1 4
16 4 5
1
− +
=
− +
=
x x
x x
) ( 4
25 4
5 5 4
1 5 4
1 4
5
+
= + + + +
≥
≥ +
=
y x y x x x x y x y
x
Ví dụ 22 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a
c c
b b
trong đĩ các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện :a+b+c 3 ≥
HD Đặt
b
a c a
c b c
b a a
c c
b b
a A a
c c
b b
a
A= + + ⇒ 2 = 2 + 2 + 2 +2 +2 +2
Aùp dụng bất đẳng thức Co-si cho bốn số dương ta được
a c c
b a
c
b
a
b
a
4
2
≥ + +
a
c b a
c b c
b
4
2
≥ + +
b
a c b
a c a
c
4
2
≥ + +
+ Cộng từng vế suy ra A≥3
Ví dụ 23 Cho ba số thực dương a,b,c thoả mãn điều kiện: a 2 + b 2 + c 2 = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
c
ab b
ac a
bc
HD. 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 (a2 b2 c2 )
c
ab b
ac a
bc
S = + + + + + .Ta cĩ ( ) 2 ( ) 2 c2
b
ac a
…
Ví dụ 24 Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: 2 xy + xz = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 4 5
z
xy y
zx x
yz
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ + +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
= + +
=
z
xy y
zx z
xy x
yz y
zx x
yz z
xy y
zx x
yz
4 2
( 4 8
4 ) ( 4 ) ( 2 6
4
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
3
1
=
=
= y z x
Ví dụ 25 Cho A,B,C là ba gĩc của một tam giác bất kỳ
Tìm giá trị nhỏ nhất: S=5cotg 2 A + 16cotg 2 B +27cotg 2 C
HD.Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ,và bất đẳng thức thường dùng trong tam giác
Ví dụ 26 Chứng minh rằng
512
729 1
1
1 1
1
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
c b
trong đĩ a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6
HD Nhân vế trái ,áp dụng bất đẳng thức cho ba biểu thức , áp dụng hằng đăngt thức bậc ba C.Các bài tập đưa về giá tị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất
Bài 1.Cho elíp (E) cĩ phương trình 1
9 16
2 2
= + y
x
Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng MN luơn luơn tiếp xúc với (E) Xác
dịnh tọa độ M,N để đoạn MN cĩ độ dài nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đĩ
Trang 6Bài 2.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy,cho elíp có phương trình
4x 2 + 3y 2 – 12 = 0.Tìm điểm trên elíp sao cho tiếp tuyến của elíp tại điểm đó cùng với các trục toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất
Bài 3.Trong mặt phẳng Oxy cho Parabol (P) y 2 = 2x và đường thẳng (d)
x – y + 2 = 0 Tìm điểm M thuộc (P) sao cho khoảng cách giữa M và (d) ngắn nhất
Bài 4 Trong mặt phẳng Oxy xét đường thẳng (d) : 2x + my+ 1 − 2 = 0 và hai đường tròn :
(C 1 ) : x 2 + y 2 -2x +4y -4 = 0 và (C 2 ) : x 2 + y 2 + 4x - 4y -56 = 0
Gọi I là tâm đường tròn (C 1 ) Tìm m sao cho (d) cắt (C 1 ) tại hai điểm phân biệt A và B Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IAB lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó?
Bài 5.Cho các số thực x,y thỏa mãn điều kiện : x2 + y2 +z2 −4x+2z≤0
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = 2x + 3y – 2z
Bài 6.Trong kg Oxyz cho hai đường thẳng (d 1 ) ; (d
⎩
⎨
⎧
=
−
=
− + 0 3
0 4 2
z
y x
2 )
⎩
⎨
⎧
=
−
= + 0 1
0
x
z y
Lập phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 )
Bài 7.Cho tứ diện ABCD với A(2;3;2) ; B(6;-1;-2); C(-1;-4;3) ;D(1;6;-5)
Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất
Bài 8.Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A (0 ; 1 )B (3 ;
4)
Tìm tọa độï điểm M trên (d) sao cho 2MA 2 + MB 2 có giá trị nhỏ nhất
Bài 9.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy,cho các điểm A(1;2); B(2;-3) ;C(-1;4)
Tìm trên đường thẳng x+y+3 = 0 các điểm M sao cho 3MA+4MB+5MC là nhỏ nhất
Bài 10.Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) x – 2y + 2z + 2 = 0 và hai điểm
A(4;1;3);B(2;-3;-1).Hãy tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA 2 +MB 2 có giá trị nhỏ nhất
Bài 11 Cho hàm số
x
x x y
−
+
−
= 1
10 4
2 2
có đồ thị ( C )
Định tham số k để đường thẳng (d) kx – y – k = 0 cắt ( C ) tại hai điểm có độ dài nhỏ nhất Bài 12.Tìm trên đường cong (C)
1
3 3
2
+
+ +
=
x
x x
y điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của (C) là nhỏ nhất
Bài 13.Tìm trên đồ thị ( C ) của hàm số y=
1
2
−
x
x
một điểm có hoành độ lớn hơn 1 sao cho
tại điểm này tiếp tuyến của ( C ) tạo với hai đường tiệm cận của ( C ) tạo thành một tam
giác có chu vi nhỏ nhất
Bài 14.Cho đường cong (C) có hàm số
2
1 4 4
2
+
+ + +
=
x
x x y
Tìm điểm M thuộc đường cong (C) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm cận của (C) là nhỏ nhất
Bài 15.Cho đường cong (C) có hàm số :
1
1 2
−
+
=
x
x
y và điểm A(-2;1) thuộc (C).Tìm trên (C) điểm B sao cho hai điểm A,B lần lượt thuộc hai nhánh khác nhau,và độ dài AB nhỏ nhất
Bài 16.Tìm trên đường
1
1
−
+
=
x
x
y hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác nhausao cho AB nhỏ nhất
Bài 17.Cho hệ phương trình :
⎩
⎨
⎧
=
− + + +
= + 0 1 )
1 2 (
9
2 2
m my x m
y x
Trang 7Xác định tham số m để hệ phương trình trên có hai nghiệm (x 1 ;y 1 ) ; (x 2 ;y 2 ) sao cho biểu thức
A = (x 1 – x 2 ) 2 +(y 1 – y 2 ) 2 đạt giá trị lớn nhất
Bài 18 Gọi x,y là nghiệm của hệ phương trình
⎩
⎨
⎧
+
= +
−
=
−
1 3
4 2
m y mx
m my
x
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x 2 + y 2 -2x , khi m thay đổi
Bài 19.Cho hệ phương trình
⎩
⎨
⎧
− +
= +
−
= +
3 2
1 2
2 2
x
a y x
Tìm tất cả các tham số a để hệ có nghiệm (x,y) sao cho x.y nhỏ nhất
Bài 20.Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ
⎩
⎨
⎧
= + +
= + +
4
8
2 2 2
zx yz xy
z y x Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x,y,z