2. Hai đường thẳng vuông góc: Định nghĩa 2: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng . 90 o Nhận xét: 1) . 0a b u v⊥ ⇔ = r r Với lần lượt là vecto chỉ phương của a, b ,u v r r 2) / /a b c b c a ⇒ ⊥ ⊥ Cho hình hộp thoi có tất cả các cạnh bằng a và Chứng minh là hình vuông. . ' ' ' 'ABCD A B C D · · · 0 ' ' 60ABC B BA B BC= = = ' 'A B CD Ví dụ 1: Chứng minh Vậy là hình bình hành. ' 'A B CD Ta có: / / ' 'CD A B= 2 2 2 0 2 2 2 ' 2 . . 60 2 ' B C a a a a cos a a a B C a = + − = − = ⇒ = Mặt khác ta có: Do đó là hình thoi. ' 'A B CD ( ) 2 2 '. ' . . '. 0 2 2 a a CB CD CB BB CD CB BA BB BA = + = + = + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta lại có: Vậy là hình vuông (đpcm). ' 'A B CD 'CB CD ⊥ Suy ra . Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có . Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, BD. Cho biết . Tính . 4 3 CD AB = 5 6 JK AB = ( ) ,CD IJ . Giải: 2 2 2 2 2 1 1 2 ; 2 2 3 1 4 25 (1) 4 9 36 IJ AB IK CD AB IJ IK AB AB AB = = = + = + = Ta có: Vì IK là đường trung bình của tam giác BCD nên: ( ) / / **IK CD 2 2 25 (2) 36 JK AB = Mà 2 2 2 IJ IK JK + = Từ (1) và (2) ta được: (*)IJ IK ⊥ Vậy CD IJ ⊥ Từ (*) và (**) ta suy ra ( ) 0 , 90CD IJ = Do đó: Ví dụ 3: SGK trang 94 Cho hình tứ diện ABCD, trong đó . Gọi P và Q lần lượt là các điểm thuộc các đường thẳng AB và CD sao cho GT KL PQ AB ⊥ uuur uuur ,AB AC AB BD ⊥ ⊥ ,PA k PB QC kQD = = uuur uuur uuur uuur Chứng minh ( ) ( ) ( ) ) 1 ; ) 2 PQ PA AC CQ PQ PB BD DQ k PQ k PB BD DQ + = + + + = + + ⇒ = + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có: Lấy (1) – (2) vế theo vế ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 k PQ PA AC CQ k PB BD DQ k PQ PA k PB AC k BD CQ k DQ k PQ AC k BD − = + + − + + ⇔ − = − + − + − ⇔ − = − uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Lấy tích vô hướng của 2 vectơ và , ta được: ( ) 1 k PQ − uuur AB uuur ( ) ( ) 1 . . . 0k PQ AB AC k BD AB AC AB k BD AB − = − = − = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur PQ AB ⊥ uuur uuur Vậy (đpcm) . B= 2 2 2 0 2 2 2 ' 2 . . 60 2 ' B C a a a a cos a a a B C a = + − = − = ⇒ = Mặt khác ta có: Do đó là hình thoi. ' 'A B CD ( ) 2 2 '. ' . . '. 0 2 2 a a CB. ra . Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có . Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, BD. Cho biết . Tính . 4 3 CD AB = 5 6 JK AB = ( ) ,CD IJ . Giải: 2 2 2 2 2 1 1 2 ; 2 2 3 1 4 25 (1) 4 9. Vì IK là đường trung bình của tam giác BCD nên: ( ) / / **IK CD 2 2 25 (2) 36 JK AB = Mà 2 2 2 IJ IK JK + = Từ (1) và (2) ta được: (*)IJ IK ⊥ Vậy CD IJ ⊥ Từ (*) và (**) ta suy ra ( ) 0 ,